Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique"

Transcription

1 Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs, 2 Institut Camille Jordan (UCBL) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

2 Plan 1 Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique 2 Approximation de Galerkin Théorème d existence 3 Principe du maximum le problème dégénéré 4 Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence 5 6 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

3 Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

4 Modèle de Richards classique Équation de Richards : Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique tθ div (k (θ) P) = 0, où θ = φ S : la fraction volumique du liquide, P : pression du liquide. Pression capillaire (statique) : Conductivité hydraulique : P c (θ) = P A P. k (θ) = K k r l (θ) µ. Classiquement : P c et k r l fonctions univoques de θ. k Pc S S Pression capillaire dynamique [1] : P A P = P c (θ) τ tθ. (1) τ : coefficient de relaxation. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

5 Prise en compte du caractère dynamique de la pression capillaire Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique Introduction de la pression capillaire dynamique (1) dans l équation de conservation de la masse : tθ τ div (k (θ) ( tθ)) + div `k (θ) P c (θ) θ = 0 (2) un ouvert bornée de R n, à frontière localement lipschitzienne. Cadre d étude simplifier : milieu isolé, τ constant, gravité négligée, flux massique nul sur le bord du domaine, θ (x, t = 0) = θ 0 (x), x. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

6 Objectifs Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique Objectifs le problème continu. Estimation a priori entropique θ H 1 `0, T ; H 1 () Principe du maximum. Construction et analyse d un schéma. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

7 Littérature Littérature Modèle de Richards classique Modèle incluant la pression capillaire dynamique L étude des EDPs d ordre 3 ne sont pas très présentes dans la littérature. L. Pego, A. Novick-Cohen : τ et k constants [2]. C. Cuesta, J. Hulshoff, C. van Duijn : ondes progressives (linéaire) [3] [4]. Peu de références sur les EDPs non-linéaires dégénérées d ordre 3 [5]. même l étude du problème régularisé présente un intérêt. S. M. HASSANIADEH and W. G. GRAY, Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media, Water Ressources Research, vol. 29, pp , October L. PEGO and A. NOVICK-COHEN, Stable patterns in a viscous diffusion equation, American Mathematical Society, vol. 324, no. 1, C. CUESTA, C. VAN DUIJN, and J. HULSHOF, Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: Travelling waves, J. Appl. Math., vol. 11, pp , C. CUESTA and J. HULSHOF, A model problem for groundwater flow with dynamic capillary pressure: stability of travelling waves, Nonlinear Anal., vol. 52, pp , A. MIKELIC and H. BRUINING, Analysis of model equations for stress-enhanced diffusion in coal layer. part i : Existence of a weak solution ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

8 Approximation de Galerkin Théorème d existence le problème régularisé ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

9 Introduction du problème régularisé Approximation de Galerkin Théorème d existence Régularisation : k ε (θ) = k `ε + θ + P c,ε (θ) = P c,ε `ε + θ + où θ + (x, t) = sup (θ (x, t), 0) Considérations pour le problème non dégénéré : 1. 0 < m k k ε (θ) M k <, (3) 2. 0 < m p P c,ε (θ) M p <. (4) (pb.reg) = formulation variationnelle associée au régularisé, θ ε sa solution. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

10 Approximation de Galerkin Approximation de Galerkin Théorème d existence Méthode de Galerkin : {α j } j N une base de H 1 (), V N = Vect {α 1,, α N } l espace de discrétisation. θ εn (x, t) := où les coefficients c i (t) vérifient : NX c i (t) α i (x), i=1 tθ εn α j dx + τ k εn ( tθ εn) α j dx k εnp c,εn θ εn α j dx = 0 j = 1,, N (5) Problème de Cauchy : 8 dc (t) >< A (c) = B (c) c p.p. sur ]0, T [ dt >: c i (0) = θ 0 (x) α i (x) dx. (6) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

11 Existence du problème de Cauchy Approximation de Galerkin Théorème d existence Pour i, j = 1,, N : c (t) = (c 1,, c N ) T A j i (c) = R α i α j dx + R τ kεn α i α j dx B j i (c) = R kεnp c,εn α i α j dx Proposition Il existe un T N > 0 tel que le problème (6) admet une unique solution appartenant à C 1 [0, T N ]. Preuve : A (c) est une matrice symétrique définie positive. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

12 Existence globale en temps Approximation de Galerkin Théorème d existence Proposition Il existe des constantes C indépendantes de T N telles que pour tout t [0, T n] : tθ εn L2 (0, t; L 2 ()) C Preuve : α j tθ εn = P N i=1 c i (t) α i (x) dans (5). ( tθεn) L 2 (0, t; L 2 () n ) C Conclusion Pour tout T > 0, la solution du problème variationnel approché existe et appartient à C 1 ([0, T ] ; V N ). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

13 Estimations a priori et théorème d existence Approximation de Galerkin Théorème d existence Proposition Il existe des constantes C indépendantes de N telles que : θ εn L (0, T ; L 2 ()) C θ εn L2 (0, T ; L 2 () n ) C Preuve : α j θ εn = P N i=1 c i (t) α i (x). tθ εn L2 (0, T ; L 2 ()) C p k εn ( tθ εn) L2 (0, T ; L 2 () n ) C Théorème Il existe une solution faible θ ε du problème (pb.reg) avec : θ ε H 1 0, T ; H 1 (). De plus θ ε 0 p.p. sur ]0, T [. Remarque : estimations introduites dépendant de m k. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

14 Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

15 Entropie mathématique et principe du maximum Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré L entropie mathématique E vérifie : E (θ) = 1 k ε (θ). On appellera variable entropique, notée ϕ, la primitive de E : Théorème ϕ = E (θ) = θ Soit θ ε la solution du problème (pb.reg). On a alors : 0 dξ + CE. (7) k ε (ξ) ess inf x Majoration : θ 0 (x) θ ε (x, t) ess sup x u + (x, t) = max `θ ε (x, t) θ max 0, 0 θ 0 (x), p.p. sur ]0, T [ avec θ0 max = ess sup θ 0 (x) x Fonction test ϕ dans la formulation variationnelle de (pb.reg) : ϕ = u + 0 dϕ k `ε. + ϕ + θ0 max ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

16 Estimation d entropie Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré Proposition La solution θ ε du problème (pb.reg) vérifie : θ ε L (0, T ; L 2 ()) C où (8) C = 2 E (θ 0 ) dx + θ 0 (x) 2 dx. τ Preuve : fonction test variable entropique ϕ avec C E = 0. t E (θ ε) dx + τ «θ ε 2 dx 0 p.p. sur ]0, T [. 2 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

17 solution pour le problème dégénéré Principe du maximum solution globale pour le problème dégénéré Proposition Si l on suppose qu il existe une constante M telle que sup k (x) P c M, x [0,1] alors on obtient les estimations, indépendamment de m k : θ ε L (0, T ; L 2 ()) C q P c,ε L2 θ ε (0, T ; L 2 ()) C θ ε L2 (0, T ; L 2 ()) C tθ ε L2 (0, T ; L 2 ()) C p k ε ( tθ ε) L2 (0, T ; L 2 ()) C estimation pour ( tθ ε) dans L q ((]0, T [ ), q > 1? OUI, car T 1 kε q (θ C, ε) indépendamment de m k. 0 Conclusion : On peut maintenant passer à la limite ε 0, et la limite satisfait (2). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

18 Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

19 Formulation variationnelle entropique du problème (pb.reg) Nouvelle variable : ϕ = f (θ) = θ 0 dϕ k (ϕ) θ (ϕ) = ϕ 0 k f 1 (ψ) dψ. Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Formulation variationnelle entropique de (pb.reg) : Trouver ϕ H `0, 1 T ; H () 1 telle que : tθ (ϕ) v dx k (θ (ϕ)) P c (θ (ϕ)) θ (ϕ) v dx + τ k (θ (ϕ)) t θ (ϕ) v dx = 0, p.p. sur ]0, T [, v H 1 (), (9) avec la condition initiale (pb.entrop) = (9)-(10). ϕ (x, 0) = ϕ 0 (x) = θ0 (x) 0 dϕ k (ϕ) H 1 (). (10) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

20 Discrétisation du problème (pb.entrop) Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence {α i } i N une base de H 1 (). [0, T ] N + 1 intervalles égaux de longueur t = T /(N + 1). Définition récursive des éléments ϕ 0 h,, ϕ N h, de V h : ϕ 0 h = projeté orthogonal de ϕ 0 sur V h, dans H 1 (). ϕ n h, n 0 connu, ϕ n+1 h définit par la relation : n+1 θ `ϕh θ (ϕ n h ) v h dx t θ `ϕn+1 + τ k θ ϕ n+1 h θ (ϕ n h ) h v h dx t k θ θ θ v h dx = 0 v h V h. ϕ n+1 h P c ϕ n+1 h ϕ n+1 h (11) ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

21 solution pour le schéma entropique Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Proposition Soit n N. Supposons ϕ n h, n 0 connu. Le schéma numérique défini par la relation (11) admet une solution ϕ n+1 h V h. Preuve : (Φ (ξ h ), v h ) = + `θ (ξh ) θ `ϕ n h vh dx τ k (θ (ξ h )) ` θ (ξ h ) θ `ϕ n h vh dx t k (θ (ξ h )) P c (θ (ξ h )) θ (ξ h ) v h dx v h V h. (12) Point fixe de Brouwer. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

22 Premières estimations a priori Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Objectif : Solution du schéma numérique (11) converge vers la solution du problème variationnel (pb.entrop) quand t 0 et h. Méthode : h, puis t 0. Proposition Il existe des constantes C indépendantes de h telles que l on ait les estimations : max `ϕn h 2 dx C, (13) XN+1 t n=1 1 n N+1 max 1 n N+1 θ `ϕ n h 2 dx C, (14) P c `θ `ϕn h θ `ϕn h 2 dx C, (15) Preuve : v h = ϕ n h dans (11). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

23 Théorème de convergence en espace Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Théorème Quand h, la suite {ϕ n h, n = 0,, N + 1} h de V N+2 h converge fortement dans L 2 () N+2 vers {ϕ n, n = 0,, N + 1} solution du problème discret : + θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) v dx t τ k θ ϕ n+1 θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) v dx (16) t k θ ϕ n+1 P c θ ϕ n+1 θ ϕ n+1 v dx = 0 v H 1 () Avec la condition initiale ϕ 0 (x) = ϕ 0 (x). D autre part la convergence de la suite {ϕ n h, n = 0,, N + 1} h de V N+2 h vers {ϕ n, n = 0,, N + 1} est faible dans H 1 () N+2 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

24 Secondes estimations a priori Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Convergence Proposition Pour 0 n N, il existe des constantes C indépendantes de t telles que l on ait les estimations : t t NX n=0 NX n=0 θ `ϕ n+1! θ (ϕ n 2 ) dx C (17) t θ `ϕ n+1 θ (ϕ n ) t 2dx C (18) Prolongement sur [0, T ] : θ t (ϕ) (t) = θ `ϕ n+1 si t ]n t, (n + 1) t], n = 0,, N. eθ t (ϕ) (t) une application continue de [0, T ] dans H 1 (), linéaire sur [n t, (n + 1) t], et égale à θ `ϕ n+1 au point (n + 1) t. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

25 Théorème de convergence de la solution du schéma numérique vers la solution de (pb.entrop) Formulation variationnelle entropique solution pour ce schéma numérique Lemme Il existe une constante C indépendante de t telle que les deux fonctions définies ci-dessus vérifient θ t (ϕ) e θ t (ϕ) 2 L 2 (0,T ;L 2 ()) ( t)2 3 C Convergence Théorème Quand t 0, les suites θ t (ϕ) et e θ t (ϕ) convergent fortement dans L 2 `0, T ; L 2 () vers θ (ϕ) solution du problème variationnel non dégénéré (pb.entrop), et de manière faible dans H 1 `0, T ; H 1 (). ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

26 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

27 frac vol Φ = 0.4 K = m 2 (BC) P d = Pa (BC) λ = 2 Sr = µ = kg.m 1.s 1 condition initiale frac vol tau=0 tau=1e8 tau=1e9 t = 1e5 (s) m m frac vol t = 1e6 (s) frac vol t = 3e6 (s) tau=0 tau=0 tau=1e tau=1e tau=1e9 tau=1e m m ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

28 ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

29 Conclusion Introduction du de pression capillaire dynamique dans l équation de Richards : existence d une le problème dégénéré (k (0) = 0), une régularité de la solution supérieure à la régularité qu on obtient pour Richards, principe du maximum, schéma stable et convergent, indépendamment de la dégénérescence de k. Perspectives Flux massique non nul.. Écoulements multiphasiques avec pression du gaz non constante. ANDRA, ICJ J. Bodin Journées MoMaS : Écoulements Multiphasiques 5 Septembre /29

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques

Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques Sylvie Monniaux Univ. Paul Cézanne Aix-Marseille 3, France Séminaire EDP, Rennes 2008 Sylvie Monniaux (Univ. P. Cézanne) NS dans Ω qcq Rennes, mars

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption

Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption Christian Bourdarias, Marguerite Gisclon, Stéphane Junca Université de Savoie et Université de Nice

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE.

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 1 / 16 PLAN DU COURS 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier

Plus en détail

ECOULEMENT DE L EAU DANS LES SOLS

ECOULEMENT DE L EAU DANS LES SOLS Unité d hydrologie et d hydraulique agricole Génie rural et environnemental ECOULEMENT DE L EAU DANS LES SOLS Notes de cours provisoires année académique 2010-2011 Aurore Degré Table des matières CHAPITRE

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t);

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Contrôle final de Thermique,

Contrôle final de Thermique, Contrôle final de Thermique, GM3C mars 08 2heures, tous documents autorisés Calculatrices autorisées Problèmes de refroidissement d un ordinateur On se donne un ordinateur qui dissipe une certaine puissance,

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

T.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY

T.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Suites : Calcul et comportement asymptotique.

Suites : Calcul et comportement asymptotique. 4 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1 Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST Extrait du programme I. Les grandeurs en sciences physiques Définition : une grandeur est une observable du système On peut la mettre en évidence a.

Plus en détail

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com

Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com Points abordés Méthodes numériques employées en finance Approximations de prix

Plus en détail

Construction de solutions proches de solitons instables. d'équations dispersives non-linéaires surcritiques. Vianney Combet. Orsay, 9 janvier 2009

Construction de solutions proches de solitons instables. d'équations dispersives non-linéaires surcritiques. Vianney Combet. Orsay, 9 janvier 2009 Solitons gkdv Rapport d'activité Construction de solutions proches des solitons d'équations dispersives non-linéaires surcritiques Orsay, 9 janvier 2009 Thèse sous la direction de Luc Robbiano et Yvan

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

CHAUFFAGE PAR MICRO-ONDES

CHAUFFAGE PAR MICRO-ONDES A 2005 PHYS. I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h A. P. M. E. P. Le problème se compose de 4 parties. La dernière page sera à rendre avec

Plus en détail

Equation de la chaleur sous contrainte

Equation de la chaleur sous contrainte Equation de la chaleur sous contrainte Proposé par Aline Lefebvre-Lepot aline.lefebvre@polytechnique.edu On cherche à résoudre l équation de la chaleur dans un domaine Ω en imposant une contrainte sur

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

1 Comptage de solutions et escaliers

1 Comptage de solutions et escaliers Licence Informatique Systèmes polynomiaux, que signifie : résoudre? Feuille de TD numéro 11 1 Comptage de solutions et escaliers Question 1. On considère le système suivant p1 := 2*x*y^2 + 3*x^2-5*y^3

Plus en détail

COURS DE THERMODYNAMIQUE

COURS DE THERMODYNAMIQUE 1 I.U.. de Saint-Omer Dunkerque Département Génie hermique et énergie COURS DE HERMODYNAMIQUE 4 e semestre Olivier ERRO 2009-2010 able des matières 1 Mathématiques pour la thermodynamique 4 1.1 Dérivées

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

WTNA105 Injection de gaz dans un matériau quasi-saturé de type argile décrit par des lois de Van-Genuchten/Mualem

WTNA105 Injection de gaz dans un matériau quasi-saturé de type argile décrit par des lois de Van-Genuchten/Mualem Titre : WTNA105 - Injection de gaz dans un matériau quasi-[...] Date : 08/08/2011 Page : 1/8 WTNA105 Injection de gaz dans un matériau quasi-saturé de type argile décrit par des lois de Van-Genuchten/Mualem

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Formes Normales non linéaires

Formes Normales non linéaires Formes Normales non linéaires d observabilités s réduites r D. BOUTAT Le plan de la présentation Quelques formes d observabilité canoniques Une petite enquête sur le web. L observateur réduit pour les

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Quelques données relatives au stockage de déchets en milieu souterrain 2D

Quelques données relatives au stockage de déchets en milieu souterrain 2D Quelques données relatives au stockage de déchets en milieu souterrain 2D 7 avril 2006 1 Physique du problème : caractéristiques et modèles d un milieu poreux Le cadre physique de notre problème est celui

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010 27 octobre 2010 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Transition de phase et métastabilité

Transition de phase et métastabilité Transition de phase et métastabilité F. James, H. Mathis Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes 8-9 septembre 2014 MODTERCOM Hélène Mathis (LMJL, Université de Nantes) Transition

Plus en détail

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI

Initiation à la Mécanique des Fluides. Mr. Zoubir HAMIDI Initiation à la Mécanique des Fluides Mr. Zoubir HAMIDI Chapitre I : Introduction à la mécanique des fluides 1 Introduction La mécanique des fluides(mdf) a pour objet l étude du comportement des fluides

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Chapitre 2. Espaces métriques. 2.1 Distance

Chapitre 2. Espaces métriques. 2.1 Distance Chapitre 2 Espaces métriques 2.1 Distance On dispose sur R de la distance usuelle d : R R R + (x, y) d(x, y) = x y On l utilise pour définir la convergence des suites et la continuité des fonctions. Le

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

5 Méthodes algorithmiques

5 Méthodes algorithmiques Cours 5 5 Méthodes algorithmiques Le calcul effectif des lois a posteriori peut s avérer extrêmement difficile. En particulier, la prédictive nécessite des calculs d intégrales parfois multiples qui peuvent

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail