Terminales S. Correction du devoir commun de mathématiques n o 2.

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1 Terminales S Correction du devoir commun de mathématiques n o Exercice (Restitution organisée de connaissances, points) Pour cet exercice, on supposera connues les propriétés suivantes : La fonction exponentielle x e x est dérivable sur R et (e x ) = e x e 0 = Pour tout x R, e x > 0 Pour tous réels a et b, e a+b = e a e b, e a b = ea e b, et e a = e a Les théorèmes sur les limites par comparaison Montrer que lim x + ex = + Posons f(x) = e x x La fonction f est dérivable sur R, et f (x) = e x Comme e 0 = et la fonction exponentielle est croissante sur R, il s ensuit que f (x) = e x est positif pour tout x 0 Donc f est croissante sur 0;+ f(0) = e 0 0 = 0 = > 0 x 0 + f (x) 0 + f(x) Donc pour tout x 0, f(x) A fortiori, pour tout x 0, f(x) 0, soit e x x Comme lim x = +, on peut conclure, par comparaison, que lim x + x + ex = + Montrer que lim x ex = 0 Posons Y = x, lorsque x tend vers, Y tend vers + On a alors x = Y lim x ex = lim Y + e Y = lim = 0, car lim Y + ey Y + ey = + Exercice (7 points) Dans un repère orthonormé (O; i ; j ) du plan, on note C la courbe représentative de la fonction exponentielle Soit M un point de C C exp M j i On se propose de déterminer la position de M pour laquelle la distance OM est minimale -

2 Pour tout point M d abscisse x de C, exprimer la distance OM en fonction de x OM = (y M y O ) +(x M x O ) = (e x 0) +(x 0) = e x +x Soit g la fonction définie sur R par g(x) = e x +x (a) Déterminer les limites de g en et en + x = (b) lim x lim X ex = 0 Par composée, lim x ex = 0 Donc lim x ex = 0 Par somme, lim g(x) = x x = + lim x + lim X + ex = + Par composée, lim x + ex = + Donc lim x + ex = + Par somme, lim g(x) = + x + Étudier les variations de g Justifier La fonction x e x est dérivable par composée de fonctions dérivables Par somme de fonctions dérivables, g est dérivable sur R Pour tout x R, g (x) = 4e x + > 0 Eneffet, uneexponentielleesttoujoursstrictement positive,doncg (x) = 4e x + > 0 La fonction g est donc strictement croissante sur R x + g (x) + g(x) + (c) i Justifier que l équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur R On a vu que : la fonction g est continue (car dérivable) sur R, la fonction g est strictement croissante sur R, lim x g(x) = et lim x + g(x) = + (donc g change de signe) D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans R ii Donner un encadrement de α d amplitude 0 Enutilisantlacalculatrice, onobtientg( 0,4) 0,0 < 0etg( 0,4) 0,0 > 0 Donc 0,4 < α < 0,4 (d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x Comme g est continue et strictement croissante sur R, et que g(α) = 0, le signe

3 de g est : x α + g(x) 0 + Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x +x (a) Étudier les variations de f sur R (on ne demande pas les limites) f est dérivable sur R par somme de fonctions dérivables Pour tout x R, f (x) = e x +x = g(x) D après la question (d), on connaît le signe de f (x) = g(x) x α + f (x) = g(x) 0 + f(x) f(α) La fonction f est décroissante sur ] ;α] et croissante sur α;+ (b) En déduire que la fonction f admet un minimum en α où α est le réel rencontré dans la question Donner une valeur approchée à 0 près de ce minimum D après l étude de ses variations, la fonction f admet un minimum lorsque x = α On a vu que α 0,45 Donc f(α) f( 0,45) 0,6 Le minimum de la fonction f est environ 0,6 (c) En déduire l abscisse du point M pour laquelle la distance OM est minimale, et donner une valeur approchée de cette distance minimale On note M 0 ce point La distance OM a pour expression d(x) = e x +x = f(x) La fonction d a les mêmes variations que f sur R De façon générale, pour toute fonction u positive sur I, les fonctions u et u ont les mêmes variations sur I On peut aussi le justifier dans le cas de l exercice en dérivant : La fonction f est dérivable et strictement positive sur R, donc la fonction d est dérivable sur R d (x) = f (x) f(x) Comme f(x) > 0 sur R, d (x) a le même signe que f (x) = g(x) La fonction d est donc décroissante sur ] ;α] et croissante sur α;+ Elle admet un minimum lorsque x = α d(α) = f(α) 0,6 0,78 La distance OM est minimale au point M 0 d abscisse α 0,45 et cette distance minimale est d environ 0,78 4 Montrer que la tangente T à C en M 0 est perpendiculaire à la droite (OM 0 ) Indication : on pourra établir que α = e α Montrons tout d abord que α = e α

4 Comme α est la solution d équation g(x) = 0 sur R, on a g(α) = 0 g(α) = 0 e α +α = 0 α = e α α = e α Les droites (OM 0 ) et T sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs respectifs est nul Comme M 0 est le point d abscisse α de la courbe de la fonction exponentielle, M 0 (α;e α ) ( ) La droite (OM 0 ) est bien sûr dirigée par le vecteur α OM 0 La tangente T à la courbe de la fonction exponentielle au point d abscisse α a pour coefficient directeur exp (α) = exp(α) ( = e α ) Elle a donc pour vecteur directeur u e α OM 0 u = α +e α e α = α+e α = e α +e α = 0 OM 0 u Donc les droites (OM 0 ) et T sont perpendiculaires Au point M 0 où la distance OM est minimale, la tangente à la courbe de la fonction exp est perpendiculaire à la droite (OM 0 ) Exercice (5 points) Un triangle ABC isocèle en A est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon H est le pied de la hauteur issue de A Soit a la mesure en radians de l angle ĤOB On suppose que 0 a π e α A O a C H B 4

5 (a) Exprimer BC et AH en fonction de a Comme ABC est isicèle en A, la hauteur (AH) est aussi la médiane issue de A et H est le milieu de BC] Donc BC = BH = OBsina = sina En effet, OB = car c est un rayon du cercle AH = AO+OH = +cosa (b) En déduire, en fonction de a, l aire du triangle ABC Aire(ABC) = base hauteur BC AH = = (sina)(+cosa) = (sina)(+cosa) On considère la fonction f définie sur 0; π ] Calculer f (a) et montrer que, pour tout a par f(a) = (sina)(+cosa) 0; π ], f (a) = cos a+cosa 0; π ] Les fonctions sin et cos sont dérivables sur R donc en particulier sur Par produit, f est dérivable sur 0; π ] f (a) = cos (+cosa)+sina ( sina) = cos a+cosa sin a Or, cos a+sin a =, soit sin a = cos a Par suite, f (a) = cos a+cosa ( cos a) = cos a+cosa (a) Vérifier que cos a+cosa = (cosa )(cosa+) En développant, (cosa )(cosa+) = cos a+cosa cosa = cos a+cosa = f (a) Donc cos a+cosa = (cosa )(cosa+) (b) Déterminer le signedecosa suivant les valeursdeadansl intervalle 0; π ] cosa > 0 cosa > cosa > 5

6 + π π j π O i 0;π En lisant sur le cercle trigonométrique, sur l intervalle pour x 0; π 0; π ],onacosa > 0 a 0 π/ π/ cosa + 0 (c) En déduire le signe de f (a) suivant les valeurs de a et le tableau de variation de f sur 0; π ] Pour tout x R, cosa, donc 0 +cosa Ainsi, pour tout x 0; π ], +cosa 0 De plus, +cosa = 0 lorsque cosa =, ce qui n arrive jamais sur l intervalle 0; π ] a 0 π/ π/ cosa + 0 +cosa + + f (a) = (cosa )(+cosa) + 0 f(a) 0 4 f(0) = 0 = 0 ( ( π f = ) + ) = 4 ( π f = (+0) = ) (d) Montrer qu il existe une valeur de a, que l on déterminera, pour laquelle l aire du triangle ABC est maximale Préciser ce maximum 6

7 Quelle est alors la nature du triangle ABC? L aire maximale du triangle est 4 Elle est atteinte pour a = π Alors, par somme des angles dans le triangle OHB, on a ÔBH = π π π = π 6 Comme l angle ÂOH est plat, ÂOB = π π = π Le triangle AOB est isocèle en O puisque OA = OB On en déduit la mesure des angles à la base : ÔBA = ( π π ) = π 6 ÂBC = ÂBO+ÔBH = π 6 + π 6 = π Le triangle ABC est isocèle en A et ses angles à la base mesurent π Donc ABC est équilatéral Remarque : D après le théorème de l angle au centre, on a directement ĤAB = ĤOB = π 6 Exercice 4 (5 points) Soit ABCD un tétraèdre On note I le milieu de AB], J le milieu de AC], K le milieu de CD], et L est le symétrique de D par rapport à A Le point M est défini par BM = BK (M est le centre de gravité de BCD) Les deux parties sont indépendantes L A I J D B M K Partie (a) Exprimer BK en fonction de BC et BD BC + BD = BK + KC + BK + KD = BK 7 C

8 En effet, comme K est le milieu de CD], KC + KD = 0 BK = BC + BD (b) En déduire l expression de BM en fonction de BC et BD BM = BK ( ) BC + BD = = BC + BD Exprimer LI et LJ en fonction de AB, AC, et AD LI = LA+ AI = AB + AD LJ = LA+ AJ = AC + AD Exprimer LM en fonction de AB, AC et AD (on pourra écrire LM = LA+ AB + BM) Comme L est le symétrique de D par rapprot à A, LA = AD LM = LA+ AB + BM = AD + AB + BM = AD + AB + BC + BD = AB + AD + BA+ AC + BA+ AD = AB + AC + 4 AD 4 (a) Déterminer des réels x et y tels que LM = x LI +y LJ On peut remarquer que LM = LI + LJ Sinon, on identifie les deux décompositions suivant AB, AC et AD LM = x LI +y LJ AB + AC + 4 ( AD = x AB + ( AD )+y AC + ) AD AB + AC + 4 AD = x AB + y AC +(x+y) AD En identifiant les coefficients, on a : x = y =, d où x = x+y = 4 et y = LM = LI + LJ 8

9 (b) Que peut-on en déduire? Les vecteurs LI, LJ et LM sont coplanaires Comme ils ont le point L en commun, on en déduit que les points L, I, J et M sont coplanaires Partie Désormais, on suppose de plus que le tétraèdre ABCD est régulier, d arête AB = a Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales (on pourra utiliser le plan médiateur de CD]) Comme le tétraèdre est régulier, AC = AD A est équidistant de C et de D Donc A appartient au plan médiateur de CD] De même, BC = BD, donc B appartient au plan médiateur de CD] On en déduit que la droite (AB) est contenue dans le plan médiateur de CD] Or, toutes les droites de ce plan sont orthogonales à (CD) Donc (AB (CD) Montrer que la droite (AM) est orthogonale au plan (BCD) Notons P le plan médiateur de CD] Comme KC = KD, K P Or, B P, donc toute la droite (BK) est incluse dans P En particulier, M P Ainsi, la droite (AM) est contenue dans P Donc (AM) (CD) Comme le tétraètre est régulier, on peut reproduire le raisonnement précédent pour montrer que A et M sont dans le plan médiateur du segment BC] Donc (AM) (BC) La droite (AM) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) Donc (AM (BCD) (a) Exprimer la longueur AM en fonction de a Comme (AM) (BM), le triangle ABM est rectangle en M D après le théorème de Pythagore, Calculons la longueur BM BM = BK AB = AM +BM AM = AB BM AM = a BM Dans le triangle BCD équilatéral, la médiane (BK) est aussi hauteur : (KB) (CD) D après le théorème de Pythagore dans BKD, on a BK = BD DK ( a BK = a ) BK = a 4 BK = a Donc BM = BK = a, et BM = a 9

10 Enfin, Ainsi, AM = a = a 6 AM = a BM = a a = a (b) En déduire le volume du tétraèdre ABCD en fonction de a Volume(ABCD) = Aire(base) hauteur = BK CD = 6 a = a AM a a 6 0

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