I. Définition et propriétés du produit scalaire

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1 Leçon 9 : Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d angles. On se place au niveau du secondaire. CADRE : on se place dans un plan affine P d espace vectoriel associé P Prérequis : -Equation de droite dans un plan -le théorème de Pythagore et sa réciproque -coordonnées d un point et d un vecteur dans un repère cartésien -la notion de distance, d angle et de repère orthonormal -la norme d une vecteur : AB = AB. -la trigonométrie I. Définition et propriétés du produit scalaire Définition 1 : Soient u et v deux vecteurs non nuls.on appelle produit scalaire de u etv le nombre réel noté u. v défini par : u. v = u. v.cos(θ) où θ = (u, v). si u = v, on obtient u. u = u² = u ². Le nombre u² est appelé carré scalaire de u Propriété 1 : (propriétés fondamentales du produit scalaire) Pour tous u, u, v, v de P, pour tout k de R on a : 1) (u + k. u ). v = u. v + k.( u. v ) (linéarité à gauche) ) u.( v + k. v ) = u. v + k.( u. v ) (linéarité à droite) 3) u. v = v. u (symétrie)

2 Les propriétés (1) et () s interprètent en disant que l application Φ : est linéaire par rapport à chacune des variables u et v. P P R u, v u. v Preuve : ces égalités se démontre aisement en utilisant l expression du produit scalaire dans un repère orthonormal (qu on verra plus loin) Théorème 1 : Si A, B et C sont trois points distincts non alignés, le triangle ABC est rectangle en A AB. AC = 0 Preuve : AB. AC = 0 AB.AC.cos( AB, AC)=0 cos( AB, AC)=0 (car A, B et C sont distincts ) (AB, AC) = π [ π] ABC rectangle en A Définition : deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si u. v = 0 on note alors u v Théorème : 1) le vecteur nul est orthogonal à n importe quel vecteur ) deux vecteurs colinéaires et non nuls ne sont jamais orthonaux 3) deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leurs supports sont des droites orthogonaux Preuve : 1) la définition du produit scalaire montre que 0. v = 0 ) si u = λv, alors u. v = 0 équivaut à λv² = 0, soit λ = 0 ( donc u = 0 ) puisque v est non nul. La propriété s en déduit 3) notons u = AB et v = AC. Supposons u et v non colinéaires. Dans ce cas A, B, et C ne sont pas alignés et on apllique le théorème 1 : u. v = 0 AB. AC = 0 ABC est rectangle en A (AB) (AC)

3 II. Expression du produit scalaire A) Dans une base orthonormale : RAPPEL : Définition 3 : (i, j ) est une base orthonormale si et seulement si i = j =1 et i. j = 0 Théorème 3 : si A(x A,y A ) et B(x B,y B ) sont deux point donnés par leur coodonnées dans un repère orthonormal R (O, i, j) alors AB= x B x A + ( y B y A )². En particulier : u(x, y) a pour norme u = x² + y² Théorème 4 : Soit (i, j ) une base orthonormale. si u = xi + yj et v = x i + y j alors u. v = xx + yy = 1 ( u + v ² u ² v ² ) Preuve : * (appliquer thm 3) : 1 ( u + v ² u ² v ² ) = 1 [ (x+x )² + (y +y )² - ( x²+y²) - (x ² + y ² ) ] = xx + yy. *D autre part dans le repère orthonormal (A, u 1, u ) où u 1 est le vecteur unitaire de même sens que u et u le vecteur unitaire tel que (u 1, u )= π [ π]. (Dessin ) : On a : u u 0 et v u.cos (θ) v.sin (θ) avec θ = (u, v). (u + v) u + v.cos (θ) v.sin (θ) u ² v ²=. u. v.cos(θ)=. u. v Soit u. v = 1 ( u + v ² u ² v ² ). et u + v ²= u ²+ v ²+. u. v.cos(θ), soit u + v ²

4 Remarque : si u v on retrouve le théorème de pythagore A) à l aide de la projection orthogonale : Théorème 5:Soient u et v deux vecteurs non nuls tels que : u = AB et v = AC. 1) si H est le projeté orthogonale de C sur (AB) alors : u. v = AB. AC = AB. AH = AB AH si AB et AH sont de même sens AB AH si AB et AH sont de sens opposé ) Si m et n sont les projeté orthogonaux de deux point M et N sur (AB) alors AB. MN = AB. mn (Dessin): Preuve : 1) AB. AC = AB. (AH + HC ) = AB. AH + AB. HC = AB. AH ( car AB. HC = 0 ) ) AB. MN = AB.( Mm + mn + nn ) = AB. Mm + AB. mn + AB. nn ) = AB. mn III. Application au calcul de distances et d angles A) Distance d un point à une droite La distance d un point M(x M, y M ) à la droite D d équation ax+by+c = 0 dans un repère orthonormal est : d(m,d) = MA.n n = ax M + by M + c a²+b² orthogonal à D et A un point quelconque de D où n désigne un vecteur non nul

5 Preuve : - soit H le projeté orthogonal de M sur D.il existe un un réel λ tel que MH =λ. n et l on a MH.n = λ. n², donc λ = MH.n n ². on déduit que d(m,d) = MH = MH = λ. n = MH.n MH.n = MA.n et l on obtient la première formule n. si A (x A, y A ) est un point quelcoque de D, alors -En choisissant le vecteur n normal à D de coordonnées (a,b), on obtient enfin ( par le théorème 3 ) d(m,d) = MA.n n = a(x M x A ) + b(y M y A ) a²+b² = ax M + by M + c a²+b². B) Théorème d Al Kashi Théorème 6 : a² b² c² bc cosâ Preuve : cette généralisation du théorème de pythagore se démontre facilement si on utilise le produit scalaire.en effet : BC² = (AC - AB )² = AB² + AC² -. AB. AC = b² c² bc cos(ab, AC) C) Écart angulaire de deux vecteurs Une mesure θ dans [0,π] de l angle géométrique formé par deux vecteurs u x, y et v(x, y ) satisfait : cos θ = u.v u. v = xx +yy u. v Preuve : découle du théorème 4 et de la définition1 D) Développement de cos a b et sin a ± b en terminale Dans un cercle trigonométrique : A et B de coordonnées :A(cos(a),sin(a)) et B(cos(b),sin(b)) cos(oa, OB) = cos(b-a) = OA. OB = (appliquer théorème 3) cos(a).cos(b)+ sin(a).sin(b) E) EXERCICE : ABCD est un carré de côté a. I et J milieux respectifs de des segments [A,B] et [B,C].L l intersection des droites (AJ) et (DI).

6 Solution : 1) Monter que (AJ) et (DI) sont perpendiculaires. ) En exprimant de deux façons différentes le produits scalaire AJ. AC,déterminer,au dixième de degré près, une valeur approchée de l angle JAC. 3) Calculer DI. DA. En déduire la longueur DL. 1) Dans le repère orthonormale (A, i, j ) où i colinéaire à AB, j colinéaire à AD avec i = j =1 on a : A 0 0,B a 0, C a a D 0 a/, I et J a a/ a 0 a/. DI et a AJ a a/ d où AJ. DI = 0 ) * AJ. AC = AJ.AC.cos(JAC). AC = a. et d après le théorème de pythagore dans le triangle ABJ, AJ = a² + a²/4 = a. 5/.donc AJ. AC = a². 10/. cos(jac) Dans le repère (A, i, j ) on a : AJ a a/ et AC a a, donc AJ. AC = a²/+a² = 3/.a². Par suite, cos(jac) = (3/.a²)/( a². 10/) = 3/ 10 et JAC 18,5. 3) On a DI. DA = DA. DA = DA² = a² et DI. DA = DI. DL donc DI et DL ont même sens et a² = DI.DL. comme DI=AJ = a. 5/ on obtient DL = a²/di = a/ 5 = a. 5/5.