PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

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1 COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2011 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin. PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 (2 points) 1) Calculer A = , A = 1 3 = 20 4 = 5 2) Pour calculer A un élève a tapé sur la calculatrice la succession de touches ci-dessous: = Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. Il n'obtient pas le bon résultat car il a omis de mettre des parenthèses pour séparer les calculs du numérateur et du dénominateur. Exercice 2 (2 points) La recette pour fabriquer une boisson sucrée demande de mélanger 3 doses de sirop avec 5 doses d'eau. Quelle quantité de sirop, exprimée en litres, faut-il utiliser pour obtenir 6 litres de cette boisson? La recette contient 8 doses de produits. Donc pour chaque litre de boisson, il y a 3 8 de sirop et 5 8 d'eau. Si l'on souhaite 6 litres de boisson, il faudra donc : 3 8 6=2,25 L de sirop. Exercice 3 (5 points) On considère le programme de calcul cidessous: Choisir un nombre de départ; Multiplier ce nombre par (-2); Ajouter 5 au produit; Multiplier le résultat par 5; Écrire le résultat obtenu. 1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5. b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? 2) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0? 3) Arthur prétend que, pour n'importe quel nombre de départ x, l'expression (x 5)² x² permet d'obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison? Justifier et simplifier cette expression. 4) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 55?

2 1) a) Lorsque le nombre de départ est 2, cela donne : Multiplier ce nombre par ( 2) : 2 2 = 4 Ajouter 5 au produit : 4 5=1 Multiplier le résultat par 5 : 1 5 =5. On obtient donc 5. b) Lorsque le nombre de départ est 3, cela donne : Multiplier ce nombre par ( 2) : 3 2 = 6 Ajouter 5 au produit : 6 5 = 1 Multiplier le résultat par 5 : 1 5 = 5. On obtient donc 5. 2) Pour obtenir 0 comme résultat, il suffit de «dérouler» le programme de calcul à l'envers : Diviser le résultat par 5 : 0 5= 0 Soustraire 5 au produit : 0 5= 5. Diviser ce nombre par 2 : 5 2 =2,5. Donc il faut choisir 2,5 comme nombre de départ pour obtenir 0 comme résultat. 3) Si on applique le programme de calcul à un nombre x, on obtient : Multiplier ce nombre par ( 2) : x 2 = 2 x Ajouter 5 au produit : 2 x 5 Multiplier le résultat par 5 : 2 x 5 5= 10 x 25. On obtient donc -10 x Maintenant, simplifions l'expression d'arthur : x 5 ² x² = x² 10 x 25 x² = 10 x 25. Le résultat est identique, Arthur a donc raison. 4) Si l'on veut 55 comme résultat, on peut résoudre l'équation suivante : 10 x 25= x = x =30 x = x = 3. Si l'on veut 55 comme résultat, il faut choisir 3 comme nombre de départ. Exercice 4 (3 points) On donne la fraction F = 7,392. On souhaite écrire cette fraction sous forme irréductible. 3, On ne peut pas rechercher le PGCD du numérateur et du dénominateur de cette fraction car ces deux nombres ne sont pas des nombres entiers. 2. a) En multipliant le numérateur et le dénominateur par 1 000, cela donne : b) 7392 = = = donc PGCD(7392 ; 3003) = 231

3 c) On en déduit l'écriture de F sous forme d'une fraction irréductible : = = PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) 1. a) ABC est un triangle tel que: AB= 16 cm, AC= 14 cm, BC= 6 cm. Voici en vraie grandeur le triangle ABC : b) Le plus grand côté du triangle ABC est [AB]. Or AB² = 16² = 256 d'une part et AC² + BC² = 14² + 6² = = 232 On constate que AB² AC² + BC², donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle. 2. Calculons à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC. Le périmètre p du triangle est : p= = 36 cm. D'où A = A = A = A = Une valeur approchée de l'aire est : A 42 cm² Exercice 2 (4 points) K G Sur la figure ci-contre : les points K, A, F, C sont alignés ; les points G, A, E, B sont alignés ; (EF) et (BC) sont parallèles ; AB = 5 cm et AC= 6,5 cm. AE = 3 et EF = 4,8 cm. AK = 2,6 cm et AG = 2 cm. E A F B C

4 1. Démontrons que BC = 8 cm. Les droites (BE) et (CF) sont sécantes en A et les droites (EF) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : AE AB = AF AC = EF BC En remplaçant par les valeurs numériques : 3 5 = AF 6,5 = 4,8 BC Plus particulièrement : 3 5 = 4,8 BC. D'après l'égalité des produits en croix : BC = 4,8 5 = 8 cm Les droites (KC) et (GB) sont sécantes en A. D'une part : AK AC = 2,6 6,5 = = 2 5 D'autre part : AG AB = 2 5. On constate que AK AC = AG. De plus, les points B, A, G et C, A, K sont alignés dans le même AB ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont donc parallèles. 3. Si les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires, alors le triangle ABC est rectangle en C. Calculons : AB² = 5² = 25 d'une part ; et AC² + BC² = 6,5² + 8² = 42, = 106,25 d'autre part. On constate que AB² AC² + BC², donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en C, donc les droites (AC) et (BC) ne sont pas perpendiculaires. Exercice 3 (5 points) 1. Tracer une figure à partir des éléments suivants : - [AB] est un segment tel que AB = 10 cm ; - (d) est la médiatrice de [AB] ; - E et F sont deux points de (d) situés de part et d'autre du segment [AB] ; - C 1 est le cercle de centre E passant par A ; - C 2 est le cercle de centre F passant par A ; - G est le symétrique de B par rapport à E ; - H est le symétrique de B par rapport à F.

5 2. a) Le cercle C 1 est le cercle de centre E passant par A, donc EA est le rayon du cercle. De plus, le point E appartient à la médiatrice du segment [AB]. Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc EA = EB. On en déduit que EB est aussi un rayon du cercle, donc que le point B appartient au cercle C 1. De la même façon, le point F appartient aussi à la médiatrice de [AB], donc FA = FB. Comme le cercle C 2 est le cercle de centre F passant par A, alors FA est le rayon de ce cercle. Donc FB est aussi un rayon de ce cercle et le point B appartient aussi à C 2. b) Le point G est le symétrique du point B par rapport à E, donc E est le milieu de [BG] et on a EB = EG. Comme EB est un rayon du cercle C 1, EG l'est aussi, donc le point G appartient au cercle C 1. De même, le point H est le symétrique de B par rapport à F, donc F est le milieu de [BH] et on a FB = FH. Comme FB est un rayon du cercle C 2, FH l'est aussi, donc le point H appartient au cercle C Le triangle ABG est inscrit dans le cercle C 1 dont un diamètre est le côté [BG]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. Donc le triangle ABG est rectangle en A. On en déduit que (BA) (AG). Le triangle AHB est inscrit dans le cercle C 2 dont un diamètre est le côté [BH]. Donc le triangle ABH est rectangle en A. On en déduit que (BA) (AH). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (AG) et (AH) sont parallèles. Et comme elles contiennent toutes les deux le point A, elles sont confondues. On en conclut que les points A, G et H sont alignés.

6 PARTIE 3 : PROBLÈME (12 points) 3 eme A Première partie. 1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le nombre total de lancers réalisés lors des temps du match: Zone de lancer R M E Nombre de lancers Calcul des fréquences. a) Calculons la fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match. Le nombre total de lancers est de : = 60. Donc la fréquence des lancers effectués depuis la zone E est de = 1 6. b) Calculons la fréquence des lancers effectués en dehors de la zone E lors du match. Si 10 lancers sur 60 ont été effectués depuis la zone E, cela signifie que 50 lancers sur 60 ont été effectués hors de la zone E. La fréquence recherchée est donc de = Pendant le match, sur 60 lancers effectués, 51 ont été réussis dont 27 depuis la zone R. On sait que 3 des lancers effectués dans la zone M ont été réussis. Calculer le nombre de lancers 4 réussis dans la zone E. Illustrons cette situation par un tableau : Zone de lancer R M E Total Nombre de lancers Lancers réussis = ( ) = 9 51 Deuxième partie. Le graphique ci-après représente la hauteur du ballon lors d'un lancer en fonction du temps. En vous aidant du graphique, répondre aux questions suivants: 1. Quelle est la hauteur du panier? D'après le graphique, la hauteur du panier est de 3 m. 2. A quelle hauteur se trouve le ballon 0,1 seconde après le lancer? Le ballon se trouve à une hauteur de 3 m 0,1 seconde après le lancer. 3. a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon? La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 4,2 m. b) Au bout de combien de temps le ballon atteint-il cette hauteur maximale? Le ballon atteint cette hauteur maximale 0,54 s après le lancer.

7 Troisième partie. Le joueur A passe le ballon au joueur B situé à 7,2 m de lui. La passe dure 0,4 s. 1. Calculer la vitesse moyenne de ballon, en m/s, lors de cette passe. D'après la formule : v= d, on peut calculer la vitesse moyenne du ballon : t v= 7,2 0,4 = 18 m/s. 2. Convertir en km/h. 18 m/s = /1000 = 64,8 km/h.

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