Répertoire de la classe de Quatrième

Transcription

1 Répertoire de la classe de Quatrième Dans ce répertoire, vous trouverez l'essentiel du vocabulaire et des propriétés qu'un élève de quatrième doit savoir en fin d'année Lexique par ordre alphabétique Agrandissement : voir aussi Réduction A - L M - Z Médiane (théorème) : voir aussi Cercle circonscrit à un triangle rectangle Bissectrice d'un angle ( caractéristique) Milieux (propriétés de la droite des milieux ) Bissectrices d'un triangle : voir aussi Cercle inscrit dans un triangle Cercle circonscrit à un triangle rectangle : voir aussi théorème de la Médiane Cercle inscrit dans un triangle : voir aussi Bissectrices d'un triangle Cône de révolution : voir Formulaire Cosinus d'un angle aigu Moyenne d'une série statistique Notation scientifique Parallèles dans un triangle : voir propriété de Thalès et droite des Milieux Produits en croix (égalité) : voir aussi Quatrième proportionnelle Puissances Distance d'un point à une droite Puissances de 0 Double distributivité Pyramide : voir Formulaire Égalités (propriétés) Équation (résolution) : voir Égalités (propriétés) Exposant : voir Puissances Pythagore (propriété et réciproque) Quatrième proportionnelle : voir aussi Produits en croix Réduction : voir aussi Agrandissement Formulaire (pyramide, cône) Relatifs : multiplication et division Fraction : Division Tangente à un cercle Hypoténuse Inégalités (propriétés) Inverse d'un nombre non nul Thalès (propriété) Triangle rectangle : voir propriété de Pythagore, Cercle circonscrit à un triangle rectangle, Cosinus Vitesse

2 A Agrandissement Si deux triangles ABC et AMN sont tels que : M [ AB ] ; N [ AC ] ; ( MN ) // ( BC ) alors le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN de coefficient Remarques * Un coefficient d'agrandissement est toujours supérieur à * Le triangle AMN est alors une réduction du triangle ABC de coefficient k k = AB AM = AC AN = BC MN B Bissectrice (propriété caractéristique) * Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle * Réciproquement, si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle B Bissectrices d'un triangle Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle C Cercle circonscrit à un triangle rectangle s * Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse * Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et admet ce côté comme hypoténuse Conséquence : voir médiane (théorème)

3 C Cercle inscrit dans un triangle On dit qu'un cercle est inscrit dans un triangle s'il est tangent au trois côtés du triangle Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de concours de ses bissectrices C Cosinus d'un angle aigu Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse Application Si ABC est un triangle rectangle en B : cos BAC = AB AC A côté adjacent à l'angle BAC C B s On considère un triangle ABC rectangle en B ) On sait que : AB = 6 cm et AC = 8 cm Donc : cos BAC = AB AC =6 8 D'où : BAC = cos ) On sait que : AB = 5 cm et BAC = 40 Donc : cos BAC = AB AC D'où : AC = AB cos BAC = 5 cos 40 6,5 D Distance d'un point à une droite On appelle distance d'un point A à une droite ( d ) la plus petite distance de A à un point de ( d ) Si H est le pied de la perpendiculaire à ( d ) passant par A, alors la distance de A à ( d ) est AH H ( d ) distance de A à ( d ) A D Double distributivité - Pour tous nombres a, b, c, d on a : ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d A = ( 3x + 2 ) ( 2x 5 ) A = 3x 2x 3x x 2 5 A = 6x² 5x + 4x 0 A = 6x² x 0

4 E Égalités (propriétés) Pour tous les nombres a, b, c : * Si a = b alors a + c = b + c * Si a = b alors a c = b c * Si a = b alors a c = b c * Si a = b et si c 0 alors a / c = b / c Application à la résolution des équations Résoudre l'équation d'inconnue x : 5 x 3 = 3 x + 7 On ajoute 3 x à chaque membre : 5 x 3 3 x = 3 x x On réduit chaque membre : 2 x 3 = 7 On ajoute 3 à chaque membre : 2 x = On réduit chaque membre : 2 x = 0 On multiplie chaque membre par l'inverse de 2 : On simplifie : x = 5 2 x 2 = 0 2 F Formulaire Volume = 3 h Volume d'une pyramide aire de base hauteur Volume : V Aire de base : B Hauteur : h Volume = h Volume d'un cône de révolution 3 aire de base hauteur Volume : V Rayon de base : R Hauteur : h B V = 3 B h R V = 3 R2 h F Fractions Nombres en écriture fractionnaire s Division Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l'inverse de ce nombre Soit deux nombres a et b avec b 0 : a b = a b 5 3 =5 3 = = H Hypoténuse Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le côté opposé à l'angle droit Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand des trois côtés I Inégalités (propriétés) Application à l'encadrement des nombres Pour tous les nombres a, b, c : * Si a < b alors a + c < b + c * Si a < b alors a c < b c * Si a < b et si c > 0 alors a c < b c * Si a < b et si c < 0 alors a c > b c * On sait que : 3,4 < π < 3,5 Par conséquent : 2 3,4 < 2 π < 2 3,5 Et donc : 6,28 < 2 π < 6,30 * De même, en multipliant par ( ) : 3,4 > π > 3,5 Donc : 3,5 < π < 3,4 Et donc : 0,85 < 4 π < 0,86

5 I Inverse d'un nombre non nul s On appelle inverse d'un nombre non nul a le nombre b tel que : a b = Notation Si a 0, l'inverse de a se note : Si a 0 et b 0, l'inverse de a a b est b a * 2 0,5 = donc 2 et 0,5 sont inverses * L'inverse de 3 7 est 7 3 M Médiane (théorème) s * Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse * Réciproquement, si un triangle a une médiane qui mesure la moitié du côté à laquelle elle est relative, alors ce triangle est rectangle et admet ce côté comme hypoténuse M Milieux (propriétés de la droite des milieux) * Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux des côtés, alors elle est parallèle au troisième côté * Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux des côtés, alors il mesure la moitié du troisième côté * Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu M Moyenne d'une série statistique On appelle moyenne d'une série statistique le quotient de la somme des termes de la série par le nombre de termes de cette série Soit la série ci-dessous : La moyenne est : , N Notation scientifique s On appelle notation scientifique d'un nombre décimal positif l'écriture de ce nombre sous la forme a 0 n où : 0 a < 0 et n est un nombre entier Écriture décimale Notation scientifique 243,5 2, , ,

6 P Produits en croix (égalité) s On considère quatre nombres a, b, c, d non nuls * Si : a b = c d alors : a d = b c * Réciproquement, si : a d = b c alors : a b = c d Cette propriété permet de déterminer si deux fractions sont égales Les fractions suivantes sont-elles égales? A = et B = On calcule les produits en croix : = 4896 et = 4895 Comme les produits en croix ne sont pas égaux, on en déduit que : A B P Puissances s s Pour tout nombre a et pour tout nombre entier naturel non nul n : * a n est le produit de n facteurs égaux à a Autrement dit : a n = a a a a n facteurs * Si a 0 : a n = a n En particulier : a = a * a 4 = a a a a * 4 = * 2 5 = * a 2 = a 2 * Si a 0 : a 0 = * 4 3 = 4 3 Remarque : l'inverse de a peut se noter a Vocabulaire Dans la notation a n, n est appelé la puissance ou l'exposant de a On lit alors : «a à la puissance n» ou «a exposant n» * 3 = 3 * 9 = inverse de 3 inverse de 9 7

7 P Puissances de 0 s Pour tous les nombres entiers naturels n et p : * 0 n 0 p = 0 n p s * = = 0 7 * = = 0 * 0n 0 p = 0n p * = 07 2 = 0 5 * 0 n p = 0 n p Remarque 0 0 = 0 = 0 0 = 0, 0 2 = = 0,0 0 3 = = 0,00 0 n = n = 0,00 n zéros n zéros * = 03 3 = 0 6 * = = 0 8 * 0 3 = 0 3 = 0 3 P Pythagore (propriétés) * de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés Application Si ABC est un triangle rectangle en B, alors AC² = AB² + BC² * réciproque de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et admet le premier côté comme hypoténuse Application Si AC² = AB² + BC², alors le triangle ABC est rectangle en B Q Quatrième proportionnelle On considère quatre nombres a, b, c, d non nuls Si : a b = c d alors : a = b c d et b = a d c Calculer x et y tels que : x = x 9 = 0 y = 2 3 = 6 et y = = 5

8 R Réduction Si deux triangles ABC et AMN sont tels que : M [ AB ] ; N [ AC ] ; ( MN ) // ( BC ) alors le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de coefficient Remarques * Un coefficient de réduction est toujours inférieur à * Le triangle ABC est alors un agrandissement du triangle AMN de coefficient k = AM AB = AN AC = MN BC k R Relatifs (nombres) s 5- Multiplication s pour un produit de deux nombres relatifs * Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif * Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif s pour un produit de plusieurs nombres relatifs * Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif * Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif (+5) (+3) = + (5 3) = + 5 ( 5) ( 3) = + (5 3) = + 5 (+5) ( 3) = (5 3) = 5 ( 5) (+3) = (5 3) = 5 * La distance à 0 d'un produit est égal au produit des distances à 0 des facteurs de ce produit 6- Division * Le quotient de deux nombres de même signe est positif * Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif * La distance à 0 d'un quotient de deux nombres relatifs est égal au quotient des distances à 0 de ces deux nombres (+8) (+2) = + (8 2) = + 4 ( 8) ( 2) = + (8 2) = + 4 (+8) ( 2) = (8 2) = 4 ( 8) (+2) = (8 2) = 4

9 T Tangente à un cercle On dit qu'une droite est une tangente à un cercle si elle n'a qu'un seul point en commun avec ce cercle Vocabulaire Ce point en commun est appelé point de contact ou point de tangence entre la droite et le cercle caractéristique On considère une droite ( d ), un cercle de centre O et un point A, intersection de la droite et du cercle * Si la droite ( d ) est tangente en A au cercle alors ( OA ) ( d ) * Si la droite ( d ) est telle que ( OA ) ( d ), alors elle est tangente au cercle en A A tangente au cercle en A O ( d ) T Thalès (propriété) * Dans un triangle, une droite parallèle à un côté coupe les deux autres côtés en formant un triangle dont les dimensions sont proportionnelles aux dimensions du premier triangle B M * Autrement dit, dans un triangle ABC, si : M [ AB ] ; N [ AC ] ; ( MN ) // ( BC ) alors : AM AB = AN AC = MN BC A N C V Vitesse La vitesse d'un solide (en m/s) est le rapport de la distance parcourue (en m) par la durée du parcours (en s) Elle correspond donc à la distance (en m) parcourue en s Si v représente la vitesse (en m/s), d la distance (en m) et t le temps (en s) : v = d t s d = v t et t = d v