TD2 Thermodynamique TSI 2

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1 1 e principe Dans un diagramme de Clapeyron, on a : Exercice 1 : Grandeur différentielle totale exacte et forme différentielle Un gaz parfait ( = = 1,4 8,3.. ) de moles, subit deux transformations différentes et mécaniquement réversibles, notées respectivement (1) et (2), d un même état initial (, ) vers un même état final (, ). - La transformation (1) est une compression isotherme et sans frottement. - La transformation (2) se fait en deux étapes avec d abord une compression adiabatique mécaniquement réversible (état intermédiaire (, )) puis un refroidissement isochore vers l état. Pour réaliser la transformation isotherme, il faut comprimer lentement pour assurer l équilibre mécanique. Pour la transformation adiabatique, il faut une transformation brutale «thermiquement» et donc rapide. On obtient : = , = 60, = 293 = 10, = 60, = 293 Vous avez à disposition le matériel cidessous permettant de contrôler le volume occupé par un gaz dans une seringue connectée à un capteur de pression. = 30, = 293, = = 0 Car isotherme = 30, = = 20, = 293, = = 0 Car retour à la température initiale = = IL faut seulement tenir du compte du travail lors de la transformation adiabatique : 1) On fixe = 10, = 60, = 30. Expliquer comment réaliser expérimentalement les transformations (1) et (2). Noter les valeurs et. 2) Représenter ces deux transformations dans un diagramme de Clapeyron. 3) Obtenir avec justifications les expressions données dans le tableau ci-dessous. = ln A l aide du premier principe : = ln = ( ) Le transfert thermique intervient lors de la 2 e étape et d après le 1 e principe et la loi de Laplace : = 0 = 0 = = ln = ln 4) Calculer puis interpréter le rapport Donc : = = 1,15 > 1 : le gaz est plus difficile à comprimer lorsqu il s échauffe!

2 2 Nd principe directement à la variation d énergie interne : = Exercice 2 : Transformations irréversibles? Données : On représente ci-dessous les fonctions et en fonction de > 0 d) Calculer la variation d entropie La variation d entropie est donnée à l aide de l identité thermodynamique : = + Dans cette transformation isochore : = e) Calculer l entropie d échange 1) Transformation monotherme isochore : On considère moles de gaz parfait ( = ) enfermés dans un cylindre muni d un piston et subissant une transformation monotherme : les échanges thermiques ne se font qu avec un seul thermostat. a) La transformation est isochore et fait passer la température initiale à la valeur >. Décrire le dispositif (paroi du récipient, extérieur). Dans un premier temps, on peut chercher à nommer cette transformation On ne peut pas parler de compression ou de détente (pas de modification du volume). En revanche, une transformation sera possible si un paramètre extérieur est en déséquilibre avec le système : il s agit de la température. La transformation est un chauffage au contact d une température unique maintenue par un thermostat. Par définition : = = = ( ) f) Exprimer l entropie créée. Conclusion = = ( ) + = ( + ) Avec =. On peut alors étudier cette fonction en comparant deux fonctions : et : Il faut donc imaginer un piston bloqué enfermant un gaz. Les parois diathermanes sont, par exemple, plongées dans un récipient remplie d eau chaude. On a clairement un système thermoélastique contenu dans un réacteur thermomécanique fermé à parois fixes et diathermanes : l équilibre thermique n est pas réalisé. Nous avons donc une inhomogénéité de la température conduisant à une irréversibilité de la transformation. c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique Le travail des forces de pression (qui est le seul travail mis en jeu ici) est nul. Le transfert thermique s identifie On peut alors affirmer que pour toute température, la transformation isochore monotherme est irréversible. 2) Transformation monotherme isobare : On considère moles de gaz parfait ( = ) enfermés dans un cylindre muni d un piston et subissant une transformation monotherme : les échanges thermiques ne se font qu avec un seul thermostat a) La transformation est isobare (à la pression ) et on fait passer de manière mécaniquement réversible le gaz de son volume initial

3 (température ) à un volume final < (température finale ). Décrire le dispositif (paroi du récipient, extérieur). S agit-il d une compression? Dans un premier temps, on peut chercher à nommer cette transformation. On ne peut pas parler de compression ou de détente (pas de modification de la pression). En revanche, une transformation sera possible si un paramètre extérieur est en déséquilibre avec le système : il s agit de la température. La transformation est un refroidissement au contact d une température unique maintenue par un thermostat avec des parois diathermanes. Comme la transformation est réversible mécaniquement, l égalité des pressions (intérieure et extérieure) est assurée. On réalise donc un refroidissement isobare en mettant en contact la paroi mobile avec l extérieur et immergeant le reste du système dans un bain d eau froide. On a un système thermoélastique contenu dans un réacteur thermomécanique présentant un déséquilibre de température avec l extérieur. Il y a donc à coup sûr irréversibilité. c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique On a donc une transformation isobare, pour laquelle on a un travail des forces de pression (avec un mouvement quasistatique et sans frottement du piston) donné par : = ( ) Le transfert thermique de cette transformation isobare est rapidement donné par l enthalpie : = = d) Calculer la variation d entropie A l aide de l identité thermodynamique : = = ; = e) Calculer l entropie d échange Par définition : = = ; = ( ) ( ) = = + = ( + ) Avec =. On peut alors étudier cette fonction en comparant deux fonctions : et : On peut alors affirmer que pour toutes températures, la transformation isobare monotherme est irréversibles. 3) Transformation isotherme : On fait passer moles de gaz parfait ( = ) d un volume initiale (température ) à un volume final < (température finale ) dans un réacteur thermomécanique dépourvu de frottement au cours d une transformation isotherme. a) Décrire le réacteur et la nature de la transformation. Il s agit d une compression impliquant des parois diathermanes en contact permanent avec un thermostat permettant de maintenir une température unique. Pour que cet équilibre thermique avec l extérieur soit possible, l expérience est nécessairement quasistatique donc lente On a un équilibre thermique et mécanique pour ce système contenu dans un réacteur thermomécanique sans frottement, il n y a donc aucune source d irréversibilité. c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique On a : = = f) Exprimer l entropie créée. Conclusion Et le transfert thermique est donné à partir du 1 e principe :

4 = = d) Calculer la variation d entropie A l aide de l identité thermodynamique : = = = 0 Et le travail s obtient à l aide du 1 e principe : = = e) Calculer la variation d entropie Avec l identité thermodynamique : = + = e) Calculer l entropie d échange L entropie d échange vaut : = f) Exprimer l entropie créée. Conclusion L entropie créée est nulle. La transformation est donc bien réversible. 4) Transformation adiabatique : On fait passer moles de gaz parfait ( = ) de manière mécaniquement réversible d un volume initiale (température ) à un volume final < (température finale ) dans un réacteur thermomécanique dépourvu de frottement au cours d une transformation adiabatique. = + = + = 0 f) Calculer l entropie d échange = 0 g) Exprimer l entropie créée. Conclusion Aucune entropie créée, donc la transformation est bien réversible. 5) Vérification expérimentale Pour finir, on reprend les deux transformations (1) et (2) de l exercice 1. a) Retrouver les expressions du tableau cidessous = a) Décrire le réacteur et la nature de la transformation. = ln Cette fois les parois sont athermanes, le piston est en mouvement quasistatique, assurant l équilibre mécanique. La température du milieu extérieur n influe pas ici (équilibre interne). Il s agit donc d une compression qui s accompagne d une augmentation de la température. = 0 Pas de déséquilibre mécanique et équilibre thermique interne, donc pas de source d irréversibilité (pas de frottement n ont plus) c) Donner l expression de température subie par le gaz en fonction de,, et On a =. Donc = = d) Evaluer le travail des forces de pression en fonction de,, et et le transfert thermique. b) A l aide de vos valeurs expérimentales, calculer la variation d entropie pour ces deux transformations et interpréter son signe. La transformation étant isotherme : = = La transformation étant adiabatique mécaniquement et réversible : elle est isentropique. Donc la variation d entropie est liée au refroidissement isochore :

5 Pour ce chemin isotherme : = ln La seule contribution du chemin isochore donne : = 0 car réversible A cause de l isochore La variation d entropie est la même pour les deux transformations : = = 1,7. < 0 Si on assimile l entropie à une mesure du manque d information (désordre) alors la compression conduit à une diminution de cette grandeur. Applications Exercice 3 : Résonateur d Helmholtz Le résonateur d Helmholtz est une cavité ouverte remplie d air. Ce gaz oscille notablement au niveau de l ouverture lorsqu il est stimulé à une certaine fréquence : la fréquence de résonance. On fixe la géométrie de ces cavités pour régler la fréquence de l onde acoustique en résonance. En fonction du matériau placé dans la cavité, on peut atténuer ou exalter l intensité de la vibration acoustique. Ce procédé est utilisé dans certains tuyau d échappement. Le gaz contenu dans le cylindre de section est affecté d une masse. Il peut être assimilé à un «bloc solide» en oscillation de masse volumique. Son centre de masse est repéré par sa côte verticale. En l absence d oscillation, on fixe la côte à = 0. Le volume contient un gaz supposé parfait et non visqueux et à la pression = + où est la pression atmosphérique et traduit les variations de pression liées aux oscillations (donc ( = 0)= 0). Les parois du récipient sont supposées calorifugées : les compressions et détentes de l air dans sont adiabatiques. Les oscillations sont suffisamment lentes pour être considérées comme mécaniquement réversibles. 1) Ecrire l équation mécanique de la masse en négligeant le poids et les effets visqueux. 2) Trouver l expression de en fonction de,,, et dans l hypothèse d oscillations de petites amplitudes (on rappelle que (1 + ) 1 + si 1). 3) En déduire l expression de la fréquence des oscillations. 4) A l aide d une bouteille de vin, d un microphone et d une analyse spectrale, vérifier la validité de la formule précédente Rq : La fréquence mesurée est au-dessus de celle attendue car la longueur du bloc d air en oscillation est sous estimée : une partie de l air en dehors de l enbouchure oscille aussi (il faut typiquement rajouter 1 cm à ). A un instant, la relation fondamentale de la dynamique donne : = + = On va modéliser le résonateur par un cylindre de volume surmonté d un autre cylindre de section et de hauteur. = L idée est donc de trouver la fonction. Avec les lois de Laplace : = donc : = ( + ) = 1 +

6 Soit : = = 30,0 = 48,5 1,67 = 67,0 = 4,50 Et : = Et donc : + = 0 Soit = Ci-dessous une acquisition sur Labview avec une bouteille de vin on calcule 135 et on trouve une fréquence de 117Hz! On a donc = = 129 et = = 302 On peut donc mesurer un rendement 43% ce qui laisse entendre que plus de la moitié de l énergie électrique n est pas utile au chauffage de l eau! Ce transfert est perdu pour partie par conduction thermique à travers les parois de la bouilloire (effectivement bien chaude à la fin du chauffage). Questions de réflexion Question 1 : le second principe est un principe d évolution Exercice 4 : Rendement d un système de chauffage Matériels : Donnée : - Bouilloire - Puissancemètre (et sa documentation technique) - Thermomètre - Chronomètre - balance - Capacité calorifique massique de l eau On considère un système constitué de deux gaz répartis dans deux compartiments distincts. Le système est isolé de l extérieur, toutes les parois sont fixes et les gaz sont séparés par une paroi diathermane. On note et les températures respectives des deux gaz au cours de la transformation avec >. On notera et les transferts thermiques algébriques échangés par les deux compartiments. En utilisant l énoncé du second principe proposé dans le cours, retrouver l énoncé de Clausius du second principe : il n existe pas de processus dont le seul effet serait un transfert thermique d une source froide vers une source chaude. L application du premier principe donne : 1) Comment pourrait-on définir le rendement d une bouilloire? 2) Proposer un protocole permettant de mesurer ce rendement. 3) Effectuer les mesures permettant d estimer ce rendement. = 0 puisque le système est isolé. L énergie interne est extensive donc : + = 0 L absence de travail des forces de pression donne alors : = et = On obtient les résultats suivants : L identité thermodynamique donne également = et = Tempéra ture initiale : Tempéra ture finale : Masse d eau : Temps de chauff age Puissan ce moyenn e consom mée L entropie est extensive donc : = + 0 soit + 0 et 0 Ainsi si > alors < 0 Question 2 : le second principe démontre l inexistence de la machine cyclique monotherme

7 On considère un fluide réalisant un cycle de transformations (avec donc un retour à l état initial à chaque cycle) au contact d une seule source de chaleur supposée thermostatée à la température. D après le second principe : = 0 cette augmentation cesse à l équilibre (plus de transformation). En utilisant l énoncé du second principe proposé dans le cours, retrouver l énoncé de Kelvin du second principe : il n existe pas de moteur fonctionnant de manière cyclique qui produise du travail à partir d un seul thermostat. = 0 sur un cycle et + = 0 soit =. Or le second principe affirme que = 0 = + donc 0 et 0 Question 3 : travail et transfert thermique ne sont pas équivalents 1) Quel est le principe d une résistance de chauffage? Quelle peut être son rendement? 2) La machine monotherme n existant pas, considérons alors une machine cyclique ditherme (système au contact de deux thermostats). Notre système thermodynamique perçoit alors deux transferts thermiques et au cours du cycle par chaque thermostat aux températures respectives et <. Montrer alors que la conversion intégrale de la chaleur en travail est impossible. 3) Comment améliorer les performances d une machine ditherme cyclique (et donc limiter la dégradation de l énergie). Une résistance chauffage peut convertir intégralement un travail électrique en un transfert thermique par effet Joule. En utilisant une machine cyclique ditherme alors, au cours d un cycle : = 0 = + + Et + 0 d après le second principe donc : soit + 0 donc. Le meilleur des rendements est obtenu dans le cas d une machine effectuant des transformations réversibles. Ainsi l entropie créée permet d apprécier la dégradation de l énergie en mesurant l irréversibilité des transformations. Questions 4 : Entropie d un système isolé Montrer que l entropie d un système isolé siège d une transformation ne peut que croître. Que peut-on affirmer à l état d équilibre?