BTS-CPI1 A- Étude de Fonction Cours1, A1- Fonctions de Référence

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1 BTS-CPI A- Étude de Fonction Cours, A- Fonctions de Référence On appelle fonction numérique f, un opérateur qui a un nombre appelé antécédent fait correspondre un nombre f() appelé image de par f. Le domaine de définition de la fonction f, est l ensemble de toute les valeurs pour les quelles f peut être appliquée, dans ce cas f() eiste.. Fonctions Linéaires/Affines : f la fonction définie sur R par f() = a où a est un réel donné est la fonction linéaire, de coefficient de linéarité a. Propriété : Dans le plan muni d un repère, Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l origine. Réciproquement : Toute droite passant par l origine, représente une fonction linéaire. (b) Définition : f la fonction définie sur R par f() = a + b où a et b sont des réels donnés est la fonction affine, de coefficient de linéarité a, d ordonnée à l origine b. Propriété : Dans le plan muni d un repère, Toute fonction affine est représentée par une droite. Réciproquement : Toute droite, représente une fonction affine. (c) Représentation graphique : Représenter ci-dessous les fonctions h et k définies sur R par h() = + et k() =. Résoudre graphiquement h() =, Vérifier algébriquement Résoudre graphiquement k() =, Vérifier algébriquement (d) Lecture graphique : Donner la nature et l epression des deu fonctions représentées ci-dessous, f est f() = Quelle est l image de par f? D g g est g() = Quelle est l image de par g? Quelle est l antécédent de par f? Quelle est l antécédent de par g? Quelle est l équation de la droite qui représente f?. Quelle est l équation de la droite qui représente g?. D f Le point A( ; ) appartient-il à cette droite? Justifier Le point B( ; 0, 5) appartient-il à cette droite? Justifier page : / 5

2 BTS-CPI A- Étude de Fonction Cours, A- Fonctions de Référence. Fonctions Second Degré : (a) Définitions : On appelle trinôme du second degré une epression de la forme a + b + c, où a, b et c sont donnés, est la variable. On appelle fonction du second degré une fonction définie sur R de la forme f() = a + b + c, où a, b et c sont donnés. (b) Propriété : Dans le plan muni d un repère, Toute fonction second degré est représentée par une parabole. Réciproquement : Toute parabole, représente une fonction second degré. (c) À propos du second degré f() = a + b + c : Il eiste deu types de paraboles :. "les bras vers le haut" lorsque a > 0. "les bras vers le bas" lorsque a < 0. Le sommet d une parabole est toujours atteint pour = b a. L ae de symétrie d une parabole est la droite d équation = b a. Le discriminant est donné par = b ac, l équation a + b + c = 0 admet :. Aucune solution réelles lorsque < 0, dans ce cas la parabole et l ae des abscisses n ont pas de point d intersection.. Une unique solution lorsque = 0, cette solution est = b a.. Deu solutions lorsque > 0, ces solutions sont = b et = b + a a a > 0, > 0 S ae de symétrie S a < 0, = 0 a > 0, < 0 (d) Prendre un bon départ : Pour représenter une parabole il faut connaître son type, son sommet, son ae de symétrie, placer plusieurs points. Déterminer les points d intersection, s ils eistent, avec l ae des abscisses peut être intéressant. S Eemple : Soit f, définie sur R par f() = + +. f est une fonction du second degré, du type f() = a +b+c où a = > 0 donc est représentée graphiquement par une parabole du type "les bras vers le haut". D autre part b =, alors le sommet est atteint pour = = et vaut f( ) = ( ) + ( ) + =. a = > 0, = > 0 5 Enfin = = > 0, l équation + + = 0 admet donc deu solutions = = et = + =, la parabole et l ae des abscisses ont donc deu points d intersection en = et en =. (e) À vous de faire : Eercices. S page : / 5

3 BTS-CPI A- Étude de Fonction Cours, A- Fonctions de Référence. Fonction Inverse : f la fonction définie sur R par f() = est la fonction inverse. (b) Propriété : Dans le plan muni d un repère, la fonction inverse est représentée par une hyperbole. (c) À propos de l hyperbole H d équation y = : La fonction f inverse est une fonction impaire. En effet pour tout R, f( ) = = = f(). L hyperbole H admet donc l origine (0; 0) pour centre de symétrie. La fonction f inverse n est pas définie en 0. De plus lorsque se rapproche de 0, par valeurs positives, le quotient f() = se rapproche de +, On dit que f() tend vers + lorsque tend vers 0 +, on note lim 0 +f() = +. On peut obtenir des valeurs aussi grandes que voulu, dès lors que est suffisamment proche de 0. Mais aussi, lorsque se rapproche de 0, par valeurs négatives, le quotient f() = On dit que f() tend vers lorsque tend vers 0, on note lim 0 f() =. L hyperbole H admet l ae des ordonnées pour asymptote verticale. se rapproche de, Lorsque se rapproche de +, le quotient f() = se rapproche de 0, On dit que f() tend vers 0 lorsque tend vers +, on note lim f() = 0. + On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors que est suffisamment grand. Lorsque se rapproche de, le quotient f() = se rapproche de 0, On dit que f() tend vers 0 lorsque tend vers, on note lim f() = 0. On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors que est suffisamment petit. L hyperbole H admet en + et en l ae des abscisses pour asymptote horizontale. H O 5 6 (d) À vous de faire : Soit g définie sur R par g() = +, représentée par l hyperbole C g. Préciser le centre de symétrie, les asymptotes de C g. Placer ce centre et ces asymptotes. Représenter C g. page : / 5

4 BTS-CPI A- Étude de Fonction Cours, A- Fonctions de Référence. Fonction Racine Carrée : f définie sur R + par f() = est la fonction racine carrée. Pour tout R +, est le nombre positif dont le carré vaut. (b) Représentation graphique, et position relative de courbes : Dans le repère ci-dessous, représenter h() = par la courbe d h, k() = par la courbe P, f() = par la courbe C f et g() = par la courbe H Décrire les positions relatives des courbes d h, P et C h sur [0; + [ : page : / 5

5 BTS-CPI A- Étude de Fonction Cours, A- Fonctions de Référence 5. Fonctions Sinus et Cosinus : (a) On rappelle les représentations graphiques des fonctions f() = sin() et g() = cos() définies sur R : y = sin() 5 y = cos() (b) Propriétés :. Les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques. les courbes sont inchangées par translations de vecteurs (; 0), pour tout R, sin( + ) = sin() et cos( + ) = cos(). Marquer sur la représentation graphique cette période.. La fonction cosinus est paire, la courbe qui représente g() = cos() admet l ae des ordonnées pour aes de symétrie, pour tout R, cos( ) = cos(). Marquer sur la représentation graphique cet ae.. Les fonctions sinus et cosinus sont liées par la relation : pour tout R, cos( + ) = sin(). on passe de la courbe qui représente g() = cos() à celle qui représente f() = sin() par une translation de vecteur ( ; 0). Marquer sur la représentation graphique cette translation. (c) Fonctions trigonométriques et cercle trigonométrique : sin() O J M cos() I degré radian 0 6 cos(α) 0 6 sin(α) 0 0 (d) Quelques Formules trigonométriques : page : 5/ 5