PRÉVISION DE LA DEMANDE

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1 Consortium de Recherche Pavillon Adrien-Pouliot Université Laval Québec, G1K 7P4 PRÉVISION DE LA DEMANDE Auteur Philippe Marier, ing. MBA Coordonnateur de la formation continue et des activités de transfert FORAC

2 Table des matières 1. Introduction... 4 Importance des prévisions... 4 Ce qui influence la demande... 4 Ajout de valeur pour les clients... 5 Utilisation des prévisions... 5 Horizon des prévisions... 6 Caractéristiques des prévisions... 7 Les méthodes prévisionnelles Étapes du processus de prévision... 9 Un processus continu Prévisions qualitatives Utilisation du jugement humain Composantes des séries chronologiques Introduction Tendance Saisonnalité Cycle Aléatoire Décomposition Conclusion La qualité des prévisions Mesures des erreurs de prévision MAD: Mean Absolute Deviation (déviation absolue moyenne) MSE: Mean Square Error (moyenne du carré des erreurs) MFE: Mean Forecast Error (erreur de prévision moyenne) MAPE: Mean Absolute Percentage Error (pourcentage d'erreur absolue moyen) Modèles pour séries stationnaires Introduction Moyenne mobile simple (SMA) Moyenne mobile simple: exemple de calcul Moyenne mobile simple: choix du nombre de périodes Moyenne mobile simple: écart pour une tendance Moyenne mobile simple pondérée Lissage exponentiel simple Lissage exponentiel simple: détermination de la première prévision Lissage exponentiel simple: détermination du paramètre α Comparaison des deux méthodes PRÉVISION DE LA DEMANDE 2

3 7. Modèles pour séries avec tendances Introduction Régression linéaire Régression linéaire: détermination de a et b Lissage exponentiel double (Holt) Lissage exponentiel double (Holt): étapes Lissage exponentiel double (Holt): Exemple Lissage exponentiel double (Holt): Détermination des paramètres Lissage exponentiel double (Holt): Détermination de α et β Moyenne mobile double Moyenne mobile double: exemple de calcul Moyenne mobile double: calcul de la prévision Modèles pour séries avec saisonnalité Introduction Longueur du cycle Multiplicateurs saisonniers Multiplicateurs saisonniers: exemple Décomposition de la série chronologique Décomposition de la série chronologique: désaisonnalisation Décomposition de la série chronologique: tendance Décomposition de la série chronologique: prévision Lissage exponentiel triple (Winters) Lissage exponentiel triple (Winters): initialisation Lissage exponentiel triple (Winters): constantes de lissage Lissage exponentiel triple (Winters): exemple de calcul Complément Utilisation des ordinateurs Le suivi des prévisions Différence entre vente et demande Conclusion PRÉVISION DE LA DEMANDE 3

4 1. Introduction Importance des prévisions Les prévisions sont un des éléments de base servant à coordonner les différents départements d'une compagnie. Lorsque tous les départements utilisent la même prévision dans la planification de leur travail, ils se préparent au même futur et leurs efforts sont coordonnés. Par exemple, les ressources humaines peuvent travailler à obtenir le bon nombre d'employés ayant les compétences voulues pour le travail à venir; le département des achats peut obtenir des soumissions pour les bonnes quantités de matière première et de composantes; le département des finances peut estimer les revenus qui seront générés par les ventes et déterminer le capital requis. Les prévisions sont donc un élément vital à la bonne coordination des activités des différents départements d'une compagnie. Il est important que ces derniers fassent leur planification en se basant sur les mêmes suppositions en ce qui concerne l'avenir. Ce qui influence la demande Plusieurs facteurs affectent la demande. La portion de la demande totale qui parvient à une compagnie est le résultat des interactions de différentes forces du marché. Certaines de ces forces vont au-delà de ce que la compagnie peut contrôler, alors que pour d'autres la compagnie peut au moins avoir une influence. Parmi les facteurs ayant un impact sur la demande d'un produit, on retrouve le cycle économique et le cycle de vie du produit. PRÉVISION DE LA DEMANDE 4

5 Ajout de valeur pour les clients Parce que les prévisions peuvent aider une compagnie à anticiper les changements dans la demande des clients, elle peut répondre plus adéquatement aux besoins des consommateurs. Les prévisions donnent un estimé du niveau futur de la demande afin que la compagnie puisse avoir la capacité nécessaire et le matériel disponible pour répondre rapidement aux demandes des clients. Les prévisions aident à prévenir la sous-production, qui résulte souvent en un mauvais service. Elle aide également à prévenir la surproduction, qui entraine des coûts supplémentaires et une réduction de la capacité à fabriquer d'autres produits. Des prévisions précises à long terme permettent une bonne planification du besoin en capacité, prévenant ainsi des investissements inutiles qui augmenteraient les coûts, empêchant ainsi la compagnie d'offrir de bas prix. Utilisation des prévisions Nous avons vu que les prévisions sont requises par les départements de marketing, de production, des achats, des ressources humaines et de finance. Les hauts dirigeants ont également besoin des prévisions pour la planification et la mise en oeuvre des objectifs stratégiques à long terme et pour la planification des dépenses en capital. Dès que la compagnie s'est assurée que suffisamment de capacité est disponible, le plan PRÉVISION DE LA DEMANDE 5

6 de production est développé. Si la compagnie n'a pas la capacité suffisante pour répondre à la demande prévue, des décisions devront êtres prises pour des dépenses en capital afin d'accroître la capacité. La figure suivante présente la relation qui existe entre la prévision de la demande et les systèmes de gestion des opérations et de production. Définition Le problème d'ordonnancement consiste à organiser dans le temps la réalisation de tâches, compte tenu de contraintes temporelles (délais, contraintes d'enchaînement) et de contraintes portant sur la disponibilité des ressources requises. En production (manufacturière, de biens, de services), on peut le présenter comme un problème où il faut réaliser le déclenchement et le contrôle de l'avancement d'un ensemble de commandes à travers les différents centres composant le système. Un ordonnancement constitue une solution au problème d'ordonnancement. Il est défini par le planning d'exécution des tâches («ordre» et «calendrier») et d'allocation des ressources et vise à satisfaire un ou plusieurs objectifs. Horizon des prévisions La demande a une influence sur plusieurs aspects de gestion de l'entreprise, aussi bien au niveau des opérations journalières que des décisions stratégiques. Court Terme : Généralement mesuré en jours ou en semaines. Peut aller jusqu à un an. À court terme, au niveau opérationnel, la demande peur amener à déterminer le nombre d heures de travail et l utilisation de temps supplémentaire ou de temps partiel. La demande courante influence également les fonctions d approvisionnement, d expédition et de réception. Moyen Terme : Généralement mesuré en semaines ou en mois. Peut aller jusqu à deux ans. À moyen terme, la demande a un impact sur les stocks de sécurité et sur les contrats avec les clients et les fournisseurs. À ce niveau, les prévisions permettent une planification agrégée de la production. PRÉVISION DE LA DEMANDE 6

7 Exemple : Long Terme : Peut aller jusqu à cinq ans ou plus. À long terme, les prévisions de la demande permettent de prendre des décisions stratégiques concernant : La localisation et la mission des unités d affaires La planification du capital La structure du réseau de création de valeur Les stratégies de pilotage des réseaux de production et de distribution Par intervalle de temps donné, typiquement à chaque mois, les nouvelles données de ventes sont compilées et la demande actuelle est comparée aux prévisions de ventes pour cette période. Cette comparaison indique si la méthode de prévision est satisfaisante et aide les gestionnaires à déterminer si les plans doivent être révisés à cause d'un niveau de demande non prévu. Les nouvelles données de ventes sont également utilisées pour mettre à jour les prévisions pour l'horizon fixé. Une compagnie peut avoir plusieurs prévisions, chacune ayant un horizon de planification différent, ce qui permet aux gestionnaires de les utiliser pour prendre des décisions fondées sur des délais d'exécution différents. Il est important que les décisions et les prévisions soient cohérentes, c'est à dire que les décisions à court terme doivent mener vers les objectifs établis par les décisions à long terme. Caractéristiques des prévisions Voici cinq caractéristiques des prévisions. Ces caractéristiques doivent être constamment gardées à l'esprit lorsqu'on utilise les résultats de prévisions dans les décisions de gestion. 1. Elles sont généralement fausses PRÉVISION DE LA DEMANDE 7

8 Une fois les prévisions déterminées, elles sont souvent utilisées comme s'il s'agissait d'informations certaines. Les ressources requises et les plans de production peuvent demander à être modifiés si les prévisions de la demande ne sont pas exactes. Le système de planification doit être suffisamment robuste pour réagir en cas d'erreur de prévision non anticipée. 2. Une bonne prévision est plus qu'une valeur numérique Puisque les prévisions sont généralement fausses, une bonne prévision doit également inclure une mesure de l'erreur anticipée pour la prévision. Ceci peut prendre la forme d'une étendue ou d'une mesure de l'erreur telle que la variance de la distribution de l'erreur de prévision. 3. Les prévisions agrégées sont plus précises De manière générale, on remarque que l'erreur faite pour la prévision de ventes d'une ligne de produits est généralement moindre que l'erreur faite dans la prévision de ventes d'un seul item. 4. Les prévisions à long terme sont moins précises Cette caractéristique est assez intuitive. On peut prévoir plus exactement les ventes de la prochaine semaine que celles à survenir dans 12 mois. 5. Les prévisions ne remplacent pas la vraie information Une technique de prévision donnée peut donner de bonnes prévisions dans la plupart des cas. Cependant, il peut y avoir une information disponible concernant la demande future qu'on ne peut pas anticiper simplement en regardant les données historiques. Par exemple, la compagnie pourrait planifier une promotion spéciale, ce qui aura probablement pour effet d'augmenter les ventes de manière inhabituelle. Cette information doit être prise en compte manuellement lorsque l'on fait les prévisions. Les méthodes prévisionnelles Les méthodes prévisionnelles se divisent principalement en deux groupes: les méthodes qualitatives et les méthodes quantitatives. Les prévisions faites en utilisant les méthodes qualitatives sont basées sur le jugement humain. Les prévisions basées sur les méthodes quantitatives sont générées à partir de modèles mathématiques et économétriques. On peut encore subdiviser les méthodes quantitatives en se basant sur les variables qui sont utilisées pour expliquer la variation de la demande. Alors que les séries chronologiques n'utilisent que le temps comme variable ayant une influence sur la demande (utilisation des valeurs historiques), les modèles cause-effet utilisent le comportement PRÉVISION DE LA DEMANDE 8

9 de plusieurs variables indépendantes pour prédire le comportement de la demande. Par exemple, l évolution des taux d'intérêts appliqués sur les hypothèques et la démographie peuvent être utilisés pour évaluer la demande en bois d'oeuvre pour la construction et la réparation de maisons. 2. Étapes du processus de prévision Un processus continu On peut identifier cinq étapes de base dans tout processus de prévision comportant des données quantitatives. 1. Définition du problème Cette étape consiste à développer une bonne compréhension de comment les prévisions seront utilisées, qui a besoin des prévisions et comment cette fonction cadre dans l'organisation. Il est habituellement utile de prendre le temps de discuter avec les personnes qui seront impliquées dans la collecte des données, le maintien des bases de données et l'utilisation des prévisions pour les planifications. La personne responsable des prévisions a beaucoup de travail à faire pour bien définir le problème avant que toute prévision soit faite. Voici quelques exemples: Quels produits sont entreposés? Qui utilise ces produits? Combien faut-il de temps pour produire chaque item? Quel niveau de demande insatisfaite la compagnie est-elle capable de soutenir? 2. Recherche des données Il y a toujours au moins deux types d'information disponibles: les données statistiques et le jugement des experts et du personnel clé. Ces deux types d'information doivent être amassés. Il est nécessaire de récolter les données historiques des items d'intérêt. Les données historiques seront utilisées pour construire un modèle qui servira à faire les prévisions. Par exemple, dans le cas de l'inventaire de produits de papetières, les données recueillies peuvent être constituées de la demande mensuelle et de la production de chaque item d'intérêt sur les trois dernières années. D'autres informations, telles que les dates et la durée de tout arrêt de production causé par un bris de matériel ou un conflit syndical, peuvent être nécessaires. 3. Analyse préliminaire Comment faire parler les données? La première étape consiste à construire un graphique à partir des données de manière à en avoir un aperçu visuel. Des statistiques descriptives simples peuvent ensuite être calculées (moyennes, écart-types, minimum, maximum, percentiles, etc.). PRÉVISION DE LA DEMANDE 9

10 Si plusieurs séries de données historiques sont disponibles, il est utile de vérifier s'il existe des corrélations entre les données. L'analyse peut également valider les tendances dans les données, les saisonnalités, les cycles et identifier les points qui semblent atypiques (extrêmes) par rapport à l'ensemble des données. L'idée à cette étape est de bien connaître les données qui doivent être traitées. Par exemple il pourrait être intéressant de demander à des experts de tenter d'expliquer les points extrêmes. Finalement, cette analyse préliminaire aidera à déterminer la classe de modèles quantitatifs qu'il pourraît être pertinent d'utiliser pour les prévisions. 4. Choix de la méthode de prévision Cette étape concerne le choix et l'ajustement des modèles de prévision potentiels qui ont été déterminés à l'étape d'analyse préliminaire. Dans ce module, plusieurs modèles quantitatifs seront présentés. Chacun est basé sur des hypothèses et nécessite habituellement l'ajustement de paramètres à l'aide des données historiques. Pour les prévisions à long terme, une approche moins quantitative est souvent meilleure et il est judicieux de recourir d'avantage à des méthodes utilisant le jugement humain. 5. Utilisation et évaluation du modèle Une fois que le modèle a été sélectionné et que ses paramètres ont été définis, il est possible de l'utiliser pour faire des prévisions. De plus, les personnes qui emploient ces prévisions vont pouvoir évaluer le pour et le contre du modèle choisi en cours d'utilisation. Le travail de la personne en charge des prévisions ne se termine pas lorsqu'un modèle pour lequel les données historiques s'ajustent bien a été choisi. La performance d'un modèle ne peut être correctement évaluée que lorsque les données pour la période de prévision deviennent disponibles. Il est alors possible d'évaluer les erreurs de prévision et de s'assurer que le modèle et les paramètres choisis conviennent toujours à la situation courante. Dans ce module, nous verrons comment l'exactitude des prévisions est mesurée et comment il est possible de s'assurer que les modèles utilisés conviennent toujours. 3. Prévisions qualitatives Utilisation du jugement humain Les approches les plus simples, qui sont parfois les plus rapides, ne nécessitent que l'opinion subjective de personnes, sans qu'il soit nécessaire d'exprimer la prévision à l'aide d'équations mathématiques. Plusieurs méthodes de ce type existent et nous présentons ici les quatre principales. Ces méthodes peuvent également servir à complémenter les prévisions faites à partir de méthodes quantitatives. PRÉVISION DE LA DEMANDE 10

11 Entrevue d'experts Lorsqu'il n'y a pas de données historiques, l'opinion d'experts peut être la seule source d'informations pour préparer les prévisions. Les gestionnaires ou experts des départements de ventes, de l'administration, de la production et des achats sont alors appelés à donner leur estimé des ventes futures. La mise en commun des différentes prévisions peut être faite de plusieurs manières. Une première méthode consiste à mener des entrevus individuelles et à combiner les résultats. Une seconde méthode consiste à réunir les experts dans une salle et leur demander d'en arriver à un consensus. Cette méthode a l'avantage de donner une prévision dans un laps de temps relativement court et amène une variété de points de vue. Il est cependant plus difficile de séparer la prévision par territoires et produits spécifiques. Opinion des vendeurs Les vendeurs sont en contact direct avec les clients et sont donc bien positionnés pour voir les changements dans la demande des clients. Pour développer la prévision, chaque vendeur détermine combien il estime vendre de chaque produit dans l'année à venir. Le directeur des ventes est alors reponsable de l'aggrégation des données de ses vendeurs pour en arriver à une prévision globale par région géographique ou par groupe de produits. Les prévisions faites par les vendeurs peuvent ne pas être justes lorsque des bonus sont payés aux vendeurs lorsqu'ils dépassent leur objectif de ventes. Dans ces conditions, il est clairement avantageux pour les vendeurs de baisser leurs estimés. Enquêtes auprès des clients Certaines compagnies font leur propre enquêtes de marché pour une clientèle cible. Des vendeurs peuvent demander à leurs clients ou à des clients potentiels leur plan d'achat pour le futur. Des questionnaires envoyés par la poste ou administrés par téléphone peuvent également être utilisés pour obtenir l'opinion des consommateurs. Pour être efficaces, les plans d'échantillonnage doivent être bien conçus afin de garantir que les résultats sont statistiquement fiables et représentatifs de la clientèle cible. Cette méthode offre l'avantage de donner à l'entreprise l'opportunité de connaître un peu mieux la pensée derrière les intentions du client. On peut également en apprendre plus sur les avantages et les inconvénients du produit aux yeux du client. Un des inconvénients de la méthode est qu'elle demande beaucoup de temps et d'efforts. Enquêtes Delphi La méthode Delphi est une technique de groupe dans laquelle des experts sont questionnés individuellement sur leur perception de la tendance future. Les individus ne se rencontrent pas en groupe pour réduire le risque qu'un consensus soit atteint à cause de personnalités dominantes ou de supériorités hiérarchiques. Les prévisions et les justifications qui les accompagnent sont résumées par la personne s'occupant de l'enquête PRÉVISION DE LA DEMANDE 11

12 puis retournées aux experts avec d'autres questions. Ce processus continue jusqu'à ce qu'un consensus soit atteint par le groupe. 4. Composantes des séries chronologiques Introduction Les modèles utilisant les séries chronologiques sont des outils de prévision adéquats en autant que la demande ait montré un patron stable dans le temps et que les conditions dans lesquelles le patron est apparu s'appliquent toujours. Parfois, un patron n'est pas apparent lors de l'analyse des donnés brutes. Celles-ci peuvent toutefois être décomposées de manière à révéler des patrons qui facilitent la projection des donnés dans le futur. Voici les quatres composantes généralement reconnues pour les séries chronologiques : Tendance Saisonnalité Cycle Aléas Définition Une série chronologique est une séquence de données récoltées à intervalle de temps régulier et présentées dans leur ordre chronologique. Une séquence de données sur les ventes journalières, hebdomadaires ou mensuelles est un exemple de série chronologique. Tendance La tendance est le mouvement général vers le haut ou vers le bas du niveau moyen de la demande dans le temps. Un historique de données couvrant plusieurs années est souvent nécessaire afin de déterminer les tendances. Parmi les facteurs susceptibles d'expliquer une tendance, on retrouve les avancées technologiques, un changement de productivité, l'inflation et l'évolution de la population. Les tendances peuvent être linéaires ou non linéaires. Le patron d'une tendance linéaire peut être représenté par une ligne droite. Celui d'une tendance non linéaire pourra être associé par exemple à une fonction quadratique ou à une courbe exponentielle. PRÉVISION DE LA DEMANDE 12

13 Saisonnalité La composante saisonnière est une fluctuation de la demande au-dessus et au-dessous de la tendance et qui se répète à intervalles réguliers. La demande pour plusieurs produits ou services varie selon la température (chaude en été et froide en hiver) et se répète à chaque année. La demande de bois d'oeuvre pour la construction résidentielle est plus grande au printemps et à l'été qu'en hiver. Les patrons dits 'saisonniers' peuvent aussi se répéter chaque semaine, chaque mois ou selon d'autres intervalles. La demande en électricité, par exemple, présente un patron saisonnier journalier car la demande en électricité n'est pas la même le jours que la nuit. Cycle Les cycles sont similaires aux composantes saisonnières, à l'exception que l'amplitude et la longueur des cycles (plus d'un an) peuvent varier dans le temps. Ces mouvements sont souvent associés aux cycles économiques (inflation, récession, chômage, prospérité, etc.) et c'est pourquoi plus de 15 ou 20 ans de données sont nécessaires à la détermination de la composante cyclique. PRÉVISION DE LA DEMANDE 13

14 Aléatoire La composante aléatoire est une suite de petits mouvements qui ne suivent aucun patron reconnaissable. Ces aléas sont causés par des événements imprévisibles ou qui ne se répètent pas dans le temps tels que, par exemple, des innondations, des guerres, des grèves, des élections, l'adoption de lois, etc. Décomposition Une série chronologique peut se subdiviser selon les quatre composantes pour faciliter la prévision. PRÉVISION DE LA DEMANDE 14

15 Conclusion Des quatres composantes constituant les séries chronologiques, seules la tendance et la saisonnalité seront étudiées dans ce module. Puisque les variations aléatoires sont imprévisibles, on ne peut pas les intégrer. Quant aux variations cycliques, elles demandent la collecte de données sur de nombreuses années, ce qui peut aisément dépasser le cycle de vie d'un produit. D'autres part, les décisions opérationnelles concernent le court terme et l'impact des variations cycliques est minime à cette échelle. 5. La qualité des prévisions Mesures des erreurs de prévision Il est rare que l'on réussisse à prédire exactement la demande. L'erreur de prévision est la différence entre la demande prévue et la demande réelle. On peut s'attendre à ce qu'un modèle de prévision génère des erreurs, mais un modèle sans biais fera une surestimation de la demande aussi souvent que des sous-estimations. Le calcul de l'erreur moyenne faite par un modèle prévisionnel nous donne une mesure de l'exactitude avec laquelle ce modèle adhère au patron des données historiques. Quatre mesures de la qualité des prévisions sont présentées dans les pages qui suivent. MAD (Mean Absolute Deviation) déviation absolue moyenne MSE (Mean Square Error) Moyenne du carré des erreurs MFE (Mean Forecast Error) Erreur de prévision moyenne MAPE (Mean Absolute Percentage Error) Pourcentage d erreur absolue moyen MAD: Mean Absolute Deviation (déviation absolue moyenne) La déviation absolue moyenne (MAD) est la moyenne des erreurs faites par le modèle de prévision sur une période de temps, sans égard au fait que l'erreur soit une surestimation ou une sous-estimation. L'équation suivante montre comment est calculé la MAD. PRÉVISION DE LA DEMANDE 15

16 Exemple : Note : Lorsque les erreurs de prévision sont normalement distribuées, tel qu'il est généralement assumé, un estimé de l'écart type de l'erreur est de 1.25 fois la MAD. Ont peut alors dire que 58% des erreurs de prévision seront inférieures à 1 fois la MAD; 89% des erreurs de prévision seront inférieures à 2 fois la MAD et 98% des erreurs seront inférieures à 3 fois la MAD. MSE: Mean Square Error (moyenne du carré des erreurs) Avoir de nombreuses petites erreurs, au-dessus et en-dessous de la demande réelle et qui s'annulent les unes les autres, est probablement le mieux que l'on puisse espérer. L'effet de petites erreurs de prévision sur les opérations n'est habituellement pas très grave. On peut pallier ces erreurs par de l'inventaire ou du temps supplémentaire. Les grandes erreurs, quant à elles, peuvent être difficiles à pallier. En conséquence, une méthode permettant de pénaliser les grandes erreurs plus que les petites peut être souhaitable. Le MSE multiplie chaque erreur par elle-même (le carré de l'erreur), donnant ainsi un poids plus grand aux grandes erreurs qu'aux petites erreurs. PRÉVISION DE LA DEMANDE 16

17 Exemple : MFE: Mean Forecast Error (erreur de prévision moyenne) Un bon modèle de prévision doit non seulement avoir une erreur moyenne faible, il doit aussi être sans biais. Un modèle sans biais a autant de chance de surévaluer la demande que de la sous-évaluer. Dans un modèle sans biais, les erreurs positives et négatives doivent s'annuler et donc, la somme des erreurs doit être près de zéro. Si, dans le temps, la somme des erreurs s'éloigne de zéro, cela signifie qu'il y a un biais dans le modèle et qu'il doit être révisé. Voici la formule permettant de calculer le MFE: Le MFE peut être utilisé pour surveiller que le modèle choisi ne devient pas biaisé. La section 9 discute de l'utilisation du MFE à cette fin. Exemple : PRÉVISION DE LA DEMANDE 17

18 Note : Le MFE donne la quantité moyenne par période par laquelle la prévision s'éloigne de la demande. Par exemple, un MFE de -5 signifie que la prévision est supérieure à la demande de 5 unités par période, en moyenne. Si le MFE est basé sur 10 périodes, alors il y a une prévision excédentaire de 50 unités sur cet horizon. La valeur du MFE doit être interprétée en fonction du niveau relatif de la demande moyenne. MAPE: Mean Absolute Percentage Error (pourcentage d'erreur absolue moyen) Plutôt que de savoir qu'un modèle de prévision a une erreur moyenne de 26.1 ou une moyenne du carré des erreurs de 688.3, il est parfois plus facile de se faire une idée du modèle en utilisant une erreur relative. En effet, une erreur de 26.1 peut être acceptable dans certains contextes pour une série dont la moyennes est de 500, mais peu acceptable pour une série ayant comme moyenne 50. L'erreur relative faite par un modèle de prévision est mesuré par le pourcentage d'erreur absolue moyen (MAPE). L'équation et l exemple suivants montrent comment le MAPE est calculé. Exemple : PRÉVISION DE LA DEMANDE 18

19 6. Modèles pour séries stationnaires Introduction Dans une série stationnaire, chaque observation peut être représentée par une constante et une fluctuation aléatoire. En notation symbolique: Cette section présente deux techniques populaires pour faire les prévisions de séries stationnaires: moyenne mobile simple lissage exponentiel simple Note : L'approche de prévision naïve se base exclusivement sur l'historique des observations. Aucune tentative n'est faite pour expliquer les causes sous-jacentes des variations. Un exemple très simple d'approche naive serait d'utiliser les ventes de la période courante (D t ) comme prévision des ventes de la prochaine période (P t+1 ): Moyenne mobile simple (SMA) P t+1 = D t Les moyennes mobiles sont des moyennes mises à jour au fur et à mesure que de nouvelles observations sont disponibles. La moyenne est calculée en utilisant seulement un certain nombre des plus récentes données. La moyenne mobile permet d'éliminer les fluctuations aléatoires et d'obtenir un estimé des ventes moyennes par mois. Cette méthode est également utile pour voir si la moyenne a augmenté ou diminué au cours des derniers mois. Enfin, lorsqu'il n'y a pas de tendance ou de saisonnalité dans les données, la moyenne mobile donne une prévision de la valeur moyenne des ventes pour les prochaines périodes. Illustration : Un gestionnaire pourrait calculer à chaque fin de mois la moyenne des ventes des 3 derniers mois. Pour ce faire, il doit additionner les ventes des 3 derniers mois et diviser le résultat par 3. Pour obtenir une moyenne mobile de 4 mois, à la fin de chaque mois on additionne les ventes des 4 derniers mois et on divise par 4. PRÉVISION DE LA DEMANDE 19

20 Moyenne mobile simple: exemple de calcul Le tableau suivant présente le calcul d'une moyenne mobile simple de 3 mois: Note : Étant donné que la moyenne mobile simple est basée sur l'hypothèse que la série pour laquelle les prévisions sont calculées est stationnaire, la prévision faite pour la période t+1 est la même pour toutes les périodes suivantes. Si on prend l'exemple du tableau ci-haut, la prévision pour la période 26 est de 127 unités. C'est également la prévision pour les périodes 27, 28 et suivantes. Cette prévision pourra être ajustée à chaque mois. Moyenne mobile simple: choix du nombre de périodes Le choix du nombre de périodes à utiliser dans le calcul de la moyenne mobile simple dépend beaucoup des variations attendues dans les données. Ceci peut être illustré par deux caractéristiques de la prévision: Stabilité : En faisant la moyenne de plusieurs périodes, on atténue les fluctuations aléatoires afin que la prévision soit plus stable. La stabilité est la propriété de la prévision à ne pas fluctuer de manière désordonnée. Gagner en stabilité est un avantage s'il y a beaucoup de fluctuations aléatoires dans les données. Une moyenne mobile gagnera en stabilité si un plus grand nombre de périodes est utilisé dans le calcul de la moyenne. PRÉVISION DE LA DEMANDE 20

21 Un gain en stabilité est désirable seulement jusqu'au point où les fluctuations aléatoires sont atténuées. Si le nombre de périodes utilisées dans le calcul de la moyenne est trop grand, la moyenne sera tellement stable qu'elle ne répondra que trop lentement aux changements non aléatoires de la demande. Même une seule fluctuation aléatoire au-dessus de la moyenne stable sera reflétée par la moyenne mobile, causant une augmentation de 1/n fois la fluctuation, où n est le nombre de périodes utilisées dans la moyenne. Ainsi, plus il y a de périodes dans la moyenne mobile, plus stable est la prévision. Réactivité : La réactivité est la propriété qu'a la prévision à s'ajuster rapidement à un changement dans le niveau moyen réel de la demande. L'utilisation d'une prévision réactive est appropriée dans le cas où les fluctuactions aléatoires sont faibles. Plus le nombre de périodes utilisées dans le calcul de la moyenne mobile est petit, plus le modèle prévisionnel sera réactif. La moyenne mobile basée sur 4 périodes a pris 4 périodes pour s'ajuster au nouveau niveau de la demande. Une moyenne mobile sur 10 périodes aurait pris 10 périodes pour s'ajuster. On peut donc voir que la réactivité d'une moyenne mobile est inversement reliée au nombre de périodes utilisées. Moyenne mobile simple: écart pour une tendance Lorsqu'il y a une tendance réelle dans le patron de la demande, la moyenne mobile simple sera en retard de (n + 1) / 2 périodes sur la prochaine demande réelle. L'exemple suivant présente ce phénomène. PRÉVISION DE LA DEMANDE 21

22 Moyenne mobile simple pondérée La moyenne mobile pondérée permet de donner différents poids pour les données utilisées dans le calcul de la moyenne. On peut de cette manière donner plus d'importance aux données plus récentes afin qu'elles influencent davantage la prévision que les données plus anciennes. Note: la somme des poids utilisés doit égaler 1. Lissage exponentiel simple Le lissage exponentiel est une autre forme de moyenne mobile pondérée. À chaque période, cette méthode ajuste la demande moyenne en proportion de la différence entre la dernière demande réelle et la prévision correspondante: PRÉVISION DE LA DEMANDE 22

23 La constante de lissage α joue essentiellement le même rôle que n, le nombre de données utilisées dans le calcul de la moyenne mobile simple. Ici, si α est grand, plus de poids est mis sur la plus récente donnée et moins de poids sur les données passées, ce qui résulte en une prévision qui réagit rapidement aux changements. Si α est petit, alors plus de poids est mis sur les données passées et la prévision est plus stable. Graphique du poids assigné aux données Lissage exponentiel simple: détermination de la première prévision Puisque à chaque période, on détermine la prévision à partir de la prévision précédente, on peut se demander comment calculer la première prévision. Pour ce faire, on peut utiliser une moyenne mobile simple, une prévision qualitative ou simplement la dernière demande réelle enregistrée. Exemple : PRÉVISION DE LA DEMANDE 23

24 Note : Il se peut que plusieurs périodes soient requises pour que les prévisions reflètent vraiment le modèle et ne dépendent à peu près plus de la valeur initiale. Si la valeur de α est petite, peu de poids est accordé aux valeurs récentes. Il faudra alors plus de temps pour que l'influence de la valeur initiale s'estompe. Si plusieurs valeurs de α sont essayées pour déterminer celle qui permet de générer les meilleures prévisions, la comparaison devrait exclure les quelques premières prévisions faites avec chaque valeur de α. Les quelques premières prévisions de la demande sont influencées par la prévision initiale plus que le modèle qui est évalué. Lissage exponentiel simple: détermination du paramètre α La constante de lissage α est une valeur décimale comprise entre 0 et 1. Souvent, elle est choisie de manière à ce que les prévisions produites soient plus près des données réelles que toute prévision faite avec d'autres valeurs de α. Ceci peut se déterminer en calculant la déviation moyenne absolue (MAD) avec plusieurs valeurs de α. On choisit alors le a donnant le plus petit MAD. Tel que vu précédemment, le paramètre a a également une influence sur la stabilité et la réactivité du modèle. En pratique, des valeurs de α entre 0.1 et 0.3 sont souvent utilisées. PRÉVISION DE LA DEMANDE 24

25 Note : Il ne faut pas oublier que le lissage exponentiel simple est adéquat pour estimer la moyenne d'une demande relativement stable (sans tendance ni fluctuation saisonnière). Elle permet de lisser les fluctuations aléatoires. Comme la moyenne mobile simple, elle accusera un retard derrière une demande avec tendance. Étant donné que ce modèle repose sur l'hypothèse que la demande est stationnaire, la prévision faite pour la période t est également la même pour les périodes t+1, t+2 etc. Cette prévision est cependant réévaluée à chaque période. Lorsque α = 2 / (N+1), la distribution des erreurs de prévision est la même que pour la moyenne mobile simple. Ce qui signifie que les deux modèles doivent alors avoir approximativement la même précision, sans toutefois donner les mêmes prévisions. Comparaison des deux méthodes Moyenne mobile simple VS lissage exponentiel simple... Similitudes : 1. Les deux modèles reposent sur l'hypothèse que la demande est stationnaire (représentée par une constante plus une fluctuation aléatoire de moyenne zéro). Cependant, en ajustant les valeurs de N et α, ces modèles peuvent avoir une réactivité plus ou moins grande face à un changement de la demande moyenne. 2. Les prévisions des deux modèles seront en retard sur la tendance s'il y en a une. Ils sont adéquats seulement pour les séries stationnaires. 3. Les deux modèles ne nécessitent respectivement la spécification que d'un seul paramètre: N (le nombre de périodes de la moyenne mobile) ou α (la constante de lissage). Avec N petit (ou α grand), le modèle a une plus grande réactivité au changement dans le profil de la demande mais il en résulte une plus grande variance dans les erreurs de prévision. 4. Lorsque α = 2 / (N + 1), les deux méthodes ont une distribution des erreurs identique. Toutefois, ceci ne signifie pas que les prévisions seront les mêmes. Différences : 1. Le lissage exponentiel est une moyenne pondérée de toutes les données historiques. La prévision calculée à partir d'une moyenne mobile ne considère que les N données les plus récentes. Ceci représente un avantage pour la moyenne mobile. En effet, dans ce cas, une donnée peu représentative ne sera plus considérée après N périodes alors qu'elle aura toujours une influence dans le calcul de la prévision utilisant le lissage exponentiel. 2. Pour pouvoir utiliser les moyennes mobiles, il faut conserver toutes les données des N périodes passées. Dans le cas du lissage exponentiel, seule la dernière prévision doit être conservée. C'est le principal avantage du lissage exponentiel et la raison de sa popularité. PRÉVISION DE LA DEMANDE 25

26 7. Modèles pour séries avec tendances Introduction Nous avons vu que les prévisions faites avec le lissage exponentiel simple ou la moyenne mobile simple vont être en retard sur une tendance, s'il y en a une. Dans cette section, nous présentons trois méthodes permettant de prendre en considération une tendance dans l'évolution des données: La régression : Cette méthode ajuste une ligne droite aux données historiques. La moyenne mobile double : Également appelée méthode de Holt, le lissage exponentiel double permet de lisser à la fois la tendance et les variations aléatoires à l'aide de deux paramètres. Le lissage exponentiel double : Basée sur la moyenne mobile simple, la moyenne mobile double permet d'estimer le biais qui existe lorsqu'une tendance linéaire est présente dans le patron de la demande. Régression linéaire La régression linéaire est une méthode statistique pour estimer la relation moyenne qui peut exister entre une variable dépendante et une variable indépendante. Dans les modèles de prévision de la demande, on voudra déterminer la relation qui existe entre la demande et une autre variable, comme par exemple, le temps, le prix de vente ou l'effort de promotion. Définitions variable dépendante : Facteur qui peut être influencé par d'autres variables. Par exemple, la vente de glaces peut dépendre de la température extérieure. Variable indépendante : Facteur qui n'est déterminé par aucun autre facteur. Par exemple, le temps, le prix de vente et la température extérieure. Soit Y la variable dépendante et X, la variable indépendante. Puisque l'on suppose que la relation entre Y et X est linéaire, on peut l'exprimer mathématiquement par l'équation de la droite suivante: PRÉVISION DE LA DEMANDE 26

27 Régression linéaire: détermination de a et b La méthode des moindres carrés est utilisée pour déterminer la valeur des paramètres de l'équation de régression. Cette méthode utilise toutes les données observées et détermine les valeurs de a et b de manière à minimiser la somme du carré des erreurs. Formules: Exemple : La demande pour des planches en merisier de 8' au cours des huit dernières semaines a été comme suit: 200, 250, 175, 186, 225, 285, 305, 190. En supposant que l'on utilise les cinq premières périodes pour estimer les paramètres de régression, alors: PRÉVISION DE LA DEMANDE 27

28 Il s en suit que l équation de régression est Y' est la prévision de la demande pour la période X. Cette équation devrait être utilisée pour prédire la demande de toute période suivant la période 5. Par exemple, la prévision faite à la période 5 pour la période 8 est obtenue en substituant X = 8 dans l'équation: (1.4)(8) = Note : Si nous désirions faire une prévision à la période 7 pour la période 8, cette équation ne serait pas adéquate. En effet, il faudrait refaire tous les calculs en utilisant les données des périodes 1 à 7. Avant d'utiliser la méthode de régression, il est important de faire le graphique des données observées pour s'assurer qu'il existe bien une relation linéaire entre la demande et la variable indépendante. Lissage exponentiel double (Holt) Il existe plusieurs modèles utilisant le lissage exponentiel double pour les prévisions. Le modèle que nous présentons ici s'applique aux séries avec tendance linéaire. Il comporte deux constantes de lissage prenant chacune des valeurs entre 0 et 1: α est utilisé pour lisser les variations aléatoires dans la demande β est utilisé pour lisser les variations dans l'estimé de la pente Trois équations sont nécessaires au calcul de la prévision. PRÉVISION DE LA DEMANDE 28

29 Lissage exponentiel double (Holt): étapes 1. Pour débuter les prévisions avec ce modèle, il faut un estimé de la moyenne initiale de la série (S 0 ) ainsi qu'un estimé de la pente (G 0 ). Les premières prévisions seront grandement affectées par ces estimés. 2. Avec ces estimés, la première prévision (P 1 ) est calculée. 3. La moyenne de la série (S t ) est ajustée lorsqu'une première valeur de demande est obtenue. 4. La différence entre la nouvelle moyenne de la série et la moyenne initialement estimée (S t - S t-1 ) est utilisée pour calculer un nouvel estimé de la pente (G t ). 5. La nouvelle moyenne (S t ) et le dernier estimé de la pente (G t ) sont utilisés pour calculer la prochaine prévision (P t+m ). 6. Lorsqu'une nouvelle valeur de demande devient disponible, le processus est répété. Lissage exponentiel double (Holt): Exemple Soit une série pour laquelle la valeur de base initiale pour le modèle (S 0 ) a été estimée à 90 avec une pente (G 0 ) de 10. Nous verrons plus tard comment déterminer les valeurs initiales du modèle. Calcul de la prévision Au temps t=0, la prévision faite pour la période suivante est: Mise à jour de S t et G t PRÉVISION DE LA DEMANDE 29

30 Si au temps t=1, la demande réelle enregistrée est de 97 unités. En utilisant α=0.3 et β=0.5, on obtient: Calcul de la nouvelle prévision Au temps t=1, la prévision faite pour la période suivante est: Calcul des prévisions subséquentes Le modèle permet de faire des prévisions pour plusieurs périodes à venir. Ces prévisions pourront être ajustées à chaque période après que les données sur la demande réelle aient été obtenues. Par exemple, au temps t=1, il est possible de faire la prévision non seulement pour la période suivante, mais également pour les périodes 3, 4, 5 et ainsi de suite. Lissage exponentiel double (Holt): Détermination des paramètres Dans la méthode de Holt, il faut déterminer les paramètres de lissage a et b, de même que la valeur initiale de la série (S 0 ) et de la pente (G 0 ). Détermination de S 0 et G 0 De manière très simple, on peut poser S 0 = D 0 (première observation) G 0 = D 1 - D 0 ou (D 3 - D 0 ) / 3 Une autre alternative consiste à utiliser la régression linéaire avec les quelques premières observations de la série. PRÉVISION DE LA DEMANDE 30

31 Note : Comme dans le cas du lissage exponentiel simple, les premières prévisions sont influencées par les valeurs initiales de S 0 et G 0 et on ne doit pas s'y fier pour déterminer si un modèle est bon ou non. Détermination de α et β La combinaison α et β choisie doit permettre une bonne réactivité du modèle tout en maintenant une stabilité. Il est possible de déterminer les valeurs de α et β qui minimisent le MSE (Moyenne du carré des erreurs). Pour se faire, il faut définir une grille de valeurs possibles de α et β (par exemple, chaque combinaison de α = 0.1, 0.2, 0.3,...,0.9 et β = 0.1, 0.2, 0.3,...,0.9), calculer pour chaque combinaison le MSE et choisir la combinaison de α et β qui a la plus petite MSE. Lissage exponentiel double (Holt): Détermination de α et β Visuellement, il est possible d'estimer quelles pourraient être de bonnes valeurs pour α et β. Ceci peut se faire en traçant les courbes de prévision pour différentes valeurs de α et β. Dans les tableaux qui suivent, les courbes de demande et de prévision sont tracés pour différentes valeurs de α et β et des commentaires sont donnés. Ici, α est trop petit car la prévision ne s'ajuste pas assez rapidement au niveau moyen des données. Les prévisions demeurent trop élevées, même si la pente de la prévision devient horizontale après que la demande se soit stabilisée. PRÉVISION DE LA DEMANDE 31

32 Ici, la valeur de α est plus élevée et les prévisions suivent de plus près la courbe de la demande. Avec une valeur β de seulement 0.1, la pente n'a pas été complètement corrigée à la fin des demandes obtenues et la projection des demandes futures montre toujours une tendance vers le haut. Avec α et β tous deux égaux à 0.3, les prévisions suivent beaucoup mieux la demande réelle. PRÉVISION DE LA DEMANDE 32

33 Avec une valeur α de 0.3 et β = 0.5, les prévisions sont encore un peu meilleures. Moyenne mobile double Lorsque la série présente une tendance linéaire ou quadratique, la prévision faite avec la moyenne mobile simple a du retard sur la demande réelle, c'est-à-dire que la prévision faite pour la période t est toujours plus faible que la demande réelle à cette même période. Pour corriger le biais et obtenir une meilleure prévision, on peut calculer une moyenne mobile double. Il suffit de considérer la moyenne mobile simple comme une donnée de demande et de calculer la moyenne mobile de ces moyennes. Attention : la moyenne mobile double ne constitue pas la prévision. Nous verrons plus loin comment elle est utilisée pour calculer la prévision. PRÉVISION DE LA DEMANDE 33

34 Moyenne mobile double: exemple de calcul Soit M t [1], la moyenne mobile simple calculée au temps t et M t [2], la moyenne mobile double calculée au temps t Formules : PRÉVISION DE LA DEMANDE 34

35 Moyenne mobile double: calcul de la prévision Les résultats des calculs de la moyenne mobile simple et double sont utilisés dans les formules servant à calculer la prévision. Où P t+m est la prévisioon faite au temps t pour la période t + m Et N est le nombre de périodes utilisées dans le calcul des moyennes mobiles. Exemple : Supposons que nous soyons actuellement à la période 17 et que nous voulions développer une prévision pour la période 20. À partir des calculs précédents: À la période 17, la prévision des ventes pour la période 20 est de 79.7 unités. PRÉVISION DE LA DEMANDE 35

36 8. Modèles pour séries avec saisonnalité Introduction Lorsque l'on constate des fluctuations cycliques ou saisonnières, deux types de méthodes peuvent être employées, soit la décomposition classique de la série chronologique et le lissage exponentiel triple, aussi appelé méthode de Winters. Ces deux méthodes s'appliquent qu'il y ait ou non une tendance en plus d'une variation cyclique. Variation saisonnière sans tendance Variation saisonnière avec tendance Note : Les variations cycliques demandent de nombreuses années d'observation pour être déterminées. Puisque cette information est rarement disponible, la variation cyclique est habituellement considérée comme faisant partie de la composante de tendance. Longueur du cycle Dans les modèles avec saisonnalité, N dénote la longueur du cycle (en nombre de périodes). Par exemple, si le cycle se répète à chaque année et que nous sommes intéressés aux prévisions hebdomadaires, N = 52. Pour un cycle annuel avec des données mensuelles, N = 12. Pour un cycle se répétant à chaque mois, avec des données obtenues quatre fois par mois, N = 4. Dans la figure suivante, 4 données sont disponibles à chaque cycle, c'est-à-dire que le cycle se répète toute les 4 périodes. La longueur du cycle est donc N = 4. PRÉVISION DE LA DEMANDE 36

37 Multiplicateurs saisonniers Pour le modèle de décomposition classique comme pour la méthode de Winters, on fait appel à des multiplicateurs saisonniers C t. Chaque multiplicateur représente la déviation moyenne de la demande par rapport à la moyenne générale. Le nombre de multiplicateurs saisonniers dépend de la longueur du cycle. Ainsi, pour un cycle de N = 4 périodes, on aura 4 multiplicateurs: C 1, C 2, C 3 et C 4. C 1 = Y 2 / Y 1 Y 1 est la moyenne générale de la série au temps t. Il sera montré sous peu comment calculer la moyenne générale. Y 2 est la demande réelle enregistrée à la période t. Multiplicateurs saisonniers: exemple Afin de déterminer les multiplicateurs saisonniers qui seront utilisés dans la méthode par décomposition et dans la méthode de Winters, au moins 2 cycles de données doivent être disponibles. On calcule alors la moyenne mobile d'ordre N (nombre de périodes dans la saison) des derniers cycles représentatifs. Si le nombre de périodes dans le cycle est pair, il faudra centrer la moyenne mobile avant de calculer les facteurs saisonniers. PRÉVISION DE LA DEMANDE 37

38 La moyenne mobile obtenue ici est pour le quart 2,5 qui n'a pas d'existence réelle. Elle devra donc être recentrée à l'étape suivante en faisant la moyenne de deux moyennes mobiles successives. En faisant la moyenne de deux moyennes mobiles successives, ont peut recentrer la moyenne mobile sur une période précise. Ceci est nécessaire lorsque l'ordre de la moyenne mobile (N) est pair. PRÉVISION DE LA DEMANDE 38

39 Pour éliminer l'effet des fluctuations aléatoires sur le ratio V/M, on regroupe les ratios par quart et on en fait la moyenne pour obtenir le multiplicateur saisonnier du quart. Par exemple, pour le premier quart: ( ) / 3 = Le tableau suivant présente les multiplicateurs saisonniers calculés pour chacun des 4 quarts. Les multiplicateurs doivent être ajustés de manière à ce que leur somme égale N (4 dans notre exemple). PRÉVISION DE LA DEMANDE 39

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