1. Question 1 (1) Calculs des dérivées partielles. = x 2 + y (x y)(2x) = 3x 2 + y 2 2xy 1

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1 . Quesion () Calculs des dérivées parielles ( )( + ) = ( + ) ( ) + ( ) ( + ) = + + ( )() = 3 + ( )( + ) = ( + ) ( ) + ( ) ( + ) e leur somme = ( + ) ( ) + ( ) () = f + f = () Le poin (, ) un poin criique de f ssi f f (, ) = (, ) =. On remplace dans l'epression obenue en () = f + f = = ( )( + ) e on en dedui que ou bien = c-à-d = ou bien + = c-à-d =. (3) On cherche les poins criques qui saisfon =, c-à-d les soluions du ssème : f (, ) = = e f (, ) = + =. Les soluions son eacemen (, ) e (, ) les poins criques qui saisfon =, c-à-d les soluions du ssème : f (, ) = = e f (, ) = + = Les soluions son eacemen (, ) e (, ). On a donc rouvé les quare poins criiques.

2 (4) La marice hessienne es la marice de dérivées secondes : f f H(, ) = f f elle es smerique car f es de classe C (relaion de Schwar). f = f = ( 3 + ) = f = f = ( ) = f = f = ( ) = + En remplacan, on obien : + H(, ) = + On a deu cas à éudier : = : = : H(, ) = ( 4 4 ) 8 4 H(, ) = 4 8 (5) Grace à l'hessienne on peu déérminer la naure des poins criiques : 4 Si la marice H(, ) = a deu valeurs 4 propres disinces : 4 e 4. D'après le cours les poins criiques (, ) e (, ) son de pe selle car les valeurs propres de la marice hessienne son de signe opposé. 8 4 Si la marice H(, ) = a deu 4 8 valeurs propres disinces : e 4. D'après le cours le poin (, ) es un minimum sric (les valeurs propres son oues deu > )

3 le poin (, ) es un maimum sric (les valeurs propres son oues deu < ) 3

4 4. Quesion () Le noau de A consise des soluions de AX = = Le noau es de dimension e es une base. () Calcul direc : = = 4 (3) es un valeur propre de veceur propre 4 es un valeur propre de veceur propre (4) Le polnôme caracérisique de A es P A () := de(i A) = ( ) 4 de(a I) = Si on change la marice en remplacan la première colonne par sa somme avec les aures colonnes on ne change pas la valeur de déérminan, c-à-d : =

5 5 = (4 ) + ( ) + + ( ) = (4 ) (( ) ( 4 4) + ( + 4) (4 4)) = (4 )( 3 + 4) = (4 )( + 4) On a donc déérmine le polnôme caracérisique. (5) Une valeur propre es racine de P A (), d'après la facorisaion : P A () = ( 4)(4 ) = ( 4)( )( + ) La marice A a 4 valeurs propres, par ordre croissane, < < < 4. La marice es diagonalisable dans une base de veceurs propres car son polnôme caracérisique es scindé e oues les valeurs propres simples. On pourra egalemen remarquer que la marice A es smerique donc diagonalisable d'après un heoreme du cours. () Si P AP = D alors AP = DP e on voi que chaque colonne de la marice P es un veceur propre de A chaque élémen sur la diagonale de D es un valeur propre de A Les valeurs propres par ordre croissane son < < < 4. la deuième colonne de P es une base de noau (valeur propre ) la dernière colonne de P es (un muliple de). Rese à déérminer la première e la roisième colonne de la marice P ; ces son des veceurs propres de valeur propre e respecivemen.

6 un veceur propre de valeur propre es une soluion non nulle X de (A ( )I).X = Le veceur = = es soluion. un veceur propre de valeur propre c-à-d une soluion non nulle de (A I).X = Le veceur = = es soluion. La marice P, qui a pour colonnes les 4 veceurs propres cidessus, es inversible car ses colonnes formen une base de R 4 (des veceurs propres de valeurs propres disinces son linéairemen indépendans.) P =

7 7 3. Quesion 3 () représenaion graphique de D : D () Le domaine D es en coordonnées sphérique : {(r, θ, ϕ), r, θ π/, ϕ π/} (3) Rappel que r = + + il s'ensui que, en coordonnées sphériques, la foncion f es donnée par l'epression r ep(r 4 ). f(,, )ddd = = π/ π/ π/ dθ π/ (r ep(r 4 )) r sin(ϕ)dr dθdϕ sin(ϕ)dϕ = π/ [ cos(ϕ)] π/ 4 4 r 3 ep(r 4 )dr ep(u)du = π 8 (ep(4) ep()) = π (ep(4) ) 8 où on a uilisé le changemne de variable u = r 4, u = 4r 3.

8 8 4. Quesion 4 Si f(r, θ) = (f, f ) = (r cos(θ), r sin(θ)) sa marice jacobienne es la marice de dérivées parielles : ( f f ) Jf(r, θ) = r f θ f = r θ ( cos(θ) ) r sin(θ) sin(θ) r cos(θ) Si g(, ) = (g (, ), g (, ), g 3 (, )) = ( +,, ) sa marice jacobienne es la marice de dérivées parielles : Jg(,, ) = g g g 3 g g g 3 = Il convien d'eplicier la composiion pour calculer sa jacobienne. h(r, θ) = (h (r, θ), h (r, θ), h 3 (r, θ)) = g f(r, θ) = (r, r cos(θ), r sin(θ)) où on a uilisé cos (θ) sin (θ) = cos(θ), sin(θ) cos(θ) = sin(θ). Cee epression perme d'eplicier la jacobienne : Jh(r, θ) = h r h r h 3 r h θ h θ h 3 θ = = r r cos(θ) r sin(θ) r sin(θ) r cos(θ) r r(cos (θ) sin (θ)) 4r sin(θ) cos(θ) 4r sin(θ) cos(θ) r (cos (θ) sin (θ))