Classe de quatrième B TRUCHETET Chapitre 4 Distance -Tangente - Bissectrice

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1 Chapitre 4 Distance -Tangente - Bissectrice Compétences : Exemples d'activités, commentaires :. Remarques : Géogebra Ex N 14,22,29, 55,4 p193 Défi N 54 p197 Interrogation I 4 DM N 4 27 p 194 DST n 4 poly 5/5 Démonstrations : Activités 2 ;4 ;6 ;7 et 8 I. Distance d un point à une droite Définition Activité 1 2) PA = cm, PB = cm, PC= cm, PD = cm Oui il semble exister un point de la droite (d) qui soit le plus proche possible du point P, le point K. 3) Nous pouvons conjecturer que (d) et (PK) sont perpendiculaires. Définition : La distance du point A à la droite (d) est la plus petite distance entre le point A et un point quelconque de la droite (d). 2) Propriété Activité 2 * - Démonstration a)b) 2)a) 2) b) Je sais que RPM est un triangle Or dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. J en déduis que PR PM MR c) Je sais que R est le symétrique de P par rapport à K. Or le symétrique d un point M par rapport à un point O est le point M tel que le point O est le milieu de [MM ]. Page 1 sur 9

2 J en déduis que K est le milieu de [PR] et donc que PK = KR soit PR 2 PK Je sais que R est le symétrique de P par rapport à (d) Or dire que le point M est le symétrique du point M par rapport à la droite (d) veut dire que (d) est la médiatrice de [MM ]. J en déduis que (d) est la médiatrice de [PR] Je sais que (d) est la médiatrice de [PR] Or tout point situé sur la médiatrice d un segment est équidistant des extrémités de ce segment J en déduis que PM = MR et donc PM MR PM PM 2 PM d) Nous pouvons donc écrire que PR 2 PM e) Je sais que PR 2 PK et que PR 2 PM J en déduis que 2 PK 2 PM soit PK PM J en déduis que la plus petite des distances est la distance PK. La distance du point A à la droite (d) est la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) menée du point A. Annexe 1 (d) est une droite. P () d Le point de (d) le plus proche de P est le point K tel que les droites (d) et (PK) soient perpendiculaires. La distance de P à la droite (d) est la longueur du segment [PK]. 3) Conséquence concernant les triangles rectangles Propriété admise : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est son côté le plus long. Annexe 2 ABC est un triangle rectangle en A. [BC] est son hypoténuse L Hypoténuse [BC] est le côté le plus long. Donc AB < BC et AC < BC Page 2 sur 9

3 II. Tangente à un cercle Définition Activité 3 Cahier d Aliénor Cahier d Amaury Cahier de Paul Oui,la droite (d) est tangente au cercle ( C ) car elle a un seul point commun avec le cercle ( C ). Non, la droite (d) n est pas tangente au cercle ( C ) car elle n a aucun point commun avec le cercle ( C ). Non, la droite (d) n est pas tangente au cercle ( C ) car elle a 2 points communs avec le cercle ( C ). 2) «Une tangente à un cercle est une droite qui a un unique point commun avec ce cercle» Définition : La tangente à un cercle en un point est la droite qui coupe le cercle uniquement en ce point. 2) Propriété et propriété réciproque Activité 4 * - Démonstration Partie 1 2)3)4)5)6) Annexe 3 7) Nous pouvons conjecturer que l angle OAB mesure 90 Partie 2 a) Je sais que B est un point quelconque de ( d) distinct de A et que si B était à l intérieur du cercle ( C ) de centre O,la droite (d) tangente au cercle ( C ) aurait deux points d intersection avec le cercle ( C ). Or la tangente à un cercle en un point est la droite qui coupe le cercle uniquement en ce point. J en déduis que B ne peut être dans le cercle ( C ). Page 3 sur 9

4 b) Je sais que B est un point quelconque de ( d) distinct de A et que (d) est la tangente au cercle ( C ) en A. Or la tangente à un cercle en un point est la droite qui coupe le cercle uniquement en ce point. J en déduis que A est le seul point commun entre la tangente (d) et le cercle ( C ) et donc B ne peut pas appartenir au cercle ( C). c) Je sais que OA est le rayon du cercle ( C ) de centre O, que B est ni sur le cercle ( C ) ni à l intérieur du cercle ( C ) J en déduis que B est à l extérieur du cercle et donc que OB > OA. 2) Je sais que la droite (d) est la tangente au cercle ( C ) en A, B est un point quelconque de la droite (d) distinct de A OB > OA Or la distance d un point à une droite est la distance entre ce point et le point de la droite qui en est le plus proche. J en déduis que OA est la distance du point O à la droite (d). 3) Je sais que OA est la distance du point O à la droite (d). Or le point d une droite le plus proche d un point donné est le pied de la perpendiculaire à cette droite passant par ce point. J en déduis que les droites (d) et (OA) sont perpendiculaires. Si une droite est tangente à un cercle en un de ses points alors elle est perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point. Annexe 4 (d) tangente au cercle ( C) de centre O en A. (d) [OA] Propriété réciproque admise : Si une droite passe par un point d un cercle et est perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point alors elle est la tangente à ce cercle en ce point. Annexe 5 ( C ) cercle de centre O et de rayon [OA]. A () C A () d (d) [OA] (d) est tangente au cercle ( C) de centre O en A. Page 4 sur 9

5 3) Construction d une tangente au compas Activité 5 a)b)c)d) 2) Je sais que (d) est la médiatrice de [OB] Or la médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment. J en déduis que (d) est la droite perpendiculaire à (OB) passant par A. Or si une droite est tangente à un cercle en un de ses points alors elle est perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point. J en déduis que (d) est la tangente au cercle ( C ) en A. III. Bissectrice et cercle inscrit dans un triangle Bissectrice d un angle a) Définition et tracé (Rappels) Définition : La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Tracé : Annexe 6 Tracer un arc de cercle de centre O. Tracer deux arcs de cercle de centres A et B de même rayon La bissectrice de l angle de AOB est la demi-droite d origine O passant par le point commun aux deux arcs de cercle. b) Propriété et propriété réciproque Activité 6 * - Démonstration Page 5 sur 9

6 2) a) Je sais que la droite (d) bissectrice de l angle PON. Or un angle possède un axe de symétrie : sa bissectrice. J en déduis que la droite (d) est axe de symétrie de l angle PON donc le symétrique de la droite (ON) par rapport à la droite (d) est la droite (OP). b) Je sais que le point H appartient à la droite (ON), que le symétrique de la droite (ON) par rapport à la droite (d) est la droite (OP) et que le point K est le symétrique du point H par rapport à la droite (d) Or la symétrie axiale conserve l alignement. J en déduis que le point K appartient à la droite (OP) 3) Je sais que M est un point de la droite (d), que K est le symétrique de H par rapport à la droite (d) Or la symétrie axiale conserve les distances. J en déduis que MK = MH Je sais que la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (ON) coupe la droite (ON) au point H. J en déduis que OHM 90 Or la symétrie axiale conserve les angles J en déduis que OKM OHM 90 4) a) Je sais que M est un point de la droite (d), que le point H appartient à la droite (ON), et que OHM 90 Or la distance du point M à la droite (d) est la longueur MH, où H est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) menée du point M. J en déduis que la distance du point M à la droite (ON) est MH b) Je sais que M est un point de la droite (d), que le point K appartient à la droite (OP), et que OKM 90 Or la distance du point M à la droite (d) est la longueur MK, où K est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) menée du point M. J en déduis que la distance du point M à la droite (OP) est MK 5) Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. Si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. Annexe 7 M appartient à la bissectrice de BOC M est équidistant de [OB) et de [OC) Page 6 sur 9

7 Activité 7 * - Démonstration Je sais que M est situé à égale distance de (d et (d2) J en déduis que ML = MJ Je sais que MLJ est un triangle et que ML = MJ Or les angles à la base d un triangle isocèle sont égaux. J en déduis que JLM LJM 2) Je sais que OLJ et JLM sont complémentaires ainsi que OJL et LJM. J en déduis que OLJ JLM 90 et que OJL LJM 90 Or JLM LJM J en déduis que OLJ OJL 3) Je sais que OLJ OJL Or si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. J en déduis que le triangle LOJ est isocèle en O 4) Je sais que le triangle LOJ est isocèle en O Or Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. J en déduis que OL = OJ Je sais que ML = MJ et que OL = OJ Or Si un point est situé à la même distance des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. J en déduis que (OM) est la médiatrice de [LJ] 5) Je sais que le triangle LOJ est isocèle en O, que (OM) est la médiatrice de [LJ] Or un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base. Cet axe de symétrie est aussi la bissectrice de l angle au sommet principal. 6) J en déduis que la droite (OM) est aussi la bissectrice de LOJ. Si un point est équidistant des côtés d un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Propriété réciproque démontrée : Si un point est équidistant des côtés d un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Annexe 8 M est équidistant de [OB) et de [OC) M appartient à la bissectrice de BOC Page 7 sur 9

8 2) Cercle inscrit dans un triangle Activité 8 * - Démonstration 2) 3)a) Je sais que I est sur la bissectrice de ABC Or si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. J en déduis que I est équidistant de (AB) et (BC) b) Je sais que I est sur la bissectrice de ACB. Or si un point appartient à la bissectrice d un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. J en déduis que I est équidistant des droites (BC) et (AC). 4)a)Je sais que I est équidistant de (AB) et (BC) et est aussi équidistant de (BC) et (AC). J en déduis que I est équidistant de (AB) et (AC). Or si un point est équidistant des côtés d un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. J en déduis que I appartient à la bissectrice de CAB. b) Les bissectrices des angles d un triangle sont concourantes. 5) Je sais que I est équidistant de (AB), (BC) et (CA), que la perpendiculaire à (AB) passant par le point I coupe la droite (AB) en H, que la perpendiculaire à (AC) passant par le point I coupe (AC) en K, que la perpendiculaire à (BC) passant par le point I coupe (BC) en L. Or la distance du point I à la droite (d) est la longueur IH, où H est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) menée du point I. J en déduis que IH = IK = IL Or tout point situé à la même distance d un point O appartient à un cercle de centre O. J en déduis que les points H, K et L appartiennent à un même cercle ( C ) de centre I. Ce cercle est le cercle inscrit dans le triangle ABC. 6) Je sais que ( C ) est un cercle de centre I, que la perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point I coupe la droite (AB) en K Soit ( C ) un cercle de centre O et A un point de ce cercle. Or si une droite passe par un point d un cercle et est perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point alors elle est la tangente à ce cercle en ce point. J en déduis que la droite ( AC) est la tangente au cercle en K. On dit que le cercle ( C) est tangent à (AC). Page 8 sur 9

9 Les bissectrices des angles d un triangle sont concourantes. Annexe 9 [AI), [BJ), et [CK) sont les bissectrices de A, B et C Les 3 bissectrices de ABC sont concourantes. Le point de concours des trois bissectrices d un triangle est le centre d un cercle tangent aux trois côtés de ce triangle. Ce cercle est appelé le cercle inscrit dans le triangle. Annexe 10 Les bissectrices de ABC sont concourantes en O. O est le centre du cercle ( C ) tangent aux 3 côtés du triangle ABC. ( C ) est le cercle inscrit à ABC Page 9 sur 9

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