I- Cas général. F rencontre-t-elle l axe des abscisses? Avant le cours. Après la définition. Exercice 3

Transcription

1 É q u a t i o n d u n e c o u r b e Les réponses des eercices sont téléchargeables sur le site MathEnSeconde.fr Eercice I- Cas général Avant le cours Représenter à main levée sur feuilles à petits carreau (en choisissant un repère orthonormé dont l unité est cm), M ; y vérifiant la condition l ensemble des points ( ) imposée. On fera des figures séparées. a) y 0 b) 0 et y 0 c) 0 ou y 0 d) y e) Z et y Z f) Z ou y Z Après la définition Eercice A ( ;) ; B( ; ), on pose : Donner dans chaque cas une équation de la figure proposée (aucune eplication n est ici requise). a) L ae des ordonnées. b) L ae des abscisses OA c) ( ) d) ( OB ) e) ( AB ) f) La réunion de l ae des abscisses et de l ae des ordonnées. OA OB g) ( ) ( ) Eercice 4 «Construire» point par point si nécessaire (en choisissant un repère orthonormé dont l unité est cm), la figure d équation y= Eercice 5 Soit F : + y 4 y+ 4= 0. A F? Est-ce que ( ;) Eercice Sans calculatrice. «Construire» point par point très soigneusement, sur feuilles à petits carreau (en choisissant un repère orthonormé dont l unité est cm), la figure dont l équation est donnée ci-dessous. Vous ferez les figures sur trois feuilles différentes, de façon à pouvoir ensuite les coller dans le cahier d eercice. Mettez vos noms et prénom sur les feuilles. Votre travail sera ramassé et peut-être noté. a) y= b) y= c) + y= 5 Eercice 6 5 Soit F : + 5 y + y = y+. F rencontre-t-elle l ae des abscisses? Eercice 7, déterminer une équation du cercle C de centre O et de rayon.

2 Eercice 8 II- Cas particulier des équations de droites Avant les théorèmes Dans un repère donné : A ( ;) et B ( 4;) Sans utiliser les théorèmes du cours, déterminer une équation de ( AB ). La transformer de façon à eprimer y en fonction de. Eercice 9 Sans utiliser les théorèmes du cours, déterminer une équation de ( AB ). La mettre si possible sous la forme y= a+ b (où a et b constantes). a) A ( 0;) et B ( ;) b) A ( ;) et B( ; ) c) A ( 5;0) et B( 0; ) Eercice 0 Dans un repère donné : A ( ;5) et B ( ; ) Sans utiliser les théorèmes du cours, déterminer une équation de ( AB ). La mettre si possible sous la forme y= a+ b (où a et b constantes). Eercice Déterminer dans chaque cas une équation de la droite ( AB ) en utilisant le théorème du cours sur les équations de droites. Vérifiez chacune de vos réponses (au brouillon). a) A ( ;) et B ( ;4) b) A ( ;) et B( ; ) c) A ( 6;0) et B( 0; 4) Eercice A ( ;4) et B( ; ) Déterminer une équation de la droite ( AB ) en utilisant le théorème du cours sur les équations de droites. Eercice 4 Sont-ce des équations de droite? Si oui, donner le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite. F : y = : y F y= + 6 y F : = F7 : y= + y F : + y = 5 F8 : y+ 6= + F4 : y= F : = y 9 F y= 5 : Après le théorème Eercice Dans un repère donné : A ( ;) et B ( 4;) Déterminer une équation de ( AB ) en utilisant le théorème du cours.

3 Eercice 5 Après le théorème Déterminer le plus simplement possible les équations des droites représentées ci-dessous. Seule la réponse finale est demandée. a) a) A ( 0;) et B ( ;) b) A ( ;) et B( ; ) c) A ( 5;0) et B( 0; ) Eercice 8 A( ;0) et B( ;) Déterminer une équation de la droite ( AB ) en utilisant le théorème du cours sur les équations de droites et le théorème concernant le coefficient directeur. Eercice 9 b) A( 0; ) et B ( ;) Déterminer une équation de la droite ( AB ) de trois façons différentes. Eercice 0 Dans un repère qu on pourra choisir orthonormé, tracer la droite d équation : a) y= + b) y= c) y= + Eercice 6 Dans un repère donné : A ( ;) et B ( 4;) Déterminer une équation de ( AB ) en utilisant le théorème du cours sur les équations de droites et la formule concernant le coefficient directeur (théorème ). Eercice 7 Déterminer une équation de ( AB ) en utilisant le théorème du cours sur les équations de droites et la formule concernant le coefficient directeur (théorème ). Vérifiez chacune de vos réponses (au brouillon). Eercice A( ; ) et B( ; ) Sans rien rédiger, donner une équation de (AB). Eercice : y 0 Caractérisation du parallélisme + = et A( 0; ) Déterminer une équation de d, parallèle à passant par A.

4 4 Eercice Eercice 6 : + y = et A ( ;0) Déterminer une équation de d, parallèle à passant par A. Eercice 4 Intersections A faire au brouillon A ( ; ) ; B ( ;) ; C ; 5 a) Déterminer une équation de la droite ( AB ). b) Le point C appartient-il à la droite (AB)? c) Déterminer l abscisse du point d intersection entre ( AB ) et l ae des abscisses. Eercice 5 On pose : ( ) C : y= + et D : y =. On pose : D : y= + et D ' : y=. Tracer D et D. Déterminer les coordonnées du point d intersection de D et de D. Eercice 7 On pose : D : + y= et D ' : = y + Démontrer que D et D sont des droites, puis déterminer les coordonnées du point d intersection de D et de D. Eercice 8 Soit la droite d équation : y = +. Soit D la droite d équation : y= a) Déterminer les coordonnées du point d intersection de avec D. b) Déterminer les coordonnées du point d intersection de avec l ae des abscisse. C D Eercice 9 On pose : D : + y= et D ' : y = Démontrer que D est bien une droite, puis déterminer les coordonnées du point d intersection de D et de D. Eercice 0 Déterminer les coordonnées des points d intersection de C et de D. On pose : A ( ;4) ; B( 4; ) ; C( 0; ) ; D ( ;0) Déterminer les coordonnées du point d intersection entre les diagonales du quadrilatère ABCD. Eercice Dans un repère ( O; i;, on donne les équations de trois droites : 5 : y = + : y = : y = + 4 Ces trois droites sont-elles concourantes?

5 5 Eercice Eercice 4 E : + y = 5 Le point ( ;) F? Eercice F : 5y+ y = A est-il un point d intersection de E et de Soit ABCD un carré. Soit M le milieu de [AB]. Soit I le point d intersection de [MC] et de [DB]. On souhaite déterminer quelle est l aire du triangle DIC par rapport à l aire du carré ABCD. Pour cela, on choisit comme unité de longueur u le côté du carré. L unité d aire sera alors u (c'està-dire l aire du carré). On se placera dans le repère D ; DC ; DA, qui est orthonormé. On a alors, par ( ) eemple : sur ( DC ). A M ;. Notons H le projeté orthogonal de I M B On pose : F 0; 4 : y = 4 Soit P l ensemble des points équidistants du point F et de la droite. Soit D la droite d équation y = +. a) Déterminer une équation de P. L écrire sous la forme la plus simple possible. b) Représenter P et D en prenant pour unité cm. c) Déterminer les coordonnées des points d intersection entre P et la droite D. J I Eercice 5 D H C Dans un repère orthonormé, on pose : F ( ;). Notons d l ae des abscisses. Soit P l ensemble des points équidistants du point F et de la droite d. Déterminer une équation de P, que l on simplifiera. a) Donner sans justification les équations des droites ( MC ) et ( DB ). b) Déterminer les coordonnées de I. (Soigner la rédaction.) c) En déduire la longueur IH, puis enfin l aire de DIC. Eercice 6 J Approfondissements Dans un repère orthonormé. Soit C le cercle de centre A ( ;0) et de rayon et soit d la droite d équation y=. Déterminer une équation de C, puis les coordonnées des points d intersection entre C et d.

6 6 Eercice 7 Soit k R. On pose : A ( ;0) K( 0; k ) - Dans cette question, k =. Déterminer : a) Une équation de la droite (AK). b) Les coordonnées du point d intersection entre (AK) et la droite d d équation y =. - Déterminer, en fonction de k : a) L équation de la droite (AK). (Le coefficient directeur et l ordonnée à l origine seront eprimés en fonction de k) b) Les coordonnées du point d intersection entre (AK) et la droite d d équation y = (et dire pour quelle valeur de k ce point n eiste pas). c) Déterminer en fonction de k une équation de la droite (KI), puis étudier l intersection de P et de (KI). Eercice 40, on pose : ( ;) A. a) Déterminer une équation de la médiatrice de [OA]. b) En déduire les coordonnées du point de l ae des ordonnées qui est équidistant de O et de A. Eercice 4 Eercice 8 Soit k R On pose : A ( 0;) P( k; k ) Déterminer en fonction de k : a) L équation de la droite (AP). (Le coefficient directeur et l ordonnée à l origine seront eprimés en fonction de k) b) Les coordonnées du point d intersection entre (AP) et l ae des abscisses (dire pour quelle valeur de k ce point n eiste pas). Eercice 9 On note P la courbe d équation y= Soient A et B deu points. Soit L l ensemble des points dont le produit des distances à A et à B est constant ; et qui passe par le milieu de [AB]. L se nomme une lemniscate de Bernoulli. On choisit un repère ( O; i; B( a ;0), où de façon que A( a;0) et * a +. Démontrer que, dans ce repère, L admet une équation de la forme : ( + y ) = a ( y ) Soit k R. Soit K le point d abscisse k appartenant à P. Soit K le projeté orthogonal de K sur l ae ( O; i). Soit I le milieu de [OK ]. a) Dans cette question, on suppose que k =. Déterminer alors une équation de la droite (KI), puis étudier l intersection de P et de (KI). Tracer (KI). b) Dans cette question, on suppose que k =. Déterminer alors une équation de la droite (KI), puis étudier l intersection de P et de (KI).