Chapitre 2 La valeur des flux monétaires actualisés

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1 T2 Organisation du chapitre Chapitre 2 La valeur des flux monétaires actualisés Organisation du chapitre! 2.1 Les valeurs capitalisées et actualisées de flux monétaires multiples! 2.2 L évaluation de flux monétaires constants: l annuité et la perpétuité! 2.3 La comparaison des taux: l effet des intérêts composés! 2.4 Les divers types de prêts et l amortissement des prêts! 2.5 Résumé et conclusions Les Éditions de la Chenelière inc. 2.1 Le calcul des valeurs capitalisées Calcul de la valeur capitalisée jusqu à l échéance $ 0 $ $ $ $ ,2 $ 0 x 1,1 x 1,1 x 1,1 x 1,1 x 1,1 0$ $ $ $ $ ,2 $ Périodes (années) Valeur capitalisée déterminée en calculant séparément les intérêts composés de chaque flux monétaire Périodes (années) $ $ $ $ x 1,1 2 x 1,1 x 1,1 3 x 1,1 4 Total de la valeur capitalisée,0 $ 2 200, , , , ,20 $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 2 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Le calcul des valeurs actualisées $ $ $ $ $ Périodes x 1/1,06 (années) 943,40 $ x 1/1, ,00 x 1/1, ,62 x 1/1, ,09 x 1/1, ,26 Valeur actualisée déterminée en calculant séparément la valeur actualisée de chaque flux monétaire 4 212,37 $ Valeur actualisée avec r = 6% ,37 $ 3 465,11 $ 2 673,01 $ 1 833,40 $ 943,40 $ 0,00 $ 0, , , , , , ,37 $ 4 465,11 $ 3 673,01 $ 2 833,40 $ 1 943,40 $ 1 000,00 $ Périodes (années) Valeur actualisée calculée en actualisant d une période à l autre Valeur actualisée = $4 212,37 r = 6% Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 3 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

2 2.2 Les annuités et les perpétuités Les formules de base! Valeur actualisée d une annuité VA = C x {1 - [1/(1 + r) t ]}/r! Valeur capitalisée d une annuité VC t = C x {[(1 + r) t -1]/r}! Valeur actualisée d une perpétuité PV = C/r! Ces formules sont à la base de plusieurs calculs nécessaires dans l évaluation de titres financiers et dans la gestion financière en général. Il est donc essentiel de les connaître et de savoir les manipuler! Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 4 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Exemples: La valeur actualisée d une annuité Exemple: Trouvons C! Q. Supposons que vous voulez acheter une Mazda Miata. Cette voiture coûte $. Si vous payez comptant 10 % de la valeur de l automobile, la banque se fera un plaisir de vous prêter le reste au taux de 12% par année à capitalisation mensuelle pour 60 mois. Quels seront vos paiements mensuels?! R. Vous empruntez * $ = $. Ceci est le montant aujourd hui, ce que nous appelons la. Le taux d actualisation est de, et il y a périodes: $ = C * { }/0,01 = C * {1 0,55045}/0,01 = C * 44,955 C = /44,955 C = $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 5 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Exemples: La valeur actualisée d une annuité (fin) Exemple: Trouvons t! Q. Supposons que vous devez 2000 $ sur votre carte de crédit VISA, et que le taux d intérêt est de 2 % par mois. Si vous versez le montant minimum de 50 $ par mois, combien de temps prendrez-vous pour payer votre dette?! R. Très longtemps: 2000 $ = 50 $ * { )}/0,02 0,80 = 1-1/1,02 t 1,02 t = 5,0 t = mois, ou environ années Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 6 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

3 Quiz minute - Partie 1 de 4 Valeur actualisée d une annuité! Supposons que vous aurez besoin de $ par année pour les trois prochaines années afin de payer vos frais de scolarité et votre appartement. Supposons que vous aurez besoin du premier $ dans un an exactement. Si vous avez accès à un compte d épargne qui offre un taux de rendement de 8 % annuel effectif, combien devriez-vous avoir dans le compte aujourd hui? (Nota bene: Ne tenez pas compte de l impôt dans vos calculs; de plus, n oubliez pas que vous ne voulez pas qu il reste d argent après le troisième retrait, et que vous ne voulez pas manquer d argent à la fin.) Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 7 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Quiz minute - Partie 1 de 4 Valeur actualisée d une annuité Solution Nous savons dans ce problème que les flux monétaires périodiques sont de par année pendant trois ans. En utilisant la plus artisanale, nous trouvons : VA = $/1, $/1, $/1,08 3 = ,52 $ + $ ,65 $ = ,94 $ Nous pouvons toutefois prendre un raccourci en utilisant le facteur d actualisation de l annuité: FAA(r, t). Nous avons alors: VA = $ * { }/ = $ * 2, = $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 8 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Exemple: La valeur capitalisée d une annuité! Nous avons vu précédemment qu un individu de 21 ans pourrait devenir millionnaire lors de son 65 e anniversaire s il investissait $ aujourd hui dans un compte rapportant 10 % à capitalisation annuelle pendant 44 ans. Supposons maintenant que notre individu décide d investir tous les ans un certain montant plutôt qu un montant forfaitaire de $ aujourd hui. Si le premier dépôt est fait dans un an, à combien devraient monter les dépôts afin que notre individu devienne millionnaire lors de son 65 e anniversaire?! Ceci est un problème de valeur capitalisée : $ = C [(1,10) 44-1]/0,10 C = $/652,6408 = 1 532,24 $ N est-ce pas plus facile? Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 9 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

4 Quiz minute - Partie 2 de 4! Dans le problème précédent, nous avons vu qu un individu de 21 ans qui épargne 1 532,24 $ par année deviendrait millionnaire à 65 ans. Malheureusement, la majorité des gens ne commence pas à épargner si tôt. En fait, certains n épargnent jamais! Supposons que Roger vient d avoir 40 ans et qu il décide soudainement d épargner de manière plus sérieuse. En supposant qu il veut avoir 1 million de dollars à 65 ans, qu il est capable d obtenir 10 % de rendement à capitalisation annuelle, et qu il commencera à contribuer à son épargneretraite des montants égaux à partir de l an prochain, combien devra-t-il verser chaque année? Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 10 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Solution au quiz minute - Partie 2 de 4! Ceci est encore un problème de valeur capitalisée: r = 10 % t = = 25 VC = $ Alors: $ = C [(1,10) 25-1]/0,10 C = $/98,3471 = ,07! Quelle est la morale de cette histoire? Retarder notre épargne-retraite rend nos contributions futures beaucoup plus difficiles! Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 11 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Résumé du calcul des annuités et des perpétuités I. Symboles VA = Valeur actualisée, ce que valent aujourd hui les flux monétaires futurs VC t = Valeur future, ce que les flux monétaires vaudront dans l avenir r = Taux d intérêt, rendement, ou taux d actualisation par période t = Nombre de périodes C = Flux monétaire II. VC d un flux monétaire C par période pendant t périodes au taux r: VC t = C x {[(1 + r) t -1]/r} III. VA d un flux monétaire C par période pendant t périodes au taux r: VA = C x {1 - [1/(1 + r) t ]}/r IV. VA d une perpétuité qui verse un montant C à chaque période: VA = C/r Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 12 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

5 Exemple: Le calcul d une perpétuité! Supposons que nous anticipons recevoir 1000 $ par année pour les 5 prochaines années. Si le taux d actualisation est de 6 % par année, à capitalisation annuelle, quelle est la valeur actualisée de ces flux monétaires? VA = 1000 { }/0,06 = 1000 {1 0,74726}/0,06 = 1000 (4,212362) = 4212,364 $! Supposons maintenant que les flux monétaires n arrêteraient jamais; ils sont de 1000 $ par année pour toujours. Nous appelons cela une perpétuité. La VA de titre est donc: VA = C/r = 1000/ = ,66 $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 13 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Quiz minute Partie 3 de 4! La valeur actualisée d un flux perpétuel de C dollars est un montant fini (à condition que le taux d escompte, r, est supérieur à zéro). Dans ce cas, répondez à la question suivante: Comment un nombre infini de versements peut-il avoir une valeur finie?! Illustrons avec un exemple. Supposons que vous considérez acheter une obligation perpétuelle qui promet de verser au détenteur 100 $ par année pour toujours. Si votre taux d escompte est de 10 %, combien seriez-vous prêt à payer pour cette obligation aujourd hui?! Une autre question: Supposons qu on vous offre une autre obligation en tout point identique à la précédente, mais qui a une échéance de 50 ans. Quelle est la différence de prix entre les deux obligations? Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 14 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Solution au quiz minute - Partie 3 de 4! La valeur actualisée d un nombre infini de versements n est pas infinie, car la valeur actualisée d un flux monétaire très lointain devient infinitésimale.! La valeur actualisée de l obligation perpétuelle est égale à 100/0,10 = 1000 $.! Nous sommes capables de calculer la valeur actualisée d une obligation à 50 ans comme 100 x 9,9148 = 991,48 $. Quelle est alors la valeur des versements 51 jusqu à l infini (encore un nombre infini de versements)? Étant donné la valeur actualisée d une perpétuité de 1000 $ et la valeur actualisée de l obligation à échéance dans 50 ans de 991,48 $, la valeur aujourd hui des versements 51 jusqu à l infini doit être de ,48 = 8,52 $. Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 15 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

6 2.3 La période de capitalisation, le taux d intérêt effectif et le taux périodique annuel Période de Nombre de Taux d intérêt capitalisation versements effectif! Année 1 10,000 %! Trimestre 4 10,38129! Mois 12 10,47131! Semaine 52 10,50648! Jour ,51558! Heure 8,760 10,51703! Minute 525,600 10,51709 Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 16 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. La période de capitalisation, le taux d intérêt effectif et le taux périodique annuel (suite)! Taux effectif et taux périodique! Q. Si on dit qu un taux d intérêt est de 16% à capitalisation semestrielle, le taux d intérêt est en fait de 8% par semestre (six mois). Est-ce la même chose que 16% par année?! R. Si vous investissez 1000 $ pour un an à 16 %, vous obtiendrez 1160 $ à la fin de l année. Si vous investissez à 8 % par période pour deux périodes, vous obtiendrez! VC = 1000 (1,08) 2 = ,1664 = 1166,40 $ ou 6,40 $ de plus. Pourquoi? Quel taux d intérêt annuel équivaut à 8% par six mois? Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 17 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. La période de capitalisation, le taux d intérêt effectif et le taux périodique annuel (fin)! Le taux d intérêt annuel effectif (TAE) est de %. Le «16 % à capitalisation semestrielle» est le taux nominal (ou taux spécifié), pas le taux effectif.! De par la loi concernant les prêts à la consommation, le taux d intérêt doit être égal au taux d intérêt par période multiplié par le nombre de périodes. Ce taux est connu sous le nom de ( ).! Q. Une banque demande 1 % d intérêt par mois sur un prêt automobile. Quel est le taux périodique annuel? Quel est le taux annuel effectif?! R. Le TPA est de x = %. Le taux annuel effectif est donc de: TAE = - 1 = 1, = 12,6825 % Le TPA est donc un taux nominal (taux spécifié), pas un taux effectif! Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 18 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

7 Exemple: Financement avantageux ou rabais alléchant? Grande Vente! Financement à 5%* ou rabais de 500 $ Ford Mustang 1996 tout équipée Seulement $ *5 % TPA pour un prêt de 36 mois. Étant donné que la Banque TF offre un financement à 10 %, devriezvous opter pour le financement à 5% ou pour le rabais de 500 $?! Supposons que vous avez accès à un prêt de 36 mois, sans versement forfaitaire. " Banque: VA = = $, r = 10/12, t = FAA (0,10/12;36) $ = C { } 0,10/12 C = 338,77 $ " 5 % TPA: VA = $, r = 0,05/12, t = FAA (0,05/12;36) $ = C 0,05/ $ C = = 329,65 $ 33,3657 { } " La meilleure affaire? Le financement à 5 %! Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 19 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Quiz minute - Partie 4 de 4 Mentir, tricher et voler en utilisant les taux d intérêt: Les Industries Schage Grande vente de liquidation! Crédit garanti de 1000 $! Intérêt simple de 12%! Trois ans pour payer! Versements mensuels minimes! Supposons que vous achetez pour 1000 $ de produits Schage et que vous acceptez les conditions de crédit mentionnées ci-dessus. Quel est le TPA de ce prêt? Le TAE? Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 20 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Solution au quiz minute - Partie 4 de 4! La compagnie calcule vos versements comme suit: " 1. Vous empruntez 1000 $ aujourd hui à 12 % par année pendant trois ans, vous devrez donc 1000*(1 + 0,12*3) = 1360 $. " 2. Pour simplifier les calculs, la compagnie vous demande de faire 36 paiements minimes de 1360/36 = 37,78 $. " 3. Ceci est-il un prêt qui porte 12 % d intérêt? 1000 $ = 37,78 $ x (1-1/(1 + r) 36 )/r r = 1,766 % par mois TPA = 12(1,766 %) = 21,19 % TAE = 1, = 23,38 % (!) Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 21 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

8 2.4 Exemple: L amortissement des prêts Capital fixe Montant Versements Intérêts Capital Montant Année de départ payés remboursé d arrivée $ $ 450 $ $ $ $ $ 360 $ $ $ $ $ 270 $ $ $ 4 $ $ 180 $ $ $ $ $ 90 $ $ 0 $ Total $ $ $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 22 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Exemple: L amortissement des prêts Paiement fixe Montant Versements Intérêts Capital Montant Année de départ payés remboursé d arrivée ,00 $ 1 285,46 $ 450,00 $ 835,46 $ 4 164,54 $ ,54 $ 1 285,46 $ 374,81 $ 910,65 $ 3 253,88 $ ,88 $ 1 285,46 $ 292,85 $ 992,61 $ 2 261,27 $ ,27 $ 1 285,46 $ 203,51 $ 1 081,95 $ 1 179,32 $ ,32 $ 1 285,46 $ 106,14 $ 1 179,32 $ 0,00 $ Total 6 427,30 $ 1 427,31 $ 5 000,00 $ Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 23 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Solution du problème! La société d assurances Pierre-Jean-Jacques désire vous vendre une police de placement qui vous versera $ par année pour toujours, à vous et à votre descendance. Si le rendement de cet investissement est de 13 %, quel montant devrez-vous payer pour cette police?! La valeur actualisée de cette perpétuité est égale à C/r. Par conséquent, le maximum qu on devrait être prêt à payer pour cette séquence de flux monétaires est C/r = 1 000/0,13 = 7 692,31 $! Notez que 7 692,31 $ est le montant qui, investi à 13 %, verserait des flux monétaires de $ par année pour toujours, c est-à-dire 7 692,31 $ x 0,13 = $. Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 24 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

9 Solution du problème! Selon les données du problème précédent, la compagnie d assurances Pierre-Jean-Jacques veut vous vendre une police qui verse à vous et à vos descendants $ par année pour toujours. M. Jacques vous dit que cette police coûte $. À quel taux d escompte ceci est-il une bonne affaire?! Encore une fois, la valeur actualisée d une perpétuité est donnée par C/r. En résolvant pour r, nous trouvons: $ = C/r = 1000/r r = 0,1111 = 11,11%! Interprétation: Si votre coût d opportunité est de moins de 11,11 %, vous faites une bonne affaire en achetant cette perpétuité. Si vous pouvez trouver un autre investissement qui rapporte plus que 11,11 %, vous feriez mieux de ne pas acheter cette perpétuité. Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 25 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc. Un dernier exemple! Une histoire vraie: Un concessionnaire automobile vous offre la possibilité de faire l affaire suivante. Vous déposez $ en échange de quoi vous recevez une Mercedes Benz d une valeur de $. Dans cinq ans le concessionnaire vous remet vos $, et vous pouvez garder la voiture. Étant donné que cette histoire se déroule en 1980, et que les taux d intérêt y étaient de 20 % par année, pensez-vous que vous auriez fait une bonne affaire? VA de la voiture = $ VA de $ dans 5 ans à 20% = $ VA du dépôt = $ Valeur actualisée totale pour «l acheteur» = $ Pas une très bonne affaire... Adapté par Guy Grégoire Hiver 2003 Page 26 de 26 Les Éditions de la Chenelière inc.

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