Chapitre n o 7 : Fonctions usuelles. Limites, dérivées, primitives. 1 Généralités sur les fonctions

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1 Lycée Roland Garros - BCPST 1 Mathématiques Chapitre n o 7 : Fonctions usuelles. Limites, dérivées, primitives. Les résultats de ce chapitre seront démontrées au second semestre. L'objectif de ce chapitre est seulement de maîtriser les propriétés des fonctions les plus courantes. 1 Généralités sur les fonctions Soit f : I R une fonction, avec I sous-ensemble de R. 1.1 Périodicité Dénition 1. Soit T > 0. On dit que f est T -périodique si 1. x R, x I x + T I, 2. x I, f(x + T ) = f(x). On dit aussi que T est UNE période de f. Remarque. Si T est une période de f, alors x I, f(x) = f(x + 2T ) = f(x + 3T ) = Donc nt est une période de f pour tout n N. C'est pourquoi on parle d'une période. Dénition 2. f est dite périodique si l'ensemble de ses périodes admet un plus petit élément. Dans ce cas ce plus petit élément est appelé LA période de f. Exemple. f(x) = cos(2x) est π-périodique car cos(2(x + π)) = cos(2x). Donc π est une période de f. Les périodes de f sont en fait π, 2π, 3π..., donc 3π est par exemple une période de f. Mais LA plus petite des périodes est π, c'est donc LA période de f. Exemple. Soit g(x) = 1. On a x R, g(x + T ) = g(x) pour toute valeur T R +. Donc l'ensemble des périodes de g est R +. Cet ensemble n'a pas de plus petit élément donc g n'est pas périodique, même si par exemple g(x+1) = g(x). Graphiquement, une fonction f est T -périodique ssi son graphe dans le repère (O, i, j) est invariant par translation selon le vecteur T i. Il sut par conséquent d'étudier f sur n'importe quel intervalle de longueur T. 1

2 1.2 Parité Dénition 3. On dit que f est paire (resp. impaire) si 1. x R, x I x I (I est symétrique par rapport à 0). 2. x R, f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)). Exemple. x x 2 est paire, x x 3 est impaire. Graphiquement, une fonction f est paire ssi son graphe dans le repère (O, i, j) est symétrique par rapport à (O, j). En eet (x, y) G f y = f(x) y = f( x) ( x, y) G f. Il sut alors d'étudier f sur n'importe quel intervalle de longueur T. Une fonction f est impaire ssi son graphe dans le repère (O, i, j) est symétrique par rapport à l'origine O. En eet (x, y) G f y = f(x) y = f( x) ( x, y) G f. 1.3 Fonctions majorées, minorées, bornées Les notions de majorant, maximum, borne supérieure..., déjà vues pour les sous parties de R s'appliquent à l'ensemble f(i) = {f(x), x I} des valeurs prises par f. Dénition 4. f est dite majorée (resp. minorée) si M R : x I, f(x) M (resp. f(x) m) f est dite bornée si elle est majorée et minorée Proposition 1. f est majorée ssi K R : x I, f(x) K. Dénition 5. On dit que f admet un maximum (resp. minimum) en x 0 si f est majorée (resp. minorée) par f(x 0 ) : x I, f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). Exemple. f : x sin x est majorée par 1 et minorée par 1. Elle est donc bornée. f admet un maximum en π/2 car x R, sin x sin(π/2) = 1. 2

3 1.4 Monotonie Dénition f est dite croissante (resp. décroissante) sur I si x, y I, x y f(x) f(y) (resp. f(x) f(y)) 2. f est dite strictement croissante (resp. décroissante) sur I si x, y I, x < y f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)) 3. f est dite (strictement) monotone sur si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur I. Exemple. La fonction c : x x 2 est croissante sur R +, décroissante sur R. Elle n'est pas monotone sur R. Remarque. Si f est croissante on a les implications suivantes : x < y f(x) f(y), f(x) < f(y) x < y. Remarque. Si f est strictement croissante alors on a même l'équivalence f(x) < f(y) x < y 2 Fonctions usuelles 2.1 Fonctions polynômes Graphe du monôme x x n, pour n [0, 4] : Proposition 2. Soit n N. (1) La fonction h(x) = x n, pour n N, est paire si n est pair, et impaire si n est impair. (2) h est croissante sur R + ; sa monotonie sur R dépend de la parité de n. (3) si n > 0, lim x + h(x) = + et lim x + h(x) = ± selon la parité de n. (4) On a h (x) = nx n 1 Démonstration. On calcule h( x) = ( x) n = ( 1) n x n = { x n, x n, si n est pair, si n est impair. Donc h est paire si n est pair, impaire si n est impair. La limite se déduit de l'inégalité x n x pour x 1. La formule de dérivation est admise pour l'instant. 3

4 2.2 Fonction racine carrée Dénition 7. La restriction de x x 2 à R + est une bijection de R + dans R +. Sa bijection réciproque est appelée fonction racine carrée. En clair ( t = x ) ( t 2 = x et t 0 ). Proposition 3. Soit r(x) = x. 1. r est strictement croissante sur R + 2. lim x + r(x) = + 3. r est dérivable sur ]0; + [ et pour x > 0, r (x) = 1 2 x Remarque. La pente de la corde reliant le point (0, 0) au point (x, x) vaut 1/ x +. La tangente en l'origine est donc verticale. Autrement dit r x 0 n'est pas dérivable en Fonctions exponentielle et logarithme Dénition 8. La fonction x ln x est l'unique primitive de x 1 x sur ]0, + [ qui s'annule en 1. On a donc ln (x) = 1 x ln 1 = 0 Proposition 4. a, b > 0, ln(ab) = ln a + ln b. Démonstration. Fixons a > 0 et dérivons g(x) = ln(ax) ln x. g (x) = a 1 = ax x = 0. Donc g(x) est constante égale à g(1) = ln a. 1 x 1 x Proposition 5. ln est dénie sur ]0, + [, strictement croissante et vérie pour tout a > 0, ln(1/a) = ln a, ln(a n ) = n ln a, ln(a/b) = ln(a) ln(b), lim ln x =, lim x 0 + ln x = +. x + 4

5 Dénition 9. ln :]0, + [ R est bijective. Sa bijection réciproque est appelée fonction exponentielle, notée exp. On note aussi exp(x) = e x. Dénition 10. On note e l'unique réel tel que ln e = 1. On a : e 2, 72. Proposition 6. a, b R, e a+b = e a e b. Démonstration. ln(e a e b ) = ln(e a ) + ln(e b ) = a + b. On prend l'exponentielle dans cette égalité. Proposition 7. La fonction exp est dénie sur R, strictement croissante et vérie e 0 = 1, e 1 = e, e a = 1 e a, ena = (e a ) n, lim e x = 0, lim e x = +. + Proposition 8. La fonction exp est égale à sa dérivée : exp = exp. Démonstration. dériver l'égalité ln(exp(x)) = x. 2.4 Fonctions puissance, fonctions exponentielle de base a > 0 Dénition 11. Soit a > 0 et b R. On dénit a b = e b ln a. Exemple. Pour n N, a n = e n ln a = (e ln a ) n = a a a a, n fois (la notation a b est cohérente quand b N). a 1/2 = a car (a 1/2 ) 2 = (e 1 2 ln a ) 2 = e ln a = a. De même a 1/n = n a. Proposition 9. On a les égalités suivantes. (a 1 a 2 ) b = a b 1a b 2, ( a1 a 2 ) b = ab 1, a b 1 a b 2 = a b 1+b 2, a b 2 a b 1 = ab 1 b 2, (a b 1 ) b 2 = a b 1b 2 a b 2 Proposition 10. Soit α R. La fonction puissance α x x α est dénie sur ]0, + [ et strictement croissante si α > 0, strictement décroissante si α < 0, 5

6 constante égale à 1 si α = 0. Proposition 11. Soit a > 0. La fonction exponentielle de base a x a x est dénie sur R et strictement croissante si a > 1, strictement décroissante si a ]0; 1[, constante égale à 1 si a = Fonction logarithme décimal Dénition 12. Pour x > 0, on appelle logarithme décimal la fonction log x = ln x ln 10 Proposition 12. Pour n Z, log(10 n ) = n Démonstration. log(10 n ) = ln(10n ) ln(10) = n ln(10) ln(10) Remarque. Le graphe de log s'obtient de celui de ln par contraction verticale de rapport ln(10). 2.6 Fonctions trigonométriques Proposition 13. cos est paire et 2π-périodique, et cos (x) = sin x sin est impaire et 2π-périodique, et sin (x) = cos x, tan est impaire et π-périodique, et tan (x) = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. Proposition 14. La fonction tan est strictement croissante sur chaque intervalle ] π/2 + kπ, π/2 + kπ[ (k Z). Preuve. tan (x) = 1 + tan 2 x > 0 = n 2.7 Fonction valeur absolue, partie entière Proposition 15. La fonction x x est croissante, non continue, et ni paire ni impaire. La fonction x x est continue, paire et non monotone. 6