BREVET BLANC DE MAI 2012

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1 COLLEGE GASPARD DES MONTAGNES BREVET BLANC DE MAI 2012 Ce sujet comporte 8 pages numérotées de 1/8 à 8/8, dont une feuille annexe à remettre avec la copie. L usage de la calculatrice est autorisé. Notation Activités Numériques : 12 points Activités géométriques : 12 points Problème : 12 points Rédaction et présentation : 4 points ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 Les 7 questions suivantes sont indépendantes. 1. Ecrire la fraction sous forme irréductible en détaillant tous les calculs. 2. Donner l écriture scientifique du nombre (avec au moins une étape de calcul). 3. Ecrire l expression sous la forme où est un nombre entier relatif (indiquer toutes les étapes de votre calcul). 4. Voici les tarifs pratiqués dans deux magasins : _ Magasin A : 17,30 la cartouche d encre, livraison gratuite. _ Magasin B : 14,80 la cartouche d encre, frais de livraison de 15 quel que soit le nombre de cartouches achetées. Ecrire et résoudre l équation permettant de déterminer le nombre de cartouches d encre pour lequel les deux tarifs sont identiques. 5. On rappelle l identité remarquable suivante : En déduire la forme développée de. 6. Donner la valeur décimale arrondie au centième du nombre. 7. On rappelle l identité remarquable suivante :. En déduire la forme factorisée de l expression :. 1/8

2 1. et 5 et 7 sont premiers entre eux Soit x le nombre de cartouches d encre achetées. Prix dans le magasin A en fonction de : Prix dans le magasin B en fonction de : L équation à résoudre est donc : Le nombre de cartouches d encre pour lequel les deux tarifs sont identiques est [ ][ ] Exercice 2 Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8%. Un objet coûte euros. Après avoir subi cette augmentation, il coûte euros. 1. Exprimer y en fonction de x. 2. Un lecteur DVD coûte, avant augmentation, 156 euros. Combien coûtera-t-il après? 2/8

3 3. Un téléviseur coûte, après augmentation, 378 euros. Combien coûtait-il avant? 1. Augmenter les prix de 8% revient à les multiplier par. D où : 2. Après augmentation, le prix du lecteur DVD sera : 3. Avant l augmentation, le prix du téléviseur était : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1 1. Construire un triangle ABC tel que AB =5 cm ; AC = 12 cm et BC = 13 cm. 2. Démontrer que ce triangle est rectangle en A. 3. On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle. a. Où se trouve le point O? Justifier votre réponse. b. En déduire le rayon de ce cercle. 4. Construire le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle. Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC? Justifier. 2. D une part : D autre part : Donc : Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 3. a. On sait que ABC est rectangle en A Or, si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. Donc le point O est le milieu du segment [BC]. b. Donc le rayon R du cercle est égal à la moitié de la longueur BC. Donc : 4. On sait que ABCD est un rectangle Or, si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Donc : Donc le point D appartient au cercle circonscrit à ABC de centre O. Exercice 2 EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 6 cm et FG =10 cm. La figure donnée n est pas réalisée à l échelle. 3/8

4 1. Calculer la mesure de. Arrondir au degré près. 2. Montrer que EG = 8 cm. 3. Soit le point M sur [EG] tel que EM = 2 cm Calculer GM. 4. La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N. (MN) et (EF) sont-elles parallèles? Justifier. 5. Calculer GN. 1. Dans le triangle EFG rectangle en E : Donc 2. On sait que EFG est rectangle en E. D après le théorème de Pythagore : Comme EG est postive, on déduit : D où 3. Le point M appartient au segment [EG] Donc 4. On sait que les droites (EF) et (MN) sont perpendiculaires à la même droite (EG). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (MN) et (EF) sont parallèles. 5. On sait que : _ les droites (FN) et (EM) sont sécantes en G _ les droites (EF) et (MN) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : 4/8

5 D où : Donc : PROBLĖME (12 points) Les deux parties sont indépendantes. Partie A Gaspard réfléchit à son déménagement. Il fait réaliser deux devis. 1. L entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe. Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. a. Quel serait le coût pour un volume de 40 m 3? Vous laisserez vos tracés apparents. b. Le coût est-il proportionnel au volume transporté? Justifier. c. Soit la fonction qui à, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer en fonction de. 2. L entreprise B lui a communiqué une formule : où est le volume (en m 3 ) à transporter et le prix à payer (en ). a. Calculer. Que signifie le résultat obtenu? b. Déterminer par le calcul l antécédent de 3600 par la fonction. c. Représenter graphiquement la fonction sur le graphique présenté en annexe. 3. Gaspard estime à 50 m 3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents. Partie B : 1. Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 297 km de son ancien domicile, Gaspard part de chez lui à 11 h 00 du matin. Il roule 1 h 30 min, fait une pause de 80 minutes, puis roule à nouveau 1 h 45 min avant d arriver au chantier. A quelle heure arrive-t-il au chantier? Justifier la réponse. 5/8

6 2. Le camion des déménageurs a mis 4 h 30 min pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé? Partie A 1. a. Pour un volume de 40 m 3, le prix serait de (voir feuille annexe). b. Le graphique représentant le coût en fonction du volume à transporter est une droite passant par l origine du repère, donc le coût est proportionnel au volume transporté. c. D après b., la fonction est une fonction linéaire, donc il existe un nombre tel que : Or Donc : 2. a. Le résultat signifie que Gaspard devra payer avec l entreprise B pour un volume de 60 m 3. b. On doit résoudre l équation : soit : L antécédent de par la fonction f est 290. c. La fonction f est une fonction affine, donc sa représentation graphique est une droite. L image de 0 par est 700, donc la droite passe par le point de coordonnées (0 ; 700). De plus, d après a.,, donc la droite passe par le point de coordonnées (60 ;1300). D où le tracé effectué sur la feuille annexe. 3. D après le graphique, pour un volume de 50 m 3, Gaspard a intérêt de choisir l entreprise B. (voir graphique de la feuille annexe) Partie B 1. Calcul de la durée du trajet t : t = 1 h 30 min + 80 min + 1 h 45 min. Or 80 min = 1 h 20 min Donc t = 3 h 95 min Donc t = 4 h 35 min Gaspard arrivera donc à 15 h 35 min. 2. Or t = 4 h 30 min = 4,5 h et d = 297 km 6/8

7 Donc Donc Le camion des déménageurs a roulé à 66 km.h -1. feuille annexe : 7/8

8 NUMÉRO DE CANDIDAT :.. Feuille Annexe À rendre avec la copie PROBLĖME 8/8

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