ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES COMMERCIALES AFFILIÉE À L'UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL

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1 ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES COMMERCIALES AFFILIÉE À L'UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL Un algorhme de mnmax dynamque sochasque our la soluon d un roblème d omsaon de orefeulle ar Érc Srnguel Scences de la geson Mémore résené en vue de l'obenon du grade de maîre ès scences (M.Sc.) Févrer Érc Srnguel,

2 Sommare Dans ce mémore, on roose d une ar une méhode de résoluon our le roblème du mnmax dynamque sochasque e on résene d aure ar l alcaon de ce algorhme à un roblème d omsaon de orefeulle. Dans un conexe d aaremen enre l acf e le assf sur un horzon fuyan, on nrodu un modèle our la soluon du roblème de réaron de l acf d un orefeulle d nvesssemens. Une analyse de sensblé sur une nsance de ce roblème dynamque sochasque dans un el conexe démonre que la décson d nvesssemen es rès sensble aux évaluaons des robablés qu enren dans le calcul de l esérance mahémaque de l objecf. L aroche du mnmax dynamque sochasque es roosée our aller aux merfecons du modèle récéden lorsque le décdeur n a as une connassance arfae de la dsrbuon des robablés des éas fuurs. Le mnmax s aarene à un jeu conre la naure e sa soluon fourn une sraége de lacemen garanssan une esérance de gan maxmale ar raor à la re des dsrbuons de robablés. Ce mémore résene donc à la fos un modèle de décson e une méhode de calcul ermean de déermner une sraége lorsque le décdeur a une connassance marfae des dsrbuons de robablé des éas fuurs de la naure.

3 Remercemens J'ameras remercer chaleureusemen mes dreceurs de recherche : Mchèle Breon e Saeb El Hachem sans qu ce raval n'aura as éé ossble. Je ens auss à remercer Parck Sorano e Faben Chauny our les consels romulgués. Fnalemen, j'ameras remercer le CRSNG e la Chare de geson des rsques de l École des HEC our leur suor fnancer.

4 Table des maères SOMMAIRE...I REMERCIEMENTS...II TABLE DES MATIÈRES... III LISTE DES TABLEAUX...IV LISTE DES FIGURES... V. INTRODUCTION.... REVUE DE LA LITTÉRATURE LES MODÈLES STATIQUES Modèle moyenne-varance Inroducon de l asymére dans le modèle M-V Adaaon du modèle M-V à une demande aléaore LES MODÈLES DYNAMIQUES DÉTERMINISTES Exenson mul-érodes du modèle M-V Ulsaon des echnques de réseaux our la geson de l'acf....3 LES MODÈLES DYNAMIQUES STOCHASTIQUES Ulsaon des echnques de réseaux our la geson de l'acf Un modèle mul-érodes lnéare de geson de l'acf Des modèles de geson de l acf e du assf our une banque Le modèle de Russell-Yasuda Kasaï [5] e ses réercussons La noon d arbrage au sen des modèles de geson de l acf e du assf APPROCHE MINIMAX DYNAMIQUE STOCHASTIQUE LE MODÈLE DU MINIMAX DYNAMIQUE STOCHASTIQUE Une formulaon d'un modèle lnéare dynamque sochasque Informaon sasque ncomlèe Formulaon du mnmax dynamque sochasque UN ALGORITHME DE RÉSOLUTION Algorhme de résoluon Comlexé de l'algorhme Un exemle numérque smle MODÈLE DE GESTION DE L ACTIF ET DU PASSIF ANALYSE DES RÉSULTATS ANALYSE DE SENSIBILITÉ RÉSULTATS NUMÉRIQUES CONCLUSION... 4 BIBLIOGRAPHIE... 4

5 Lse des ableaux Tableau.....4

6 Lse des fgures Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure Fgure

7 . Inroducon Acuellemen, les rncaux nermédares fnancers son les masons de courage, les banques e les comagnes d assurances. De elles enrerses nécessen une geson effcace afn d'obenr un gan synchronsé des lacemens de leurs acfs our assurer les aemens érodques de leurs assfs. Ceendan, lorsque ce gan n'es as suffsan, on assse à un découver fnancer qu engendre des coûs sulémenares our l'enrerse. Pusque le bu de cee dernère es de maxmser les rofs, les drgeans euven ulser des echnques d'ade à la décson our mnmser les eres causées ar ces découvers. Pour un roblème d'aaremen de l'acf e du assf soums à dverses conranes de réglemenaons sur les enrées e sores de fonds, l ulsaon d un modèle mahémaque semble un moyen adéqua d'ade à la décson. La luar des modèles que l'on rerouve dans le domane de l'nermédaon fnancère reosen sur des hyohèses fores qu ne rerésenen as oujours adéquaemen la réalé. Par exemle, une aroche eu arorée our un roblème d'aaremen de l'acf e du assf sera de modélser le roblème en conexe saque. En effe, dans un modèle monoérode, on rend une seule e unque décson our ou l'horzon de lanfcaon ce qu es eu conforme à la réalé our ce ye de roblèmes usque les gesonnares rééqulbren sans arrê leurs orefeulles. Un second ye de modèle que l'on eu consdérer es le dynamque déermnse. Dans celu-c, c'es luô une séquence de décsons qu es rse. D'un éa donné, on rend une décson don on connaî avec cerude l'mac sur l'éa fuur à arr duquel on rerend une nouvelle décson. L'aroche dynamque es arorée lorsque les décsons rses à une érode quelconque affecen les décsons fuures qu seron rses comme dans le cas du roblème de l'aaremen de l'acf e du assf. Par conre, l es clar que ce ye d'aroche n'es as ou à fa réalse dans le domane de l'nermédaon fnancère usque les drgeans rebalancen leurs orefeulles conformémen à l'évoluon e à la

8 révélaon rogressve des événemens aléaores nfluençan les rendemens de ces orefeulles. La rosème sore de modèle que l on eu observer es le dynamque sochasque. Il généralse le récéden en ermean aux décsons de s'adaer aux événemens don on ne connaî as avec cerude l'occurrence. Une hyohèse fore osée dans ces modèles consse à consdérer que oue l nformaon sur la dsrbuon des varables aléaores es connue. En effe, cerans modèles ulsen une dsrbuon de robablé conjone de varables aléaores d'où son dédues les robablés de réalsaon des éas fuurs. D aures ne consdèren que quelques scénaros rerésenafs affecés de robablés subjecves, nrodusan ans une marge d erreur ossblemen grande. Selon Breon e El Hachem [,], Duacova [8] e Zackova [8], une alernave ossble consse à consdérer un roblème dans un conexe de rogrammaon dynamque sochasque avec une connassance arelle de l nformaon sur la dsrbuon de robablé des éas fuurs. On consdère une classe enère de dsrbuons de robablé conjones ossbles qu es comable avec l nformaon dsonble sur les données aléaores. Cee classe de dsrbuons es décre ar des conranes mahémaques modélsan l nformaon fourne. L'aroche du mnmax dynamque sochasque es une sore de jeu conre la naure dans lequel le décdeur maxmse l'esérance de son gan en agssan sur les varables qu'l conrôle ands que la naure mnmse le même objecf ar raor aux dsrbuons de robablé fasan are de cee classe. Dans ce mémore, on déveloera dans un remer ems un algorhme ermean de résoudre le roblème du mnmax dynamque sochasque. On éudera ensue l alcaon de cee aroche our la résoluon d un roblème d aaremen de l acf e du assf lorsque l'on a une connassance arelle de la dsrbuon de robablé des éas fuurs. En ulsan cee aroche, la soluon obenue assure une borne nféreure sur l esérance du gan d'un orefeulle d acfs. En effe, l ne eu as y avor de cas lus bas usque l on omse ce orefeulle our la re dsrbuon de

9 3 robablé des éas fuurs aarenan à la classe. Le modèle consru es soule usqu l relâche l hyohèse fore d une connassance arfae de la dsrbuon de robablé des éas fuurs. De lus, s le roblème d'aaremen de l'acf e du assf s'avère sensble aux changemens dans ces robablés alors la soluon du mnmax dynamque sochasque consue une alernave d'nvesssemen néressane. Afn de réalser le raval, on do ou d abord défnr un roblème d aaremen de l acf e du assf suffsammen réalse our que l'on usse l analyser e lu alquer l'aroche du mnmax dynamque sochasque. En conexe d'nformaon arfae sur les robablés, on maxmsera le gan eséré du orefeulle d acfs de façon à omser le surlus ou en resecan les conranes rerésenan la réglemenaon e les varaons ermses sur les enrées e sores de fonds. Par la sue, on effecuera une analyse de sensblé afn de consaer les effes de changemens dans les robablés sur la sraége d'nvesssemen. Fnalemen, on alquera l aroche du mnmax dynamque sochasque afn d'obenr une olque de décson en conexe d'nformaon marfae sur les robablés des éas fuurs. Dans le rochan chare, on résene une brève revue de la léraure fnancère oran sur la geson de orefeulle. Dans le chare ros, on nrodu l aroche du mnmax dynamque sochasque ans qu'un algorhme qu erme de résoudre un el roblème. Le chare quare conen l'ensemble des déals relafs au modèle d'aaremen de l'acf e du assf. En ce qu concerne le cnquème chare, on effecue d'une ar une analyse de sensblé du roblème ar raor aux changemens de robablés e d'aure ar, on résene les résulas numérques obenus ar l'algorhme de résoluon. Fnalemen, le chare sx conen les conclusons que eu aorer ce mémore.

10 . Revue de la léraure Dans ce chare, on couvre une are de la léraure fnancère oran sur la geson de orefeulle en nssan arculèremen sur les modèles mahémaques. Chaque secon regroue ar caégore un ensemble de modèles de geson de orefeulle.. Les modèles saques.. Modèle moyenne-varance Le modèle moyenne-varance (M-V) a éé conçu ar un des ères de la héore de la geson de orefeulle, so H.M. Markowz [7,8]. L'argumenaon de ce derner se fonde rncalemen sur le fa qu'une smle règle d'esérance acualsée des rendemens ne erme as à un nvessseur raonnel ayan de l averson our le rsque de référer un orefeulle lus dversfé à un qu ne l'es as. Markowz nrodu alors une règle basée sur un crère M-V. Selon ce rnce, l es ossble d'denfer un orefeulle avec une varance mnmale our une esérance donnée ou nversemen, avec une esérance maxmale our une varance donnée. Le modèle es le suvan : N N Mn V ( r) σ, j x x j (...a) j N s.c. E( r) µ x K, (...b) N x, (...c) x où r es le rendemen du orefeulle d acfs, x es la rooron de la rchesse nvese dans le re, µ es l'esérance du rendemen du re rsqué, σ, j es la covarance du rendemen enre les res e j, K es l'esérance cble e N es le nombre de res rsqués consdérés.

11 5 Dans ce modèle, (...a) corresond à la mnmsaon de la varance du orefeulle d'acfs, (...b) ndque que l'esérance de ce orefeulle es fxée à une valeur K e fnalemen (...c) conran le modèle à ne as admere de vene ou d'acha à découver. Par exemle, on eu résoudre ce roblème de rogrammaon quadraque convexe avec la méhode des mullcaeurs de Lagrange. On race alors la fronère effcene dans l'esace M-V en fasan varer la valeur de K. Selon la olérance au rsque de l'nvessseur, on lu assgne un orefeulle don la varance es mnmale our un rendemen eséré fxé. En lus de ne as nclure des fras de ransacons, cee modélsaon rerésene enèremen l'nérê des nvessseurs ar les deux remers momens de la dsrbuon des rendemens du orefeulle. Les nvessseurs on généralemen une référence our un orefeulle avec un rosème momen lus grand s l'esérance e la varance son les mêmes. Fgure. Cee fgure rerésene les dsrbuons de robablé des rendemens de deux orefeulles dsncs qu on la même esérance e varance. Ceendan, le rosème momen du orefeulle es lus grand que celu du orefeulle. Il es clar que ou nvessseur raonnel chosra le orefeulle arce que la robablé d avor un rendemen au-dessus de la moyenne es lus grande que s'l chos le orefeulle. Ceendan, l es moran de noer que Markowz suggère auss une mesure de seme-varance comme crère défnssan le rsque qu ne énalse que les rendemens du orefeulle nféreurs à la moyenne... Inroducon de l asymére dans le modèle M-V Afn de conourner ce roblème, Kng [] roose our sa ar une classe de foncons lnéares-quadraques ar morceaux rerésenan à la fos un crère de chox d'une dsrbuon de robablé asymérque du rendemen d'un orefeulle

12 6 ans que les arbus de la foncon d ulé de l nvessseur. Cee classe es décre de la façon suvane : q r.5( q ) s r q ρ + ( r).5r s q < r < q q, q q r.5( q ) s q r + où q es le aramère qu défn la ene «à droe», q es le aramère qu défn la ene «à gauche» e r es le rendemen du orefeulle d'acf. + Fgure. Cee fgure rerésene la foncon ρ ( r). S + q, q + r q alors on a une droe de ene q. S q < r < q alors on a la + arabole.5r. Fnalemen, s q r alors on a une droe de ene + osve q. En ulsan la même méhodologe que Levy e Markowz [6], Kng évalue l esérance de l ulé d un nvessseur raonnel en foncon des deux remers momens du rendemen du orefeulle d acfs. Touefos, l remlace le erme quadraque de la varance de ce rendemen ar la foncon ρ ( ) rendan ans l aroxmaon conforme à la réalé d un monde asymérque. + r q, q Dans le même esr, Konno, Shrakawa e Yamazak [4] déveloen le modèle M-V ncluan le rosème momen our un nvessseur raonnel. À cee fn, ls arochen la foncon d ulé selon la même dérvaon que Levy e Markowz avec un déveloemen de Taylor du rosème ordre. Dans sa forme la lus générale, le modèle s écr :

13 ([ r E(r) ] ) 3 Max E (...a) s.c. N E( r) µ x K, (...b) N N V ( r) σ x x L (...c) N j, j j x, (...d) x où r es le rendemen du orefeulle d acf, x es la rooron de la rchesse nvese dans le re, µ es l'esérance du rendemen du re rsqué, σ, j es la covarance enre les res e j, K es l'esérance cble, L es la varance cble e N es le nombre de res rsqués consdérés. Dans ce modèle, (...a) corresond à la maxmsaon du coeffcen d'asymére du orefeulle d'acfs, (...b) e (...c) ndquen que le orefeulle a une esérance e une varance fxée e fnalemen (...d) rerésene le fa que le modèle n'adme as d'acha ou de vene à découver. Ceendan, on ne eu as rouver de maxmum global à ce roblème ar les echnques usuelles de la rogrammaon non-lnéare usque la foncon objecf n es as concave e que le domane n es as convexe ar la résence de la conrane sur la varance. Afn de conourner ces dffculés, les aueurs nrodusen une foncon de semrosème momen négaf défn ar : s r E( r) γ _( r) 3 E( [ r E( r) ] ) s r E( r) < e ls remlacen le erme de la varance ar un écar à la moyenne défn ar : W ( r) E r E( r). [ ] Arès avor remlacé ces ermes dans le modèle général, ls soluonnen le roblème ar les echnques de rogrammaon non-lnéare. Touefos, les aueurs ndquen que ces echnques devennen nadéquaes lorsque le nombre d'acfs en jeu es suéreur à. Ils lnéarsen alors la foncon objecf e ls ulsen l'algorhme du smlexe afn de résoudre le roblème lnéarsé. 7

14 ..3 Adaaon du modèle M-V à une demande aléaore 8 Dans une ersecve dfférene, d'aures chercheurs connuen leurs ravaux afn d amélorer le modèle M-V. Parm eux, Chen [6] déveloe un modèle monoérode semblable à celu de Markowz ou en consdéran le fa que l'nvessseur raonnel usse fare face, à la fn de la érode d'nvesssemen, à une demande aléaore our son argen. En suosan des coûs de lqudaon asymérques, c'es-à-dre un coû lus élevé our lquder un acf rsqué qu'un acf sans rsque, l'aueur défn la foncon des coûs de ransfer de la façon suvane : ~ ~ C ( D BR f ) + CBR f P s D > BR f P ~ ~ ~ Φ( D) CD s D BR f P ~ s D < où B es le monan d'acf sans rsque déenu au débu de la érode ar l'nvessseur, C es le coû de ransfer afn d'obenr un dollar rovenan de l'acf sans rsque, C es le coû de ransfer afn d'obenr un dollar rovenan de l'acf rsqué, D ~ es une demande aléaore our son argen, P es la rooron d'acf ne qu rese de l'acf sans rsque e R f es le aux sans rsque. La fgure suvane erme d'llusrer la foncon Φ ( D ~ ) : Fgure 3. Cee fgure rerésene la foncon asymérque des coûs de ransfers ar raor à la demande aléaore de l'nvessseur our son argen. L'esérance e la varance du rendemen d'un orefeulle comosé de N acfs rsqués e d un acf sans rsque devennen alors resecvemen :

15 T ~ T T ~ ~ () r BR + X µ E( Φ( D ) e V () r X VX X W ( Φ( D ) + V ( Φ( D ) E f où r es le rendemen du orefeulle d acf, N µ es un veceur aarenan à R rerésenan les esérances de rendemen sur ces acfs rsqués, V es la marce de covarance enre chaque re rsqué élémen de N N R R, ~ W (Φ) es le veceur de covarance enre les acfs rsqués e Φ ~ qu N aaren à R e N X es un veceur de R rerésenan les nvesssemens dans chaque acf rsqué. Avec ces équaons ajusées, le modèle de Chen es exacemen semblable à celu de Markowz. En résolvan ce roblème ar le Lagrangen, on consae la comlexé qu'amène la demande sochasque d'argen : la foncon objecf quadraque n'es lus séarable. Afn de reméder à cee dffculé, l'aueur consru un modèle facorsan les rendemens e la demande sochasque ar raor à un ndex de marché. 9 Dans un conexe de geson dynamque de orefeulle, ces modèles saques son lon d'êre arfas. En effe, l'nvessseur déermne le ods ( x ) de chaque re au débu de l'horzon, observe la réalsaon des varables aléaores e encasse son caal ans que les rendemens à l'échéance. On consae qu'une elle aroche ne sas as les effes des décsons qu euven survenr arès l'horzon usque l'on suose le rera ener du caal à l échéance.. Les modèles dynamques déermnses L'ulsaon de modèles dynamques déermnses erme de caer les effes qu'une décson d'nvesssemen dans un acf quelconque eu avor sur l'ensemble des décsons subséquenes... Exenson mul-érodes du modèle M-V Gresss, Phllaos e Hayya [] déveloen un modèle de k érodes don le bu es de maxmser l'ulé de la rchesse fnale d'un nvessseur raonnel. Touefos, ce nvessseur do réajuser auomaquemen le ods des res au débu de chaque érode de façon à conserver les roorons nales. Par

16 alleurs, en suvan un résula de Tobn [5,6] qu menonne que les dsrbuons fuures des rendemens des res son saonnares dans le ems (c'es-à-dre ndéendanes e denquemen dsrbuées), les aueurs défnssen le rendemen eséré ans que la varance de chaque re our les k érodes de la façon suvane : k k k µ ( k ) µ e σ ( k ) ( σ + µ ) µ où µ es la moyenne de la dsrbuon d'un re à la remère érode e σ es la varance de la dsrbuon d'un re à la remère érode. Avec cee consrucon, l exse un monomorhsme enre un on de l'esace [ µ,σ ] e [ σ ] µ. Alors, un orefeulle obenu ar le modèle de Markowz ( k ), ( k ) es effcen s e seulemen s ce même orefeulle es effcen lorsqu'l es obenu ar le modèle mul-érodes. En lus de arager les mêmes roréés que celles du modèle M-V, les aueurs obennen le résula sulémenare que lus l'horzon de lanfcaon es raroché, lus l'nvessseur raonnel a endance à chosr un orefeulle rsqué e vce-versa. On remarque que oues les roréés du modèle de Gresss, Phllaos e Hayya découlen de la saonnaré des dsrbuons fuures des rendemens. Or, Sevens [4] rouve un conre-exemle au héorème de Tobn e reme en cause la légmé de cee hyohèse. Incdemmen, l'exenson mul-érodes du modèle de Markowz résenée ar ces aueurs n'es lus arfae... Ulsaon des echnques de réseaux our la geson de l'acf Jusqu'à résen, ous les modèles résenés n'exloen as la srucure de réseau qu eu leur êre assocée.

17 Fgure 4. Cee fgure rerésene le cas d'un ndvdu qu a le chox d'nvesr dans ros yes d'oblgaons. Ces oblgaons on so une échéance d'une, deux ou ros années avec des rendemens de 4%, 6% e 5% resecvemen. En ulsan les logarhmes des rendemens, le roblème de maxmsaon deven alors le roblème du lus long chemn enre le momen nal e l'échéance 3'. Les aueurs Golden e Keang [9] ulsen une srucure de réseau our rerésener un modèle mul-érodes dynamque déermnse d'allocaon des acfs our un nvessseur raonnel. En effe, ls consdèren le roblème qu consse à maxmser les flux des rendemens esérés sur ous les arcs d'un réseau ou en conservan la varance de ces flux sous une borne rédéermnée γ. Dans sa forme la lus générale, le modèle s écr : m Max () E r µ x (...a) s.c. m m j σ x x γ, (...b), j j x x, j, 3,..., n, (...c) A j A j A x x, (...d),,,..., m où m es le nombre d'arcs sur le réseau, n es le nombre de érodes de ems, x es la oron d'un dollar nvese sur l'arc, γ es la olérance maxmale ar raor à la varance, µ E( R ) où R rerésene le rendemen aléaore sur l'arc, σ, j es la covarance enre R e R j, A j es l'ensemble des arcs ayan comme nœud d orgne j e A j es l'ensemble des arcs ayan comme nœud de desnaon j. Dans cee modélsaon, (...a) corresond à la maxmsaon du rendemen du orefeulle d'acfs, (...b) ndque que la varance de ce orefeulle ne do as

18 déasser le seul γ, (...c) modélse le fa que le caal dsonble à un nœud quelconque do êre oalemen rénves dans les dfférens acfs accessbles de ce même nœud e fnalemen (...d) conran le modèle à ne as admere de vene ou d'acha à découver. Les aueurs suosen ouefos que les gans des nvesssemens réalsés lors de la érode de lanfcaon ne son as rénvess dans dfférens acfs ce qu allège ans la srucure du réseau e ls omeen d'nclure dans la modélsaon des fras de ransacons. Afn d'obenr un roblème de rogrammaon quadraque, Golden e Keang ulsen la méhode des mullcaeurs de Lagrange e nsèren la conrane de la varance dans la foncon objecf. Pusqu'une marce de varance/covarance es oujours seme-défne osve, le Lagrangen a alors la roréé d'êre concave. Incdemmen, l'ulsaon ar les aueurs d'une méhode érave d'aroxmaon lnéare e la mse à jour des mullcaeurs converge vers l'omum global. Ces deux modèles dynamques, ou comme ceux de la secon., résumen que l'on connaî la moyenne du rendemen de chaque re ( µ ) ans que les covarances ( σ, j ) enre chacun d'enre eux. En réalé, la moyenne e la varance d'un re quelconque son généralemen esmées à arr de données hsorques. Les aramères ulsés dans ces modèles son donc des esmaons..3 Les modèles dynamques sochasques Dans cee secon, on résene quelques modèles dynamques sochasques ulsés en geson de orefeulle qu ulsen des révsons lus déallées, quan aux éas fuurs de ce orefeulle, que les smles momens de leurs dsrbuons..3. Ulsaon des echnques de réseaux our la geson de l'acf L'orgnalé de l'aroche va un réseau de Golden e Keang are l'aenon de luseurs chercheurs néressés à arofondr le domane. Plus arculèremen, Mulvey e Vladmrou [] consdèren la queson en nrodusan un réseau sochasque généralsé ncluan des fras de ransacons our des roblèmes de

19 3 lanfcaon fnancère en résence d'ncerude. Ils défnssen un modèle mulérodes dynamque sochasque qu rerésene le roblème d'un nvessseur raonnel cherchan à maxmser l'esérance de sa foncon d'ulé. Les aueurs caracérsen l ncerude ar des scénaros mulles don chacun rerésene une réalsaon, sur ou l'horzon, des valeurs fuures que euven rendre les varables aléaores. La rerésenaon des scénaros se fa souven ar un arbre : Fgure 5. Arbre de scénaros. Ceendan, la srucure dynamque du modèle requer que chaque scénaro resece les conranes de non-ancavé. Auremen d, s deux scénaros à la dae on le même assé alors la décson rse à la dae, our chacun de ces deux scénaros, do êre la même. Dans l'llusraon récédene, à, les scénaros 4, 5 e 6 on ous le même assé e donc on do avor x 4 x 5 x 6 où x s rerésene le veceur de décsons rses à la dae our le scénaro s. Mulvey e Vladmrou ulsen une méhode déveloée ar Rockafellar e Wes [3] qu s'nule «Progressve Hedgng Algorhm» afn de résoudre ce modèle. Ans, ls décomosen le roblème en luseurs sous-roblèmes déermnses, chacun corresondan à un scénaro. La décomoson désrée es obenue en dualsan les conranes de non-ancavé ncororan ar le fa même une énalé dans la foncon objecf. Avec cee consrucon duale, on oben la soluon de chaque sous-roblème assocé à un scénaro ar des echnques sécalsées de résoluon sur un réseau. Ceendan, chaque soluon ndvduelle vole généralemen les conranes de non-ancavé. Conséquemmen, les

20 4 mullcaeurs de la énalé son éravemen ms à jours afn de renforcer rogressvemen ces conranes e ermere l'mlanaon de la soluon..3. Un modèle mul-érodes lnéare de geson de l'acf Danzg e Infanger [7] déveloen un modèle mul-érodes lnéare dynamque sochasque de geson de l acf avec N res fnancers rsqués e un re sans rsque. Le modèle s'écr de la façon suvane : N + Max E U r x (.3..a) T T s.c. x + y z r x {,,, N}, (.3..b) K N N + x, (.3..c) ( N ) ( a ) y + ( + b ) z r( N + ) x( N ) + x x x y y y { N} { T},, K, e,, K,, (.3..d) z z z es donné {,, K, N, } (.3..e) r N + où a es le aux consan de fras de ransacons our la vene de l'acf, b es le aux consan de fras de ransacons our l'acha de l'acf, r es le rendemen réalsé de l'acf à la dae de la dsrbuon aléaore R, x es une varable de décson rerésenan le caal nves dans le re à la dae, y es une varable de décson rerésenan le caal vendu du re à la dae e z es une varable de décson rerésenan le caal acheé du re à la dae. Dans cee modélsaon, (.3..a) corresond à la maxmsaon de l'esérance de l'ulé de la rchesse fnale de l'nvessseur, (.3..b) ndque our un acf rsqué quelconque que les gans des nvesssemens de la érode récédene augmenés des achas ou dmnués des venes rerésenen le caal nves dans ce acf our la érode en cours, (.3..c) modélse l'ensemble des ransacons faes dans le come bancare où ous les fras de ransacons son comablsés, (.3..d) conran le modèle à ne as déasser ceranes bornes au nveau des varables de

21 5 décsons e fnalemen (.3..e) nrodu les rendemens naux de l'ensemble des acfs. Malgré une modélsaon lus soule, Danzg e Infanger suosen que la foncon d ulé de l nvessseur eu êre aroxmée ar une foncon lnéare ar morceaux, ce qu erme d'écrre le roblème d'omsaon sous forme lnéare. De lus, ls monren que cee consrucon es équvalene à un modèle mul-éaes lnéare sochasque qu ulse la sraége «wa-and-see» e don les conranes de non-ancavé son mlcemen ncluses dans la formulaon. Arès avor éabl que le roblème sochasque es de recours comle, les aueurs dscrésen la dsrbuon conjone des varables aléaores ar le bas d'un échanllon de scénaros rerésenafs e ls ulsen la décomoson de Benders..3.3 Des modèles de geson de l acf e du assf our une banque Un des remers chercheurs à alquer un modèle de geson de l acf e du assf à une banque es Brod [4]. En se basan sur la héore du modèle M-V, l déveloe un modèle dynamque sochasque où l ncerude es rerésenée ar scénaros évoquan les suaons économques acuelles e fuures. Afn de rendre lnéare l objecf du modèle, le rsque de rof es mesuré ar une dévaon absolue ar raor à la moyenne des rofs (MAD). L aueur nrodu deux varables P e P rerésenan resecvemen la dévaon osve e d + d s s négave ar raor au remer momen. La formulaon générale du modèle s écr comme su : Mn s S s d [ ] + d P + P s s (.3.3.a) s.c. E( P d ) EPG, (.3.3.b) d d d + ( P s EPG) + Ps Ps, (.3.3.c) les conranes neremorelles, (.3.3.d) les conranes nraemorelles, (.3.3.e) les conranes de non-négavé des varables où s rerésene la robablé subjecve d occurrence du scénaro s, EPG es un rof cble eséré e P d s rerésene les rofs acualsés lorsqu une décson d es rse sous s.

22 6 Dans ce modèle, (.3.3.a) corresond à la mnmsaon de la dévaon absolue ar raor à la moyenne de rofs, (.3.3.b) ndque que l'esérance du orefeulle es fxée à un nveau donné, (.3.3.c) modélse la foncon qu ser à déermner la dévaon absolue, (.3.3.d) rerésene les conranes de nonancavé e fnalemen (.3.3.e) conran le modèle à resecer dfférens yes de rsque auxquels la banque eu s'exoser don l'un es l'aaremen de l'acf e du assf. La soluon du modèle es obenue ar les echnques usuelles de la rogrammaon lnéare. Pour dfférens nveaux de rofs esérés, on race une fronère effcene dans l esace EPG MAD. Selon l averson au rsque du gesonnare, on lu ndque l ensemble des décsons à rendre au blan de manère à générer un rof eséré maxmal. Dans la même foulée, Zemba e Kusy [7] déveloen un modèle mul-érodes lnéare sochasque our un roblème de geson de l acf e du assf d une banque. L aléa du modèle es consué ar le monan des déôs e des reras de chaque érode. Les aueurs suosen que les rendemens sur les acfs e les assfs son connus de façon déermnse. Afn de modélser l asec dynamque qu a le roblème, ls ulsen le cadre d un modèle lnéare de deux éaes avec smle recours. La formulaon générale d un el modèle es : + ' + ' Mn Z( x) c' x + Eξ mn ( q y + ) +, ξ q yξ (.3.3.f) x y y s.c. Ax b, (.3.3.g) + Tx + Iyξ Iyξ ξ (.3.3.h) où c rerésene le veceur de coeffcens de la foncon objecf assocé au veceur x, + q e q son des veceurs rerésenan le coû encouru lorsqu une acon correcve es rse, x rerésene le veceur des décsons à rendre à la remère éae, + yξ e y ξ son des veceurs rerésenan l'acon correcve à rendre une fos que ξ se so réalsé e ξ es le veceur d'événemens aléaores. Dans ce modèle, (.3.3.f) corresond à la mnmsaon de la somme des coûs engendrés ar la décson de la remère éae e de l'esérance des coûs fuurs assocés à une acon correcve, (.3.3.g) corresond à l'ensemble des conranes assocées aux varables de la remère éae e fnalemen (.3.3.h) conran le modèle à resecer l'équlbre e la déendance enre les varables de la remère

23 7 e de la seconde éae. Dans le cadre du roblème de geson de l acf e du assf our une banque, un gesonnare rend une décson nale quan aux nvesssemens à chosr our les acfs. Il observe ensue la réalsaon du veceur aléaore ξ qu rerésene le monan des déôs e des reras e corrge fnalemen la oson du orefeulle en ayan une énalé causée ar les changemens. Afn d obenr une soluon au modèle avec smle recours, Zemba e Kusy suosen que le suor de la dsrbuon de robablé de ξ es fn. Ils concluen alors que Z(x) es lnéare ar morceaux e le modèle es soluonné ar une méhode usuelle de la rogrammaon lnéare. Dans le bu d amélorer l aroche d un modèle lnéare avec smle recours de deux éaes roosée ar Kusy e Zemba, Korhonen [5] modélse l ncerude ar scénaros économques qu ncluen les varaons robables des aux d nérês du marché. L aueur déveloe alors un modèle lnéare semblable à celu de Zemba e Kusy à l exceon rès qu l lève l hyohèse des aux d nérês déermnses..3.4 Le modèle de Russell-Yasuda Kasaï [5] e ses réercussons Oure les banques, les modèles de geson de l acf e du assf euven êre adaés à d aures nermédares fnancers els que les comagnes d assurances. L un des rncaux exemles de cee caégore es celu de la comagne jaonase Yasuda Kasaï. La arcularé de ce modèle roven de la défnon du rsque. Conraremen à une mesure radonnelle de varance, les aueurs caracérsen le rsque selon une mesure de découver budgéare résulan de la dfférence enre les gans sur les acfs e les aemens causés ar les assfs. Il s ag d une mesure asymérque usque les surlus ne son as énalsés ar une elle aroche. Par alleurs, le modèle se fonde sur de mulles scénaros, chacun rerésenan une réalsaon ossble de l évoluon de l économe. En omean les conranes modélsan la réglemenaon budgéare, les varaons ermses sur les enrées e sores de fonds, e celles de non-ancavé, le modèle s écr :

24 T Max E V T c ( w ) (.3.4.a) s.c. x N V,, K T, (.3.4.b) N V + N + N + N N RI N +,, + + xn w v g+ L T N ( + g + ) L + F + P + I + L +,,, T ( + RP + RI ) x F P I,, K T (.3.4.c) 8 K, (.3.4.d) K, (.3.4.e) les conranes de non-négavé des varables où c ( w ) es une foncon convexe e lnéare ar morceaux rerésenan les eres encourues à la dae du fa d'un découver, g rerésene le aux d nérê qu es crédé sur les olces + d assurances duran la érode [, +], v rerésene le surlus à la dae, w rerésene le découver fnancer à la dae, x N es la valeur au marché de l acf N à la dae, + + F rerésene le flux d enrées d argen duran la érode [, +] I rerésene les aemens en nérês duran la érode [, +], L rerésene la valeur des assfs à la dae,, P + rerésene le aemen du rncal de la dee duran la érode [, +], RI son les rendemens d nérês aléaores de l acf N duran la N + érode [, +], RP son les gans aléaores de caal de l acf N duran la érode N + [, +] e V es la valeur de l enrerse à la dae calculée comme éan la somme des acfs. Tou d abord, (.3.4.a) corresond à la maxmsaon de la valeur fnale de l enrerse ou en mnmsan les eres encourues ar les découvers fnancers, (.3.4.b) rerésene les conranes budgéares, (.3.4.c) exrme les relaons d accumulaon d acfs, (.3.4.d) modélse les conranes de découver sur le revenu e fnalemen que (.3.4.e) ndque les relaons d accumulaon des assfs. Avec une foncon objecf lnéare e un ensemble de conranes lnéares, on rouve la soluon ar dfférens algorhmes raan des roblèmes lnéares de grande alle.

25 9 L aroche du modèle de Russell-Yasuda Kasaï nfluence grandemen le monde de la recherche avec une défnon avan-gardse e réalse de la mesure de rsque our des roblèmes de geson de l acf e du assf. En effe, Mulvey [] ulse cee même défnon afn de consrure un modèle fondé sur quelques scénaros rerésenafs ayan our bu la maxmsaon l esérance de l ulé du surlus à la fn de l horzon. Dans ce conexe, le erme surlus rerésene la dfférence enre les gans sur les acfs e la valeur acuelle des aemens sur les assfs. L aueur suose que l nvessseur (ou le gesonnare) es raonnel e que sa foncon d ulé fa are de la classe des foncons soélasques. Afn de résoudre ce modèle, Mulvey ulse conjonemen le «Progressve Hedgng Algorhm» ans que les echnques de résoluon sur un réseau elles que celles menonnées dans l arcle de Mulvey e Vladmrou [] our résoudre chaque sous-roblème (vor sous-secon.3.)..3.5 La noon d arbrage au sen des modèles de geson de l acf e du assf Un asec moran de la héore fnancère, so la noon d arbrage, es raquemen gnoré dans chacun des modèles résenés jusqu'à résen. On aelle arbrage la ossblé our un nvessseur de réalser un gan eséré osf sans mse de fonds nale e sans rsque. Klaassen [] démonre que s les rx fuurs des acfs séleconnés son els qu l y a arbrage, alors la olque de décson omale eu résener des bas subsanels. Dans un arcle subséquen de Klaassen [3], un roblème d aaremen de l acf e du assf es rerésené ar un modèle mul-érodes dynamque sochasque où l ncerude es caracérsée ar un ensemble de scénaros. Touefos, afn de consrure un arbre d événemens sans arbrage, l aueur ulse la caracérsaon suvane our le rx fuur de chaque acf, de chaque éa n e de chaque érode d échange,..., T : + / n n n / n n n, P π / + ( S, + + D, + + n S ) n / n où π es la robablé rsque-neure de asser de l éa n à l éa + n D, + es le dvdende versé à la fn de la érode + de l acf s + l éa n se réalse, P es le rx de l acf sans rsque à l éa n à la dae, n + n,

26 S n, es le rx ex-dvdende de l acf à l éa n à la dae e + n + S, + es le rx ex-dvdende de l acf à l éa n (successeur de n) à la dae +. Ceendan, afn de rendre le modèle lus smle à résoudre, Klaassen résene deux formes d agrégaon. La forme de l arbre d événemens orgnal es : Fgure 6. Cee fgure rerésene un arbre d'événemens sans aucune agrégaon. La remère forme d agrégaon roosée ar l aueur es celle sur les éas. On observe les modfcaons suvanes de l arbre d événemens lorsqu on effecue cee ransformaon à la dae : Fgure 7. Cee fgure rerésene un arbre d'événemens avec une agrégaon sur les éas à. j j j+ j j où D, π D + π ) D, j e, j, (, j j+ j j P π P + π ) P, j e e j ( j j+ j j S, π S + π ) S, j e., (,

27 Parellemen, on eu agréger à la dae à arr du résula récéden : où Fgure 8. Cee fgure rerésene un arbre d'événemens avec une agrégaon sur les éas à. D P S, π D, + ( π ) D,, π P + π ) ( P e +., π S, ( π ) S, Afn de conserver les rx des acfs à la dae sans arbrage, la robablé do êre rsque-neure e défne ar π ( π P ) P. / La seconde forme d agrégaon suggérée ar Klaassen es celle sur les érodes. On observe les changemens suvans de l arbre récéden lorsqu on effecue cee ransformaon à la dae : où Fgure 9. Cee fgure rerésene un arbre d'événemens avec une agrégaon sur les érodes à. D, P D,, P P P, π π e S, D, + P ( ( D, + S, ) + ( π )( D, + S, )) π. Une fos les agrégaons effecuées sur l arbre des événemens, l es alors ossble de résoudre le modèle rédu en ulsan les echnques usuelles de la rogrammaon sochasque. La soluon donne alors la olque omale d nvesssemen à suvre lorsque l on consdère le conexe d un roblème

28 d aaremen de l acf e du assf où l arbre des scénaros n adme as d arbrage. Dans cee secon, on eu observer la résence d une hyohèse fore osée ar ous les aueurs menonnés. En effe, ls résumen une connassance arfae de la dsrbuon de robablé des éas fuurs. Cerans aueurs comme Mulvey e Vladmrou, Danzg e Infanger, Brod, Korhonen, ceux du cas de Russell-Yasuda Kasaï e Klaassen consdèren quelques scénaros rerésenafs e leurs assocen une robablé d occurrence. S le roblème es el qu'l es sensble à ces robablés, alors fonder une sraége d'nvesssemen sur cee esmaon es rsqué e eu-êre naroré.

29 3. Aroche mnmax dynamque sochasque Afn de relaxer l hyohèse d une connassance arfae de la dsrbuon de robablé des événemens fuurs, Breon e El Hachem [,], Duacova [8] e Zackova [8] roosen l aroche du mnmax dynamque sochasque. Dans ce chare, on nrodu l'aroche du mnmax dynamque sochasque our ensue résener une méhode qu erme d'obenr une soluon à cee aroche. 3. Le modèle du mnmax dynamque sochasque Dans cee secon, on résene ou d'abord une formulaon d'un modèle d'omsaon lnéare dynamque sochasque. Ensue, le conce d nformaon sasque ncomlèe es nrodu our fnalemen ermner ar la résenaon d'une formulaon du modèle du mnmax dynamque sochasque. 3.. Une formulaon d'un modèle lnéare dynamque sochasque So un modèle lnéare dynamque sochasque don l'ensemble des scénaros es S e ayan des éaes dscrèes de décsons, K, T : f () x f ( x ) ( s ( s ), K T s S ( ) f ( x ) s s s S, où x s corresond au veceur de décsons rses à la dae sous le scénaro s, f es la foncon objecf (que l'on va suoser lnéare) s le scénaro s se réalse e f x es le veceur des foncons objecfs our ous les scénaros. ( ) s x s () De manère générale, on consdère alors le roblème : Max x D, f () x où, corresond au rodu scalare enre deux veceurs, es le veceur ( s ) s S des robablés de réalsaon de chaque scénaro (ce veceur es donné),, f () x rerésene l'esérance mahémaque des foncons objecfs our ous les scénaros s e D es le domane réalsable du modèle (qu nclu les conranes de non-ancavé).

30 3.. Informaon sasque ncomlèe 4 Une descron arelle de la dsrbuon de robablé es souven modélsée ar des conranes du ye : α S g( s) dp( s) β (3...a) où S es l ensemble de ous les scénaros, g(s) es une foncon quelconque, P es la dsrbuon de robablé nconnue e α e β son des consanes réelles. L ensemble des conranes du même ye que (3...a) modélsan oue l nformaon dsonble défn une classe de dsrbuon de robablé aelée. Sous l hyohèse que le domane de es un ensemble connu S de cardnalé fne, une dsrbuon de robablé aarenan à eu êre denfée avec un veceur alors la forme : ( S ) Card R e les conranes modélsan l nformaon arelle rennen Card s ( S ) α g( s) β. Les conranes d égalés son modélsées en ulsan ordnales sur les robablés elles que : s s s, s + s s ou α s α β. Les relaons son modélsées en ulsan α e/ou β {,, + } e g s) {,,} s S (. Un chox judceux de g(s) erme d nrodure de l nformaon sur l esérance, la varance ou ou aure momen d ordre suéreur. Par exemle, s on ose g ( s) s alors on erme d nrodure de l nformaon sur l esérance. Il es ceendan néressan de noer que oues les conranes son lnéares en. Dans une formulaon ar scénaros, les conranes sulémenares suvanes doven êre ajouées à la lse de celles modélsan l nformaon dsonble : s S e s S. (3...b) s Pusque l nformaon arelle es donnée ar des conranes qu son lnéares en e que les conranes (3...b) assuren que les varables son bornées, alors la classe es défne ar un domane olyédral borné. s

31 3..3 Formulaon du mnmax dynamque sochasque 5 D'arès la formulaon récédene du modèle d'omsaon dynamque sochasque e en sachan que l on a une connassance arelle de la dsrbuon de robablé, une écrure ossble du modèle du mnmax dynamque sochasque es : Mn Max, f x D () x (3..3.a) Cee dernère ndque que le décdeur veu maxmser l'esérance mahémaque des foncons objecfs de ous les scénaros ar raor aux varables de décson alors que la naure cherche à mnmser cee esérance maxmale ar raor à la classe qu décr l'nformaon arelle sur la dsrbuon de robablés des éas fuurs déenue ar le décdeur. Il s'ag donc d'un jeu conre la naure. Pour ou coule f ( x) es oujours resecée :,, s le mnmum e le maxmum exsen, l'négalé suvane Mn, f ( x), f ( x) Max, f () x. x D La soluon ( ), x de (3..3.a) sasfa : Mn, f ( x ), f ( x ) Max, f () x (3..3.b) x D e es alors ar défnon un on de selle de la foncon, f () x. La consrucon du mnmax dynamque sochasque s'aarene à celle de la dualé Lagrangenne. En effe, cee dernère ene de rouver un veceur de mullcaeurs m λ R mnmsan le maxmum de la foncon de Lagrange L ( x,λ) qu es lnéare ar raor à λ. Touefos, le mnmax dynamque sochasque lnéare en exge que m + R. 3. Un algorhme de résoluon Dans cee secon, on résene dans un remer ems un algorhme qu rouve une soluon du roblème du mnmax dynamque sochasque. Par la sue, on dscue de la comlexé de ce algorhme our fnalemen ermner la secon avec un smle exemle llusran la méhode.

32 3.. Algorhme de résoluon 6 Pour le roblème Mn Max, f () x H x D ( ) Max, f ( x). La foncon ( ) x D, on cherche à résoudre H ( ) Mn s on ose H ndque commen change la valeur omale de l'esérance mahémaque des foncons objecfs de ous les scénaros lorsqu'l y a un changemen du veceur de robablé. Prooson : La foncon ( ) H es convexe, lnéare ar morceaux e nondfférenable. Démonsraon :. La foncon H ( ) es convexe : So H, quelconques e our θ [, ] ( θ + ( θ ) ) Max θ + ( θ ), f ( x) θ + ( ), f ( x), l exse un x el que θ x D Max, f x, f x H, f x x D x D ( ) ( ) ( ) H Max, f Alors, on rouve : θ H ( ) + ( θ ) H( ) θ, f ( x) + ( θ ), f () x θ f x +, f x. Or, e ( ) ( ) ( x) θ, ( ) ( θ ) ( ) + ( θ ), f ( x) ( θ + ( θ ) ) H.. La foncon H ( ) es lnéare ar morceaux : La foncon H ( ) es lnéare ar morceaux usque le roblème Max, f () x x D ossède un nombre fn de bases e que our chacune de ces bases, la valeur de, f x vare lnéaremen en foncon de. () 3. La foncon ( ) H es donc non-dfférenable aux ons de joncons de ses morceaux lnéares.. Afn de résoudre le mnmax dynamque sochasque, on eu envsager l ulsaon des ouls usuels de l'omsaon convexe non-dfférenable. Parm eux, la méhode des lans sécans es celle que l'on a séleconnée. Cee dernère consse à arocher ar une famlle d'hyerlans angens l'égrahe de la

33 foncon H ( ). Plus arculèremen, cee echnque suose qu'en ou on on sache calculer un sous-graden γ fasan are du sous-dfférenel H ( ). S en un on quelconque la foncon es dfférenable, alors le sousdfférenel se résume à un seul on : le graden de la foncon H ( ) ar raor à (qu décr alors arfaemen la foncon localemen usqu elle es lnéare ar morceaux). 7 Par défnon, un sous-graden γ de la foncon convexe H ( ) au on es el que ( ) ( ) ( ) T H H +, γ. Pour ou on de non-dfférenablé, un sous-graden ossble es ( ) remarque dans ce cas que : H f où x arg Max f () x. En effe, on x, x D ( ) + ( ), f ( x ), f ( x ) + ( ), f ( x ), f ( x ) +, f ( x ), f ( x ), f ( x ) Max, f x D H ( ). () x On dénoe ar Ĥ ( ) la foncon qu aroche graduellemen H ( ) des lans sécans s'écr :. L'algorhme Algorhme des lans sécans ( Éae : Chosr ) e lasser k. k Éae : Trouver x ( ) arg Max f x. Éae : Trouver, k x D ( k + ) arg Mnθ,θ ( ) ( ( )) ( ) () s.c., Éae 3 : S f x ( k ) f x k alors c'es ermné. Auremen, k k + e reourner à l'éae. ( x ( )) θ ( x () ) θ, f,, f, M ( x ( k ) ) θ ( x ( k )) θ, f e, f.

34 8 À l'éraon k, on résou à l'éae le roblème d omsaon dynamque sochasque sandard ( k ) ( ) H où ( k ) es le veceur de robablé rouvé à l'éraon récédene. À l'éae, on ajoue d'abord un hyerlan sécan à la foncon H ( ) au on ( k ) améloran ans la descron ( ) Ĥ e on rouve ensue un nouveau veceur de robablé ( k + ) qu mnmse la foncon Ĥ ( ), c es-à-dre qu mnmse la foncon décre ar l ensemble des hyerlans que l on ajoue graduellemen. Fnalemen, à l'éae 3, on vérfe le crère d'arrê. S'l n'es as sasfa, on ncrémene k e on reourne à l'éae. Le crère d'arrê chos ndque que s deux éraons successves génèren le même sous-graden alors l n'y a lus d'améloraon au nveau de la recherche du veceur de robablé. En effe, s ce algorhme génère un nouvel hyerlan alors c'es qu'l a rouvé une melleure soluon ( k +) au roblème Mn Hˆ ( ). Dans ce cas, la convergence de l'algorhme des lans sécans es fne usque la foncon H ( ) es lnéare ar morceaux. En effe, l es ceran que cee méhode converge en un nombre lmé d'éraons à cause du nombre fn de sommes du olyèdre D. Lorsque l'on ulse un algorhme où des conranes s'ajouen rogressvemen, comme dans l'éae de l'algorhme des lans sécans, on eu envsager d'ulser l'algorhme smlexe-dual ce qu es équvalen à la echnque de généraon de colonnes. En effe, l'ajou de conranes dans le roblème rmal corresond à l'ajou de colonnes dans le roblème dual. À une éraon k donnée, ce roblème dual don la soluon omale es le veceur varables ( ν,λ ) es : Mnθ s.c., θ, f, f ( x ( )) ( x ( k )) Problème Prmal M Max b u, λ θ θ T ν s.c. A T Card λ j k ( x ) ( S ) m () λ ν + (, K, k) ν so ou ou lbre Problème Dual k f λ ( j, K, m)

35 où la marce A m Card ( S ) défn l'ensemble des conranes lnéares en modélsan, le veceur b rerésene le membre de droe corresondan à celu qu modélse e le sens de la varable v j es déermné ar le sens de la conranes corresondanes dans le roblème rmal. La rooson suvane monre que K 9 K, λ x () es un on de selle (c'es-à-dre qu sasfa la condon (3..3.b)) e ar conséquen une soluon du mnmax dynamque sochasque. Prooson : Lorsque l'algorhme des lans sécans s'arrêe à l'éraon K, une K K soluon du mnmax dynamque sochasque es, λ x () où λ es la varable duale omale assocée à la -ème coue. Démonsraon :. λ : K K K K sasfa, f x () Max, f () x x D Lorsque l'algorhme des lans sécans s'arrêe, cee condon es sasfae mlcemen à l'éae. K. x () K K K λ sasfa, f λ x () Mn, f λ x () : Dans un conexe de dualé Lagrangenne, lorsque l'algorhme des lans sécans s'arrêe, s on dualse les K conranes corresondan aux hyerlans qu décrven H alors le Lagrangen du roblème rmal de l'éae s'écr : ( ) L K ( ( ) ) ( λ ) θ λ, f x (), θ où λ es un veceur de mullcaeur de Lagrange. Pusque le roblème rmal es lnéare en alors l exse un on de selle,λ résolvan ce Lagrangen (Mnoux [9]) qu sasfa la condon suvane : ( ) L K ( ) Mn θ λ, f x () ( ( ) ), λ θ.

36 Ceendan, l'équvalence suvane es vrae our ou : K λ K (, f ( x () ) θ ), f x λ () K, λ f ( x () ), f K K ( ) λ ( θ ) θ λ x () θ car f es lnéare 3 K K K ce qu erme de dre que, f v x () Mn, f v x (). 3.. Comlexé de l'algorhme So n e m le nombre de varables e conranes de D, alors le nombre d'éraons à effecuer our décrre la foncon H ( ) corresond au nombre de n ons exrêmes sur le olyèdre D qu es ou au lus α C m. Ceendan, à chaque éraon k on do rouver dans un remer ems le maxmum de la foncon ( ) f () x k n, ar raor à x ce qu requer ou au lus α C m éraons e dans un second ems, l fau obenr le mnmum de la foncon Ĥ ( ) qu exge un maxmum de α éraons lorsque n e m son k n k C + m resecvemen le nombre de varables e conranes de. Au oal, l'algorhme des lans sécans effecue au lus ( α) α + α éraons du smlexe. Par alleurs, l es ossble de chosr une aure aroche équvalene qu consse à décrre graduellemen ar des hyerlans la foncon G() x Mn, f () x afn de consrure la foncon Ĝ () x e à ensue rouver Max Gˆ () x x D. Dans ce cas, l'algorhme exécue un nombre maxmal de ( α ) α + α éraons du smlexe k n k où α C + m. En foncon des nombres n, n, m e m, on chos l'aroche ayan le nombre d'éraons maxmal le lus e.

37 3..3 Un exemle numérque smle 3 So le roblème d'omsaon :, x, y D { ( x + 5y) + ( 4x + y) } Mn Max où D {( x, y) x + y ; x e y } e {( ) + ; e }, qu consse à rouver la réaron omale d'un nvesssemen dans deux, s le véhcules de lacemens our la re dsrbuon de robablé ( ) budge nal es de $. L'alcaon de l'algorhme des lans sécans es : Éae : Le veceur nal ( ) ( ) (.5,.5) es chos e k., Éae : x ( ) arg Max(.5x + 3.5y) x ( ) ( x, y ) (,). x, y D Éae : Mnθ, s.c. (, ) + 4 θ,, () ( ) ( ). Éae 3 : Claremen, le crère d'arrê n'es as sasfa. Alors k e on reourne à l'éae. Éae : x () arg Max( 4x + y) x () ( x, y ) (,) x, y D. Éae : Mnθ, s.c. (, ) + 4 θ 5 + θ,.3,.6 ( ) ( ) ( ). Éae 3 : Claremen, le crère d'arrê n'es as sasfa. Alors k e on reourne à l'éae. Éae : x ( ) arg Mn( 3x + 3y) x ( ) ( x, y ) (,) x, y D es chos mas on remarque qu'l y a une nfné de soluons omales à ce roblème. Éae : La même chose que l'éae récédene. Éae 3 : Le crère d'arrê es sasfa alors on arrêe. Les varables duales v, v.5,.5 e alors : omales son ( ) ( ) x v x ().5 (,) +.5 (,) ( 5,5).

38 Alors (, x ) (.3,.6)(, 5,5) ) sasfa les condons d'un on de selle. 3 Grahquemen, on observe que l'algorhme génère les deux hyerlans qu son angens à la foncon H ( ) H ( ) Max{ ( x + 5y) + ( 4x y) }, + x, y D : 6 4 Foncon Objecf Deuxème Probablé Premère Probablé Fgure. Grahe de la foncon H(). Ic, le domane olyédral es el que la somme des robablés do êre e alors on es néressé aux ons de H ( ) don le domane es la lgne +. En ce qu concerne le roblème de la réaron omale, l'ensemble des robablés de H ( ) lorsque qu se rouve sur le remer hyerlan (celu le lus à gauche) déermne la soluon omale x (,) ands que l'aure oron de H ( ) quand qu se rouve sur le second hyerlan (celu le lus à droe) denfe la soluon omale x (,). Le on mnmsan la foncon H ( ) es celu qu se rouve exacemen à l'emlacemen de la cassure e corresond à (.3,.6).

39 4. Modèle de geson de l acf e du assf Dans ce chare, on résene le modèle lnéare de geson de l'acf e du assf ayan des éaes dscrèes de décsons qu es ulsé dans le cadre de l'alcaon du mnmax dynamque sochasque e don la formulaon s'aarene à celle de Russel-Yasuda Kasaï (vor secon.3.4). L'nérê de cee modélsaon découle de la défnon de la foncon objecf qu es comosée de deux ares rncales: la remère es l'esérance de la valeur fnale du orefeulle d'acfs e la seconde rerésene des foncons de énalés asymérques, lnéares ar morceaux e convexes (c'es-à-dre que ces énalés son d'auan lus élevées que les volaons aux conranes d aaremen e de rendemen cble son grandes). Il conven de noer que l'ulsaon de conranes «dures» d'aaremen de l'acf e du assf dans un el modèle eu occasonner un manque à gagner au nveau du gan du orefeulle d'acf, en ne ermean aucune dévaon, ce qu oblge à une geson exrêmemen rudene. Incdemmen, la remère foncon de énalé consse à éver les coûs de réorgansaon engendrés ar des roblèmes d'aaremen de l'acf e du assf. En ce qu concerne la seconde foncon de énalé, elle ene d'amondrr les dévaons nféreures du rendemen du orefeulle d'acfs ar raor à une cble réalablemen défne. C es cee deuxème énalé qu rae l'aude face au rsque des gesonnares du orefeulle. L'ensemble des déals relafs au modèle concernan les hyohèses, les aramères, les données e la modélsaon du assf acuarel se rouve dans les mémores de Velleux (998) e Ahnard (997). En omean les conranes de non-ancavé (à la résoluon, ces conranes son raées mlcemen ar nomnaon de varables, c es-à-dre que les varables qu doven êre égales oren le même nom) e de non-négavé, le modèle général s'écr : Il es ouefos moran de consaer que l aroche du mnmax dynamque sochasque eu auss êre alquée a ou aure roblème de geson de orefeulle.

40 Max r s3 s s S 3 s ( D w + D w + E v + E v ), s s.c. x, s XIN ( + F ) z ( ),,,3,4, 5, + F y, s s x, s M ( ) ( ),,,3,4, 5, x, + F z, + F y, s s s s x M x ( + F ) z + ( F ) y,,,3,4, 5, s, s, s (3..a) (3..b) (3..c), s, s, s, s, s, s M, 3, x s 3, s (3..d) x,,3,4,5 (3..e) 5 x, s INITIAL, (3..f) 5 y, s z, C Q, s s s,, (3..g) 5 x, s + w, + w, L, s s s,,,3 (3..h) 5 x, s + v, + v, INITIAL(.6), s s,,, 3 (3..) 5 x, s r 3 s (3..j) où s es la robablé de réalsaon du nœud à la dae our le scénaro s, r s es la valeur (M$) de la rchesse fnale our le scénaro s, v,s es la dévaon (M$) nféreure du rendemen obenu, d'un monan nféreur à M$, à la dae our le scénaro s, v,s es la dévaon (M$) nféreure du rendemen obenu, d'un monan suéreur à M$, à la dae our le scénaro s, w,s es la oron (M$) du défc acuarel nféreure à.5m$ à la dae our le scénaro s, w,s es la oron (M$) du défc acuarel suéreure à M$ à la dae our le scénaro s, x, es la valeur (M$) oale de l'acf à la dae our le scénaro s, s s s y, es la valeur (M$) de l'acha de l'acf à la dae our le scénaro s, z, es la valeur (M$) de la vene de l'acf à la dae our le scénaro s, C s es le monan (M$) oal des cosaons erçues à la dae our le scénaro s, D es la ondéraon de la foncon de énalé du rsque de défc acuarel à la dae, our les défcs nféreurs à.5m$, D es la ondéraon de la foncon de énalé du rsque de défc acuarel à la dae, our les défcs suéreurs à.5m$, E es la ondéraon de la foncon de énalé du rsque de rendemen cble à la dae, our les défcs nféreurs à M$, 34

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