BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

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1 BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire

2 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes : la méthode exhaustive (ou recesemet) : o examie chacu des élémets de la populatio. E gééral, cette méthode est jugée trop logue. la méthode des sodages : o examie qu ue partie de la populatio pour essayer d e déduire des iformatios sur la totalité de la populatio. Cette méthode compred deux parties : l échatilloage qui permet de passer de la populatio totale à ue partie seulemet de cette populatio (l échatillo). l estimatio qui permet d iduire, à partir des résultats observés sur l échatillo, des iformatios sur la populatio totale. Nous e ous préoccuperos pas ici des problèmes cocerat l échatilloage. Notre propos sera seulemet d examier deux méthodes différetes d estimatio. 2. Pricipe de la théorie O cosidère ue populatio P d effectif N. O suppose que, pour le caractère observé, la moyee de P est m alors que so écart-type est σ. Ce sot ces deux valeurs que ous voudrios retrouver à partir des échatillos. Supposos doc maiteat que ous disposos de k échatillos de P, chacu d etre eux état d effectif. O ote E 1 E 2 E k ces k échatillos, de moyees respectives x 1 x 2 x k, et d écart-type respectifs σ 1 σ 2 σ k. L esemble X = x k 1 x 2 x est ue série statistique d effectif k, série que l o appelle distributio des moyees. La théorie motre alors que De plus, pour 30, la variable aléatoire X 3. Estimatio poctuelle E X = m et σ X = σ m la variable aléatoire X suit approximativemet ue loi ormale N σ m suit approximativemet ue loi ormale N (0 1). σ. Autremet dit, Coaissat la moyee x et l écart-type σd u échatillo de taille, il s agit d estimer la moyee m, l écart-type σ et la variace σ 2 de la populatio totale. Pour la moyee, l estimatio poctuelle est la méthode aïve qui cosiste à cofodre la mesure sur l échatillo avec la moyee de la populatio totale. O dira que x est ue estimatio poctuelle de la moyee m. Pour la variace et l écart type, o admettra que : σ2 est ue estimatio poctuelle de la variace σ 2 et 1 doc : 1 σest ue estimatio poctuelle de l écart-type σ Das le cas où, pour ue populatio complète, c est ue fréquece p que l o cherche à estimer à partir de la fréquece f observée sur u échatillo, o brosède comme pour ue moyee. Plus précisémet, l estimatio poctuelle est la méthode qui cosiste à cofodre la mesure sur l échatillo avec la mesure de la populatio totale. Si f est la fréquece, sur l échatillo, du caractère observé, o dira que f est ue estimatio poctuelle de la fréquece p. 1

3 1 96 X ). Statistiques iféretielles 4. Estimatio d ue moyee par itervalle de cofiace O cosidère ue populatio P d effectif N. O suppose que, pour le caractère observé, la moyee, icoue, de P est m alors que so écart-type, cou, est σ. Situatio résumée das le diagramme ci-dessous : m : icou σ : cou Populatio Échatillo x O prélève au hasard, et avec remise, ue successio d échatillos de même effectif dot o calcule les moyees respectives : x 1 pour le premier, x, 2 pour le deuxième, et aisi de suite. Notos maiteat X la variable aléatoire qui associe à u échatillo E i sa moyee x i. La variable X pred doc successivemet les valeurs x 1, x 2 = Pour fiir, o suppose m égalemet que les coditios sot réuies pour pouvoir utiliser ue coséquece du théorème de la limite cetrée et faire l approximatio que X suit la loi ormale N (m σ Autremet dit que la variable aléatoire T suit la loi ormale N (0 1). O aura alors, pour tout t 0, P( t T t) = 2Π(t) 1 σ X Calcul sur u exemple : itervalle de cofiace à 95% Par exemple, si o veut obteir u itervalle ayat 95% de chaces de coteir la moyee m de la populatio P, o procède de la maière suivate : O a 2Π(t) 1 = 0 95 Π(t) = Avec la table doée das le formulaire, o voit que cette valeur est obteue pour t = O a doc P 1 96 (X m) = 0 95 σ 1 96 P (X m) Pm σ X 1 96 σ = σ m σ = 0 95 Autremet dit, avat de prélever u échatillo m de taille das la populatio, il y a 95% de chaces pour que cet échatillo ait ue moyee etre 1 96 σ et m σ Comme m est icou, o se sert P des X résultats précédets m pour ecadrer m : 1 96 σ σ = 0 95 PX m 1 96 σ = σ X σ = 0 95 Aisi, avat de prélever u échatillo x de taille das m la populatio, il y a 95% de chaces pour la moyee x de cet échatillo vérifie 1 96 σ x σ X σ m E revache, après le prélèvemet, il y a plus de probabilité à evisgager : il est vrai ou faux que la moyee m se situe das l itervalle evisagé x 1 96 σ x σ. moyee de la populatio avec le coefficiet de cofiace 95% (ou avec le risque 5%). Cet itervalle est appelé itervalle de cofiace de la 2

4 x Statistiques iféretielles Cas gééral O foctioe exactemet sur le même pricipe : u coefficiet de cofiace choisi à l avace permet de défiir u ombre positif t tel que P( t T t) = 2Π(t) 1 soit égal à ce coefficiet de cofiace. Par exemple, 2Π(t) 1 = 0 99 si et seulemet si Π(t) = 0 995, ce qui correspod à t = 2 58 (d après la table de la loi ormale N (0 1)). E repreat tous les calculs ci-dessus, o obtiet x alors le résultat suivat : L itervalle σ σ t + t est l itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio avec le coefficiet de cofiace 2Π(t) 1, ayat pour cetre la moyee x de l échatillo cosidéré. Das la pratique, o utilise souvet des coefficiets de cofiace de 95%, ce qui correspod à t = 1 96, ou à 99%, ce qui correspod à t = Estimatio d ue fréquece par itervalle de cofiace O cosidère ue populatio P d effectif N. O suppose que, pour le caractère observé, la fréquece, icoue, de P est p. O suppose égalemet que l o dispose d u échatillo de atille de cette populatio, échatillo sur lequel le caractère observé l est avec la fréquece f. Situatio résumée das le diagramme ci-dessous : p : icoue Échatillo f Populatio p O se place das le cas où l o peut cosidérer que la variable F qui, à tout échatillo aléatoire de taille fixée, associe la fréquace de cet échatillo possédat la propriété fixée, suit la loi ormale N p(1 p). U raisoemet et des calculs aaloguet f à ceux du paragraphe précédet ous doet alors le résultat suivat : t L itervalle f (1 t f ) f (1 f ) f est l itervalle de cofiace de la fréquece p de la populatio avec le coefficiet de cofiace 2Π(t) 1, ayat pour cetre la fréquece f de l échatillo cosidéré. Das la pratique, o utilise souvet des coefficiets de cofiace de 95%, ce qui correspod à t = 1 96, ou à 99%, ce qui correspod à t = Test de validité d hypothèse : ature du problème Depuis quelques déceies, o assiste à ue etrée e force de des méthodes statistiques das le domaie règlemetaire, lequel coduit à la prise de décisio : o a ou o a pas le droit E particulier, l augmetatio des échages commerciaux et des lies écoomiques etre les pays s accompage d accords destiés à fixer les règles commues. Les statistiques iféretielles trouvet là u immese champ d applicatios. Cela se traduit par des règlemetatios défiissat das chaque cas particulier ue procédure destiée à préciser sas ambiguïté : commet u ou plusieurs échatillos doîvet être prélevés das la populatio étudiée; quelles mesures doîvet être effectuées sur ce ou ces échatillo(s); quelle décisio doît être prise à propos de l esemble de la populatio. Ue telle procédure s appelle, e statistique, u test de validité d hypothèse. De maière plus géérale, il s agit, à partir de l étude d u ou plusieurs échatillos, de predre des décisios cocerat l esemble de la populatio. 3

5 Statistiques iféretielles 7. Exemple de test : comparaiso de la moyee d ue populatio à u ombre fixé Ue société s approvisioe e pièces brutes qui, coformémet aux coditios fixées par le fourisseur, doivet avoir ue masse moyee de 780 grammes. Au momet où 500 pièces sot réceptioées, o e prélève au hasard u échatillo de 36 pièces dot o mesure la masse. O obtiet les résultats suivats : Masses des pièces (e grammes) Nombre de pièces [ [ 2 [ [ 6 [ [ 10 [ [ 11 [ [ 5 [ [ 2 La masse moyee des pièces de l échatillo est de g. E supposat que l écart-type des masses pour la populatio des 500 pièces est σ = 12 5 g, o obtiet [ ; ] comme itervalle de cofiace à 95% de la moyee icoue m de cette populatio Présetatio du problème Peut-o cosidérer que les 500 pièces de la populatio ot ue masse moyee de 780 g, comme le prévoiet les coditios fixées par le fourisseur? Autremet dit, doit-o ou o accepter la livraiso de ces 500 pièces au vu du résultat obteu sur l échatillo? Hypothèse ulle O suppose que la moyee de la populatio est 780. C est l hypothèse ulle, otée H 0 : m = 780. Alors, la variable aléatoire X qui, à tout échatillo aléatoire o exhaustif de taille = 36, associe la moyee de cet échatillo suit approximativemet la loi ormale N (780; σ ). Cherchos h réel positif tel que p 780 h X h = 0 95 Avec la méthode habituelle, o trouve h = 4 08, ce qui ous permet de coclure : p X = 0 95 Aisi, e supposat que m = 780, o sait, avat de prélever u échatillo aléatoire de taille 36, que l o a 95% de chaces que sa moyee soit das l itervalle [ ; ]. Autremet dit, si H 0 est vraie, il y a que 5% de chaces de prélever u échatillo aléatoire de taille 36 dot la moyee soit iférieure à ou supérieure à Règle de décisio, régio critique O fixe alors la règle de décisio suivate : o prélève avec remise u échatillo aléatoire o exhaustif de taille = 36 et o calcule sa moyee x. Si x [ ; ], o accepte H 0 Si x [ ; ], o rejette H 0 4

6 Statistiques iféretielles Regio critique Regio critique 0, , , 08 O accepte H 0 Si H 0 est vraie, o pred doc le risque de se tromper das 5% des cas e rejetat à tord H 0. O défiit aisi ue régio critique au seuil α = 5%. Le seuil α est la probabilité de rejeter H 0 alors que H 0 est vraie. Il correspod à l erreur de première espèce. E gééral, o fixe a priori la valeur de α (ici égal à 0 05). Das l exemple qui ous occupe, o a x = pour l échatillo cosidéré. O a x et o rejette l hypothèse H 0. Au seuil de 5%, o cosidère que les 500 pièces de la populatio ot pas ue moyee de 780 g et o refuse la livraiso Erreur de secode espèce O aurait pu choisir u seuil de 1% pour dimiuer le risque de rejeter H 0 alors que H 0 est vraie. O a p( X ) = 0 99 Au seuil de 1%, o accepte H 0 puisque x appartiet à l itervalle cosidéré, et o accepte alors la livraiso des 500 pièces. Regio critique Regio critique 0, , , 38 O accepte H 0 Mais, e acceptat H 0 au seuil de 1%, o court u secod risque : celui d accepter H 0 alors que H 0 est fausse : c est l erreur de secode espèce, dot la probabilité est otée β. E gééral, lorque la taille de l échatillo est fixée, o a α qui dimiue lorsque β augmete, et réciproquemet. Le seule faço de dimiuer e même temps α et β est d augmeter, ce qui est pas toujours possible. E fait, la plupart du temps, les erreurs des deux types ot pas la même importace, et o essaie de limiter la plus grave Hypothèse alterative Il faut défiir plus précisémet le cas où H 0 est fausse. Das ce qui précède, o a choisi implicitemet m = 780 comme hypothèse alterative H 1. Le test est alors bilatéral, car la régio critique est située des deux côtés de la régio où o accepte H 0. Si o décide, par exemple, de predre m 780 comme hypothèse alterative H 1, le test est alors uilatéral et la régio critique est située etièremet d u côté de la régio où o accepte H 0. 5

7 Statistiques iféretielles Résumé E gééral, les questios faisat iterveir u test de validité d hypothèse peuvet être résolues e adoptat le pla suivat : 1. Costructio du test a) Choix de l hypothèse ulle H 0 et de l hypothèse alterative H 1. b) Détermiatio de la régio critique à u seuil α doé. c) Éocé de la règle de décisio : si u paramètre du ou des échatillo(s) est das la régio critique, o rejette H 0, sio o l accepte. 2. Utilisatio du test a) Calcul du paramètre de l échatillo metioé das la règle de décisio, b) Applicatio de la règle de décisio. 8. Exemple de test : comparaiso de la moyee de deux populatios Présetatio du problème U secod fourisseur B livre 800 pièces du même modèle. O prélève au hasard et avec remise u échatillo de 50 pièces dot o mesure la masse. O obtiet les résultats suivats : Masses des pièces (e grammes) Nombre de pièces [ [ 6 [ [ 12 [ [ 16 [ [ 11 [ [ 4 [ [ 1 La masse moyee des pièces de l échatillo est de alors que l échatillo de 36 pièces proveat du premier fourisseur a pour moyee g. La différece de 4 9 etre ces moyees proviet-elle d ue différece etre les productios des deux fourisseurs ou du choix des échatillos? Autremet dit, commet costruire et utiliser u test permettat de décider, à partir des échatillos ci-dessus, s il y a ue différece sigificative, au seuil de 5%, etre les moyees des masses des pièces livrées par les deux fourisseurs? U peu de théorie Nous sommes e présece de deux échatillos extraits de deux populatios correspodat aux deux fourisseurs A et B. O peut schématiser la situatio de la faço suivate : m A : icoue σ A = 12 5 A = 36 x A = σa = m B : icoue σ B = 12 1 B = 50 x B = σb = Échatillo Échatillo Populatio A Populatio B Soit X A (resp X B ) la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille A = 36 (resp B = 50) prélevbé aléatoiremet et avec remise das la populatio A (resp B), associe la moyee des masses de pièces de l échatillo. O se place das le cas où X A suit approximativemet la loi ormale N (m A σ A la loi ormale N (m B σ B B ). 6 A ) et X A suit approximativemet

8 Statistiques iféretielles B Par défiitio, la variable aléatoire D = X X B associe à tout échatillo de taille 36 aisi prélevé das la populatio A et à tout échatillo aisi prélevé das lma populatio B la différece des moyees de l échatillo B et de l échatillo A. O suppose que B les variables X A et X B sot idépedates. Alors D = X X A suit ue loi ormale et B A B A B E(D) = E X B X A = E X B E X A = m m A V(D) = V X X = V X + V X = σ2 B + σ2 A B A σ 2 B L écart-type de D est doc + σ2 A 2 7, et D suit ue loi ormale N (m B A B m A ; 2 7) Costructio du test Choix de H 0 : m A = m B. : Choix de H 1 : m A = m B. Nous allos tester la validité de l hypothèse la moyee des masses des pièces sur l esemble de chaque livraiso est la même pour les fourisseurs A et B. détermiatio de la régio critique au seuil de 5% Sous l hypothèse H 0, D suit la loi ormale N (0 ; 2 7), doc D 2 7 suit la loi ormale cetrée réduite N (0 1). E particulier, o a p( t 2 7 D t) = 0 95 lorsque t = 1 96, et doc p( 5 29 D 5 29) = Regio critique Regio critique 0, 95-5, , 29 O accepte H 0 Éocé de la règle de décisio O prélève avec remise u échatillo aléatoire de taille A = 30 de B la populatio A et o calcule sa moyee x A ; o fait de [ même [ pour la populatio B avec B = 50. O pose d = x x A. si d 5 29 ; 5 29] o accepte H 0. si d 5 29 ; 5 29] o rejette H 0 et o accepte H Utilisatio du test Calcul de B d O a d = x x A = = 4 9 Applicatio de la règle de décisio [ Comme moyees des masses des pièces livrées par les deux fourisseurs. ; 5 29], o accepte H 0 : au seuil de 5%, il existe pas de différece sigificative etre les 7

9 Statistiques iféretielles 9. U derier exemple Défiitio du problème Toujours avec les doéees précédetes, commet costruire et utiliser u test permettat de décider, à partir des mêmes échatillos, si la moyee des masses des pièces livrées par le fourisseur B est sigificativemet supérieure, au seuil de 5%, à celle du fourisseur A? Costructio du test uilatéral Choix de H 0 : m A A = m B. Choix de H 1 : m m B. détermiatio de la 2 7 régio critique au seuil de 5% Sous l hypothèse H 0, D suit la loi ormale N (0 ; 2 7), doc D 2 7 suit la loi ormale cetrée réduite N (0 1). E particulier, o a p(d t) = 0 95 lorsque t = (par lecture du formulaire), et doc p(d 4 44) = Regio critique 0, , 44 Éocé de la règle de décisio O prélève avec remise u échatillo aléatoire de taille A = 30 de B la populatio A et o calcule sa moyee x A ; o fait de d d même pour la populatio B avec B = 50. O pose d = x x A. si 4 44 o accepte H 0. si 4 44 o rejette H 0 et o accepte H Utilisatio du test uilatéral Calcul de B d O a d = x x A = = 4 9 Applicatio de la règle de décisio Comme 4 44, o rejette H 0 et o accepte H 1. Au seuil de 5%, la moyee des masses des pièces livrées par le fourisseur B est sigificativemet supérieure à celle du fourisseur A. 8

10 Statistiques iféretielles Exercices Exercice 1 : Itroductio aux itervalles de cofiace 1. Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite N (0 1). a) Détermier le réel a tel que p( a X a) = b) Détermier le réel a tel que p( a X a) = c) Détermier le réel a tel que p( a X a) = d) Détermier le réel a tel que p( a X a) = Soit Y ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite N (20 2). a) Détermier le réel a tel que p(20 a Y 20 + a) = b) Détermier le réel a tel que p(20 a Y 20 + a) = c) Détermier le réel a tel que p(20 a Y 20 + a) = d) Détermier le réel a tel que p(20 a Y 20 + a) = Exercice 2 : La machie à bouchos, bts mai, 1996 Ue machie fabrique plusieurs milliers de bouchos cylidriques par jour. O admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boucho, associe so diamètre exprimé e millimètres, suit la loi ormale de moyee m = 22 mm et d écart-type σ = mm. Les bouchos sot acceptables si leur diamètre appartiet à l itervalle [21 95; 22 05]. Les trois questios de cet exercice peuvet être traitées de maière idépedate. 1. Quelle est la probabilité qu u boucho pris au hasard das la productio soit acceptable? 2. Das cette questio, o cosidère que la probabilité qu u boucho soit défectueux est q = O prélève au hasard u échatillo de 80 bouchos (ce prélèvemet est assimilé à u tirage de 80 bouchos avec remise). O omme Y la variable aléatoire mesurat le ombre de bouchos défectueux d u tel échatillo. a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y? Détermier l espérace mathématique de la variable Y. b) O approchey par ue variable aléatoirey 1 qui suit ue loi de Poisso P (λ). Quelle est la valeur du paramètre λ? Calculer la probabilité que l échatillo prélevé cotiee exactemet 10 bouchos défectueux. 3. E vue du cotrôle de réglage de la machie, o prélève régulièremet das la productio des échatillos de 100 bouchos. O appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échatillo de 100 bouchos, associe le diamètre moye des bouchos de cet échatillo. Lorsque la machie est bie réglée, X suit la loi ormale de paramètres m et σ= σ 10 (o rappelle que m = 22 et σ = 0 025). a) Détermier le réel a tel que P(22 a X 22 + a) = b) Sur u échatillo de 100 bouchos, o a les résultats suivats (les mesures des diamètres état réparties e classe d amplitude 0 02 mm) : Classes de diamètres effectif correspodat [21 93; 21 95[ 3 [21 95; 21 97[ 7 [21 97; 21 99[ 27 [21 99; 22 01[ 30 [22 01; 22 03[ 24 [22 03; 22 05[ 7 [22 05; 22 07[ 2 E supposat que tous les bouchos d ue classe ot pour diamètre la valeur cetrale de cette classe, doer la moyee et l écart-type de cette série (aucue justificatio demadée; résultats arrodis à l ordre 10 4 ). 9

11 Statistiques iféretielles E utilisat la questio précédete, peut-o accepter au seuil de risque 5%, l hypothèse selo laquelle la machie est bie réglée? Exercice 3 : Des glaces! bts mai, 1995 Ue fabrique de desserts glacés dispose d ue chaîe automatisée pour remplir et emballer des côes de glace. Partie A Chaque côe est rempli avec de 2 la glace à la vaille. O désige par X la variable aléatoire qui, à chaque côe, associe la masse (exprimée e grammes) de glace qu il cotiet. O suppose que X suit la loi ormale de paramètres m = 100 et σ. 1. Das cette questio, σ = 2. O choisit au hasard u côe rempli de glace. Calculer, à 10 2 près, la probabilité que la masse qu il cotiet soit comprise etre 95 g et 105 g. 2. U côe est cosidéré comme bo lorsque la masse de glace qu il cotiet appartiet à l itervalle [95 ; 105]. Détermier la valeur du paramètre σ telle que la probabilité de l évéemet le côe est bo soit égale à 0 95 (o doera le résultat avec deux décimales). Partie B Les côes de glace sot emballés idividuellemet puis coditioés e lots de pour la vete e gros. O cosidère que la probabilité qu u côe présete u défaut quelcoque avat so coditioemet e gros est égale à O omme Z la variable aléatoire qui, à chaque lot de côes prélevés au hasard das la productio, associe le ombre de côes défectueux présets das le lot. 1. Quelle est la loi suivie par Z? 2. O admet que la loi de Z peut être approchée par ue loi de Poisso. a) Détermier le paramètre de cette loi. b) Si u cliet reçoit u lot coteat au mois 5 côes défectueux, l etreprise procède alors à u échage de ce lot. Calculer la probabilité qu u lot soit ichagé. Exercice 4 : Des tiges métalliques, bts mai, sessio 2004 Les trois parties de cet exercice sot idépedates Ue etreprise fabrique, e grade quatité, des tiges métalliques cylidriques pour l idustrie. Leur logueur et leur diamètre sot exprimés e millimètres. Das cet exercice, les résultats approchés sot à arrodir à 10 A - Loi ormale. Ue tige de ce type est cosidérée comme coforme pour la logueur lorsque celle-ci appartiet à l itervalle [99 45; ]. O ote X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard das la productio, associe sa logueur. O suppose que X suit ue loi ormale de moyee 100 et d écart-type Calculer la probabilité qu ue tige prélevée au hasard das la productio soit coforme pour la logueur. 2. Détermier le ombre réel h positif tel que : p(100 h X h) = 0 95 Iterpréter le résultat à l aide d ue phrase. B - Loi biomiale et loi de Poisso. Das u lot de ce type de tiges, 3% des tiges e sot pas coformes pour la logueur. O prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérificatio de la logueur. Le lot est suffisammet importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de 50 tiges. O cosidère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvemet de 50 tiges, associe le ombre de tiges o coformes pour la logueur. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit ue loi biomiale dot o détermiera les paramètres. 10

12 Statistiques iféretielles 2. Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, au plus deux tiges e soiet pas coformes pour la logueur. 3. O cosidère que la loi suivie par Y peut-être approchée par ue loi de Poisso. Détermier le paramètre λ de cette loi de Poisso. 4. O désige par Z ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso de paramètre λ où λ a la valeur obteue au 4. Calculer p(z = 2) et p(z 2). C - Itervalle de cofiace. Das cette questio, o s itéresse au diamètre des tiges, exprimé e millimètres. O prélève au hasard et avec remise u échatillo de 50 tiges das la productio d u jourée. σ Soit D la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise das la productio d u jourée, associe la moyee des diamètres des tiges de cet échatillo. O suppose que D suit ue loi ormale de moyee icoue µ et d écart-type 50 avec σ = Pour l échatillo prélevé, la moyee obteue, arrodie à 10 2, est x = À partir des iformatios portat sur cet échatillo, doer ue estimatio poctuelle de la moyee µ des tiges produites das cette jourée. : 2. Détermier u itervalle de cofiace cetré sur x de la moyee µ des diamètres des tiges produites pedat la jourée cosidérée, avec le coefficiet de cofiace de 95%. 3. O cosidère l affirmatio suivate la moyee µ est obligatoiremet das l itervalle de cofiace obteue à la questio 2.. Est-elle vraie? (o e demade pas de justificatio.) Exercice 5 : Des pièces e série, bts mai, sessio 1997 Ue etreprise fabrique e série des pièces dot le diamètre, mesuré e millimètres, défiit ue variable aléatoire D. O admet que cette variable aléatoire D suit la loi ormale de moyee m et d écart type σ. 1. Estimatio de m et σ : a) U échatillo de 100 pièces est prélevé au hasard das la productio. Les mesures des diamètres des pièces de cet échatillo so regroupées das le tableau suivat : Mesures des diamètres (e mm) [4 0; 4 2[ [4 2; 4 4[ [4 4; 4 6[ [4 6; 4 8[ [4 8; 5 0[ effectif E faisat l hypothèse que, pour chaque classe, les valeurs mesurées sot égales à celle du cetre de la classe, calculer, à 10 2 près, la moyee d et l écart type s de cet échatillo. E déduire l estimatio poctuelle de σ fourie par cet échatillo. b) O appelle D la variable aléatoire qui, à chaque échatillo de 100 pièces, associe la moyee des diamètres des pièces de l échatillo. O rappelle que D suit la loi ormale de moyee m et d écart type σ 10. Détermier u itervalle de cofiace de la moyee m de D au seuil de cofiace de 95%. 2. Das cette questio, o admet que la productio comporte 5 % de pièces iutilisables. a) L etreprise coditioe ses pièces par boîtes de 25. O tire ue boîte au hasard (o assimilera cette épreuve à u tirage successif avec remise de 25 pièces das la productio). O désige par K le ombre de pièces iutilisables das cette boîte. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire K? Calculer, à 10 3 près, la probabilité que cette boîte cotiee au plus ue pièce iutilisable. b) U cliet qui a besoi de 185 pièces commade 8 boîtes de pièces (o assimile cette épreuve à u tirage successif et avec remise de 200 pièces das la productio). O désige par L le ombre de pièces iutilisables das cette commade. O admet que L suit la loi de Poisso de paramètre 10. Quelle est la probabilité que le cliet dispose d u échatillo suffisat de pièces utilisables das sa commade? 11

13 Statistiques iféretielles Exercice 6 : Productio de rodelles bts mai, sessio 2005 Les quatre parties de cet exercice peuvet être traitées de faço idépedate. Ue usie fabrique, e grade quatité, des rodelles d acier pour la costructio. Leur diamètre est exprimé e millimètres. Das cet exercice, sauf idicatio cotraire, les résultats approchés sot à arrodir à 10 Partie A loi ormale Ue rodelle de ce modèle est coforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartiet à l itervalle [89 6; 90 4]. 1. O ote X 1 la variable aléatoire qui, à chaque rodelle prélevée au hasard das la productio, associe so diamètre; O supppose que X 1 suit la loi ormale de moyee 90 et d écart type σ = Calculer la probabilité qu ue rodelle prélevée au hasard das la productio soit coforme. 2. L etreprise désire améliorer la qualité de la productio des rodelles : il est evisagé de modifier le réglage des machies produisat les rodelles. O ote D la variable aléatoire qui, à chaque rodelle prélevée das la productio future, associera so diamètre. O suppose que la variable aléatoire D suit ue loi ormale de moyee 90 et d écart type σ 1. Détermier σ 1 pour que la probabilité qu ue rodelle prélevée au hasard das la productio future soit coforme pour le diamètre soit égale à Partie B Loi biomiale O ote E l évéemet : ue rodelle prélevée au hasard das u stock importat a u diamètre défectueux. O supppose que p(e) = O prélève au hasard quatre rodelles das le stock pour vérificatio de leur diamètre. Le stock est assez importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de quatre rodelles. O cosidère la variable aléatoire Y 1 qui à tout prélèvemet de quatre rodelles associe le ombre de rodelles de ce prélèvemet ayat u diamètre défectueux. 1. Justifier que la variable aléatoire Y 1 suit ue loi biomiale dot o détermiera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, aucue rodelle ait u diamètre défectueux. Arrodir à Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, au plus ue rodelle ait u diamètre défectueux. Arrodir à Partie C Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Les rodelles sot commercialisées par lot de O prélève au hasard u lot de das u dépôt de l usie. O assimile ce prélèvemet à u tirage avec remise de rodelles. O cosidère la variable aléatoire Y 2 qui, à tout prélèvemet de rodelles, associe le ombre de rodelles o coformes parmi ces rodelles. O admet que la variable aléatoire Y 2 suit la loi biomiale de paramètres = et p = O décide d approcher la loi de la variable aléatoire Y 2 par la loi ormale de moyee 20 et d écart type O ote Z ue variable aléatoire suivat la loi ormale de moyee 20 et d écart type Justifier les paramètres de cette loi ormale. 2. Calculer la probabilité qu il y ait au plus 15 rodelles o coformes das le lot de rodelles, c est à dire calculer p(z 15 5). Partie D Test d hypothèse O se propose de costruire u test d hypothèse pour cotrôler la moyee µ de l esemble des diamètres, e millimètres, de rodelles costituat ue livraiso à effectuer. O ote X 2 la variable aléatoire qui, à chaque rodelle prélevée au hasard das la livraiso, associe so diamètre. La variable aléatoire X 2 suit la loi ormale de moyee icoue µ et d écart type σ = O désige par X 2 la variable aléatoire qui, à chaque échatillo aléatoire de 100 rodelles prélevé das la livraiso, associe la moyee des diamètres de ces rodelles (la livraiso est assez importate pour que l o puisse assimiler ces prélèvemets à des tirages avec remise)

14 ). Statistiques iféretielles L hypothèse ulle est H 0 : µ = 90. Das ce cas la livraiso est dite coforme pour le diamètre. L hypothèse alterative est H 1 : µ = 90. Le seuil de sigificatio du test est fixé à Éocer la règle de décisio permettat d utiliser ce test e admettat, sous l hypothèse ulle H 0, le résultat suivat qui a pas à être démotré : p( X ) = O prélève u échatillo de 100 rodelles das la livraiso et o observe que, pour cet échatillo, la moyee des diamètres est x = Peut-o, au seuil de 5%, coclure que la livraiso est coforme pour le diamètre? Exercice 7 : Variatio du coefficiet de cofiace Das tout ce qui suit, les résultats serot doés à 10 2 près. Les ampoules électriques d u certai modèle ot ue durée de vie exprimée e heures, dot la distributio est ormale d écart-type σ = 200 heures. Avec cette hypothèse, o se propose d estimer la moyee m de la durée de vie des ampoules de la productio à partir d u échatillo de 36 ampoules dot la moyee des durées de vie est égale à heures. O assimile cet échatillo à u échatillo prélevé au hasard et avec remise parmi la productio. 1. Détermier ue estimatio de m par u itervalle de cofiace avec le coefficiet de cofiace 95%. 2. Même questio avec le coefficiet de cofiace 90% puis avec le coefficiet de cofiace 99%. 3. Qu observe-t-o sur les itervalles de cofiace de la moyee m de la populatio obteus à partir d u même échatillo lorsque le coefficiet de cofiace varie? 4. Peut-o situer exactemet la positio de la moyee m par rapport à l itervalle obteu à la questio 1.? Exercice 8 : O roule pour vous Ue etreprise utilise des camios pour trasporter sa productio. Elle dispose de 100 camios. Elle repère sur u échatillo de 30 jours choisis au hasard, le ombre de camios e pae. Voici les résultats : 1. Calculer la moyee x et l écart-type σ du ombre de camios e pae chaque jour pour l échatillo étudié. 2. À partir des résultats obteus pour cet écatillo, proposer ue estimatio poctuelle de la moyee µ et de l écart-type s du ombre de camios e pae chaque jour pour la populatio correspodat aux jours ouvrables de l aée. 3. O suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échatillo de taille 30 prélevé au hasard et avec remise, associe la moyee du ombre de camios e pae chaque jour, suit la loi ormale N (µ s O pred pour valeur l estimatio poctuelle obteue au 2.. Détermier u itervalle de cofiace de la moyee µ de la populatio avec le coefficiet de cofiace 95%. Exercice 9 : Recherche de l effectif d u échatillo Sur ue portio de route où la vitesse des véhicules est limitée à 90 km/h, o effectue u cotrôle des vitesses avecu istrumet de mesure de grade précisio. O mesure la vitesse (e km/h) d u véhicule sur vigt et o obtiet les résultats suivats pour u échatillo de 100 véhicules que l o assimile à u échatillo obteu par prélèvemet aléatoire avec remise : Vitesse (e km/h) Effectif [75 80 [ 5 [80 85 [ 10 [85 90 [ 20 [90 95 [ 36 [ [ 15 [ [ 8 [ [ 6 13

15 ) ). Statistiques iféretielles 1. E supposat que les valeurs observées sot celles du cetre de la classe, calculer, à 10 2 près, la moyee x et l écart-type σ des vitesses pour cet échatillo. 2. À partir des résultats obteus pour cet échatillo, proposer ue estimatio poctuelle de la moyee µ et de l écart-type s des vitesses des véhicules de la populatio observée. 3. O suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échatillo de taille = 100 obteu comme précédemmet, associe la moyee des vitesses de l échatillo, suit la loi ormale N (µ σ O pred pour valeur de s l estimatio poctuelle obteue au 2.. Détermier u itervalle de cofiace de la vitesse moyee µ de la populatio avec le coefficiet de cofiace 99%. 4. Quelle doît être la taille miimale de l échatillo pour coaître, avec le coefficiet de cofiace 95% la vitesse moyee de la populatio à 0 5 km h près? Exercice 10 : Logueur des pièces (test bilatéral) Das u atelier, ue machie fabrique des pièces e grade série ; o s itéresse à leur logueur mesurée e cm. O admet que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce tirée au hasard dasla productio associe sa logueur, suit ue loi ormale de moyee m et d écart-type σ = Afi de cotrôler le fait que la moyee m des logueurs des pièces produites est 150, o se propose de costruire u test d hypothèse. O prélève des échatillos aléatoires de 49 pièces (chaque échatillo état obteu par tirage avec remise). À chaque échatillo aisi défii, o associe la moyee x des logueurs des 49 pièces ; o défiit aisi ue variable aléatoire X. L hypothèse ulle est H 0 : m = 150 ; l hypothèse alterative est H 1 : m = 150. Le suil de sigificatio du test est fixé à Quelle est, sous l hypothèse ulle H 0, la loi de la variable aléatoire X? 2. Détermier le ombre réel positif h tel que p(150 h X h) = Éocer la règle de décisio permettat d utiliser ce test. 4. La moyee observée sur u échatillo de 49 pièces est x = Que peut-o e coclure au seuil de sigificatio 5% quat à la qualité des pièces produites? Exercice 11 : Il était u petit avire Les tôles costituat les pots d u paquebot subisset des déformatios lors des opératios d assemblage par soudure. Les tôles doivet être redressées ; cette opératio écessite de ombreuses heures de travail. 1. Lors d ue costructio, o relève les durées écessaires au redressage d u échatillo représetatif de 50 tôles. Les résultats obteus sot résumés das le tableau suivat : x i [0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ i où x i : durée e heures et i : ombre de tôles. Calculer la moyee x et l écart-type s de ce échatillo. 2. À l occasio d ue ouvelle costructio, o cherche ue estimatio de la durée moyee du redressage d ue tôle prise das ue populatio de tôles. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tôle à redresser prise au hasard, associe la durée du redressage. O admet que X suit la loi ormale N (m σ), où m est la durée moyee (icoue) du redressage par tôle pour la populatio et σ l écart-type de la variable aléatoire. O pred pour valeur de σ l estimatio poctuelle obteue à partir de l échatillo étudié au 1. a) Détermier u itervalle de cofiace coteat, avec 95% de certitude, la moyee m, e supposat que la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 50 tôles prélevées au hasard, associe la durée moyee du redressage pour ue tôle de cet échatillo, suit la loi ormale N (m σ où = 50. b) Quelle devrait être la taille de l échatillo à étudier pour que l amplitude de l itervalle de cofiace de la moyee soit 3 heures avec ue probabilité de 0 95? 14

16 Statistiques iféretielles 3. Costruire u test permettat d accepter ou de refuser, au seuil de 5%, l hypothèse selo laquelle la durée écessaire au redressage d ue tôle est e moyee de 40 heures. Utiliser ce test avec l échatillo de l éocé. 4. Même questio avec le seuil de sigificatio de 1%. Exercice 12 : Statistiques iféretielles : u problème de sythèse. Bts Maiteace idustrielle, 1996 Les parties I et II peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. U groupe idustriel possède deux filiales MAT et MATIC qui produiset des petits moteurs destiés au motage de jouets. Partie I La variable aléatoire X qui, à chaque moteur tiré au hasard das la productio, associe sa durée de vie moyee exprimée e heures, suit la loi ormale de moyee 400 et d écart type U moteur est déclaré o commercialisable si sa durée de vie est iférieure à 318 heures. Calculer, à 10 4 près la probabilité p qu u moteur prélevé au hasard das la productio e soit pas commercialisable. 2. O admet que p = Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 50 moteurs, associe le ombre de moteurs o commercialisables. La productio est assez importate pour que l o puisse assimiler le prélèvemet de 50 moteurs à u prélèvemet aléatoire avec remise. : a) Quelle est la loi suivie par Y? Justifier la répose et doer ses paramètres. b) Calculer à 10 3 près la probabilité de l évéemet il y a au plus trois moteurs o commercialisables. Partie II La filiale MAT prélève u échatillo de taille 100 sur la productio d u jour et mesure la durée de vie, e heures, des moteurs. Les résultats obteus sot les suivats : durée de vie [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ Effectifs E faisat l hypothèse que les valeurs mesurées sot celles du cetre de classe, calculer, à 10 2 près, la moyee m 1 et l écart type σ 1 de cette série statistique. La filiale MATIC, das des coditios similaires, cotrôle u échatillo de taille 100 et obtiet pour résultats m 2 = et σ 2 = O désige par X 1 la variable aléatoire qui, à chaque échatillo de 100 moteurs prélevés au hasard par la filiale MAT, associe sa moyee, et par X 2 la variable aléatoire qui, à chaque échatillo de 100 moteurs prélevés au hasard par la filiale MATIC, associe sa moyee. Tous les échatillos cosidérés sot assimilés à des échatillos prélevés avec remise. O suppose 1 1 que les variables aléatoires X 1, X 2, D = X X 2 suivet des lois ormales de moyees respectives M 1, M 2, M M 2 icoues, et o estime l écart type = de D par σ 2 1 σ + σ2 2 D 100 (O pred comme valeur approchée à 10 1 près de σ 1 la valeur 39 4.) O décide de costruire u test bilatéral permettat de savoir s il existe ue différece sigificative au seuil de 5% etre les durées de vie des moteurs fabriqués par les filiales MAT et MATIC. O choisit pour hypothèse H 0 : M 1 = M 2, et pour hypothèse alterative H 1 : M 1 [ = M 2. a) Sous l hypothèse H 0, D suit la loi ormale N (0 σ D ). Détermier l itervalle h h] tel que P( h D h) = b) Éocer la règle de décisio du test. c) Utiliser ce test avec les deux échatillos de l éocé et coclure. 15

17 Statistiques iféretielles Exercice 13 : Ue usie de plaquettes, bts mai, 1998 Das tout l exercice, o arrodira les résultats à 10 2 près. Ue etreprise fabrique des plaquettes dot la logueur et la largeur sot mesurées e mm. Partie A Sur u échatillo de 100 plaquettes, o a mesuré la logueur de chaque plaquette et obteu le tableau suivat : Logueur [35 37[ [37 39[ [39 41[ [41 43[ [43 45[ effectif O veut calculer ue valeur approchée de la moyee m et de l écart type s de l échatillo. Pour cela, o fait comme si toutes les observatios d ue classe étaiet situées au cetre de la classe. Calculer m et s. Compte teu de l erreur de méthode iduite par l approximatio précédete, les résultats serot doés à 10 1 près. 2. O suppose que la variable aléatoire L qui à chaque plaquette associe sa logueur suit ue loi ormale de moyee µ et d écart type 1 6. a) Doer ue estimatio poctuelle de µ. b) Détermier u itervalle de cofiace à 95% de µ cetré sur la valeur obteue précédemmet. Partie B O suppose das cette partie que L suit ue loi ormale de moyee 40 et d écart type 1 6 et que la largeur loi ormale de moyee 25 et d écart type O tire ue plaquette au hasard das la productio. a) Quelle est la probabilité d obteir ue logueur comprise etre 37 et 43 mm? b) Quelle est la probabilité d obteir ue largeur comprise etre 22 et 28 mm? suit ue 2. Ue plaquette est acceptée si sa logueur est comprise etre 37 et 43 mm et sa largeur est comprise etre 22 et 28 mm. E admettat que L et qui soit acceptée? sot des variables aléatoires idépedates, quelle est la probabilité d obteir ue plaquette Partie C La probabilité d obteir ue plaquette qui soit rejetée est égale à O appelle X la variable aléatoire qui à u lot de 100 plaquettes extraites de la fabricatio associe le ombre de plaquettes rejetées coteues das ce lot. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X? Préciser ses paramètres et so espérace mathématique. 2. E admettat que la loi de X peut être approchée par ue loi de Poisso, préciser so paramètre. Quelle est alors la probabilité d obteir strictemet mois de 10 plaquettes rejetées das u lot de 100 plaquettes? Exercice 14 : Des paquets de farie, bts MAI, 1993 Ue machie est chargée de coditioer des paquets de farie. La masse M d u paquet est ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale d écart-type costat σ = 30, et dot la moyee m peut-être modifiée. U paquet est refusé si sa masse est iférieure à 995 grammes. 1. O suppose que la moyee m est égale à a) Quelle est la probabilité pour qu u paquet soit refusé? b) O suppose que la probabilité pour qu u paquet soit refusé est p = O dispose de 100 paquets. Soit X la variable aléatoire déombrat le ombre de paquets à rejeter. Quelle est la loi de X? Calculer p(x = 3). O assimile la loi de X à ue loi de Poisso. Idiquer le paramètre de cette loi de Poisso et détermier la valeur idiquée pour p(x 5). 2. Afi de dimiiuer le ombre de paquets refusés, o décide de modifier le réglage de la machie. a) Quelle doit être la valeur de m pour que la probabilité d accepter u paquet soit égale à 0 99? b) La machie est réglée de telle sorte que m = Afi de vérifier ce réglage, o prélève u échatillo de 20 paquets et o détermier la masse moyee x. 16

18 Statistiques iféretielles Détermier l itervalle cetré e m coteat x avec ue probabilité de Exercice 15 : Assuraces d ue flotte de véhicules Les quatres questios de cet exercice sot idépedates. Das u groupe d assuraces o s itéresse aux siistres suceptibles de surveir, ue aée doée, aux véhicules de la flotte d ue importate etreprise de maiteace de chauffage collectif. Das cet exercice, sauf metio du cotraire, les résultats sot à arrodir à Étude du ombre de siistres par véhicule 3 près. Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard das u des parcs de la flotte, associe le ombre de siistres surveat pedat l aée cosidérée. : O admet que X suit la loi de Poisso de paramètre a) Calculer la probabilité de l évéemet A u véhicule tiré au hasard das le parc a aucu siistre pedat l aée cosidérée. : b) Calculer la probabilité de l évéemet B u véhicule tiré au hasard das le parc a, au plus, deux siistres pedat : l aée cosidérée. 2. Étude du ombre de siistres das ue équipe de 15 coducteurs O ote E l évéemet u coducteur tiré au hasard das l esemble des coducteurs de l etreprise a pas de siistre pedat l aée cosidérée. O suppose que la probabilité de l évéemet E est 0 6. O tire au hasard 15 coducteurs das l effectif des coducteurs de l etreprise. Cet effectif est assez importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à utirage avec remise de 15 coducteurs. O coisidère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvemet de 15 coducteurs, associe le ombre de coducteurs ayat pas de siistre pedat l aée cosidérée. a) Justifier que la variable aléatoire Y suit ue loi biomiale et détermier ses paramètres. b) Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, 10 coducteurs aiet pas de siistre pedat l aée cosidérée. 3. Étude du coût des siistres Das ce qui suit, o s itéresse au coût d ue certaie catégorie de siistres surveus das l etreprise pedat l aée cosidérée. O cosidère la variable aléatoire C qui, à chaque siistre tiré au hasard parmi les siistres de cette catégorie, associe so coût e euros. O suppose que C suit la loi ormale de moyee et d écart type 200. Calculer la probabilité qu u siistre tiré au hasard parmi les siistres de ce type coûte etre euros et euros. 4. La questio ci-dessous doit être traitée par les cadidats de toutes les spécialités de BTS du groupemet B, à l exceptio du BTS Maiteace et exploitatio des matériels aéroautiques. O cosidère u échatillo de 100 véhicules prélevés au hasard das le parc de véhicules mis e service depuis 6 mois. Ce parc cotiet suffisammet de véhicules pour qu o puisse assimiler ce tirage à u tirage avec remise. O costate que 91 véhicules de cet échatillo ot pas eu de siistre. a) Doer ue estimatio poctuelle du pourcetage p de véhicules de ce parc qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. b) Soit F la variable aléatoire qui à tout échatillo de 100 véhicules prélevés au hasard et avec remise das ce parc, associe le pourcetage de véhicules qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. p O suppose que F suit la loi ormale p(1 p) N 100 où p est le pourcetage icou de véhicules du parc qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. Détermier u itervalle de cofiace du pourcetage p avec le coefficiet de cofiace 95%. 17

19 Statistiques iféretielles : c) O cosidère l affirmatio suivate le pourcetage p est obligatoiremet das l itervalle de cofiace obteu à la questio b). Est-elle vraie? (O e demade pas de justificatio.) 4. La questio ci-dessous doit être traitée uiquemet par les cadidats au BTS Maiteace et exploitatio des matériels aéroautiques. Pour u parc de véhicules, o a relevé le ombre de siistres par véhicule pedat la première aée de mise e service. Pour les véhicules ayat eu, au plus, quatre siistres, o a obteu : Nombre de siistres : x i Effectif : i a) Compléter, après l avoir reproduit, le tableau suivat : Nombre de siistres : x i y i = l i b) Détermier, à l aide d ue calculatrice, ue équatio de la droite de régressio de y e x sous la forme où a et b sot à arrodir à y = ax + b c) À l aide de l équatio précédete, estimer le ombre de véhicules ayat eu six siistres pedat leur première aée de mise e circulatio. Exercice 16 : Ue chaîe d embouteillage, bts mai, mai 2003 Les quatres questios de cet exercice sot idépedates Das ue usie du secteur de l agroalimetaire, ue machie à embouteiller est alimetée par u réservoir d eau et par ue file d approvisioemet e bouteilles vides, selo le schéma ci-cotre. L exercice cosiste e ue étude statistique du bo foctioemet de ce système. File d etrée Réservoir File de sortie Machie 1. Défaut d approvisioemet O cosidère qu il y a défaut d approvisioemet : soit lorsque la file d etrée des bouteilles est vide, : soit lorsque le réservoir est vide. O tire au hasard u jour ouvrable das ue aée. O ote A l évéemet la file d attete est vide au mois ue fois das la jourée : et B l évéemet le réservoir est vide au mois ue fois das la jourée. O suppose que les évéemets A et B sot idépedats et ue étude statistique a motré que p(a) = 0 04 et p(b) = 0 02 Calculer : la probabilité des évéemets suivats : a) E 1 = A B. b) E 2 la machie a cou au mois u défaut d approvisioemet das la jourée. 18

20 Statistiques iféretielles 2. Paes de la machie sur ue durée de 100 jours O ote X la variable aléatoire qui à toute période de 100 jours cosécutifs, tirée au hasard das les jours ouvrables d ue aée, associe le ombre de paes de la machie. Ue étude, meée par le costructeur sur u grad ombre de machies de ce type, permet d admettre que X suit la loi de Poisso de paramètre λ = 0 5. Détermier, à l aide de la table du formulaire : a) p(x 2); b) la probabilité de l évéemet la machie a au plus quatre paes pedat la période de 100 jours cosécutifs ; c) le plus petit etier tel que : p(x ) Das tout ce qui suit, les volumes sot exprimés e litres et tous les résultats approchés sot à arrodir à Qualité de l embouteillage à la sortie O désige par Y la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard das la productio d ue heure, associe le volume d eau qu elle cotiet. O admet que, lorsque la machie est bie réglée, Y suit la loi ormale de moyee 1 5 et d écart-type Ue bouteille d eau est coforme aux ormes de l etreprise lorsqu elle cotiet etre 1 47 et 1 53 litre d eau. Calculer la probabilité qu ue bouteille satisfasse à la orme. 4. Fiabilité d ue machie à embouteiller O s itéresse à ue machie à embouteiller prélevée au hasard das le parc des machies sur le poit d être livrées par le costructeur. O désige par T la variable aléatoire qui, à toute machie prélevée au hasard das le parc, asssocie sa durée de vie avat ue défaillace. O ote p(t t) la probabilité qu ue machie prélevée au hasard das le parc ait pas de défaillace avat l istat t, exprimé e jours. O suppose que p(t t) = e 0 005t. a) Calculer la probabilité qu ue machie prélevée au hasard das le parc foctioe plus de 200 jours sas pae. b) Détermier t pour que la probabilité qu ue machie prélevée au hasard das le parc foctioe plus de t jours, soit égale à 0 8. Arrodir à l etier par défaut. 19

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