COMMENT FAIT-ON UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE DIRECTE/INVERSE?

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1 COMMENT FAIT-ON UNE TRANSFORMÉE DE LAPLACE DIRECTE/INVERSE? 1- Inroducion 2- Transformée de Laplace 3- Transformée de Laplace inverse 4- Sysème d équaions différenielles e ransformée de Laplace 1- Inroducion Il n y a pas de foncions déjà programmées dans la TI pour calculer la ransformée de Laplace e la ransformée inverse. Plusieurs sies en coniennen, noammen les ransformées direce e inverse programmées par Lars Fredericksen son rès performanes, accepan même des foncions de Heaviside e de Dirac! Ce que nous nous proposons de faire ici, c es de monrer que l on peu rès bien se débrouiller en n uilisan que les foncions de base de la machine. 2- Transformée de Laplace N oublions pas que la ransformée de Laplace es une inégrale impropre qui converge pour ceraines valeurs du paramère s : z 0 -s f () «Fs () º f () e d Ainsi, la TI ne peu se prononcer si l on n a pas spécifié de domaine à s : figure 1

2 On pourrai donc êre ené de définir la ransformée de Laplace par «la(f,, s)» en décréan que -s la ( f, s, ) = fe d s> z mais la calcularice refuse d effecuer ce calcul (figure 2 à gauche). On pourrai évier l inégrale impropre en remarquan que l évaluaion à l infini donne zéro : en effe, les foncions don on calcule la ransformée de Laplace son d ordre exponeniel. Cela -s signifie que, en choisissan s suffisammen grand, on aura lim f( e ) = 0. Mais alors, une fois z +z calculée l inégrale indéfinie f () e -s -s d, il suffi de poser lala ( f, s, ) =-lim fe d, en 0 supposan que f es coninue parou e en uilisan le fai que la TI n ajoue pas de consane d inégraion. La limie provien du fai que l évaluaion à = 0 doi êre faie à la droie de zéro. C es ce que nous dans la figure 2 à droie : figure 2 Puisque le problème de la ransformée inverse es beaucoup plus sérieux, nous l abordons mainenan. 3- Transformée de Laplace inverse 1 Illusrons avec le calcul de la ransformée inverse de F() s = ( s- 2) s + 6s+ 13 c h. On voi qu il y a une compléion de carré à effecuer. Aussi bien le faire avan l expansion en fracions parielles : figure 3 aoû 2011 page 2

3 On devrai connaîre les correspondances suivanes (de sa able de ransformées), après avoir remplacé w par s + 3 : s+ a -a b -a «e cos b, «e sin b, ( s+ a) + b ( s+ a) + b 1 1 «e e «e s+ a ( s+ a ) -a -a e cos1e sin 2 10e e La réponse es donc f () = On peu aussi procéder par convoluion : la propriéé de convoluion di que si F(s) = X(s)H(s), avec F( s) «f( ), X( s) «x ( ) e H( s) «h ( ), alors f() = x ()* h () º x() h ( -) d. ò 0 En ce qui nous concerne, on a Fs () = 1 ( ) s- s + s+ ( 2) 6 13 æ 1 öæ 1 ö 1 = ç ç «* è øè ø 2-3 e e sin2 ( s- 2) ( s+ 3) e la TI s occupe de l inégrale de convoluion. Voir ci-dessous figure 4 aoû 2011 page 3

4 On peu aussi développer en fracions parielles en uilisan les nombres complexes. Dans la TI, une variable non déclarée es considérée réelle mais si l on ajoue un _ (souligné) à cee variable, elle es considérée complexe. En effe, regardez commen la TI simplifie 1 dépendan si s es s + i réel ou complexe : figure 5 1 a Mais alors, la correspondance e s a s + a «Re() >- e la formule d Euler i e = cos+ isin ( Î ) permeron de calculer une ransformée de Laplace inverse, une fois les fracions parielles complexes effecuées. c 1 Reprenons nore exemple de Fs () =. C es imporan de facoriser en ( s- 2) s + 6s+ 13 nombres complexes avan de développer en fracions parielles, opéraion qui sera effecuée sous la conraine que s es un nombre complexe : h figure 6 Il suffi alors d écrire, uilisan le fai que les racines complexes se présenen en paires conjuguées, (3+ 2 i) (3-2 i) ze + ze - e + e où z a éé défini comme éan le nombre z = + i Pour avoir le conjugué d un nombre complexe, on uilise «conj», qu on peu obenir en l écrivan, ou bien avec b-nombres2-complexes9-conjugué1 : aoû 2011 page 4

5 figure 7 æ ö æ 1 10 ö ç cos 2 - sin 2 e + ç - e è ø è29 841ø 3 2 On obien donc la soluion, dans les réels, ( ) ( ). 4- Sysème d équaions différenielles e ransformée de Laplace On peu rès bien uiliser la TI pour résoudre, par ransformée de Laplace, un sysème d équaions différenielles. La calcularice s occupe des calculs longs e ennuyeux. L uilisaeur lui indique les équaions à résoudre. Pour fixer les idées, considérons le sysème suivan : ìdx 2-3x- 6y = 27 ïd í, x(0) = 5 e y(0) =-1 ï dx dy + - 3y = 5e ïîd d Une fois ransformé dans le domaine du s, nous obenons R S T 54 sx -5-3X - 6Y = 3 s 5 sx sy + 1-3Y = s - 1 Ici, X e Y désignen respecivemen les ransformées de Laplace de x e y. Finalemen, en réécrivan nore sysème sous forme maricielle, nous avons donc à résoudre é 54 ù és-3-6 ùéxù ê s ú ê s s 3 úê Y ú =ê ú ë - ûë û ê 5 4 ú ê + ës-1 úû La TI inervien : nous définissons nos marices. La marice des coefficiens qu on appelle m e celle de droie qu on appelle b disons. aoû 2011 page 5

6 figure 8 La foncion «simul» de la TI perme de résoudre un sysème linéaire carré direcemen (on aurai pu égalemen aper m - 1 * b e le résula aurai éé le même) : figure 9 Il nous rese à calculer l expansion en fracions parielles. La commande «expand» foncionne aussi sur les lises e marices. La synaxe de «expand» es expand(expression [, var]). Donc, on n a pas à mere nécessairemen la variable. Puisqu il n y a, ici, que du s, ce n es pas nécessaire d indiquer la variable : figure 10 En uilisan nore able de ransformées de Laplace, on peu écrire immédiaemen que x e () = e y () =-e -6. Michel Beaudin e Chanal Troier aoû 2011 page 6