Mécanique. v = Δ. x / Δt (1)

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1 Mécanique PARTIE 1: La mécanique cinématique. 1-Introduction 1.1-Définition: La cinématique est l étude des mouvements des corps solides en fonction du temps indépendamment des causes de ces mouvements. L étude des mouvements ne peut se faire qu en précisant par rapport à quoi a lieu ce mouvement. Le temps permet de repérer les positions différentes. On associe au système de référence un repère. Ce repère est caractérisé par un trièdre orthonormé direct. Schéma 1 (a): Ce repère n est ni orthogonal ni normé! (b): Ce repère est orthogonal mais pas orthonormé! (c): Ce repère est orthogonal et orthonormé! Rq: Dans (c), à l inverse de (b), les vecteurs i et j ont la même intensité. Un point matériel est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins une de ses coordonnées dans R0 varie dans le temps. Un solide est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins un de ses points est en mouvement par rapport à R0. Schéma (a): Sens direct ou antihoraire. (b): Sens indirect ou horaire. Schéma 3 (a): Coordonnées cartésiennes. (b): Coordonnées cylindriques. 1.-Distances et déplacements. Schéma 4 Lorsque vous parcourez 50km à l Ouest, et vous parcourez de nouveau 0km à l est. Vous parcourez en tout 70km par contre votre déplacement est de 30km. En physique, nous dirons que la distance est une grandeur scalaire et que le déplacement est une grandeur vectorielle. La grandeur scalaire présente une amplitude pendant que la grandeur vectorielle présente une amplitude, une direction et un sens. -Mouvement rectiligne..1-mouvement rectiligne: Vitesse. Nous appellerons mouvement rectiligne, le mouvement d un mobile le long d une ligne droite. Schéma 5 Dans ce cas, nous définirons la vitesse moyenne comme le vecteur: v = Δ x / Δt (1)

2 Si nous faisons tendre maintenant la grandeur Δt vers 0, nous pouvons définir la vitesse instantanée comme: Vinst = lim Δt 0 Δ x / Δ t () Nous pouvons dire aussi d une autre façon: le rapport Δ x / Δ t tend vers une valeur limite lorsque Δt 0. Une autre façon d évaluer la Vinst d un mobile est de tracer la courbe de la position: trajectoire du mobile, en fonction du temps, et d évaluer la pente (ou tangente) sous la courbe en un point donné. De façon mathématique, l'on peut aussi écrire: Vinst = lim Δt 0 Δ x / Δ t = dx/dt i (3). Dans la formule précédente dx/dt n est autre que la dérivée de x par rapport au temps (identique à la pente de la trajectoire en un point donné), d où: (x = Vinst x0) = dx / dt(x = x0) (4)..-Mouvement rectiligne: accélération. L accélération moyenne d un mobile en mouvement sur une droite est définie de la façon suivante: a = Δ v / Δt = ( V V1 ) / t t1 (5). Lorsque V V1, il y a accélération. Lorsque V V1, il y a décélération. De la même façon que pour les vitesses nous pouvons définir l accélération instantanée comme: a,inst = lim Δt 0 Δ v / Δt = d v /dt (6). Soit a,inst = d x /dt (7)..3-Unités. = m V a [ ] / [ s] (8). = [ m] / s [ ] (9). Lorsqu une voiture parcourt une distance de 51km en h, la vitesse moyenne de cette voiture est: v = 5,5km/h (10). Pendant ce parcours, le compteur de vitesse indique la v instantanée. 3-Généralisation. 1-Repère d espace, vecteur vitesse et accélération. On dit qu un mobile M est animé d un mouvement rectiligne par rapport à un repère donné si sa trajectoire par rapport à ce repère est porté par une droite. Comme le mouvement se fait selon une seule direction, il est alors commode de choisir comme repère d espace, un repère à une seule dimension (O; i ) ayant même direction que le mouvement. Dans le repère (O; i ), le vecteur espace Schéma 6 OM s écrit OM = x i (11).

3 Et le vecteur vitesse relativement au repère (O; i ) est: V = OM /dt= dx/dt i (1) = Vx i (13) = dx/dt (14). Le vecteur accélération relativement au repère (O; i ) est: a = d V /dt= d x/dt i = d OM /dt i (15). = ax i (16). avec ax= dvx/dt (17). 4-Mouvement rectiligne uniforme (MRU). 1-Définition: Uniforme: intensité du vecteur vitesse est constant. Un mobile est animé d un MRU si sa trajectoire est une droite et si la Vinst est constante. Nous allons distinguer deux cas: (a) L origine des espaces correspond à l origine des temps. (b) L origine des espaces ne correspond pas à l origine des temps. Schéma 7 (a) Rappel: v = d x /dt (18). L intensité de la vitesse V est constante d où la vitesse moyenne est égale à la vitesse instantanée V (t). Déterminer l équation horaire x= x(t). Si la vitesse moyenne est constante nous pouvons l écrire: V (t)= d x /dt (19a). = V0 = d x /dt et V0= dx/dt (19b). Soit V0= dx/dt et v0= constante (19c). L équation horaire s écrit alors d après l équation précédente: x= V0t (0). Ecrivons maintenant l expression de l accélération dans ce cas: a (t)= d V /dt (1). a0= dv0/dt (). = dv0/dt= 0 (3). Par conséquence: a (t)= 0. L accélération d un mobile qui subit un MRU est nulle. Schéma 8 (b) A l instant t, la coordonnée du point en mouvement sera: x (t)= x (0)+ V t (4). Dans le cas où le mouvement est rectiligne, nous pouvons écrire V = V et l équation précédente s écrira: x (t)= vt+ x0. Exercice: Relativement à un repère (O; i ), un mobile est en mouvement RU de vitesse V = 3m/s. Ecrire la loi horaire de ce mouvement dans les repères suivants: Schéma 9

4 Dans le repère (O; i ) à l instant de date t= 0s, le mobile passe par A d abscisse m. Dans le repère (O; i ) à l instant de date t= 1s, le mobile passe par O. Solution: 1/ Ecrivons l équation générale dans le cas d un MRU: x (t)= V (t)* (t- x (0)). La vitesse est V = 3m/s d où x (t)= 3* (t- x (0)). Il nous reste qu à déterminer x (0), nous savons qu à l instant t= 0s, le mobile dans le repère (O; i ) est en A d abscisse m, d où: x (t= 0)= 3* 0+ x (0)= m d où x (0)= m. Ainsi dans le repère (O; i ), l équation horaire s écrit: x (t)= 3t+. / Le mouvement dans le repère (O; i ) est un MRU, il obéit donc à la même équation que précédemment: x (0)= V(0)* (t- x (0)). La vitesse est la même à savoir V = 3m/s, d où: x (t)= -3* (t- x (0)). Dans ce repère nous savons qu à l instant t= 0, le mobile dans ce repère est en O d abscisse 0m d où: x (t)= (t)= -3* (t)+ x (0)= 0m d où x (0)= 3m. Ainsi dans le repère (O ; j ), l équation horaire s écrit: x (t)= -3* t Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV). 1-Définition: Uniformément varié: La vitesse augmente de façon régulière. Ainsi, la variation Δ V de la vitesse par seconde est constante. Nous pouvons exprimer cette condition en écrivant: Δ V (t) / Δ t= constante (6). Or nous avons défini l accélération comme étant cette quantité. Nous dirons qu un mouvement est un MRUV lorsque l intensité de l accélération a est constante. Soit: a = a = ( V V1 ) / t t1 (7). Le mouvement est rectiligne, nous pouvons donc travailler de façon scalaire, c est à dire avec les modules des vecteurs: a = a= a= (V- V1)/ t- t1 (9). le mouvement se fait selon une seule direction, il est alors commode de choisir comme repère d espace, un repère à une seule dimension (O; i ) ayant même direction que le mouvement: Schéma 6 a = d V /dt= dvx/dt i = a i.

5 dvx/dt= a. dvx= adt. Vx= a dt= at+ cste= at+ k1. 6-Généralisation. Si à l instant de date t= 0s, la vitesse du mobile est V (0)= V0 i, l équation précédente s écrit: V = (at+ V0) i. Cherchons l équation horaire du mouvement, cherchons l expression du vecteur espace OM : V = d OM /dt= dx/dt i (30a). dx/dt= at+ V0 (30b). dx= adt- V0dt (30c). x (t)= a dt- V0 dt (30d). Intégrons maintenant la dernière équation: x (t)= 1/ a (t )+ V0 (t+ k) (31a). Soit OM =1/ a (t )+ V0 (t+ k) i (31b). Pour déterminer la constante k, considérons qu à présent t= 0, le mobile est en x (0)= X0, d où d après l équation (31b): k= X0. Ainsi, OM = x (t) i. Soit x (t)= 1/ at + V0t+ X0. C est l équation horaire du MRUV. Dans le MRUV, l accélération est constante, la vitesse est une fonction affine du temps et l abscisse est une fonction du second degré en t. On se propose de chercher une relation liant l abscisse x (t) du mobile et sa vitesse v (t) indépendante du temps. Les expressions de x (t) et v (t) dans le cas du MRUV sont: v (t)= at+ V0. x (t)= 1/ at + V0t+ X0. Dans la première équation, l expression de t: t= (v (t)- V0)/a. x (t)= 1/ at + V0t+ X0. Ainsi, x (t)= 1/ a ((v (t)- V0)/a) + V0 ((x (t)- V0)/a)+ X0. Ou encore, v (t) - V 0= a (x (t)- X0). Si on désigne par xa et xb les abscisses de deux points A et B quelconques du mobile et va et vb ses vitesses de passage par ces deux points, nous aurons d après l équation précédente: v A- v 0= a (xa- x0). v B- v 0= a (xb- x0). En additionnant:

6 v A- v B= a (xa- xb). 1e cas: Les vecteurs vitesse et accélération sont dans le même sens: V. 0. Dans ce cas, le module du vecteur vitesse augmente au cours du temps, le mouvement est alors dit rectiligne uniformément accéléré. e cas: Les vecteurs vitesse et accélération sont de sens contraire: V. 0. Dans ce cas, le module du vecteur vitesse décroît au cours du temps. Le mouvement est alors dit rectiligne uniformément retardé. a a Exercice: Sur une pente, un mobile en MRUV, relativement à un repère (O; i ) part d un point 0 à l instant de date t= 0s avec une vitesse V 0 = 5 i (il remonte la pente), son accélération est a = -3 i quel que soit t 0. 1/ A quel instant de date t1, le mobile rebrousse chemin? / Comparer les mouvements avant et après t1. 3/ Calculer le module de son vecteur vitesse au passage par le point A d abscisse xa= 1m. Solution: 1/ Le mobile rebrousse chemin lorsque sa vitesse s annule. Le mouvement est un MRUV d où: v= at + v0. Et à l instant t1, l on aura: v (t1) donne v1= 0= at1 + v0. D où: t1= -v0/ a= 5/ -3= 1, 66s. / Avant t1: Par exemple en x0, v0 0 et a ( t t1) 0, d où le mouvement est retardé. Après t1: v( t t1) 0 et a ( t t0) 0, le mouvement est alors uniformément accéléré. 3/ On sait qu au point O, le vecteur vitesse du mobile est: V 0 = 5 i 0r, le mouvement est RUV, on aura: v A- v 0= a (xa- x0) avec x0= 0 donc v A= v 0+ axa avec xa= 1m. VA = v 0 + axa = 5 + *( 3) = 4, 35 m/ s. Exercice: Une voiture a une vitesse initiale de 11 m/ s. Elle est en train de rouler sur une route rectiligne avec une accélération constante de 0,5 m/ s. 1/ Calculer sa vitesse au bout de 0s, nous admettrons que la voiture se trouvait à l origine à l instant t= 0s. / Calculer la distance parcourue entre t1= s et t= 5s. Solution: 1/ Le mouvement est RUV, puisque l accélération est constante, nous avons écrit dans ce cas l expression de la vitesse comme: v= v0+ at (3). D où: v( t= 0s)= 11+ 0,5* 0= 0 m/ s (33). / Dans le cas du MRU, nous avons écris l équation horaire comme: x (t)= 1/ at + v0t+ x0.

7 Abscisse à t1= s: x (t1)= a/ * t 1+ v0* t1+ x (0)= 0,5/ * + 11* + 0= 3 m. Abscisse à t= 5s: x (t)= a/ * t + v0* t+ x (0)= 0,5/ * * 5+ 0= 61, 5 m. D où: Δx= x (t)- x (t1)= 61, 5-3= 38, 5 m. Etude du mouvement circulaire ( MC). 1. Généralités. On dit qu un mobile M est animé relativement à un repère (O; i ; j ) d un MC si sa trajectoire dans ce repère est un cercle ou un arc de cercle. Schéma 10 La trajectoire du mobile M est entièrement déterminée lorsque l on connaît dans ce repère le plan du cercle, les coordonnées de son centre C et de son rayon R. Pour repérer un mobile en MC, deux méthodes commodes sont souvent utilisés: repérage par l abscisse curviligne ou angulaire. Dans le premier cas, l on repère la position de M du mouvement à l instant t par son abscisse curviligne s. On oriente la trajectoire et on choisit sur cette trajectoire une origine fixe A. L abscisse curviligne s du mobile M à l instant t est égal à la valeur algébrique de l arc AM soit: s= AM ou s= x (t). Dans le deuxième cas, à chaque abscisse curviligne s du mobile correspond une abscisse angulaire α qui est la mesure algébrique de l angle que fait le vecteur CM avec le vecteur CA soit α= ( CA. CM )= s/ R. La valeur algébrique de l abscisse angulaire est liée à l abscisse curviligne par la relation: α= s/ R. L angle α est exprimé en radians. Ainsi, l équation α= x (t) est aussi une équation horaire du mouvement. Pour les mouvements rapides, il est souvent commode d utiliser le nombre de tours n effectués par le mobile à l instant de date t. n est lié à la vitesse angulaire α par la relation: n= α/ π. La position M du mobile à une date t peut être repérée par les coordonnées du point M dans le repère (C; i ; j ) soit: Schéma 11 M: x= R cos α et y= R sin α. 7- Vecteur vitesse: vitesse angulaire. 1. Caractéristiques du vecteur vitesse. Les caractéristiques du vecteur vitesse V d un mobile M animé relativement à (C; i ; j ) d un MC sont les suivantes: Schéma 1

8 La direction du vecteur vitesse du mobile M est celle de la tangente à la trajectoire du point M. Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement. La norme du vecteur vitesse est donnée par: V = ds / dt. La valeur algébrique du vecteur vitesse: V = ds/ dt. Or, s= R α, d où V = d R α/ dt= R d α/ dt. On fait apparaître ainsi une nouvelle grandeur: α = dα / dt, appelée vitesse angulaire du mobile. La vitesse angulaire α d un mobile M en MC est la dérivée par rapport au temps de son abscisse α. La vitesse V est liée à la vitesse angulaire α par la relation: V = R α L unité de la vitesse angulaire est le radian par seconde ( rad/ s). Pour les MC rapides, on utilise souvent comme unité de vitesse angulaire le nombre de tours par secondes ( tr/ s). Sachant que 1 tr/ s= π rad/ s 8- Vecteur accélération. Schéma 13 a = a T + a N =a N. T + a T. N Nous pouvons démontrer que: a T= dv/ dt= d s/ dt a N= v / R Où R= OM est le rayon de la trajectoire circulaire. On a dans le cas d un mouvement circulaire: V = R α L accélération tangentielle s écrit: a T = dv/ dt= d (R α )/ dt= R dα / dt= R d α/ dt. On fait apparaître ainsi une nouvelle grandeur: α = dα / dt= d α/ dt, appelée accélération angulaire du mobile: L accélération angulaire α d un mobile M en MC est la dérivée seconde par rapport au temps de son abscisse angulaire α. Dans le SI, l unité d accélération est le radian par seconde carré (rad/ s ). Rq: La composante tangentielle a T du vecteur accélération linéaire a est lié à l accélération angulaire α par la relation: a T = R α La composante normale a N du vecteur accélération linéaire a est lié à l accélération angulaire α par la relation: a N= R α Exercice: Dans un repère (C; i ; j ) on considère un mobile M en MC. Le rayon de sa trajectoire est R= m, sa vitesse angulaire est variable en fonction du temps suivant la loi: α = 3t +

9 1/ Sachant qu à l origine des temps le mobile passe par un point d abscisse angulaire 1 rad. Déterminer la loi horaire du mouvement du mobile. / Calculer l accélération angulaire du mobile à l instant de date 1s. 3/ Déterminer à l instant de date t= 1s le module du vecteur accélération. Solution: 1/ Par définition: α = dα / dt= 3t +. Nous pouvons écrire cette équation sous la forme: α dt= dα = 3t + dt. dα = 3t dt+ dt. dα = 3t dt+ dt α= 3 t dt+ dt Rappel: n u du= (1/ (n+ 1))u +1 et t = (1/ + 1)t +1 3 = (1/ 3) t Après l intégration il vient alors: α= t 3 + t+ k où k est une constante. Pour déterminer k, l on doit utiliser les conditions initiales, à la date t= 0s, on a α (0)= 1 rad. D où: α (0)= 1= 0+,0-1k donc k= 1 rad. Ainsi, α= t 3 + t+ 1. / Calculons maintenant l accélération: α = dα / dt= d3t + / dt= d (3t )/ dt+ d / dt= 3 dt / dt. Rappel: du n / dt= nu n 1 * U. = 3* t 1 = 6t. A t= 1s, α (1)= 6 rad/ s. 3/ Déterminons maintenant à l instant de date t= 1s, le module du vecteur accélération, on a: a = a N + a T d où: ( a a = N ) + ( a T ) a Or: N = v / R avec v= Rα a d où: N = R. α / R= R α. a A t= 1s, on aura N = 50 m/ s. Ecrivons maintenant l accélération tangentielle: a T = dv / dt = d(r. α ) / dt = R α. a A t= 1s T (t= 1s)= Rα (t= 1s)= * 6= 1 m/ s. + at Ainsi: a = a N = = 644 = 51,41 m/ s. 9-MC uniforme (MCU). Définition: Soit un mobile M relativement à un repère (O; i ; j ). Ce mouvement est dit uniforme si le module du vecteur vitesse du mobile reste constant au cours du mouvement.

10 Schéma 14 V = cste D où: α = v/ R donc α = cste d où: α = dα / dt= 0. La vitesse angulaire α étant cste: α = dα / dt soit: α dt= dα. L équation horaire du mouvement sera alors de la forme: x (t)= α t+ α0. Où α0 est l abscisse angulaire du mobile M à l origine des temps. Cherchons les composantes a T et a N du vecteur accélération a. Le module du vecteur vitesse étant constant au cours du temps: a : a T = dv/ dt= 0 et a N = v / R= constante. Le vecteur accélération a est confondu avec le vecteur a N, soit: a = a N = R. α N = -α OM. Lorsque le mobile M est animé d un MCU, le vecteur accélération de norme R. α est constamment dirigé vers le centre O de la trajectoire. On dit que le vecteur accélération est centripète. La période T du MCU est le temps mis par le mobile pour effectuer un tour complet, T est alors donné par: T= π / α. La fréquence du MCU est le nombre de tours effectués par seconde: f= 1/ T= α / π. PARTIE : La mécanique dynamique. 1. La relation fondamentale de la dynamique: Quantité de mouvement et force. Définition: Pour un point matériel de masse m animé par rapport à un repère (O; j ; k V ) d un mouvement de vitesse, le vecteur quantité de mouvement de ce point matériel est égal au produit de sa masse par son vecteur V vitesse : P V = m (34). Caractéristiques du vecteur quantité de mouvement: V Sens et direction semblable à. Module: P = m V. Unité: Kg m/ s. Exercice: Un point matériel de masse m= 0,5 Kg est en MR par rapport à un repère (O; i ) d équation: x= -4t + 5t (35). 1/ Calculer les vecteurs quantité de mouvement aux dates t1= 0s et t= s. / Déterminer les variations du vecteur quantité de mouvement entre t1 et t. Solution: 1/ La loi horaire du mouvement est d après l équation 35: x= -4t + 5t.

11 D où: v= dx/ dt= d -4t + 5t / dt= -8t+ 5 (36). A l instant de date t= 0s, on aura: v0= 5 m/ s (37). Dans le repère (O; i V ): = 5 i. La quantité de mouvement P 1 =,5 Kg m/ s. A l instant t= s, on aura: v= - 11 m/ s. P = m/ s. / Calculons la variation de la quantité de mouvement: nous avons entre t1 et t: Δ P = P - P 1 =- 5.5-,5= - 8 i. Une force est toute cause capable de modifier le vecteur quantité de mouvement du corps sur lequel elle s exerce. Nous verrons qu une relation de cause à effet existe entre la somme des forces qui s exerce sur un point matériel et la modification correspondante du vecteur quantité de mouvement de ce point; c est la 1e loi de la dynamique. Définition: La chute libre est le mouvement d un corps soumis à la seule action de son poids. Rq: Dans l air, la chute d un mobile pourrait être considérée libre si l action de l air sur ce mobile est négligeable devant celle de son poids. Nous pouvons démontrer que la chute libre sans vitesse initiale d une bille est un MRUV d accélération a avec: a = 9, 8 m/ s. Exercice: Une bille de masse m assimilable à un point matériel, tombe en chute libre sans vitesse initiale. A l instant t= 0s, la bille est à l origine d un repère (O; i ). 1/ Donner la loi horaire de son mouvement. / Déterminer la variation Δ P du vecteur quantité de mouvement entre les dates t1 et t ( Δt). 3/ Chercher la relation entre Δ P par seconde et la somme des forces qui s exerce sur la bille. 4/ Comment s écrit cette relation lorsque Δt tend vers 0. Solution: 1/ L accélération de la bille est a = g ; dans le repère (O; i ): a = g i = (dv/ dt) i = (v/ t) i soit: V = gt i. A t= 0s, V = 0, d où: x (t)= 1/ gt. A t= 0s, x (0)= 0. / Calculons la variation du vecteur de quantité de mouvement à l instant t1: V (t1)= V 1 = gt1 i. A l instant t: V (t)= V = gt i. Δ P = m V - m V 1 = mgt1- mgt= mgδt i.

12 3/ Ecrivons Δ P par seconde: Δ P = mgδ t i donc Δ P / Δt= mg i = P ou - P, le poids de la bille. La bille étant en chute libre, elle n est soumise qu à son poids donc la somme des forces = son poids, d où: F = Δ P / Δt. 4/ Faisons maintenant tendre Δt vers 0: lim ( Δt 0) Δ P / Δt= d P / dt. Pour la chute libre, on a: d P / dt= F = P. Conclusion: Le poids d un mobile ponctuel en chute libre est à chaque instant égal à la dérivée de son vecteur quantité de mouvement. La relation d P / dt= i F i démontrée dans le cas de la chute libre d une bille est une relation générale valable pour tout point matériel et de n importe quel mouvement. Elle traduit le principe fondamental de la dynamique classique ou Newtonienne: d P / dt= i F i. Nous limiterons notre étude aux mobiles dont la masse reste constante au cours du temps, nous aurons alors: d P / dt= dm V / dt= m d V / dt= m a. Dans ce cas, la loi fondamentale de la dynamique s écrit: i F i = m a.. Cas d un point matériel isolé: principe de l inertie. Définition: Un point matériel est dit isolé s il n est soumis à aucune force extérieure. Un point matériel soumis à plusieurs forces est dit pseudo- isolé si la somme de ses forces est nulle. Dans le e cas: i F i = 0. Dans un repère Galiléen, un point matériel isolé ou pseudo- isolé A de masse m: P = i F i. La somme des forces exercées sur A: i F i = 0. Appliquons la loi fondamentale: i F i = d P / dt= 0.

13 i Où P = m V d où: F i = dm V / dt= m d V / dt. m d V / dt= 0 donc: d V / dt= 0 donc: V = Cste. Le vecteur V est donc constant en direction, sens et module. Deux cas se présentent: 1. Cas où la norme du vecteur est nulle dans le repère Galiléen choisit. Ce point matériel est alors au repos relativement à ce repère.. La norme initiale du vecteur vitesse est constante, le mobile est animé d un MRU. Dans un repère Galiléen, si un point matériel est isolé ou pseudo- isolé est au repos, il reste au repos et s il est en mouvement, ce mouvement est alors RU. Exercice: Un canon lance un mobile de masse m, on considère qu à l origine du temps, cet obus est au point O avec une vitesse initiale V 0, inclinée d un angle α par rapport à l horizontale. On néglige la résistance à l air. On assimile l obus à un point matériel et on suppose que dans la région ou d se déplace, le champ de pesanteur est uniforme. On donne a = 9, 8 m/ s. 1/ Chercher les composantes de a de l obus dans le repère (O; i ; j ) considéré comme galiléen. / Chercher en fonction du temps, les composantes de V de l obus dans (O; i ; j ). 3/ Chercher en fonction du temps les coordonnées de l obus dans (O; i ; j ). 4/ Trajectoire de l obus? Solution: Schéma 1 1/ La résistance de l air étant négligeable en dehors du canon, l obus ne sera soumis qu à son poids P = m g. On applique à l obus la relation fondamentale de la dynamique: i F i = m a P = m a = m g d où a = g ; dans le repère (O; i ; j ) on a donc: 0 g a g avec g= -. / On a: ax= dvx/ dt= 0 d où Vx= C1. ay= dvy/ dt= g d où Vy= gt+ C. Où C1 et C sont des constantes.

14 Pour déterminer les constantes d intégrations: A la date t= 0, on a: V0x= V 0 cosθ d où C1= V 0 cosθ. V0y= V 0 sinθ d où C= V 0 sinθ. D où les composantes du vecteur vitesse V de l obus dans le repère (O; i ; j ): cosθ V 0 t + sinθ g V 0 V 3/ On a: Vx= dx/ dt= V 0 cosθ, d où x= V 0 cosθt + C3. g Vy= dy/ dt= - t sinθ g, d où y= -1/ t + V 0 sinθ t + C4. A t= 0, l obus est en 0 donc: x0= 0, d où C3= 0. y0= 0, d où C4= 0. cosθt V 0 1 / t + sinθt g V 0 D où les coordonnées de l obus 4/ On cherche l équation y= f(x) qui représente la trajectoire de l obus. x= V 0 cosθ t, d où t= x/ ( V 0 cosθ ) On remplace par sa valeur dans y, on aura: g y= - / ( V 0 cos θ )x + (x V 0 sinθ )/ ( V 0 g cosθ)= - / ( V 0 cos θ )x + xtanθ Ainsi, y= f(x) est de la forme y= ax + bx, la trajectoire est donc une parabole. Schéma 16 Considérons un projectile lancé horizontalement. Son mouvement contient deux composantes: Schéma 17 Un mouvement horizontal sans force horizontale et donc vitesse constante. Un mouvement vertical sous l influence de la gravité et donc à l accélération constante. Comme la force est un vecteur, elle n accélère les corps que dans sa propre direction. Schéma 18 Dans cet exemple, les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale sont: V0x= V0 cosθ V0y= V0 sinθ Si l origine de déplacement au goulot de la bouteille, les composantes horizontale et verticale du déplacement sont par conséquent:

15 x0= V0t y0= V0t + (1/ )gt Considérons le projectile lancé verticalement dans un train qui roule à vitesse constante: Schéma 19 Une fois lancé, l objet garde sa vitesse horizontale uniforme, celle du train. Il tombe verticalement. Vu d un observateur hors du train, l objet suit un parcours parabolique tout comme le projectile du canon: Schéma 0 La loi d inertie est valable dans les référentiels à vitesse relative constante, dis référentiel d inertie. Nous avons vu les effets de la force mais quelle est sa nature? La force est l agent du changement, l agent qui change la vitesse des corps ou essaie de le faire. Schéma 1 Les forces macroscopiques peuvent être mesurées à l aide d un dynamomètre. Comme la force est un vecteur, l effet net de plusieurs forces est la même que celui d une seule force qui correspond à la somme vectorielle des forces. Quand la somme de toutes les forces est nulle, il n y a aucun mouvement. On parle alors d équilibre statique. Mais les forces existent tout de même à l intérieur du système. Schéma Quand la somme vectorielle des forces est différente de zéro, la situation est dynamique. Il y a accélération dans la direction de la force. Schéma 3 Mais méfiez vous, s il y a des contraintes au mouvement, par exemple via des rails ou la quille d un bateau, seule une partie de la force peut agir. Deux clowns tirent sur un éléphant immobile, comme le montre la figure. Quelle force nette ou force résultant est ressentie par l éléphant? Quelle est la tension de la corde? Schéma 4 Nous nous rappelons que la force totale est un vecteur force et nous devons déterminer son module et sa direction à partir des deux forces F1 et F. Nous connaissons deux méthodes, celle du triangle et celle des composantes. 1/ Méthode du triangle: Le problème est simplifié parce que F1 est à perpendiculaire à F. Le théorème de Pythagore nous dit que pour le triangle des forces: F = F = F1 + F = = 500N. L angle par rapport à la force F est θ:

16 θ = tan 1 F1/ F= 36,9. La tension est de 500N. / Par la méthode des composantes, nous prenons l axe x le long de y le long de F1 : Fx= F Fy= F1 Le module est F= Fx + Fy L angle θ est θ= tan 1 Fx/ Fy F, l axe Déterminer la force nette exercée sur l anneau par les 3 personnes dessinées. La configuration est elle en équilibre? Schéma 5 Nous avons besoin d additionner 3 vecteurs: F = F1 + F + F 3. La méthode des composantes s impose: Nous commençons par la détermination des composantes de Fi : Fix= Fi cosθ i Fiy= Fi sinθ i Avec l angle θi entre la force Fi et l axe x Fi. Les composantes de la force, résultante sont égales aux sommes des composantes: Fix= F1x + Fx + F3x Fiy= F1y + Fy + F3y Nous commençons par la détermination des composantes de Fi : Schéma 6 F1x= F1 cos 10 = (707N) (-5)= -353,500N Fx= F cos 45 = (500N) (0,707)= -353,500N F3x= F3 cos 70 = (966N) (0)= 0N Et: F1y= F1 sin 10 = (707N) (- 0,86605)= -61,80N Fy= F sin 45 = (500N) (0,70700)= 353,500N F3y= F3 sin 70 = (966N) (-1)= -966,000N La somme des composantes donne: Les composantes de la force résistante Fi : Schéma 7 Fix= F1x + Fx + F3x= 0 Fiy= F1y + Fy + F3y= 0 Les trois forces sont en équilibre. Si la masse d un objet est constante, la dérivée par rapport au temps dans la e loi de Newton ne concerne que la vitesse: F = d V / dt= m a.

17 On voit que la force accélère les objets dans sa propre direction. Bien se rappeler que F est la résultante des F, ou force nette sur le corps. Une F de 1N appliquée à un objet de masse 1Kg provoque une accélération constante de 1m/ s : Schéma 8 Schéma 9 Une balle de masse 0,14Kg quitte la main du joueur avec une vitesse terminale de 0,00 m/ s. Si le lancement rectiligne durait 0,00s, déterminer le module de la force. Sont donnés la masse de l objet= 0,14Kg, la durée de l accélération Δt= 0,00s et la vitesse avant et après l accélération: Vi= 0m/ s et Vf= 0,00m/ s. Comme la force est supposée constante, l accélération est constante, de même direction. Comme la force est supposée constante, l accélération l est aussi, elle a la même valeur que l accélération moyenne: a= Δv/ Δt= 1000m/s Étant donné la masse et l accélération, la deuxième loi de Newton donne la force: F= mn= (0,14Kg).(1000m/s )= 14N La masse est une propriété fondamentale d un objet, indépendante de la présence d autres corps, la même partout sur terre et dans l univers. L origine de cette force est à ce jour inconnue. Le poids est la force exercée sur un corps à la surface de la Terre, à cause de l interaction gravitationnelle entre l objet et la terre. Par conséquent, le poids varie avec la position vis-à-vis de la terre. Le poids dépend de la masse, mais il n est pas une propriété fondamentale. Isaac Newton Isaacus Newtonus Ieova sanctus unus ( est élu de Dieu ). Dans beaucoup de têtes, même dans celle des physiciens, un faux concept subsiste concernant le mouvement circulaire: ce concept dit qu une force centrifuge agissant sur un objet en rotation le tire radialement vers l extérieur. Ceci est FAUX. Un objet décrivant un cercle et soudainement lâché continu son mouvement le long d une ligne droite tangente au cercle au point de libération. Établissons une expression pour l accélération centripète a c, pour un objet évoluant à vitesse uniforme sur un cercle de rayon r. Le corps se déplace de A à B: Schéma 30 Pendant un intervalle de temps Δt. En même temps, le rayon balaie un angle θ. La vitesse v0 au début change de direction de façon continue et devient v. Comme v est perpendiculaire au rayon r à chaque moment, l angle entre v0 et v = v0 + Δv est aussi θ.

18 La corde AB est le module du déplacement Δs. Schéma 31 v = v0 + Δv sin( θ /)= AB/r= Δv/v D où: Δv/v= AB/r Δv= (v/r) Δs Nous pouvons obtenir l accélération en divisant par le temps Δt: Δv/ Δt= (v Δs)/(rΔt) Lorsque Δt tend vers 0, Δs/ Δ t tend vers s et Δv/ Δ t vers l accélération a. Cette accélération instantanée est centripète: a c= v /r Exercice: Un scarabée s est posé sur le bord d un disque vinyle de diamètre 30,5cm, tournant à raison de 33*33 tours par minute. Quelle est l accélération centripète de cet insecte? L accélération centripète pour un parcours circulaire est: a c= v /r Pour une vitesse v et un rayon r. La vitesse dont le module est constant pour un disque est donnée par le parcours en une minute: Δs /1min = (33*33)π r= 31,9m La vitesse s écrit alors: v= Δs/ Δ t= ( Δs /1min)/60= 31,9/60= 0,53m/s L accélération centripète est: a c= v /r Si un corps de masse m est accéléré. Il doit subir une force de magnitude F= ma. Tout objet qui décrit un cercle est donc soumis à une force centripète F c dirigée vers le centre et dont le module est: F c= mv /r C est cette force qui attire le corps et courbe sa trajectoire, qui autrement serait rectiligne selon le principe d inertie. Plus la trajectoire est courbe, c est à dire plus r est petit, plus la force centripète est grande. Schéma 3 Il est possible de relever un virage pour que la force normale à la piste fournisse la force centripète et se substitue au frottement. La force normale agissant sur le coureur peut être décomposée en une composante verticale, contrebalançant le poids, et une horizontale fournissant la force centripète. L accélération verticale est nulle: Fv = F Ncosθ - P= 0

19 F Ncosθ = P= mg. Notons que F N > P. Une accélération horizontale existe avec: Fh = F c= m.a c et: F c= F N sinθ = mv /r En combinant les deux équations nous trouvons l angle dont il faut relever la piste: (F N sinθ )/(F N cosθ)= ( mv /r)/(mg) tanθ = v /rg L angle dont il faut relever le virage dépend uniquement de la vitesse et du rayon de courbure: tanθ = v /rg Donc valable pour n importe quel objet, indépendant de la masse. Exemple: Une piste circulaire de 0m de rayon doit être relevée d un angle adapté à une course de vitesse proche de 4Km/h. Calculer θ. θ Calculons tout d abord la vitesse: v= (4/3600).10 3 = 6,67m/s L angle adapté est tel que: tanθ = v /rg= (6,67 /(9,81*0))= 0,7 L angle est par conséquent d environ 13. PARTIE 5: Interaction: la 3e loi de Newton. Jusque là, nous avons considéré l action d une force externe sur une particule, la force change l impulsion de la particule selon la e loi de Newton. Mais d où vient cette force? La force est directement ou indirectement générée par une autre particule. Le processus implique deux partenaires, le changement de mouvement concerne forcément les deux. Une interaction a lieu. Deux particules identiques s approchant à la même vitesse doivent sentir la même force en s entrechoquant, et subir la même modification de leur mouvement après l impact. Examinons les interactions au niveau atomique lors d un choc mécanique entre deux objets macroscopiques: quand on saute depuis une chaise sur le sol, pourquoi ne le transperce-t-on pas? C est grâce à l interaction électromagnétique que les atomes de notre corps ainsi que ceux du plancher tiennent ensemble pour donner un corps apparemment solide. Quand un tel corps subit un choc par rapport aux autres, repousse la e couche et ainsi de suite.

20 La déformation du plancher crée la force qui ralentit notre chute jusqu à l arrêt complet. Plus indéformable et le plancher, plus violent est l arrêt, plus on se fait mal. La 3e loi de Newton formalise cette vue de l interaction. Lorsque deux corps A et B interagissent, ils exercent l un sur l autre des forces égales en grandeur et opposées en direction: F AB = -F BA Schéma 33 Ceci veut dire que chaque force fait partie d une paire interactive. Comme les deux forces agissent sur deux corps différents, elle ne s annulent pas. L effet de l interaction sur chaque partenaire existe bien. Quand on parle d une force, on ne considère d habitude que la moitié de l interaction. Quand on ressent la gravitation, c est parce que la Terre attire tous nos atomes vers son centre. Mais en même temps, la Terre est attirée par nous, et avec la même force! Le diagramme du corps isolé est un outil très utile pour identifier les forces agissant sur un objet. On le construit comme suit: -Enlever tout autre objet que celui que l on considère. -Remplacer chaque source d interaction par une force vecteur: Schéma 34 Un enfant tire un chariot de masse total 100Kg. Il applique une force constante 100N sous l angle de 30. Ignorant les forces de frottements, calculer la force horizontale et l accélération résultante du chariot. On donne cos 30 = 0,866. Schéma 35 Le chariot étant trop lourd pour être soulevé, la composante verticale de la force reste sans conséquence. Définissons un système de coordonnées avec l axe x horizontal, pointant dans la direction de la force. Un diagramme du corps isolé nous dit que la seule force dynamique est la composante horizontale Fx: Fx= Fcos θ = Fcos 30 = 100*0,866N= 86,6N. Fx= m.ax. ax= Fx/m= 86,6N/100Kg= 0,866m/s Une masse d un kilogramme est attachée à une corde. La gravitation agit sur tous les atomes du poids et l attire vers la terre, avec une force totale P. On suppose que le poids de la corde soit négligeable par rapport à celui de la masse. Par conséquent, nous pouvons l ignorer. Schéma 36 La masse tire donc vers le bas à l extrémité de la corde. La corde tire vers le haut avec une force dont la magnitude est la tension T.

21 Soit y l axe vertical pointant vers le haut, appliquons la e loi de Newton: F = P + T = m. a = 0 Comme il n y a qu un seul axe qui importe, nous pouvons passer en rotation scalaire, en respectant les signes: Fy = (-P) + (+T)= 0 La tension est la même en chaque point de la corde, toujours dirigé le long de la corde: Schéma 37 Considérons un objet sur un plan incliné. La force gravitationnelle agit strictement vers le bas, mais elle a une composante P parallèle au plan ainsi qu une composante P perpendiculaire au plan. Comme le seul mouvement possible est le long du plan incliné. Il est donc produit par P parallèle. L angle θ entre le vecteur du poids et la normale au plan est égal à l angle d inclinaison du plan: P parallèle= Psinθ P perpendiculaire= Pcosθ Une skieuse de 50Kg fait un schuss sur un plan enneigé, incliné de 30,00. On néglige le frottement et la résistance de l air. Calculer (a) le module de la force normale agissant sur elle. (b) Le module de la force qui la fait glisser le long du plan incliné. (c) L accélération résultante. a) Schéma 38 P parallèle= Psinθ et P perpendiculaire= Pcosθ. Le diagramme du corps isolé nous permet de déterminer les deux composantes de la somme des forces. La composante du poids qui l appuie sur la neige est: P perpendiculaire= mg cosθ = 50Kg*9,81m/s *cos 30 = 45N. Prenons cette direction comme positive. La composante normale du poids est compensée par la force -F N exercée par la surface d où: F N = P perpendiculaire - F N = 0 La surface ne permet pas l accélération dans cette direction donc: a perpendiculaire= 0 b) La composante du poids parallèle à la surface est: P parallèle= mg sinθ = 50Kg*9,81m/s *sin 30 = 45N. c) Prenons cette direction comme positive. Il n y a aucune autre force qui agit dans cette direction, alors: F parallèle= P parallèle= ma

22 L accélération dans cette direction est: a parallèle= (mg sinθ )/m= g sinθ = 5m/s Ce résultat est indépendant de la masse. Il s applique à tout corps glissant sur un plan incliné de 30. Les deux masses sur les figures sont attachées ensemble par une corde inextensible. Les poulies sont légères et sans frottement. Il n y a donc pas de force tangentielle et la tension est constante le long de chaque corde. Pour le moment, les surfaces sont sans frottement: Schéma 39 Supposons que le mouvement a lieu pour chaque cas dans la direction de la flèche. La plus grande masse m1 tire la corde et la corde tire la masse m. La masse entraînée ne peut pas dépasser et détendre la corde ni traîner derrière avec une accélération inférieure à celle de la corde. Les deux masses ont donc la même accélération a. Avec deux masses et en utilisant la e loi de Newton nous pouvons écrire équations couplées et déterminer deux inconnues par exemple F T et a.. Condition de l équilibre statique. L équilibre statique. Système de forces parallèles. Schéma 40 Pour simplifier, nous considérons uniquement des systèmes de forces qui agissent dans un seul plan des systèmes de forces coplanaires. La e loi de Newton implique qu un système général est en équilibre translationnel a = 0 si: F = 0 Ceci est la 1e condition de l équilibre. Si toutes les forces sont confinées dans un plan, on peut définir deux axes perpendiculaires dans ce plan, x et y par exemple, l un horizontal et l autre vertical. Les composantes scalaires des forces le long de ces axes suivent les conditions simultanées: Fx = 0 et Fy = 0 Schéma Le frottement. 3.1 Expérience. L expérience de tous les jours montrent qu un objet non soumis à une force motrice ne reste pas indéfiniment en mouvement rectiligne à vitesse constante en violation apparente de la 1e loi de Newton. La e loi nous dit qu il faut une force pour décélérer le mouvement: la force de frottement. Il y a deux formes principales de cette force:

23 -Le frottement cinétique s oppose à un mouvement déjà établit. -Le frottement statique empêche au mouvement de démarrer. L origine du frottement est l interaction électromagnétique des atomes qui forment les solides, liquides et gaz. Schéma 4 Si l on augmente F F et si le bloc ne bouge toujours pas, f doit augmenter aussi. Si F dépasse une valeur limite, le bloc finit par se mettre en mouvement. max F Cette limite correspond au maximum du frottement statique f. Le frottement maximum est proportionnel à la force normale: max F f = µs.f N Le coefficient de proportionnalité, le coefficient de frottement statique µs dépend des deux matériaux en contact. Exemples qualitatifs: Acier sur glace: µs = 0,1. Acier sur acier sec: µs = 0,6. Acier sur acier graissé: µs = 0,1. Bois sur bois: µs = 0,5. Une caisse en bois, contenant une machine à laver, a une masse totale de 100Kg. Elle doit être déplacée sur un plancher en ébène, en tirant sur une corde, faisant un angle de θ= 30 avec le plan horizontal. Quelle est la force minimale pour la déplacer? Est-elle plus grande ou moins grande si θ = 0? Schéma 43 Utilisons le système de coordonnées indiqué. Juste avant que la caisse ne commence à bouger, elle est au repos dans la direction horizontale x et verticale y: Fy = 0= F N + Fsinθ - P F N = P - Fsinθ Fx = 0= Fcos θ - Ff Ff= Fcosθ En utilisant la proportionnalité du frottement à la force normale: max F f = µs.f N = µs (P - Fsin θ )= Fcosθ d où: F= ( µs.mg)/(cos θ + µs sin θ )= 490,3N/(0, ,35)= 0,44KN. Sous l angle 30, la force doit excéder 0,44KN. Si θ= 0 : F= µs P= 480N soit F= 0,480KN. PARTIE VI: Énergie et travail. 1. Les forces. 1.1 Les 4 forces fondamentales. -Gravitation.

24 -Électromagnétique. -Interactions fortes (noyau, proton, neutron, quark, gluon: radioactivité correspondante). -Interactions faibles (électron, neutrino, boson, intermédiaires: radioactivité correspondante). 1. Définition. Peut-être la caractéristique la plus importante de l énergie est qu elle est transférée par interaction de telle sorte que l énergie totale ne change pas. On dit que l énergie est conservée. Imaginons un système isolé qui contient une seule particule dans un vaste espace vide. Rien d'intéressant ne peut se passer quand toute interaction est exclue. Mais au moment où le système contient deux particules ou plus, l action des forces fondamentales changera leur position et leur vitesse. On verra bientôt que l on associe l énergie potentielle avec la position relative et la vitesse relative avec l énergie cinétique. Quand deux systèmes de particules interagissent, comme une balle de tennis et une raquette, de l énergie est transférée de l un vers l autre. Nous dirons que le fournisseur d énergie effectue du travail sur le récipiendaire d énergie. Le travail est le changement de l énergie d un système du à l application d une force agissant sur une distance. Au coeur de ce concept est la notion de mouvement contre une résistance qu elle soit fournie par la pesanteur, un frottement, une inertie ou n importe quelle autre force. Considérons le cas le plus simple d une masse ponctuelle (un corps parfaitement rigide ainsi toutes ses parties se déplacent de la même manière). Une force constante externe F, exercée sur un objet le déplace d une distance horizontale t. La force est parallèle à un mouvement rectiligne et une définition préliminaire du travail W effectué est: W= ± F. l = ±F*l L unité Si du travail est le Newton/mètre ou Joule: 1J= 1N*1m Le travail sur un objet est défini comme positif si le point d application de la force se déplace dans la direction de la force. Exemple de locomotive. Une locomotive exerce une force de traction constante de 400KN sur un train qu elle tire sur 50m. Quel est le travail effectué par le moteur sur le train? Arrivant vers une gare, la locomotive exerce une force de freinage de 100KN dans la direction opposée au mouvement, pour arrêter le train au bout de 1000m. Quel est le travail W alors effectué? a) Dans le cas de l accélération, la direction de la force est dans le sens du mouvement, alors F > 0: Wm= +Fl= (400KN).(500m)= +0N*1000= +00KW

25 b) Dans le cas du freinage, la force s oppose à la direction du mouvement, alors W: W= -Fl= -100MJ Notre définition préliminaire du travail peut être généralisé: le travail d une force constante appliquée à un corps est le produit de la composante de la force dans la direction du mouvement par la distance sur laquelle la force agit: W= F. l = Fcos θ.l= Fl cosθ Si la force change pendant le trajet, le travail est: W= B A F. l Un travail est effectué pour vaincre une force, l exemple le plus commun étant celui de soulever une masse contre la gravité. Si on le fait à vitesse constante, son accélération est nulle: a = 0 C est à dire que: F = m a = 0 Par conséquent, la force appliquée F doit compenser le poids de l objet P. Évidemment, la force appliquée doit momentanément excéder le poids pour démarrer le mouvement mais directement après: F = - P Force et mouvement sont verticaux vers le haut, par conséquent: θ = 0 et W= Fcosθ Considérons maintenant le mouvement général dans un champ gravitationnel homogène. Imaginez qu une charge doit être transportée sur une colline, une petite étape de ce parcours déplace la charge horizontalement par une distance Δx et la soulève d une hauteur Δy. Uniquement la composante Δy fournit un travail: ΔW= mg Δy La composante horizontale n effectue aucun travail. Par conséquent, le travail total: W= mg Δy dépend uniquement du déplacement vertical et est indépendant de ce qui se passe horizontalement. En déplacement de A à B dans un champ gravitationnel homogène, le travail est indépendant du parcours. Seul la différence en hauteur de A à B est importante. Ceci veut aussi dire que le travail est nul si l on déplace une masse ponctuelle sur un parcours fermé. Les forces qui ont cette propriété sont appelées forces conservatives.

26 3. Énergie mécanique. 3.1 Définition. Tout travail effectué par ou contre une des quatre forces fondamentales: celà se manifeste par une variation et un transfert d énergie. On distingue deux formes d énergie: -L énergie cinétique est liée au mouvement, et plus précisément à la vitesse d un corps. -L énergie potentielle est liée à la position d un corps dans un champ de force. Comme l énergie totale est conservée, on peut transformer l énergie cinétique en énergie potentielle et vice-versa. Pour comprendre le concept de l énergie cinétique, considérons un corps de masse m sous l influence d une force constante F. Sur une distance l, cette force effectue un travail: W= F.l= m.a.l L accélération a est constante parce que la direction l est. La vitesse change de vi à vf, avec (cas d un MRUV): vf - vi =.a.l D où: a.l= (1/)vf - (1/)vi En multipliant les deux membres par m, nous obtenons le travail en fonction de vi et vf: W= (1/)mvf - (1/)mvi Cette dernière équation veut dire que le travail change les quantités (1/)mv. L énergie cinétique: W= Ecf - Eci= ΔEc Avec: Ec= (1/)mv L unité de l énergie cinétique, comme toute forme d énergie est le Joule. La vitesse de décollage d un avion de ligne Boeing 747 pesant,*10 6 N est de 68m/s. Calculer alors son énergie cinétique. Sachant qu 1Kg de TNT produit une énergie de 46*10 6 J, quelle est la masse de TNT équivalente à cette Ec? Pour calculer l énergie cinétique, il nous faut d abord la masse de l avion: P=mg soit m= P/g=.*10 6 N/(9,81m/s )=,4*10 5 Kg Nous connaissons la vitesse et la masse de l avion, d où son énergie cinétique: Ec= (1/)mv = (1/).(,4*10 5 Kg).(68m/s )= 8,0*10 9 J C est l équivalent de l énergie produite lors de l explosion de 1,7*10 3 Kg de TNT.

27 L exemple précédent suggère une propriété fondamentale: l énergie cinétique est relative. Nous choisissons le zéro de l énergie cinétique en choisissant le système de coordonnées par rapport auquel la vitesse est mesurée. Là, c est la terre qui est prise comme immobile et l on calcule la vitesse par rapport au sol. Si vous étiez dans l avion au repos, à coté de votre valise de 0Kg, votre valise n a aucune énergie cinétique par rapport à vous. L avion n en a pas non plus. Mais un observateur au sol vous voit passer... Ce qui compte en matière d énergie du mouvement, ce n est pas l énergie absolue du système mais l énergie qui lui est transférée ou retirée. Ceci est approprié puisque l énergie totale d un système dépend de l observateur. L énergie est conservée dans le sens que la somme de toutes les énergies dans un système clos est constant. Cela veut dire entre autre que les deux formes d énergie que nous connaissons déjà, le travail et l énergie cinétique peuvent être transformées l une dans l autre. Ce lien entre les deux est déjà indiqué par le fait que leur unités sont les mêmes: W [ ] = Kg (m/s) [ Ec] = Kg (m/s) Le théorème de l énergie cinétique nous dit que le travail total effectué pour accélérer un objet rigide est égale à la variation de son énergie cinétique. Il est important de noter que ce théorème ne peut pas être appliqué, même comme approximation aux corps déformables. Une bonne partie du travail peut disparaître dans la déformation de l objet et ne causer aucun effet cinématique. Par contre, le théorème est strictement valable pour les particules ponctuelles, indéformables par définition. 4. Énergie potentielle. 4.1 Énergie potentielle gravitationnelle sur Terre. Définissons par exemple la surface de la Terre comme niveau de référence. La différence entre l énergie potentielle à ce niveau et à une hauteur h au dessus est: ΔEp= Ep0 - Eph= mg(h0 - h) Eph= mgh Le travail effectué pour soulever une masse est égal à l accroissement de son énergie potentielle dans le champ gravitationnel. Le peintre porte un pot de Kg. Il va grimper 10m le long de la hampe au dessus du toit d une hauteur de 30m. 1. De combien augmente l énergie potentielle du pot lors de cette ascension?. Quelle énergie potentielle a gagner le pot depuis qu il a quitté le sol?

28 1. ΔEp= mgδh= (,00Kg).(9,81m/s ).(10m)= 196J. ΔEp= mgδh= (,00Kg).(9,81m/s ).(40m)= 785J Selon le choix du niveau de référence, Ep peut être positive ou négative. Considérons un chariot de montagnes russes. Il part du sommet et descend jusqu au premier point bas: ΔEp= Epf - Epi= mg(hf - hi) < 0 Ce qui veut dire que l énergie potentielle diminue. Si nous prenons le niveau du sol comme le zéro de l énergie potentielle, cette dernière reste positive pendant tout le trajet: Epf= mghf > 0 et Epi= mghi > 0 Si par contre nous définissons Ep=0, l énergie potentielle serait toujours négative. 5. Conservation de l énergie. 5.1 Loi de conservation de l énergie. L un des énoncés les plus fondamentaux de toute la physique est la loi de la conservation de l énergie. L énergie totale de tout système isolé du reste de l univers reste constant, mais l énergie peut être transformée d une forme à l autre à l intérieur du système. Nous appliquons ce principe tout à fait général, d abord aux formes d énergie que nous connaissons déjà: Ec et Ep. Mais il ne faut pas oublier que cette loi s applique à la somme de toute forme d énergie. Définissons l énergie mécanique E d un système comme la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle. Pour simplifier, nous éliminons ainsi toute énergie interne et toute énergie externe sauf celles causées par la gravité. Supposons que le système effectue un travail W contre une force appliquée autre que la gravité. Son énergie mécanique est alors diminuée par une portion W > 0, et passe de Ei à Ef < Ei: W= ΔE= ΔEc - ΔEp W= ΔE= Ei - Ef En supposant que g est une constante, la loi de conservation peut être écrite en fonction de la masse, des vitesses et des hauteurs: W= ((1/)mvf - (1/)mvi ) + (mghf -mghi) En l absence de toute force sauf la gravitation, on a W= 0 et: ((1/)mvf - (1/)mvi )= mg(hi - hf) À chaque instant, l énergie mécanique totale est constante. Schéma 44 Cas du ressort: Loi de Hooke.

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