GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN ET DE L'ESPACE -CORRECTIONS

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1 GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN ET DE L'ESPACE -CORRECTIONS Exercice 1 1) On peut tracer une infinité de droites passant par un point mais on ne peut tracer qu une seule droite passant par deux points. 2) Un segment contient une infinité de points 3) Les segments ne sont pas égaux ce sont leurs longueurs qui sont égales Exercice 2 Les points équidistants des points A et B sont alignés, la droite ainsi définie est la médiatrice de [AB]. A l aide du compas, on trace deux points I et J équidistants des points A et B. AIBJ étant un quadrilatère dont les côtés ont la même longueur est un losange. (IJ) et (AB) sont les diagonales du losange. Elles sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. (IJ) médiatrice de [AB] est perpendiculaire à ce segment en son milieu: A I J B Exercice 3 Le tracé d une droite perpendiculaire à une droite donnée D1 s'effectue en choisissant arbitrairement deux points M et N de la droite et en construisant la médiatrice de [MN]. Le tracé de la droite perpendiculaire à une droite donnée D2, cette droite perpendiculaire passant par un point donné A extérieur à la droite D2, s'effectue à partir du tracé d'un cercle de centre le point donné A et coupant la droite en deux points B et D puis de la construction de la médiatrice du segment [BD] ainsi défini. Le tracé de la droite parallèle à D2 passant par A s'effectue en construisant la perpendiculaire à D2 passant par A puis la perpendiculaire à cette droite. Exercice 4 Analyse de la figure : Les éléments de base semblent être un triangle CDE dont les trois angles sont aigus et la droite perpendiculaire à [CE] passant par D. Cette droite coupe [CE] en un point A (c est la hauteur issue de D du triangle CDE).La parallèle à (CD) passant par A coupe [DE] en un point F. Programme de construction : Tracer à la règle et au compas un triangle CDE tel que ses trois angles soient aigus. Construire la perpendiculaire à [CE] passant par D. Nommer A le point d intersection de cette perpendiculaire avec [CE]. Construire la parallèle à (CD) passant par A. Nommer F le point d intersection de cette parallèle avec [ED] Exercice 5 Le cercle auquel appartient cet arc de cercle a pour centre O.O est donc le point d'intersection des médiatrices des segments [MN] et NP] définis par trois points M, N et P arbitraires sur cet arc. En effet O est alors équidistant des trois points M, N et P. Le centre d un cercle est équidistant de tous les points du cercle. N P M O

2 Exercice 6 Tout triangle rectangle d hypoténuse [AB] est inscrit dans un cercle de diamètre [AB]. M 2 M 1 B A M 4 M 3 Exercice 7 Pour placer le milieu I de [DF], on construit la médiatrice de ce segment qu elle coupe en I. On construit ensuite les points L et M, L étant le symétrique de K par rapport à F et M le symétrique de K par rapport à D. Puis on construit les médiatrices des segments [KL] et [KM] ; ces droites sont la perpendiculaire respective de (KF) passant par F et la perpendiculaire de [KD] passant par D ; ce sont donc les tangentes en F et D au cercle. Elles se coupent en J.On constate que K, I et J sont alignés.(ki) est la médiatrice du segment [DF] car I et K sont équidistants de D et de F. Le quadrilatère KFJD possède trois angles droits donc c est un rectangle et ses diagonales sont perpendiculaires donc c est un carré donc J est équidistant de D et de F donc il appartient à la médiatrice de [DF] qui est (KI). Exercice 8 1) Pour construire un triangle isocèle : on trace un segment d extrémités A et B et on construit avec le compas un point C intersection de deux cercles de même rayon et de centres respectifs A et B. 2) Pour construire un triangle rectangle en A : - à partir d un côté de l angle droit [AB]:on construit la perpendiculaire à [AB] passant par A et on place un point C sur cette perpendiculaire - à partir de l hypoténuse [BC] du triangle : on construit le cercle de diamètre [BC] et on place un point A sur le cercle 3) Pour construire un triangle équilatéral on reprend la construction du triangle isocèle en choisissant pou le rayon des deux cercles la longueur du segment [AB]. 4) Pour construire un triangle connaissant la longueur des trois cotés, on trace un premier segment puis on trace deux cercles dont les centres respectifs sont les extrémités du segment et les rayons sont les deux autres longueurs. 5) Pour tracer un quadrilatère qui a exactement deux angles droits :on trace deux droites perpendiculaires puis une troisième droite perpendiculaire à l une des deux autres et une quatrième droite non perpendiculaire aux précédentes : on obtient un trapèze rectangle On peut aussi tracer deux couples de droites perpendiculaires et telles qu aucune ne soit parallèles entre elles, les deux angles droits sont opposés. 6) Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle 7) Pour construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires mais qui n est pas un losange : on construit deux droites perpendiculaires. On construit ensuite sur ces deux droites deux segments qui contiennent le point d intersection de ces deux perpendiculaires sans qu il soit leur milieu. 8) Pour construire un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur mais qui n est pas un rectangle : on construit deux droites sécantes et on construit ensuite sur ces deux droites deux segments qui contiennent le point d intersection de ces deux sécantes sans qu il soit leur milieu. 9) Pour construire un rectangle dont la diagonale a une longueur double de celle de l un des côtés : On reprend la construction du triangle rectangle en prenant pour longueur de l hypoténuse le double de l un des côtés ou si on construit à partir de la diagonale, on prend comme longueur du côté la moitié

3 de la longueur de la diagonale. On construit le quatrième point comme étant le symétrique du sommet de l angle droit par rapport au milieu de la diagonale. Exercice 9 Première méthode, on utilise l égalité des longueurs des côtés opposés : on construit le cercle de centre J et de rayon IK et le cercle de centre K et de rayon IJ. Les deux cercles se coupent en deux points dont l un est tel qu IJKL est un parallélogramme. Deuxième méthode, on utilise le parallélisme des côtés opposés : on trace la parallèle à (IJ) passant par K et la parallèle à (IK) passant par J.les deux droits se coupent en L Troisième méthode on utilise le milieu du segment [JK] et le fait que les diagonales se coupent en leur milieu : on construit donc le symétrique de I par rapport au milieu du segment [JK]. Pour construire la parallèle à une droite donnée (d) passant par un point n appartenant pas à (d), il suffit de choisir deux points distincts I et J sur la droite (d) et un point K n appartenant pas à (d) on construit la parallèle à (d) passant par K en construisant le point L tel que IJKL soit un parallélogramme (par l une des trois méthodes). Exercice 10 : construction de quadrilatères 1) Les diagonales d un carré sont des diamètres perpendiculaires du cercle circonscrit au carré. [AC] est une diagonale, l autre est portée par la médiatrice de [AC] et elles se coupent au centre du cercle circonscrit. Construction - Choix des points A et C. - Tracé de la médiatrice de [AC], elle coupe [AC] en son milieu. - Tracé du cercle de centre le milieu de [AC] et qui passe par A, il recoupe la médiatrice de [AC] en B et D. A B C D 2) On se sert de la propriété suivante : dans un carré, les médianes sont deux axes de symétries perpendiculaires. On trace donc deux droites perpendiculaires (D) et (D ) se coupant en I. Sur chacune de ces droites, en utilisant le compas, on trace les points A, B, C, E tels que IA=IB=IC=IE=3 cm. On trace les perpendiculaires à (D) passant par A et B. On trace les perpendiculaires à (D ) passant par C et E. Les droites ainsi tracées se déterminent un carré de 6 cm de côté et de centre I. 3) On se sert des propriétés suivantes: - un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. - les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en leur milieu. - un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est rectangle. On trace donc un segment [AB] de longueur 5 cm. I est le milieu de [AB]. On trace le cercle de centre I et de rayon IA. A l'aide du compas, on construit un point C sur le cercle précédent tel que BC=3cm. Le triangle ACB est rectangle en C. On construit le point D diamétralement opposé au point C. Le quadrilatère ACBD répond à la question. 4) On se sert des propriétés suivantes: - un quadrilatère convexe dont les côtés sont égaux est un losange. - ses diagonales sont axes de symétrie. On trace un segment [AI] de longueur 3 cm. On trace le cercle de centre I et de rayon 3 cm.il coupe la droite (AI) en un point b symétrique de A par rapport à I. On trace les cercles de centres respectifs A et B et de même rayon Ces deux cercles se coupent en C et D. Le quadrilatère ACBD répond à la question. 5) On trace un segment [AI] de longueur 3 cm. Sur la droite (AI), on trace le point B tel que l est le milieu du segment [AB]. Le centre l du parallélogramme est le milieu commun des deux diagonales

4 de ce dernier (les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu). On trace un cercle de centre A, de rayon 3 cm, un cercle de centre B et de rayon 5 cm. Soit D, l'un des points d'intersection de ces deux cercles. On trace alors le point C sur la droite (DI) tel que I soit le milieu de [DC]. ADBC est un parallélogramme qui répond à la question. 6) On trace un segment [AB] de longueur 4 cm. On trace un angle de côté [AB], de sommet A et de mesure 60 en construisant deux cercles de centres respectifs A et B et de rayon 4 cm de façon à obtenir un triangle équilatéral. Sur le côté de cet angle différent de [AB], on trace le point C, tel que AC = 6 cm. On trace le cercle de centre C, de rayon 4 cm et le cercle de centre B et de rayon 6 cm. Soit D l'intersection de ces deux cercles telle que D et B soient situées du même côté par rapport à (AC). Le parallélogramme ACDB convient. Exercice 11 : Pour construire un angle de 90, il suffit de construire à la règle et au compas deux droites perpendiculaires.pour avoir un angle de 45, il suffit ensuite de construire la bissectrice de l angle de 90.Pour construire un angle de 60, il suffit de construire un triangle équilatéral et pour avoir un angle de 30, il suffit de construire la bissectrice de l angle de 60. Exercice 12 La droite partageant l'angle xo ˆ y en deux angles égaux est sa bissectrice. A l aide du compas, on trace le losange OAIB où O est le sommet de l angle, A et B sont sur les côtés de l angle et I le sommet du losange opposé à O. [OI] est une diagonale du losange et c est un axe de symétrie pour cette figure. Elle partage l angle xo ˆ y en deux angles égaux. C est la bissectrice de l angle donné. Exercice 13 : Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes et se coupent en un point K. En traçant la perpendiculaire à l un des côtés du triangle passant par K, elle coupe ce côté en un point H. Le cercle de centre K et de rayon [HK] est alors le cercle inscrit dans le triangle. Le point de concours des bissectrices d un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Exercice 14 : a) par deux points distincts, on peut tracer une infinité de cercle dont les centres sont tous les points de la médiatrice du segment [AB] b) par trois points distincts deux à deux A, B, C on peut tracer un seul cercle passant par ces trois points ; le centre de ce cercle est le point d intersection des médiatrices du triangle ABC. Exercice 15 : a) une hauteur d un triangle est une droite qui passe par l un des sommets et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet et une médiane est une droite qui passe par l un des sommets du triangle et par le milieu du segment opposé à ce sommet. On dit que la médiane et la hauteur passant par A sont issues de A. b) Les trois hauteurs sont concourantes et leur point d intersection est l orthocentre du triangle.les trois médianes sont elles aussi concourantes et leur point de concours est le centre de gravité du triangle, il est situé au deux tiers de la longueur de la médiane en partant du sommet dont elle est issue. c) L orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés. Exercice 16 : 1) On construit la perpendiculaire à (d) passant par B, puisque (d) doit être la hauteur issue de A du triangle ABC.Cette perpendiculaire coupe (d) en I. Puisque (d) est aussi La bissectrice de l angle BAC, on construit C comme symétrique de B par rapport à I 2) (d 1 ) est la hauteur issue de A donc elle est perpendiculaire à (BC).On trace donc la perpendiculaire à (d 1 ) passant par B. Elle coupe (d2) en I.Puisque (d 2 ) est la médiane issue de A I doit être le milieu de [AC].On construit donc C comme symétrique de B par rapport à I.

5 Exercice 17:

6 EXERCICE 2 (PYRAMIDE LIMOGES 1998) 1) Le patron d'un prisme (droit ou oblique, régulier ou non) a pour faces latérales des parallélogrammes en nombre égal au nombre de côtés du polygone de base. Ici, ce n'est pas le cas : aucune face n'a 4 côtés. Ou encore : le prisme qui a le moins de faces est le prisme à base triangulaire ; il possède 5 faces ; par conséquent, 4 faces ne suffisent pas pour constituer un prisme. Si la figure ne peut pas être le patron d'un prisme, elle ne peut pas être non plus le patron d'un cube qui est un prisme particulier. 2) a) On admet qu'il s'agit du patron d'une pyramide. AB = AD : on peut donc faire coïncider les segments [AB] et [AD] pour obtenir une seule arête. Pour fermer la pyramide avec la face EFC, il est nécessaire que C vienne coïncider avec B et D donc que : EB = EC FC = FD E et F doivent être les milieux respectifs de [BC] et de [DC]. b) Le patron admet la diagonale (AC) du carré comme axe de symétrie. - La face AEF est un triangle isocèle : AE =AF - Les faces ABE et ADF sont des triangles rectangles isométriques : les angles en B et en D sont droits ; AD = AB et BE = DF. - La face CEF est un triangle rectangle isocèle : l'angle en C est droit et CE = CF. 3) a) Faisons coïncider un sommet du cube de côté 4 cm avec le sommet K de la pyramide. Les angles en K des trois faces de la pyramide sont droits. Chacune des 3 arêtes issues de K dans la pyramide aura même support que chacune des 3 arêtes issues de K dans le cube. [KA] coïncidera avec une arête du cube (AK = 4 cm). E et F seront les milieux respectifs des deux autres arêtes (KE = KF = 2 cm). b) Prenons comme base de la pyramide AEFK le triangle EFK. [AK], perpendiculaire à la face EFK, est hauteur de la pyramide. V = 1/3 Aire (EFK) KA Aire (EFK) = 1/2 KE KF = 1/2 (2 2) = 2 (en cm 2 ) V = (1/3 2 4) = 8/3 (en cm 3 )

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