SYSTEMES AUTOMATIQUES ASSERVIS

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1 Sciences Indusrielles Lycée Blaise Pascal ORSAY PCSI 07/08 I Inroducion à l auomaique. SYSTEMES AUTOMATIQUES ASSERVIS Définiion de l auomaique. L auomaique es l ensemble des héories e des echniques qui ermeen de réaliser la commande des sysèmes. Rael : Dans le schéma d un sysème auomaique, on va s inéresser à la arie commande. Bu de l auomaique. Le bu de l auomaique es de réaliser la commande de ous les sysèmes qui doiven effecuer des oéraions sans inervenion humaine. Soi car les oéraions son ro comlexes ( Ex : Ceraines hases du iloage d un engin saial...) Soi car les oéraions son ro rééiives ou ro énibles ( Ex. : Robos sur les chaînes de monage... ) 3 Hisoire de l auomaique. XVIII e siècle : Invenions inuiives d inveneurs géniaux ( Régulaeur à boules de Wa... ) Fin du XIX e siècle : Premier ravaux analyiques ( Maxwell, Nyquis, Bode... ) Fin du XX e siècle : Aariion des calculaeurs, ou s auomaise. 4 Différens yes de sysèmes auomaiques. Les informaions qui enren ou soren de la arie commande ( aelées aussi variables ) euven êre de différens yes. Variables logiques : Elles ne euven rendre que valeurs ; 0 ou, ou auremen di, vrai ou faux. On arle de variables binaires Exemle : variable x = éa d une lame. x = 0 lame éeine x = lame allumée Remarque : Le comoremen Tou Ou Rien (TOR) es un modèle. En effe, ar exemle dans le cas de la lame assan de l éa éein à l éa allumé, il exise oujours un momen ransioire endan lequel la lame n es lus vraimen éeine, mais as encore vraimen allumée. V Comoremen réel U lame Modélisaion x Modèle 0 V Phase ransioire 0 Variables analogiques : Elles euven rendre une infinié de valeurs. On arle aussi de variables coninues. Exemle : variable x = eméraure. Variables numériques : Elles euven rendre un grand nombre de valeurs ( enières ou décimales ). On arle aussi de variables discrèes. Exemle : variable x = nombre de bidons déjà en lace lors du remlissage d une caisse de bidons. variable x = variable analogique converie en variable numérique our ransier dans un ordinaeur. Définiion : Dans un sysème auomaique logique ransien des variables logiques. Dans un sysème auomaique asservi ransien des variables analogiques.

2 II Généraliés sur les sysèmes asservis. Srucure d un sysème asservi. z() x() Parie Commande e() = i x () i y () Inerface i x () commande Correceur Acionneur Effeceur ordre, signal de Chaîne d acion y() i y () x() : enrée, consigne y() : sorie, signal commandé z() : erurbaion i x () : image de x() i y () : signal de reour (mesure), image de y() e() : signal d erreur Les erurbaions modifien le signal de sorie de façon inconrôlable e imrévisible. On aelle sysème asservi un sysème caable de corriger seul les erreurs dues aux erurbaions. Il es nécessaire d avoir une chaîne de reour our rendre en come ces erurbaions. Un sysème asservi, en observan le résula obenu e en réagissan en conséquence, erme d obenir un comoremen récis même si on ne eu modéliser rès récisémen le sysème e son enourage ( Ex. : Piloage, Train endulaire ). Un sysème asservi erme de sabiliser un sysème naurellemen insable ( Ex : Cyclise, Avion à voilure inversée ). Dans un asservissemen, on rouve égalemen les élémens suivans : Le oin de sommaion (comaraeur) erme de comarer le signal de commande avec la mesure du résula obenu. Il en dédui le signal d erreur. L inerface ransforme la consigne en un signal homogène au signal de reour (our ouvoir effecuer la comaraison). Le correceur élabore l ordre à donner à l acionneur en foncion de l erreur. Si l erreur es grande, le correceur eu exagérer l ordre our forcer le sysème à annuler lus raidemen l erreur. Exemle : une osiion donnée de l accéléraeur fai accélérer la voiure jusqu à aeindre un ceraine viesse. Si on veu aeindre cee viesse lus raidemen, on accélère lus uis une fois la viesse désirée aeine, on relâche ariellemen l accéléraeur. C es une correcion. Le sysème asservi régulé : On imose une variable d enrée consane ou évoluan lenemen e la variable de sorie doi suivre au mieux cee variable d enrée, malgré les erurbaions. Exemle : variable = eméraure dans un sysème de chauffage. Le sysème asservi suiveur : La variable d enrée évolue raidemen, au moins aussi vie que les erurbaions. Exemle : variable = ca suivi ar le missile cherchan à aeindre un avion. Qualiés d un sysème asservi. Caeur Chaîne d acquisiion Elles son au nombre de rois rincialemen : PRECISION, RAPIDITE, STABILITE. Précision : Elle es quanifiée ar deux erreurs. L erreur saique es la différence enre la sorie réalisée y() e la sorie demandée y c () (consigne) lorsque celles ci n évoluen lus ( régime ermanen ). On s efforce oujours de l annuler. L erreur dynamique es la différence enre la sorie e l enrée à ou insan. x() x() y() erreur saique y() erreur dynamique erreur saique erreur dynamique

3 Raidié : Il s agi de la raidié à réagir à une variaion brusque de la consigne d enrée. x() x() 3 y() y() sysème len sysème raide Sabilié : Un sysème eu êre insable à cause de son comoremen dynamique (résonance) ou du bouclage (larsen). Seul un sysème sable bien amori ourra êre uilisé. y() x() y() x() x() y() sysème insable sysème sable mal amori sysème sable bien amori Ces rois qualiés ne son as oujours comaibles, on cherchera le meilleur comromis. 3 Eude d un exemle. L exemle éudié es le vérin rerésené en Annexe I. Ce vérin es un servomécanisme, c es à dire un mécanisme qui se comore à eu rès comme un sysème asservi, mais dans lequel la arie commande es réalisée ar des hénomènes mécaniques e es donc difficile à différencier de la arie oéraive. Les mécanismes de robine à floeur (chasse d eau) en son les exemles les lus connus. Foncionnemen : Le cors de vérin (noir) es fixe. L uilisaeur maniule horizonalemen l exrémié gauche du disribueur (ver ou gris foncé sur irage), le fluide sous ression (gris clair) délace alors la ige de vérin (rouge ou gris moyen sur le irage) dans la osiion voulue. Les endrois où le fluide es à la ression amoshérique a son en blanc. Hyohèses : Raels Le fluide es suosé incomressible. Les effors sur la ige de vérin son faibles devan les effors de ression exercés ar le fluide sur le ison e on néglige égalemen les effors de froemen du ison e de la ige sur le cors de vérin. Donc le mouvemen de l ensemble (ison ige) es défini ar les seuls effors de ression. Si un fluide es incomressible, le débi volumique de fluide enran dans une chambre du vérin es la dérivée ar raor aux ems du volume de cee chambre. V( ) V() Q() = lim = d V(). 0 ( ) d = V () La force F exercée ar un fluide à la ression sur un ison de secion S es : F = S Vérificaion qualiaive du foncionnemen annoncé: x() rerésene la osiion du disribueur (enrée), y() rerésene la osiion de l ensemble (ison ige) (sorie). Tous les effors de ression, les seuls que l on reien, son horizonaux. On les come osiivemen s ils son dirigés vers la droie, négaivemen sinon. suosons, qu à l insan, on soi dans une configuraion x() < y(), la ige es soumise à S d a S g < 0 car a << alors que S g > S d ẏ. < 0 suosons, qu à l insan, on soi dans une configuraion x() > y(), la ige es soumise à S d S g > 0 car S g > S d ẏ. > 0

4 Mise en équaion : Descriion quaniaive du foncionnemen du servomécanisme = Modélisaion du servomécanisme cas où x() < y() : Q() le débi de fluide assan de gauche au réservoir. Le débi Q() diminue le volume V g () de la chambre de gauche du vérin Q() = V. g() = S g ẏ. () 4 Hyohèse : Proorionnalié enre le débi e la secion de assage ( an que ce qui limie le débi Q() ) es y() x() ) Q() = d [ y() x() ] donc S g ẏ. () = Q() = d [ y() x() ] donc S g ẏ. () y() = d x() cas où x() > y() : Q() le débi de fluide assan de droie à gauche. Le débi Q() augmene le volume V g () de la chambre de gauche du vérin Q() = V. g() = S g ẏ. () Hyohèse : Proorionnalié enre le débi e la secion de assage ( an que ce qui limie le débi Q() ) es x() y() ) Q() = d [ x() y() ] donc S g ẏ. () = Q() = d [ x() y() ] donc S g ẏ. () d y() = d x() Dans les deux sens de foncionnemen, le servomécanisme résené obéi à la même équaion relian l enrée x(), à laquelle on le soume, à la sorie y(), qui en résule. Cee équaion faisan aaraîre y() e sa dérivée ẏ. (), on l aelle équaion différenielle. On ourrai aussi avoir les dérivées seconde, roisième de y() ainsi que les dérivées de x(). Dans cee équaion x(), ses dérivées, y(), ses dérivées son oues dans des ermes différens e son oujours à la uissance. On arle donc d équaion différenielle linéaire. Les coefficiens de ces ermes son des consanes du servomécanisme ( S g e d ). On arle donc d équaion différenielle linéaire à coefficiens consans. Dans le rogramme de CPGE, ous les élémens de sysèmes asservis son modélisés ar des équaions différenielles linéaires à coefficiens consans. Il fau donc déveloer une méhode erformane de résoluion de ces équaions. III Sysèmes linéaires. Définiions. Les sysèmes éudiés ici son monovariables, coninus, linéaires e invarians. monovariable : une seule variable d enrée (consigne) e une seule variable de sorie. coninu : les variables son coninues (analogiques ). linéaire : le comoremen du sysème asservi es rerésené ar une équaion différenielle linéaire. invarian : le comoremen du sysème ne vieilli as, l équaion différenielle es à coefficiens consans (ne déendan as du ems). Rerésenaions d un sysème linéaire invarian. Il eu êre rerésené ar : une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans : a dn y() n d n... a d y() d a dy() d a 0 y() = b dm x() m d m... b d x() d b dx() d b 0 x() (second membre) = f() Dans les cas raiques renconrés, on a oujours m n, n es l ordre du sysème. (rincie de causalié) (sinon la réonse à une enrée finie eu êre infinie)

5 un schéma bloc : 5 x() enrée (consigne) sysème linéaire y() sorie 3 Eude des sysèmes linéaires invarians. Il fau résoudre l équaion différenielle cidessus, c es à dire : our une enrée x() donnée à laquelle on soume le sysème ( c es à dire our une foncion f() donnée ), il fau rouver la sorie y(), c es à dire la manière don le sysème réond. Dans le cas d une équaion différenielle linéaire du remier ou du deuxième ordre, une méhode sera abondammen uilisée en Mahémaiques e en Physique. Mais cee méhode éan délicae our les équaions d ordres lus élevés, on va déveloer une aure méhode de résoluion, lus adaée à nos sysèmes asservis, celle uilisan la ransformée de Lalace. 4 Transformée de Lalace. 4 Définiion de la ransformée de Lalace. Dans la suie on n uilisera que des foncions f() elles que f() = 0 our < 0. La ransformée de Lalace d une elle foncion es la foncion F() : F() = L(f()) = e f() d 0 avec comlexe à arie réelle sricemen osive 4 Foncions usuelles e leurs ransformées de Lalace. Foncion échelon ( foncion de Heaviside ) : u() = our > 0 L(u()) = 0 e d = [ e ] 0 = L(u()) = u() Foncion imulsion ( foncion de Dirac ) : δ() : c es la limie quand end vers 0 de la foncion ciconre : 0 δ() es nulle arou sauf en = 0 où elle n es as définie ( disconinuié ) e son inégrale vau : δ() d = = δ() L (δ()) = 0 e δ() d = lim 0 e d 0 0 = lim 0 [ e ] 0 = lim 0 ex( ) = L(δ()) = Les aures foncions que l on uilisera lors de l éude des asservissemens son elles aussi nulles our < 0. Ceci es obenu en mulilian la foncion ar une foncion échelon. Leurs ransformées de Lalace son données dans le ableau en Annexe II. 4 3 Proriéés des ransformées de Lalace. Les roriéés uiles à la résoluion des équaions différenielles linéaires à coefficiens consans e à l éude des asservissemens son résumées dans le ableau en Annexe II. Les démonsraions son admises. (ceraines son rès simles, d aures )

6 5 Alicaion à un sysème linéaire Foncion de ransfer. Le sysème es rerésené ar une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans : a dn y() n d n... a d y() d a dy() d En réalié, our obenir des foncions nulles our < 0, on modifie en : a 0 y() = b dm x() m d m... b d x() d b dx() d b 0 x() 6 a dn y() n d n u()... a d y() d u() a dy() d u() a 0 y() u() = b dm x() m d m u()... b d x() d u() b dx() d u() b 0 x() u() x() u() es l enrée imosée y() u() es la sorie. On alique la ransformée de Lalace aux deux membres e on uilise la roriéé de linéarié : a n L ( dn y() d n u() )... a L ( d y() d u() ) a L ( dy() d u() ) a 0 L ( y() u() ) = b m L ( dm x() d m u() )... b L ( d x() d u() ) b L ( dx() d u() ) b 0 L ( x() u() ) () Suosons que les condiions iniiales soi nulles : x(0 ) = 0 e y(0 ) = 0 ; ẋ. (0 ) = 0 e ẏ. (0 ) = 0... Noons = L ( x() u() ) e = L ( y() u() ) alors l équaion () devien : a n n... a a a 0 = b m m... b b b 0 D où : = b m m... b b b 0 a n n... a a a 0 soi = H() La foncion H() es un quoien de deux olynômes. On aelle ce genre de foncion en mahémaiques, foncion raionnelle. Physiquemen, c es la foncion qui erme de asser de la ransformée de Lalace de l enrée à la ransformée de Lalace de la sorie. Elle es aelée foncion de ransfer ou ransmiance. Pour les enrées x() usuelles, échelon, Dirac, rame, sinus la ransformée de Lalace es aussi une foncion raionnelle (voir ableau des ransformées de Lalace des foncions usuelles en Annexe II). Donc = H() es aussi une foncion raionnelle. Remarque : Si les condiions iniiales ne son as nulles, on monre facilemen que, es ou de même une foncion raionnelle en. On es donc amené à chercher y() el que = d r r... d d 0 c s s... c c 0 C es à dire à chercher y() = L () L : Transformée de Lalace inverse. avec r < s 6 Résoluion. Pour calculer la ransformée de Lalace inverse de on eu avoir la chance de osséder un ableau de ransformées de Lalace beaucou lus comle que celui donné en Annexe II e y rerouver la ransformée inverse souhaiée. Mais de oues façons, le jour du concours On monre, en mahémaiques, que oue foncion raionnelle = d r r... d d 0 c s s... c c 0 avec r < s eu se décomoser en une somme d exacemen s foncions raionnelles rès simles, on arle d élémens simles, don ous les yes ossibles son en nombre rès resrein e inclus dans le ableau donné en Annexe II. Pour effecuer cee décomosiion en élémens simles, il fau commencer ar facoriser le dénominaeur de, c s s... c c c 0 Le dénominaeur de es de degré s, on monre en mahémaiques qu il a donc s racines réelles ou comlexes. Les racines du dénominaeur d une foncion raionnelle son aelées des ôles.

7 Les coefficiens c 0, c,..., c s éan réels, on monre aussi que les racines comlexes son alors conjuguées deux à deux : si (aiω) e (aiω) son racines du dénominaeur, on eu mere en faceur [ (aiω) ] [ (aiω) ] = (a) ω 7 = On facorise alors le dénominaeur : c s s... c c c 0 = c s (α ) (α )... (α k ) [ (a ) ω ] [ (a ) ω ]... [ (a e ) ω e ] La foncion raionnelle eu alors s écrire sous la forme : d r r... d d 0 c s s... c c 0 = A α... A k α k B (a ) (a ) ω C (a ) ω... B e (a e ) (a e ) ω e avec k e = s C e (a e ) ω e () A j, B j, C j son des consanes réelles que l on eu déerminer à l aide de la méhode suivane : our chaque A j, on mulilie les deux membres de l équaion () ar (α j ) e on rend = α j ; on résou l équaion réelle rouvée ( une équaion réelle ar A j à rouver ). our chaque coule ( B j, C j ), on mulilie les deux membres de l équaion () ar [ (a j ) ω j ] e on rend = (a j iω j ) ; on résou l équaion comlexe rouvée ( une équaion comlexe, c es à dire deux équaions réelles ar coule (B j, C j ) à rouver). Cas ariculier : Si α es une racine double du dénominaeur, alors la décomosiion en élémens simles de la fracion conien A A * un erme du ye e un erme du ye α (α) Pour rouver A *, on mulilie les deux membres de l équaion () ar (α) e on rend = α ; on résou l équaion. Pour rouver A, on mulilie les deux membres de l équaion () ar (α) e on fai endre vers l infini ; on obien une relaion enre A e les aures A j. Lorsqu on a les A j, B j, C j, on cherche la ransformée inverse de chaque erme ( voir ableau en Annexe II ), e on en dédui y(), somme des ransformées de Lalace inverses des s élémens simles. En Annexe III, es résené un résumé de la méhode de résoluion d une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans ar la ransformée de Lalace. 7 Alicaion au servomécanisme du aragrahe II3. Le servo mécanisme éudié es modélisé ar l équaion différenielle linéaire à coefficiens consan S g ẏ. () d y() = d x() (3) Soi x() = x 0 e y() = x 0 la osiion de reos à l insan = 0. Posons le changemen de variable ~ x () = x() x 0 soi x() = ~ x () x 0 ~ y () = y() x0 y() = ~ y () x 0 En remlaçan dans l équaion (3), celle ci devien : S d g d ( y~ () x 0 ) d ( ~ y () x 0 ) = d ( ~ x () x 0 ) La consane x 0 donne une dérivée nulle e le erme x 0 se simlifie de chaque coé, soi finalemen : S g d d y~ () d y ~ () = d x ~ () On obien une équaion analogue à l équaion (3), mais les variables uilisées, x ~ () e y ~ () son à condiions iniiales nulles : y ~ (0) = 0 e x ~ (0) = 0 On eu donc arir de condiions iniiales nulles e éudier l équaion (3) : S g ẏ. () d y() = d x()

8 IV Rerésenaions d un sysème linéaire invarian. Schéma bloc. Schéma bloc. Comme on l a déjà vu, un sysème linéaire eu êre rerésené dans le domaine emorel ar son équaion différenielle ou ar un schéma bloc : x() enrée (consigne) sysème linéaire y() sorie 8 bloc : Dans le domaine de Lalace, un sysème linéaire eu êre rerésené ar sa foncion de ransfer H() ou ar un schéma H() En raique, le sysème linéaire cidessus es souven consiué de lusieurs comosans : acionneur, effeceur, correceur,... qui son des sysèmes linéaires lus simles rerésenables chacun ar une foncion de ransfer rore. On eu donc réciser le schéma bloc dans le domaine de Lalace en uilisan : des blocs en cascade H() = H () H () H () H () H () = H () H () des blocs en arallèle H() = H () H ( ) H () H () H () H () = ( H () H () ) Poin de joncion Poin de sommaion On eu ransformer des schémas blocs en délaçan les oins de joncion ou de sommaion en resecan les équivalences données cidessous.

9 Exemles : a Srucure de base d un sysème asservi (sysème à reour uniaire). On a [ ] = 9 soi = [ ] d où = b Srucure de base d un sysème asservi (sysème à reour non uniaire). On a [ R() ] = Signal d enrée soi = [ R() ] Signal d erreur d où = R() Signal de reour Signal de sorie R() On aelle foncion de ransfer en boucle ouvere le quoien en ransformées de Lalace dans l exemle a : H BO () = dans l exemle b : H BO () = R() Signal de reour Signal d'erreur Remarque : La foncion de ransfer en boucle ouvere es sans dimension. On aelle foncion de ransfer en boucle fermée, le quoien en ransformées de Lalace dans l exemle a : H BF () = dans l exemle b : H BF () = R() Signal de sorie Signal d'enrée Remarque : La foncion de ransfer en boucle fermée es sans dimension seulemen dans le cas d un reour uniaire. c Sysème asservi subissan une erurbaion Z(). Z() On a soi { G () [ R() ] Z() } G () = G () G () G () Z() G () G () d où = = [ R() G () G () ] G () G () R() G () G () G () R() G () G () Z() R() En osan = G () G (), on rouve = R() G () R() Z() Dans un el cas, on ne eu arler de foncion de ransfer donnan la sorie, qu en l absence d une des deux enrées (soi la consigne, soi la erurbaion Z()). En l absence de erurbaion, la foncion de ransfer en boucle ouvere es : H BO () = R() la foncion de ransfer en boucle fermée es : H BF () = R() En l absence de consigne, la foncion de ransfer de erurbaions es : H er () = On eu écrire : = H BF () H er () Z() G () R() Remarque : Cerains asecs de la réonse y() éan liés à la naure des ôles de la foncion de ransfer, on noera que les dénominaeurs de H BF () e H er () éan ideniques, il y aura des similiudes fores enre réonses avec ou sans erurbaions

10 d Transformaion d un sysème à reour non uniaire en sysème à reour uniaire. 0 / R() R() R() e Sysème asservi à boucles imbriquées. A() B() C() A() B() C() / C() A() B() C() B() C() A() B() C() B() C() / C() / C() A() B() C() B() C() A() B() B() C() A() B() C() B() C() A() B() Foncions de ransfer simles usuelles. Une foncion de ransfer H() éan une foncion raionnelle, on eu oujours la rerésener ar des sommes e des roduis des cinq foncions simles suivanes. H() = d où = soi y() = x() sysème roorionnel H() = H() = τ d où = soi ẏ. () = x() sysème inégraeur d où ( τ ) = soi τ ẏ. () y() = x() sysème du er ordre H() = a τ τ d où ( τ ) = ( a τ ) soi τ ẏ. () y() = a τ ẋ. () x() sysème du er ordre généralisé H() = H() = ξ ξ ω ξ ω ω ω d où soi soi ( ξ d où ) =.. ẏ. () ξ ẏ. () y() = x() sysème du ème ordre ( ξ > 0 ).. ẏ. ω ( ξ ω.. () ξ ω ) = ( ξ ω ẏ... () y() = ẋ. ω ω.. () ξ ω ) ω ẋ. () x() sysème du ème ordre généralisé ( ξ > 0 e ξ > 0 )

11 On cherchera donc à bien connaîre ces sysèmes fondamenaux our ensuie les comoser. Remarques : Le ème ordre généralisé n es as vraimen au rogramme, bien qu il soi déjà ombé aux concours ( filre réjeceur ). Le sysème dérivaeur seul, de foncion de ransfer H() =, n exise as. Ceendan on eu rouver dans une foncion de ransfer, un erme dérivaeur, ar exemle : H() = ξ c es le filre asse bande du cours de hysique! 3 Gain saique. Gain en viesse. Forme canonique d une foncion de ransfer. Pour ous les sysèmes cidessus sauf le sysème inégraeur, dans le cas où oues les limies écries cidessous exisen, la valeur de la sorie au bou d un ems infini es : lim y() = lim = lim H() = lim H(). = H(0). lim x() soi lim y() =. lim x() où lim x() es la valeur de l enrée au bou d un ems infini rerésene donc le raor : y() lim x(). On aelle gain saique du sysème. D une manière générale, cee définiion s alique à ous les sysèmes sans inégraeur. Pour le sysème inégraeur, dans le cas où oues les limies écries cidessous exisen, la valeur de la dérivée ar raor au ems de la sorie au bou d un ems infini es : lim ẏ. () = lim 0 = lim 0 H() = lim H(). lim 0 0 soi lim ẏ. () =. lim x() où lim x() es la valeur de l enrée au bou d un ems infini rerésene donc le raor : ẏ. () lim x(). On aelle gain en viesse du sysème. D une manière générale, cee définiion s alique à ous les sysèmes avec un inégraeur. Une foncion de ransfer quelconque es écrie sous forme canonique si elle es de la forme : H() = α b b... b m m a a... a n n Lorsque end vers 0, la foncion de ransfer end vers le quoien α Le nombre (enier) d inégraions α es aelé classe du sysème. Numéraeur e dénominaeur de la foncion raionnelle roduis de ermes exclusivemen du ye ( τ ) e ( ξ b b... b m m a a n... a n euven se facoriser, comme ) Ceci monre que l éude des sysèmes de base ( roorionnel, inégraeur, remier e deuxième ordre ) es nécessaire e suffisane, our avoir une idée du comoremen de ous les yes de sysèmes linéaires. On aelle : τ la consane de ems du erme de remier ordre, ξ le coefficien d amorissemen e la ulsaion rore du erme de second ordre. Rael : La somme α n es aelée ordre du sysème.

12 V Réonse indicielle des sysèmes linéaires. On aelle réonse indicielle d un sysème, la réonse à une enrée en échelon : x() = X 0 u(). Réonse indicielle d un sysème linéaire du remier ordre. = X 0 En boucle ouvere. condui à = X 0 ( τ ), τ ẏ. (0 ) = lim = X 0 τ y( ) = lim 0 = X 0 La décomosiion en élémens simles donne : = d où y() = X 0 [ ex( τ ) ] u( ) X 0, X 0 τ τ Pour quanifier la raidié de la réonse indicielle d un sysème du remier ordre, on défini le ems de réonse 5%, ems au bou duquel la réonse a aein 95 % de sa valeur finale, soi y( 5% ) = 0.95 y( ) = 0.95 X 0 X 0 X 0 τ 3τ 0.05 X 0 y() x() On obien : ex( 5% τ ) = 0.05 soi 5% = τ Ln(0.05) 3 τ En boucle fermée. On a alors la relaion τ d où arès un raide calcul = [ ] =, τ τ Conclusions : Boucler un sysème linéaire du remier ordre condui donc à un second sysème du remier ordre de gain saique de consane de ems τ Sa réonse indicielle aura donc une allure semblable à celle obenue en a our la boucle ouvere, seulemen our des grandes valeurs du gain, le fai d avoir un sysème en boucle fermée condui à un sysème ayan à la fois : un gain saique roche de donc assez récis un ems de réonse faible ar raor à celui en boucle ouvere ( 3 τ << 3 τ ). Réonse indicielle d un sysème linéaire inégraeur. En boucle ouvere. = X 0 X 0 X 0 y() x() condui à = X 0, d où la réonse y() = X 0 u( ) sec

13 En boucle fermée. On a alors la relaion [ ] =, 3 d où arès un raide calcul = = X 0 ( ) = X 0 X 0, soi y() = X 0 [ e ] u( ) Conclusions : Boucler un sysème linéaire inégraeur condui donc à un sysème du remier ordre de gain saique uniaire de consane de ems Sa réonse indicielle sera donc semblable à celle obenue en a, mais le gain uniaire erme d obenir une récision arfaie dans le cas d une réonse indicielle, uisque y( ) = X 0. 3 Réonse indicielle d un sysème linéaire du deuxième ordre. = X 0 3 En boucle ouvere. = condui à X 0 ( ξ ) = X 0 ( ξ ) On rerouve ar alicaions du héorème de la valeur iniiale les deux hyohèses sur les condiions iniiales que l on doi, ξ oser dans le cas d un sysème du second ordre, à savoir : y(0 ) = lim = 0 e ẏ. (0 ) = lim = 0 Par ailleurs, on obien : y( ) = lim 0 = X 0 La oursuie de l éude de la réonse indicielle d un sysème linéaire du deuxième ordre doi se faire en disinguan différens cas selon la naure des ôles de la foncion de ransfer, c es à dire de la naure des zéros du dénominaeur, olynôme en de degré. En fai, selon la valeur du coefficien d amorissemen ξ, les zéros son soi comlexes conjugués ( ξ < ), soi réels ( ξ > ). Pour ξ = la foncion de ransfer a un ôle réel double. Cas où ξ =. Le dénominaeur ξ = se facorise en ( ). On a donc : = X 0 ( ) = X 0 X 0 X 0 ( ), d où une réonse y() = X 0 [ ( ) ex( ) ] u( ) Cas où ξ >. Le dénominaeur ξ se facorise en ( ω ) ( ω ) avec : ω = ( ξ ξ ) > 0, ω = ( ξ ξ ) > 0 ω ω = e ω > ω X 0 X 0 y() x() On a donc : = X 0 ( ω ) ( ω ) = X 0 X 0 ω. ω 0 ω X 0 ω. ω, d où une réonse 0 ω

14 4 y() = X 0 [ ω ex( ω ) < 0 > 0 ω ex( ω ) ] u( ) Remarque : En osan τ = ω e τ = ω, soi τ < τ, on obien : X 0 y() y() = X 0 [ τ τ τ ex( τ ) τ τ τ ex( τ ) ] u() X 0 ξ croissan x() Cas ariculier où ξ >>, c es à dire ω >> ω ou τ << τ. On a alors ξ ξ, d où ω ξ e ω = ω ex( ω ) 4 ξ ex( ω ) << ω ξ ω ex( ω 0 ω ), d où our suffisammen grand, ex( ω ) ex( ω ) 4 ξ La réonse indicielle es donc soi y() = X 0 [ ex( ω ) ] u( ) our suffisammen grand. y() = X 0 [ ex( τ ) ] u() Conclusion : La réonse indicielle d un sysème du second ordre à coefficien d amorissemen rès grand, c es à dire d un sysème du second ordre rodui de sysèmes du remier ordre de consanes de ems rès différenes, es aroximaivemen la même que celle du sysème du remier ordre ayan la consane de ems la lus grande. La seule différence significaive se siue à l origine des ems. Pour le sysème du deuxième ordre, la angene es horizonale. Pour le sysème du remier ordre, raelons que la angene a une ene X 0 / τ. Cas où ξ <. Le dénominaeur ω 0 ξ se facorise en ( ) ( ) avec : = ( ξ j ξ ), = ( ξ j ξ ) = Pour déerminer les ransformées de Lalace inverses des élémens simles de la décomosiion de, il fau effecuer cee décomosiion sur IR, malgré la naure comlexe des ôles. On écri donc sous la forme : = X 0 [ ( ξ ) ( ξ ) ] = α X 0 β X 0 ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) γ X 0 ( ξ ) ( ξ ) En mulilian ar, e en renan = 0, on obien facilemen α = En mulilian ar ( ξ ) ( ξ ), en renan =, e en isolan arie réelle e arie imaginaire, on obien β = e γ = ξ La décomosiion condui donc à = X 0 X 0 ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) X 0 ξ ( ξ ) ( ξ ), d où une réonse : y() = X 0 [ ex( ξ ) cos( ξ ) ξ ξ ex( ξ ) sin( ξ ) ] u( ). En facorisan les ermes en exonenielles de la façon suivane, y() = X 0 [ ex( ξ ) ξ { ξ cos( ξ ) ξ sin( ξ ) } ] u( )

15 on obien : y() = X 0 [ ex( ξ ) ξ cos( ξ ϕ ) ] u( ) 5 avec sin ϕ = ξ T a = Il s agi d un mouvemen oscillaoire amori, de seudoériode π ξ = T 0 ξ où T 0 = π oscillaions rores non amories du sysème. es la ériode des Il es rès uile de définir l insan T m e la valeur y(t m ) du remier maximum de la réonse. X 0 X 0 y() x() T m T a On obien T m ar résoluion de l équaion ẏ. (Tm ) = 0, soi arès un raide calcul : T m = π ξ = T a La valeur de la réonse au remier maximum es : y(t m ) = X 0 [ ex( ξ π ξ ) ξ cos( π ϕ ) ] = X 0 [ ex( ξ π ξ ) ] Pour ous les sysèmes du second ordre à réonse indicielle oscillaoire, on défini le déassemen indiciel D = y(t m) y( ) y( ) c es à dire la foncion de ξ D = ex( ξ π ξ ) La foncion réciroque, rès uile, es ξ = Ln D π Ln D De la même manière que dans le cas d un sysème du remier ordre, our quanifier la raidié de la réonse indicielle d un sysème du second ordre, on défini le ems de réonse 5%, ems au bou duquel la réonse a aein sa valeur finale à 5% rès. Dans le cas des réonses aériodiques ( ξ ), ce ems de réonse es obenu en résolvan y( 5% ) = 0.95 y( ) = 0.95 X 0 Dans le cas de réonse oscillaoire ( ξ < ) il convien de déerminer le ems au bou duquel la valeur de la réonse enre dans l inervalle [ 0.95 y( ),.05 y( ) ] e n en sor lus. On eu monrer que le sysème le lus raide, au sens du ems de réonse à 5 % uniquemen, es le sysème our lequel ξ Il corresond à un déassemen de 5%, c es à dire que y( 5% ) = 0.95 y( ) e y(t m ) =.05 y( ). La résoluion de y( 5% ) = 0.95 y( ) our ξ 0.7 condui à 5% 3 Pour mémoire, ce résula es à rarocher du ems de réonse indicielle d un sysème du remier ordre 5% 3 τ = 3 ω c Les sysèmes don le coefficien d amorissemen es lus grand que 0.7 son lus lens à aeindre 0.95 y( ). Les sysèmes don le coefficien d amorissemen es lus ei que 0.7 son ro nerveux e leur réonse indicielle.05 X 0 X X 0 X 0 y() x() oscille lusieurs fois avan de reser définiivemen dans l inervalle [ 0.95 y( ),.05 y( ) ]. 5% minimal 5% 5% Des courbes lus récises son données en Annexe IV

16 6 Remarques imoranes : Il es imoran de noer que le déassemen indiciel exise dès que ξ <. Le coefficien d amorissemen ξ = es aelé amorissemen criique. La réonse indicielle corresondane es aelée réonse aériodique criique. Pour ceraines alicaions, le déassemen eu êre roscri ( robo d assemblage...), on doi alors choisir une valeur de ξ suérieure à. Si le déassemen es auorisé, la valeur de ξ es oimale our le ems de réonse à 5%. On a alors la relaion ξ 3 En boucle fermée. d où arès un raide calcul = [ ] = ξ ( ) ( ) ξ Conclusions : Boucler un sysème linéaire du deuxième ordre condui donc à un second sysème du deuxième ordre de gain saique de ulsaion rore de coefficien d amorissemen ξ Sa réonse indicielle aura donc une allure semblable à celle obenue en 3. our la boucle ouvere, seulemen la ulsaion rore du sysème bouclé es suérieure à celle du sysème en boucle ouvere le coefficien d amorissemen du sysème bouclé es inférieur à celui du sysème en boucle ouvere our de grandes valeurs du gain saique en boucle ouvere, le gain en boucle fermée es roche de Exemle : Pour 3., 0 0 en boucle ouvere, soi = 3, = 0 rad/s e ξ =,, on obien en boucle fermée , soi une ulsaion double e un coefficien d amorissemen moiié moindre. 3 X 0 y o () Sur ce exemle, la réonse, non oscillaoire en boucle ouvere, l es devenue en boucle fermée. Cee endance d un sysème à devenir de lus en lus oscillaoire en boucle fermée, X X 0 x() y f () lorsque le gain en boucle ouvere augmene, sera déveloée lors de l éude de la sabilié des sysèmes asservis en ème année. 5% 5% De même, l effe bénéfique, sur la récision en boucle fermée, de l augmenaion du gain en boucle ouvere sera déveloé lors de l éude générale de la récision des sysèmes asservis en ème année. On eu, dès mainenan, noer le caracère incomaible de ces deux roriéés de sabilié e de récision. Quelques manières de les concilier seron données lors de l éude de la correcion des sysèmes asservis, roisième e dernière arie du cours d asservissemen de ème année.

17 VI Réonse harmonique des sysèmes linéaires. Lieux de ransfer. Réonse harmonique. La réonse harmonique d un sysème linéaire es la réonse à une enrée de ye sinusoïdal, soi x() = X 0.sin ( ω. ) u() Raels : X 0 es l amliude de cee enrée, ω es la ulsaion de cee enrée e T = π es la ériode de cee enrée ω La réonse y() a donc une ransformée de Lalace de la forme = H() avec = X 0 ω ω La décomosiion en élémens simles de c es à dire du rodui H() es une somme de ermes don : l un, déendan des ôles de, es du ye les aures, déendan des ôles de H(), son du ye A B ω ω C a our un ôle simle réel a C D a ( a ) our un ôle double réel a E ( a ) F ( a ) our une aire de ôles comlexes ( A, B, C, D, E e F son des consanes à déerminer ar le calcul ) conjugués a ± j ( j = ) Par ransformée de Lalace inverse des élémens simles, on obien la réonse harmonique y() sous la forme d une somme conenan : un erme issu de de la forme A cos (ω.) u() B sin (ω.) u() = Y 0 sin ( ω ϕ ) u() des ermes issus de H() de la forme C e a u() D e a u() E e a cos (.) u() F e a sin (.) u() Si les ôles de H() son réels sricemen négaifs ou comlexes à arie réelle négaive ( a > 0 ), alors : les ermes issus de H() coniennen des exonenielles décroissanes e caracérisen la réonse ransioire le erme issu de es harmonique, de même ulsaion que l enrée e caracérise la réonse ermanene C es cee arie de la réonse qui es inéressane à éudier. 7 Réonse harmonique ermanene. Pour l équaion différenielle a n dn y() d n... a d y() d a dy() d a 0 y() = b m dm x() d m... b d x() d b dx() d b 0 x() Si Y 0.sin ( ω. ϕ ) es la réonse ermanene à l enrée X 0.sin ( ω. ) Alors Y 0.sin ( ω. ϕ π ) es la réonse ermanene à l enrée X 0.sin ( ω. π ) C es à dire Y 0.cos ( ω. ϕ ) es la réonse ermanene à l enrée X 0.cos ( ω. ) La linéarié imlique que : Y 0.[ cos ( ω. ϕ ) j. sin ( ω. ϕ ) ] ( j = ) es mahémaiquemen soluion ermanene de l équaion différenielle lorsque x() = X 0.[ cos ( ω. ) j. sin ( ω. ) ] On a donc y() = Y 0. e j ( ω ϕ ) es soluion héorique ermanene de x() = X 0. e j ω En remlaçan x() e y() ar leurs valeurs cidessus dans l exression de l équaion différenielle linéaire, on obien : a n dn d n ( Y 0. e j ( ω ϕ ) )... a d d ( Y 0. e j ( ω ϕ ) ) a d d ( Y 0. e j ( ω ϕ ) ) a 0 ( Y 0. e j ( ω ϕ ) ) = b m dm d m ( X 0. e j ω )... b d d ( X 0. e j ω ) b d d ( X 0. e j ω ) b 0 ( X 0. e j ω ) soi Y 0 [ a n ( j ω ) n... a ( j ω ) a j ω a 0 ] e j ( ω ϕ ) soi b m ( j ω ) m... b ( j ω ) b j ω b 0 a n ( j ω ) n... a ( j ω ) = Y 0 e j ( ω ϕ ) a j ω a 0 X 0 e j ω. = X 0 [ b m ( j ω ) m... b ( j ω ) b j ω b 0 ] e j ω La foncion raionnelle en jω du erme de gauche n es aure que H(jω), la foncion de ransfer de la variable jω. Les exonenielles du erme de droie se simlifien en e j ϕ

18 On a donc monré que la foncion de ransfer H() es reliée à X 0, Y 0, ω e ϕ ar la relaion fondamenale : H(jω) = Y 0 X 0 e j ϕ 8 Donc le module de la foncion de ransfer en la valeur jω es le raor de l amliude de la sinusoïde de sorie sur celle de la sinusoïde d enrée H(jω) = Y 0 X 0 l argumen de la foncion de ransfer en la valeur jω es le déhasage de la sinusoïde de sorie ar raor à la sinusoïde d enrée Arg(H(jω)) = ϕ Le raor Y 0 X 0 = H(jω) es aelé gain du sysème. C es une foncion de la ulsaion ω du signal d enrée x() = X 0.sin ( ω. ). Pour ω endan vers zéro, on rerouve le gain saique (ou en viesse) défini récédemmen. Le déhasage ϕ = Arg(H(jω)) es aussi une foncion de la ulsaion ω. Pour un sysème uremen mécanique, il es oujours négaif, c es un reard. 3 Lieux de ransfer. On aelle lieu de ransfer la rerésenaion grahique de la foncion H(jω). Il exise rois rerésenaions fréquemmen emloyées. Les diagrammes de Bode Le diagramme de Nyquis Le diagramme de Black 3 Diagramme de Bode. Il es consiué d un diagramme des gains rerésenan 0 log H(jω), exrimé en décibels (db), en foncion de log (ω) exrimé en radian ar seconde d un diagramme des hases rerésenan Arg(H(jω)) exrimé en degrés en foncion de log (ω) Les deux diagrammes son oujours rerésenés l un en dessous de l aure avec les deux mêmes échelles en abscisse. Définiions : On aelle décade un raor 0 en fréquence (ou ulsaion). On aelle ocave un raor en fréquence (ou ulsaion). 0 log 0 log H(jω) (db) ene : 0 db/décade Exemle : Sysème du er ordre H(jω) = jω.τ 0 log H(jω) = 0 log 0 log ω τ τ ω Arg H(jω) = Arcan ω τ Avan de racer les deux foncions cidessus, on rerésene leurs droies asymoiques. Pour ω τ << 0 log H(jω) 0 log Erreur enre asymoe e courbe réelle de gain : 3 db en la ulsaion de couure à 3dB : ω c = τ Arg H(jω) (deg.) τ ω Pour Arg H(jω) 0 ω τ >> 0 log H(jω) 0 log 0 log ω 0 log T Arg H(jω) Les diagrammes de Bode des sysèmes du remier ordre e du deuxième ordre son donnés en Annexe V. Les 7 diagrammes de Bode de base son donnés en Annexe VI. Par addiion, on eu obenir le diagramme de Bode d une foncion de ransfer quelconque.

19 3 Diagramme de Nyquis. Il rerésene, dans le lan comlexe, l ensemble des oins d affixe H(jω). Im(H(jω) 9 Exemle : Sysème du er ordre H(jω) = jω.τ Re(H(jω)) Re ( H(jω) ) = τ ω Im ( H(jω) ) = ωτ τ ω ω croissan 3 3 Diagramme de Black. Il rerésene la courbe en foncion de Arg(H(jω)) exrimé en degrés. Exemle : Sysème du er ordre H(jω) = 0.log H(jω), exrimé en décibel, jω.τ 90 0 log H(jω) (db) ω croissan 0 log Arg(H(jω)) (deg.) 3 4 Inérê du racé des lieux de ransfer. Sysème linéaire réel Sysème linéaire connu solliciaions harmoniques foncion de ransfer lieu de ransfer exérimenal comaraison héorie/exérience lieu de ransfer héorique VII Idenificaion e modélisaion. Idenifier un sysème hysique réel, c es déerminer un aure sysème aelé modèle don le comoremen enrées/sories es aussi voisin que ossible de celui du sysème réel concre (our une classe de signaux d enrée corresondan à l alicaion envisagée). Le modèle es soi un aure sysème hysique (simulaeur, modèle rédui...) soi un sysème absrai (ensemble d équaions) On éudie ici rincialemen les modélisaions ar équaions. On disingue alors deux yes de modèles Le modèle de connaissance : Chaque aramère du modèle es relié à un hénomène élémenaire du sysème réel. On l obien ar mise en équaion des lois hysiques du sysème. Ce genre de modèle devien donc rès vie rès comlexe. Mais il résene l avanage de ermere l éude de l influence de chaque aramère hysique. Le modèle de rerésenaion (de comoremen) : Il radui le comoremen global du sysème réel. On ne s inéresse qu aux lois enrées/sories, on considère le sysème comme une boie noire. On obien ce modèle ar exérimenaion. On soume le sysème réel à des enrées connues e simles (échelon, rame, sinus...), on regarde la réonse e le sysème d équaions qui donne la réonse la lus arochane our les mêmes enrées es le modèle reenu. Le racé des lieux de ransfer es ici ariculièremen uile. Avec le modèle de comoremen, on ourra éudier le comoremen du sysème réel lorsqu il es soumis à des enrées quelconques (dans la limie du domaine de validié du modèle), mais si on voi qu il es inéressan de faire varier el ou el aramère, on ne sai as oujours commen le faire car on ne connaî as la significaion hysique de ceux ci. Avec un modèle de connaissance, si on se rend come qu il fau faire varier un cerain aramère, on sai ce que cela signifie sur le sysème réel.

20 Annexe I 0 Exemle de commande linéaire asservie. Ensemble Vérin Disribueur au reos : x = y Disribueur x Cors de vérin Tige de vérin reour du fluide au réservoir ression a y arrivée du fluide à la ression > a Délacemen ẏ. < 0 demandé : x < y x reour du fluide au réservoir ression a y arrivée du fluide à la ression > a Délacemen ẏ. > 0 demandé : x > y x reour du fluide au réservoir ression a y arrivée du fluide à la ression > a

21 Annexe II Proriéés de la ransformée de Lalace F() = L(f()) = e f() d 0 Proriéé de : Original Image Linéarié ( α f() β g() ). u() α F() β Dérivaion Inégraion d f d. u() F() f(0 ) d f d. u() f(x) dx. u() 0 F() f(0 ) d f d (0 ) Translaion (reard) f( a ). u( a ) e a F() Homohéie f( a.). u() ( a 0 ) a. F( a ) F() Théorèmes de la valeur iniiale Théorèmes de la valeur finale d f() lim f() = lim F() e lim 0 0 d d f() lim f() = lim F() e lim 0 d = lim F() = lim 0 F() Transformée de Lalace de foncions usuelles Foncion originale f() Foncion ransformée F() δ() u() n. u() n! (n) e a. u() a. e a. u() ( a ) sin ω. u() cos ω. u() e a. sin ω. u() e a. cos ω. u() ω ω ω ω ( a) ω a ( a) ω

22 Annexe III

23 Annexe IV 3 Réonse indicielle d'un sysème du éme ordre our différenes valeurs de l'amorissemen ξ abscisse : ω.,50 0,0 0,0 0,0 0,50 0,80,00,50 3,00 5,00,00,50,00 0,50 0, T 5% Produi Tems de réonse ar Pulsaion rore Coefficien d amorissemen ξ

24 Annexe V 4 60,0 Diagramme de Bode d'un sysème du ème ordre, en foncion du coefficien d'amorissemen ξ e diagramme de Bode d'un sysème du er ordre (abscisse : ulsaion réduie) 50,0 40,0 30,0 0,00 0,0 0,05 0, 0, 0,0 0,3 0,4 0,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, ,0 50,0 60, ,0 80,0 0,0 0,0,00 0,00 00,00 0,0 0,0,00 0,00 00,00 0,0 0,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 00,0 0,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 0,00 0,0 0,05 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, ,0 80,0

25 Annexe VI 5