Formation REP+ Meaux Villenoy Cycle 3

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1 Formation REP+ Meaux Villenoy Cycle 3 Calcul, résolution de problèmes et énigmes mathématiques Christophe Ansart Jeudi 1 er février 2018

2 I. Le calcul au cycle 3

3 Sur quoi s appuient les stratégies? Des connaissances sur : ØUn ensemble de faits numériques disponibles en mémoire ØUn ensemble de procédures qui s appuient sur : ØLes propriétés des opérations ØLes décompositions ØLes conventions mathématiques : le sens et usage des parenthèses, - le sens du signe égal comme équivalence numérique,

4 Propriétés des opérations: La commutativité de l addition = de la multiplication 8 x 4 = 4 x 8

5 Propriétés des opérations: l associativité De l addition = = De la multiplication 24 x 5 = 12 x 2 x 5 = 12 x 10

6 Propriétés des opérations: la distributivité De la multiplication sur l addition et la soustraction 24 x 36 = (20 + 4) x (30 + 6) = (20 x 30)+(20 x 6)+(4 x 30)+(4 x 6)

7 2- Décomposition d un nombre en produit de facteurs N = a X b X c

8 Décomposer un nombre Tous les nombres ne présentent pas le même intérêt : 36 34

9 Décomposer un nombre 36 = 36 est pair donc divisible par 2 : 36 = 2 X = 9 donc 36 est divisible par 9 : 36 = 9 X 4 et donc divisible par 3 car 9=3X3 : 36 = 3 X = 6 X 6 36 est divisible par 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 et 36

10 Décomposer un nombre 36 = (2 X 18) (2 X 18) 2 X (2 X 9) 2 X (3 X 6) 2 X (2 X 3 X 3) -> 2 X (3 X 3 X 2)

11 Décomposer un nombre 36 = 3 X 12 = 3 X (3 X 4) 4 X 9 = (2 X 2) X (3 X 3) 3 X 12 = 3 X (3 X 2 X 2) 6 X 6 = (2 X 3) X (2 X 3)

12 Certains nombres apportent moins d intérêt. 34 = 34 est pair donc divisible par 2 : 34 = 2 X étant un nombre premier, c est la seule décomposition possible

13 Les nombres premiers Nombre divisible seulement par 1 et par luimême : 13 = 13 X 1 Les nombres premiers ne sont pas dans les tables (ils ne sont pas des résultats de tables de multiplications) Exercices possibles: Chercher tous les nombres premiers jusqu à est-il un nombre premier?

14 Décomposer un nombre 60 = 2 X 30 = 2 X (2 X 15) = 2 X (2 X 3 X 5) 3 X 20 = 3 X (4 X 5) = 3 X (2 X 2 X 5) 4 X 15 = 4 X (3 X 5) 6 X 10 = 6 X (2 X 5)

15 Exemple 1 : décomposer = Divisible par 5 ->225 = 5 X 45 Divisible par 3 et 9 ( = 9) Impair : non divisible par 2 donc Non divisible par 4 et 6

16 Exemple 1 : décomposer = 5 X 45 3 X 75 9 X 25 5 X (9 X 5) 3 X (25 X 3) 9 X (5 X 5) 5 X (3 X 3 X 5) 3 X (5 X 5 X 3)

17 Exemple 2 : décomposer = Pair donc divisible par 2 : 144 = 2 X : 2 = 72 -> pair donc 144 divisible par 4 ; 144 = 4 X? Divisible 2 et 4 donc divisible par 8 : 144 = 8 X ( = 9) donc divisible par 3 et = 3 X? 144 = 9 X? Divisible par 3 et 2 donc divisible par 6 : 144 = 6 X? 144 = 12 X 12

18 Exemple 2 : décomposer = 2 X 72 3 X 48 2 X (36 X 2) 3 X (24 X 2) 2 X (18 X 2 X 2) 3 X (12 X 2 X 2) ou 3 X (8 X 3 X 2) ou 3 X (6 X 4 X 2) 2 X (6 X 6 X 2) 2 X (4 X 9 X 2) 3 X (6 X 6 X 2 X 2)

19 Exemple 2 : décomposer = 4 X 36 8 X 18 9 X 16 4 X (6 X 6) 8 X (3 X 6) 9 X (4 X 4) (voir les décompositions de 36) 8 X (3 X 3 X 2) 9 X ( 2 X 2 X 2 X 2)

20 3- Synthèse de travaux de Mr Deruaz

21 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

22 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

23 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

24 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

25 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

26 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

27 La multiplication et ses représentations Lorsque l on demande à 178 futurs professeurs des écoles de représenter une multiplication à l aide d un dessin :

28 L addition est commutative :

29 La multiplication et ses particularités Le résultat est le même mathématiquement parlant. Néanmoins, dans la réalité, la constitution des ensembles est différente. C est ce qui pose problème aux élèves dans la conceptualisation. La commutativité de la multiplication n est pas intuitive.

30 La multiplication et ses particularités La multiplication comme une addition réitérée : X 5 = a = a + a + a

31 La multiplication et ses particularités La multiplication comme un produit cartésien : Classique Avec un arbre 5 X 3 15 = 5 X 3

32 La multiplication et ses particularités L addition itérée 3 X 5 = 15 Le produit cartésien 3 X 5 = 15 3 X 5 = 15

33 La multiplication et ses particularités La décomposition additive : 17 x dix sept six 60 42

34 4- L enjeu des tables

35 Programmes cycle 2 Nombres et calculs La connaissance des nombres se développe en appui sur les quantités et les grandeurs : L appropriation de stratégies de calcul Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations

36 Programmes cycle 2 Les élèves établissent PUIS doivent progressivement mémoriser des faits numériques : Les élèves s appuient sur ces connaissances pour développer des procédures de calcul adaptées aux nombres en jeu des procédures de calculs élémentaires.

37 Relations arithmétiques entre les nombres 5 et ; 2x4 ; le double de quatre ; 4x2 40:5 ; 5x =40 La carte d identité du ; 1+7 le nombre «juste après» ; ; ; 2+ = 10; ce qui manque à 2 pour aller à 10 la moitié de 16 ; 16:2; 2x = le nombre «juste avant» 9

38 Relations arithmétiques entre les nombres

39 Construire les résultats

40 L enjeu des tables de multiplication Pour éviter d apprendre ses tables comme ses verbes irréguliers en anglais, et réduire grandement les difficultés d apprentissage Sous cette forme, la tâche paraît vraiment ardue, complexe et peu attractive

41 Présentation des tables de multiplication Jean Luc Bregeon IUFM auvergne

42 L enjeu des tables de multiplication D abord la table de 2 faire du lien avec les doubles les moitiés les nombres pairs

43 L enjeu des tables Puis les tables de 5, 4... puis de 3 en partant des résultats... 5 étant la moitié de 10 5 X 4 = (10 X 4) : 2 5 = 1 X 5 10 = = 2 X 5 15 = = 3 X 5 20 = = 4 X 3 = (2 X 2) X 3 = 2 X 6 24 = 4 X 6 = (2 X 2) X 6 = 2 X 12 4 X 7 = 2 X 14 3 = 1 X 3 6 = 2 X 3 9 = 3 X 3 12 = 4 X > (1 + 5) = 6 -> 6 est divisible par 3 donc 15 est divisible par 3 15 = 3 X 5

44 Parallèlement aux tables de 2, 3, 4, 5, on construit : Multiplier par 9 de multiples façons 9 = 10-1 = 9 9 = 1 X 9 18 = 2 X 9 = (10x2) (1x2) 1+8 Vidéo de démonstration : la multiplication par 9 27 = 3 X 9 = (10x3) (1x3) = 4 X 9 = (10x4) (1x4) = 5 X 9 = (10x5) = 6 X 9 = (10x6) = 7 X 9 = (10x7) = 8 X 9 = = 9 X 9 = =

45 Multiplier par 10 Multiplier par 11 Après avoir été construits, les résultats de la table des 10 peuvent être déduits. 3 X 10 = 30 10, 20, 30, 40, 50, 60 3 X 11 = 33 6 X 11 = X 11 = 5 (5+3) 3 = X 11 = 1 (1+8) 8 = 198

46 L enjeu des tables de multiplication Arrivés à l apprentissage de la table X 6, les élèves de CE1-CE2 connaissent déjà tous les résultats jusqu à 6 X 5 = 30, grâce à la commutativité de la multiplication. Il ne reste donc plus à apprendre en cycle 3 que : 6 X 6 = 36 6 X 7 = 42 6 X 8 = 48 Puis pour la table des 7 7 X 7 = 49 7 X 8 = 56 Puis pour la table X 8 8 X 8 = 64 6 faits numériques (à afficher en classe) plus faciles à mémoriser s ils ne sont pas noyés au milieu des autres.

47 Parallèlement au cycle 3 Les doubles de 11, 12, 15, 20, 25, 50, 100 et les moitiés associées, 2 X 11= 22 ; 2 X 12 = 24 2 X 15 = c est 12 ; 24 = 2 X 12 et 24 = 12 X 2 La moitié de 50 c est 25 ; 50 : 2 = 25 Les décompositions en facteurs premiers de certains nombres 60 = 2 x 30= 3 x 20 = 4 x 15 ; 60 = 5 X 12 = 12 X 5 60 = 6 X 10 = 10 X 6 11 diviseurs pour le nombre 60! (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30) d où l intérêt de la numération sexagésimale (secondes/minutes/heures)

48 Parallèlement au cycle 3 La table X 25 jusqu à X 25 = 25 2 X 25 = 50 3 X 25 = 75 4 X 25 = 100 Et ainsi de suite = 5 X = 6 X 25 Les faits numériques du "début" des tables X 15 2 X 15 = 30 3 X 15 = 45 4 X 15 = 60 X 12 2 X 12 = 24 3 X 12 = 36 4 X 12 = 48 5 X 12 = 60

49 5- Calcul mental : le paradoxe de l automatisme

50 Calcul mental : le paradoxe de l automatisme Une procédure est automatisée quand elle est restituée par l élève sans que celui ci la reconstruise (Fischer 1987, Boule 1997). Un automatisme correspond Soit au recours à un ensemble de procédures automatisées (art. D. Butlen, P. Masselot, le nombre au cycle 2) Soit à un comportement se caractérisant par une mobilisation d un seul type de procédure : = 40 + (10 1)

51 Calcul mental : le paradoxe de l automatisme Calcul de Simulation mentale de l algorithme écrit, l élève «pose dans sa tête» l opération en colonnes 2. Utilisation de la décomposition additive ou soustractive de l un ou des deux termes = ou =

52 Calcul mental : le paradoxe de l automatisme Produit des apprentissages Si l élève possède suffisamment de connaissances sur les décompositions des nombres, alors il est en mesure de : explorer les propriétés des nombres et des opérations; enrichir ses connaissances numériques, explorer de nouvelles procédures,

53 Calcul mental : le paradoxe de l automatisme Si les connaissances de l élève sont plus limitées alors : il se réfugie dans des procédures apparemment plus sûres mais peu économiques et sources d erreurs. Celui-ci réduit le nombre et la richesse des expériences numériques contribue à limiter le développement des connaissances : = déficit cognitif

54 Calcul mental : le paradoxe de l automatisme Recommandations : Installer toujours de nouveaux faits numériques Expliciter les procédures Amener l élève à mettre en œuvre des procédures économiques (en fonction des nombres en jeu)

55 6- Analyse de pratiques

56 Analyse de pratiques : la multiplication par 5

57 7- Le calcul magique : The Indian Calculator

58 The Indian Calculator

59 II. Résolution de problèmes

60 Comment réussit-on ces problèmes? Il s agit à chaque fois de calculer le nombre de tulipes dans un massif : a) un massif de fleurs, formé de 60 tulipes rouges et 15 tulipes jaunes ; b) un massif de 60 rangées de 15 tulipes ; c) un massif de 60 fleurs, formé de tulipes et de 15 jonquilles ; d) 60 tulipes disposées en 15 massifs réguliers.

61 Et maintenant, qu en pensez-vous? Travailler ce type de protocole permet de rendre les élèves performants en résolution de problèmes. Oui ou non?

62 Des tâches à questionner Souligner les informations utiles Barrer les informations inutiles, Trouver la question...etc. Ne permettent pas d améliorer la résolution de problèmes

63 Un aparté sur les mots inducteurs A. Deux classes A et B. Dans la classe A il y a 19 élèves, ce qui fait 7 élèves de moins que dans la classe B. Combien d élèves dans la classe B? B. Aujourd hui Marie a 20 marrons. Elle a 12 marrons de plus qu hier. Combien en avait elle hier? Vigilance par rapport à ces tâches qui ne produisent pas les effets qu elles sont censées produire

64 COMMENT RÉUSSIT-ON À RÉSOUDRE DES PROBLÈMES? Le point de vue des cognitivistes

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66 Conséquences sur les enjeux de l enseignement des problèmes 1. Enrichir la mémoire des élèves sur les problèmes : Vers les élèves : donner des occasions aux élèves de résoudre des problèmes et de les réussir seuls Vers les enseignants/les programmes : définir des types de problèmes dont on attend qu ils soient résolus «automatiquement» par les élèves Mais quels problèmes? 2. Permettre l invention de procédures Mais avec quelle finalité mathématique?

67 Vers une typologie des problèmes arithmétiques C. Houdement

68 Comment caractériser ce type de problème? Une piste d athlétisme mesure 400 m. Paul fait 5 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue? CE2 Dans cette salle, 400 places en 25 rangées régulières. Combien de places par rangée? CM Problèmes basiques Pas de donnée superflue Une syntaxe facile Un contexte facile à comprendre (a priori)

69 Comment caractériser ce type de problème? Hypothèse : problèmes à mémoriser = problèmes basiques Permettre aux élèves de les réussir seuls Outils théoriques qui les organisent : Vergnaud 1985, structures additives (champ conceptuel addition-soustraction ) - structures multiplicatives (champ conceptuel multiplicationdivision - proportionnalité) un outil crucial pour les problèmes arithmétiques

70 Problèmes à mémoriser : les problèmes «basiques» Attention La typologie Vergnaud des problèmes, un outil de l enseignant : - pour construire des séries de problèmes ressemblants - pour ne pas évaluer les élèves sur des types de problèmes qu il n aurait pas fait travailler. Les schémas de Vergnaud ne sont pas proposés pour faire l objet d un enseignement.

71 Comment caractériser ce type de problème? Au cinéma Royal Ciné un adulte paye 6 par séance et un enfant paye 4 par séance. A la séance de l après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. A la séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est 542 Combien y avait-il d enfants à la séance de l après-midi? ERMEL (1997 ; 2005) Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1. Paris :Hatier

72 Problèmes «complexes» Un problème qui est un composé de problèmes basiques cachés à construire par l élève! L exemple du problème de recette du cinéma: Sous problèmes calculables Séance du soir : nombre de personnes Séance du soir : prix que payent les adultes Séance du soir : prix que payent les enfants Séance de l après midi : prix que payent les adultes Deux séances : prix que payent les adultes Sous problèmes utiles Recette de la séance du soir OU Recette venant des adultes ET Séance du soir : prix que payent les enfants

73 Comment caractériser ce type de problème? Charles a récolté 108 kg de châtaignes. Il les met dans trois paniers, un petit, un moyen, un grand. Les châtaignes du panier moyen pèsent le double de celles du petit panier. Les châtaignes du grand panier pèsent le double de celles du panier moyen. Après avoir rempli ces trois paniers, il lui reste quelques kg de châtaignes, exactement la moitié du poids des châtaignes du grand panier. Combien de kg de châtaignes Charles a t-il mis dans chaque panier? Combien de kg lui reste-il? Les châtaignes de Charles ARMT cat.5 6 7

74 Problèmes atypiques Inventivité stratégique Flexibilité de raisonnement Persévérance et confiance en soi

75 Vers une typologie des problèmes arithmétiques Problèmes «basiques» (d un savoir, d un concept) Enjeu élève : les mémoriser Problèmes «complexes» Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats Problèmes atypiques Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement, persévérance et confiance en soi

76 La classification de Vergnaud CPDCS77

77 Problèmes additifs

78 Dans la classe, il y a 7 chaises rouges et 6 chaises jaunes. Combien y a-t-il de chaises en tout dans la classe? Composition de 2 états

79 Composition de 2 états Recherche du composé Recherche d une partie

80 Le réservoir de ma voiture est plein : il contient 60 litres. Au cours d un voyage, j ai consommé 49 litres. Combien reste-t-il de litres d essence dans mon réservoir? Transformation d un état

81 Transformation d un état Recherche de l état final Recherche de la transformation Recherche de l état initial

82 Ma cousine a 28 ans. Elle a 6 ans de plus (ou de moins) que son frère. Quel âge a son frère? Comparaison d états

83 Comparaison d états Recherche de la comparaison Recherche de l un des états

84 A la gare le train repart avec 140 personnes de moins qu à son arrivée. 270 personnes sont descendues. Combien de personnes sont montées? Composition de transformations

85 Composition de transformations Recherche de la transformation composée Recherche de l une des composantes Recherche de l état initial ou final

86 Composition de 2 états Transformation d un état Comparaison d états Composition de transformations Il y a 18 crayons dans le pot sur le bureau de la maîtresse. Marie rapporte 7 crayons, puis Hugo emprunte 5 crayons. Combien y a-t-il maintenant de crayons dans le pot?

87 Composition de 2 états Transformation d un état Comparaison d états Composition de transformations Dans un stade de football, on compte spectateurs sont venus encourager l équipe des bleus. Combien encouragent l équipe des rouges?

88 Composition de 2 états Transformation d un état Comparaison d états Composition de transformations Le lycée Montchapet accueille élèves. Le lycée Carnot accueille lui, élèves. Combien le lycée Carnot a-t-il de plus ou de moins que le lycée Montchapet?

89 Composition de 2 états Transformation d un état Comparaison d états Composition de transformations Pour le mariage de mon cousin, j ai acheté un costume qui valait 199. Je l ai fait retoucher pour qu il soit exactement à ma taille. Je l ai payé finalement 240. Quel était le prix des retouches?

90 Et les problèmes ouverts?

91 III. Enigmes mathématiques