Sous la direction de : Michel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER

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1 PROGRAMME 0 Sous la diretion de : Mihel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER Jean-Louis BONNAFET René GAUTHIER Yvette MASSIERA Denis VIEUDRIN Jean-François ZUCCHETTA

2 Sommaire CHAPITRE CHAPITRE CHAPITRE CHAPITRE CHAPITRE 5 CHAPITRE 6 CHAPITRE 7 CHAPITRE 8 CHAPITRE 9 CHAPITRE 0 CHAPITRE CHAPITRE Le seond degré... Étude de fontions... 6 Dérivation... 7 Appliations de la dérivation... 5 Les suites numériques... 6 Géométrie plane Trigonométrie... 9 Produit salaire... Appliations du produit salaire... Statistiques... 9 Probabilités : variables aléatoires Loi binomiale et appliations Bordas/SEJER, Paris 0 ISBN :

3 CHAPITRE Le seond degré A Le programme Contenus Capaités attendues Commentaires Seond degré Forme anonique d une fontion polynôme de degré deux. Équation du seond degré, disriminant. Signe du trinôme. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fontion polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : développée, fatorisée, anonique. On fait le lien ave les représentations graphiques étudiées en lasse de Seonde. Des ativités algorithmiques doivent être réalisées dans e adre. B Notre point de vue Nous avons hoisi de ommener le livre par e hapitre onsaré au seond degré, ar il fournit des méthodes et des outils que l on pourra réutiliser dans les hapitres suivants. Après deux paragraphes onsarés à la résolution d équations et d inéquations du seond degré, le dernier paragraphe reprend e qui a été vu en Seonde : la forme anonique d une fontion polynôme du seond degré fournit les oordonnées du sommet de la parabole représentant ette fontion, le oeffiient indique dans quel sens est tournée la parabole. La forme anonique permet ainsi de dresser le tableau de variation d une fontion du seond degré. C est pour ette raison qu il nous a semblé inutile de proposer dans e hapitre des démonstrations algébriques du sens de variation d une fontion du seond degré. Il nous semble que nous avons ainsi suivi e que préonisent les programmes «On fait le lien ave les représentations graphiques étudiées en lasse de Seonde». Les shémas et légendes qui figurent à la page donnent un résumé omplet et argumenté des différents as possibles. Dans les exeries que nous proposons, lorsqu il est question de déterminer les variations d une fontion du seond degré, de herher son maximum ou son minimum, nous onsidérons que es informations se déduisent de la forme anonique et des indiations qu elle fournit sur la parabole représentant la fontion en question. Nous avons veillé à proposer des exeries dans lesquels la réponse n est possible que si «l on hoisit la forme adéquate» de la fontion du seond degré. Des exeries demandent expliitement d utiliser la alulatrie ; est bien sûr un outil de vérifiation pour la résolution d équations ou d inéquations, mais elle peut aussi aider l élève à omprendre pourquoi ertaines tehniques sont fausses (par exemple, diviser les deux membres d une égalité par une expression ontenant la variable) pare e qu il trouve est en ontradition ave e qu il peut lire sur l éran de sa alulatrie. L utilisation d un logiiel de géométrie dynamique est préonisée dans ertains exeries pour onjeturer des propriétés ou déterminer des ensembles de points. Chapitre Le seond degré

4 Nous avons également veillé à proposer quelques exeries qui font intervenir la logique (proposition direte, réiproque ou ontraposée), d autres dans lesquels il faut érire et faire fontionner des algorithmes. Les deux TP qui figurent à la fin de e hapitre utilisent divers outils TICE : alulatries, logiiel de alul formel et tableur. Les notions abordées dans le hapitre. Équations du seond degré. Fatorisation et signe d un trinôme. Représentation graphique d une fontion polynôme du seond degré C Avant de ommener Se tester ave des QCM C ; B ; A ; C ; 5 B et C ; 6 C et D ; 7 C. Se tester ave des exeries 8 a. A(x) = x(6x 5). b. B(x) = (x ).. C(x) = (x 7)(x + ). 9 a. x = 0 ou x = 5. b. x = 7.. x = ou x =. d. x = 5 ou x =. e. x = et x = 9. f. Pas de solution. 0 a. 6 ;. b. ] ; 0[.. ] ; ] [ 8 ; + [. a. f est déroissante sur ] ; 0] et roissante sur [0 ; + [. b. g est roissante sur ] ; 0] et déroissante sur [0 ; + [.. h est déroissante sur ] ; ] et roissante sur [ ; + [. d. k est déroissante sur ] ; ] et roissante sur [ ; + [. D Ativités Ativité La méthode d Al-Khawarizmi Cette ativité a pour but d introduire la forme anonique en proposant une méthode attribuée à Al- Khawarizmi.. L aire du arré est (x + 5) ou enore x + 5x + 5x + 5, soit x + 0x + 5. On obtient : x + 0x = (x + 5) 5. Comme par hypothèse, x + 0x = 9 alors on peut érire : 9 = (x + 5) 5, soit (x + 5) = 6. Ainsi x + 5 = 8 ou x + 5= 8. Les deux solutions sont et.. a. x + x = 5 si (x + 6) 6 = 5, soit (x + 6) = 8. On obtient ainsi x + 6 = 9 ou x + 6 = 9, soit deux solutions et 5. b. x + x = (x + ) = (x + ) 6. Ainsi x + x = 0 si (x + + 6)(x + 6) = 0, soit (x + 8)(x ) = 0. Les deux solutions sont 8 et. Ativité Observation de paraboles Cette ativité a pour but d introduire le disriminant d un polynôme f du seond degré et de montrer le lien entre le signe de Δ et le nombre de solutions de l équation f (x)= 0. Ii on utilise la alulatrie pour visualiser le nombre de solutions, qui sont les absisses des points d intersetion de la parabole représentant f ave l axe des absisses. a b Δ N f(x) 5 6 g(x) h(x) k(x) j(x) 8 8 0

5 Ativité Ave des polynômes du seond degré Les élèves savent maintenant déterminer la forme anonique d un polynôme du seond degré. On se propose ii d établir que l on peut ainsi, dans ertains as, en déduire la forme fatorisée de e polynôme et étudier son signe.. f (x) = (x + ) = (x + 5)(x + ). À l aide d un tableau de signes, on en déduit que f (x) est positif si x 5 ou x, négatif si x est ompris entre 5 et.. g (x) = (x ) + 6 = ( + x )( x + ), soit g (x) = (x + )( x + 7) = (x + )(x 7). On en déduit que g (x) est positif si x ompris entre et 7, négatif si x ou x 7.. h (x) = (x + ), don h (x) est positif ou nul pour tout réel x.. k (x) = (x + ) +. On peut en déduire que k (x) est stritement positif pour tout réel x. Ativité Des paraboles qui hangent de forme Fihiers assoiés sur : 0S_ativitea.ggb, 0S_ativiteb.ggb et 0S_ativite.ggb (Geogebra). Dans haun des as, on a réé un urseur qui permet d animer la figure et de onjeturer les résultats que l on va ensuite démontrer. E Exeries POUR DÉMARRER. Équations du seond degré : a, d, e. a. f (x) = x + 6x 9. a =, b = 6, = 9. b. f (x) = x + x + 8. a =, b = et = 8.. f (x) = 6x² + x, a = 6, b = et =. d. f (x) = 8x x 5, a = 8, b = et = 5. e. f (x) = x 6x 5, a =, b = 6 et = 5. f (x) = (x + ) ; g (x) = (x ) 6 ; h (x) = (x + 6) ; k (x) = (x ) +. f (x) = (x + ) ; g (x) = (x ) + 6 ; h (x) = (x + ) + 7 ; k (x) = (x + ) 6. 5 a. 6 ; b. 9 ;. 9 ; d. ; e. ; f a. et ; b. et ;. et ; d. 0 et 9 ; e. L équation n a pas de solution. 7 a. pas de solution b. et 0. 7 d. 9 et 5 e. 5 et + 5. L objetif est d établir le lien entre la parabole et les oeffiients a, b et de la fontion polynôme assoiée. Cette ativité permet d introduire le dernier paragraphe du ours et de visualiser les propriétés qui vont être présentées. Nous proposons aussi sur le site un fihier Geogebra et un fihier Geoplan regroupant les ourbes : 0S_ ativite.ggb (Geogebra)et 0S_ativite.gw (Geoplan).. Lorsque varie, les paraboles se «déplaent vertialement». En effet, les sommets de es parabole ont tous la même absisse x =. Les sommets des paraboles appartiennent à la droite d équation x =.. Lorsque b varie, les paraboles se déplaent en gardant la même forme ; elles sont toutes tournées vers le haut, onservent le même éartement. Elles oupent deux fois l axe des absisses lorsque b ou b ; elles sont tangentes à l axe des absisses lorsque b = ou b =. Pour b ompris entre et, elles ne oupent pas l axe des absisses. Elles passent toutes par le point de oordonnées (0 ; ).. Lorsque a varie, les paraboles hangent de forme. Lorsque a est positif, elles sont tournées vers le haut ; lorsque a est négatif, elles sont tournée vers le bas. Elles passent toutes par le point de oordonnées (0 ; ). Si a, elles oupent deux fois l axe des absisses. Si a, elles ne oupent pas l axe des absisses. Si a =, la parabole est tangente à l axe des absisses. 8 On résout l équation n(n + ) = 70, soit n + n 70 = 0. Les entiers onséutifs sont 6 et 7 ainsi que 7 et 6. 9 A(x) = (x + ) ; B(x) = x(x + ) ; C(x) = (x 5)(x + ) ; D(x)= (x + 7)(x + ). 0 E(x) = (x )(x + 9) ; F(x) = x + (x ) ; G(x) ne se fatorise pas ; H(x) = (x 5)(x + 5). f (x) est positif ou nul si x 6 ou x, négatif sinon. g (x) est toujours stritement positif. h (x) = (x + ) don toujours positif, nul pour x =. j (x) est positif ou nul si x ou x 0, négatif sinon. f (x) est positif ou nul si x ou x, négatif sinon. g (x) est toujours stritement positif. h (x) est positif ou nul si x ou x, négatif sinon. a. x 0 ou x. b. Pas de solution.. Pas de solution. a.. b. x ou x x 0. Chapitre Le seond degré 5

6 5 Le oeffiient de x est positif ; le disriminant est positif. 6 f est représentée par, g est représentée par. 7 f est déroissante sur ] ; ] et roissante sur [ ; + [. La parabole représentant f a pour sommet le point S( ; 9). 8 La parabole représentant f a pour sommet le point S( ; ). f (x) = 0 si x = ou x = 5. POUR S ENTRAÎNER 9 a. f (x) = 6(x + ) ; b. g (x) = (x ) + 8 ;. h( x) = x ; d. j (x) = 5(x ) +. 0 a. f (x) = x ; b. g (x) = x + 8 ;. h (x) = 8 x ; d. j (x) = x a. (x) = x + ; b. g (x) = 9(x ) + ;. h( x) = x + ; d. j (x) = (x + ) + 8. a. Δ = 5 ; b. Δ = ;. Δ = 97 ; d. Δ = 7. a. Δ = 5 ; b. Δ = 80 ;. Δ = 0 ; d. Δ = 7. a. et 5 ; b. 0 et 6 ;. et 5 ; d. 0 et 7 ; e. Pas de solution. 5 a. et 7 ; b. 8 et 9,. et ; d. Pas de solution ; e. et. 6 a. ; b. 5 et 5 ;. Pas de solution ; d. 7 ; e. 5 et a. et ; b. 9 et ;. Pas de solution ; d. 0 et 6 ; e. 0 et a. et + ; b. 0 et 5 ;. Pas de solution ; d. et 7 ; e. et 9. 0 a. 9 et 5 ; b. 7 a. 8 et 7 9 ; b. 9 5 d.. et et ;. et ; 6 Algorithme : Saisir a, b, Affiher α = b a Affiher β = b a a Les solutions de l équation sont et +. Ave la ommande Solve on obtient deux valeurs approhées de es solutions :,05 et 0,0. Après transformation, on obtient : x x + 0 = 0. Solutions : et 6 6. Ave Solve :,09 et 0,9. 5 x + x + = 0, soit (x + ) = 0. Solution :. 6 Les équations a. et. ont les mêmes solutions. 7 L autre solution est 5. 8 =. L autre solution est. 9 Δ = 9 6a, don si a = l équation admet une unique solution : 6. 0 Δ = 69 a, don l'équation a deux solutions distintes si a 69. Δ = b 0, don l équation n a pas de solution si 5 b 5. Δ = b + toujours stritement positif, don il y a toujours deux solutions. Δ = +, don Δ 0 si. Algorithme : TI même programme ave «prompt» pour rentrer des valeurs et «disp» pour affiher Saisir a, b, d prend la valeur b a si d 0 alors affiher «pas de solution» si d = 0 alors affiher «une solution» si d 0 alors affiher «deux solutions» Fin si CASIO? A? B? C B^ A C D If D 0 Then «pas de solution» Else If D = 0 Then «une solution» Else If D 0 Then «deux solutions» If end 5 a. L énoné est faux, on le prouve à l aide d un ontre-exemple : x + x et x + x 6 ont les mêmes raines mais sont deux polynômes distints. L énoné réiproque est «si deux polynômes sont égaux, ils ont les mêmes raines», vrai. b. L énoné est vrai, l énoné réiproque également. 6

7 6 a. Δ = b a, don si a et sont de signes ontraires, alors a 0 et Δ est positif. Don la proposition est vraie. b. La proposition réiproque est fausse, ontre exemple : l équation x 6x + 5 = 0 admet deux solutions ; pourtant a et sont de même signe.. Énoné de la ontraposée : «si l équation ax + bx + = 0 n a pas de solution, alors a et sont de même signe». Vrai ar si Δ = b a 0 alors a b et don néessairement le produit a est stritement positif, e qui signifie que a et sont de même signe. 7 Faux, la forme anonique est x Vrai, Δ = Vrai ar Δ 0 puisque a et sont de signes ontraires. 50 Faux. Par exemple : x + x et x + x 6 ont les mêmes raines. 5 On détermine les réels positifs x et y tels que : x + y = et xy = 5. On résout l équation : x( x) = 5 soit : x + x 5 = 0. On obtient : x = 5 et y = 9. 5 x + x = 58 soit x 58x + = 0. Les réels sont : 7 et 7. 5 x + x = 89 0 soit 0x 89x + 0 = 0. Les frations sont 5 8 et (a ) + a + (a + ) = 877 soit a = 65. Les entiers sont, 5 et (a ) + (a ) + a + (a + ) = (a + ) soit a 6 78 = 0. Δ = 8. La solution entière de ette équation est a = (l autre solution est ). Les entiers herhés sont don :,,, et On herhe les nombres positifs a et b tels que : a + b = 6 et a + b + a + b = 80. On est onduit à résoudre le système : a + b = 6 et a + b = (80 6) = 56. On pose b = 6 a, on obtient : a 6a + 80 = 0. Soit a = 6 ou a = 0. Les ôtés de e triangle mesurent : 6, 0 et. 57 On herhe a et b tels que : a + b = 58, on suppose a b alors ab + a = 8. On obtient : a(58 a) + a = 8 soit a 59a + 8 = 0. Les solutions de ette équation sont 6 et. Si a =, b = 6 e qui onvient. Si a = alors b = 7, e qui ne onvient pas. 58 Il faut résoudre l équation : 0 I 0 I + 00 = 0. Δ =. On obtient I = ou I = Le nombre n de partiipants est la solution positive n(n ) de l équation = 5. Soit n n 650 = 0. Δ = 60 et n = n(n ). a. Il faut résoudre l équation = n soit n 5n = 0. La solution qui onvient est n = 5. n(n ). b. Il faut résoudre l équation = 9, soit n n 8 = 0. La solution qui onvient est n = 6. n(n ).. Il faut résoudre l équation =, soit n n 868 = 0. La solution qui onvient est n =. 6 Il s agit de trouver deux réels a et b tels que : a + b = 5 et a + b = soit a + b = 5 et a + b = ab. En remplaçant b par 5 a, on obtient 5 = a(5 a) soit l équation : a a + 5 = 0. D où a = et b = Si n désigne le nombre de bans et p le nombre de personnes par ban, on a : np = 800 et (n 0)(p + ) = 800. En exprimant p en fontion de n, on obtient l équation : n 0n = 0. La solution qui onvient est n = 00. Il y a 8 personnes par ban. 6 Soit n le nombre de personnes devant se présenter et p la part de haun. L énoné se traduit par : np = 80 et (n 6)(p +,80) = 80. En exprimant p en fontion de n, on obtient l équation :,80n 8,8n 80 = 0 soit n 6n 75 = 0. La solution positive de ette équation est n = 5. 5 personnes devaient se présenter et haun devait reevoir 5,0. 6 Il s agit de résoudre l équation : 075 = n(n 5) + (n 0) soit n n 085 = 0. On obtient n = L équation se ramène à : x + 9x 7 = 0, solutions et. 66 On obtient : x 8x + 6 = 0 soit (x ) = 0, x =. x 67 Après rédution, on obtient : x x 88 = 0, 7x + 5 les solutions sont x = et x =. 68 Après rédution, on obtient 9x 50x 76 = 0, x 8 d où x = 8 ou x = On fatorise par x. Solutions x = 0 ou x = ou x =. 70 Les quatre solutions sont :, 5, et 7. Chapitre Le seond degré 7

8 7 En exprimant y en fontion de x, on obtient : x + (5 x) =, soit x = ou x =. Les ouples solutions sont : ( ; ) et ( ; ). 7 a. (x + )(5x ) ; b. Pas de fatorisation ;. Pas de fatorisation ; d. (x + 9) ; e. (x + )(5x ). 7 a. (x )(x ) ; b. ( x + )(x 9) ;. Δ = 59, les raines sont 789 et d où la fatorisation (x x )(x x ) ; d. (x )(x 6) ; e. (x 6)(x 8). 7 a. Pas de fatorisation ; b. (x 5) ;. Pas de fatorisation ; d. x + ; e. (7x 5)( x + 9). 75 (x )(x ). 76 (x 6). 77 x² x 0 ou x 6x (x )(x ) = (x x + ). 79. f (x) = (x )(x + ).. (x )(x + ) = (x )(x + 9), soit (x )( x ) = 0. Les solutions sont x = et x =.. et. La alulatrie montre que l équation f (x) = (x )(x + 9) a deux solutions ar les ourbes représentatives des deux fontions se oupent deux fois. Cela peut aider les élèves à omprendre que si l on simplifie par (x ) l équation (x )(x + ) = (x )(x + 9) on oublie une solution. Cet exerie a pour but de les aider à remettre en ause ette proédure qui onduit à une erreur. 80 L exerie repose sur la même idée. 7x 6x 6 = (x )(7x + 8). La alulatrie montre que l équation 7x 6x 6 = x + admet deux solutions. La résolution algébrique le onfirme : (x )(7x + 8)= (x ) équivaut à : (x )(7x + 0) = 0. Les solutions sont et Vrai. Le polynôme se fatorise ar il admet deux raines (Δ = 5 + = 9). 8 Faux. (x 6)(x + ) = 9(x )(x + ). 8 Faux, démonstration par l absurde. Si le polynôme admet trois raines distintes, il peut s érire sous forme fatorisée : a(x x )(x x )(x x ). Quand on développe e produit, on obtient un polynôme de degré. 8 a. f (x) positif ou nul sur ] ; ] [ ; + [, stritement négatif sur ] ; [. b. g (x) positif ou nul sur ] ; 8] [0 ; + [, stritement négatif sur ] 8 ; 0[.. h (x) est positif pour tout réel x, nul si x =. d. j (x) est stritement positif pour tout réel x. 85 a. (x + ) don toujours négatif ou nul ; b. g (x) = (x )(x 5) don g (x) est positif ou nul sur ] ; ] 5 ; +, stritement négatif sur ; 5.. h (x) = (x 5)(x + ) don h (x) stritement positif sur ; 5, négatif sinon. d. j (x) = x(x + 9) don j (x) stritement positif sur 9 ; 0, négatif sinon. 86 a. f (x) = (6x ) don négatif pour tout x distint de 6, nul si x = 6. b. g (x) (Δ = ) don g (x) est stritement négatif pour tout réel x.. h (x) = x 8x + 6 = (x ) don positif, nul pour x =. d. j (x) = 8x + 0x +, le disriminant est négatif don g (x) est stritement positif pour tout réel x. 87 a. ] ; [ ] ; + [ ; b. ; ;. ] ; 8] [0 ; + [ ; d. x 0 ; e. (x ) 0. Le réel x = est la seule solution. 88 a. ; ; b. Pas de solution ;. ] ; 7[ ; d. x + 8x 0 0 d où S = ] ; 5] [ ; + [ ; e. ] ; ] ; a. 9x x + 0 tout réel x est solution ; b. ] ; [ ;. ( x )( x + ) 0 soit S = ; 7 [ ; + [ ; d. x + 6x 7 0 soit S = 7 ; ; e. (x + 9)(x 9) 0 soit S = ; 9 9 ; +. 9 a. 5x x + 0, pas de solution (disriminant négatif). b. x(x 6) 0 d où S = 0 ; 6.. x x 6 0 d où S = 7 ;. 9 x ; x 0. 9 (x )(x + ) 0 soit x + x (x )(x 5) = x 6x Pour que ette inéquation n ait pas de solution, il faut que le disriminant soit stritement négatif ; 'està-dire que a 6 doit être négatif. Il faut don que a soit stritement ompris entre et. 8

9 97. La proposition ontraposée est : «si Δ 0 alors il existe un réel x tel que f (x) positif ou nul.». La proposition est vraie ar si f (x) 0 pour tout réel x ela signifie que f (x) n admet pas de raine (don Δ 0) et que le oeffiient de x est négatif. Ce qui signifie d ailleurs que la proposition ontraposée est vraie.. La proposition réiproque est «si Δ 0 alors pour tout réel x, f (x) est stritement négatif». Cette proposition est fausse, un ontre exemple le prouve. Le polynôme f (x) = x + x + 9 a un disriminant négatif mais f (x) est positif pour tout réel x. 98 Faux, 000x est négatif si x est ompris entre 0 0 et Vrai ar si f (x) = 0x x + 5, f (x) est stritement positif pour tout réel x (Δ 0) don 0x x 5 pour tout x. 00 6x x si 6x x positif 'est-à-dire si (6x + )(x ) positif. Or (6x + )(x ) positif pour x < 6 ou pour x. Don, si on prend par exemple x = 7 alors 6x x. Ce qui prouve que l affirmation est fausse. 0 5x x + si 5x x 0 or 5x x = (x )(5x + 7) don e polynôme est positif si x ou x < 5. Don l affirmation est vraie. 7 0 a. Axe de symétrie : x =, sommet ( ; 8). b. Axe de symétrie : x = 5, sommet 5 ; 5.. Axe de symétrie : x = 5, sommet 5 ;. d. Axe de symétrie : x =, sommet ( ; ). 0 Le sommet de est le point ( ; ) don ne oupe pas l axe des absisses ar elle est tournée vers le haut (a = ). 0 La parabole ne oupe pas l axe des absisses ar Δ 0. Comme elle est tournée vers le haut, elle est toujours située au-dessus de l axe des absisses. 05 5x 0x + = (5x ) don la parabole est située au-dessus de l axe des absisses et elle est tangente à l axe des absisses au point x = Le polynôme 6x + x + a deux raines 6 et. Don la parabole oupe l axe des absisses aux points d absisses et. Elle est située au-dessus 6 de l axe des absisses pour x ompris entre et, 6 au-dessous sinon. 07 La parabole a un seul point d intersetion ave (Ox) si Δ = 0 'est-à-dire si 6 a = 0. Ce qui donne a = Les oordonnées des points d intersetion sont ( ; 0) et ; 7. Pour déterminer la position relative 9 des deux paraboles, on étudie le signe de la différene : (x + x) ( x x + ) = x + 5x. La parabole est au-dessus de la parabole si x ou x. 0. a est positif, le disriminant également.. a est négatif, le disriminant également. A orrespond à B : C : D : La parabole située sur la gauhe a pour équation : y = (x + ) +. La parabole de droite a pour équation y = (x ) +. L équation f (x) = 0 admet deux solutions 5 et 0. La fenêtre étant mal hoisie, es solutions n apparaissent pas à l éran. Exemple de fenêtre adaptée : Xmin = 0, Xmax = 5, Ymin = 0, Ymax = 0. y = 6 (x + ) y = (x + )(x 6). 6 y = ax + bx + ave =, a + b = 0 et a b =. On obtient a = et b = d où y = x + x +. 7 f (x) = a(x 7) + ave a négatif. 8 f (x) = a(x + 5) 9 ave a positif. 9 f (x) = (x ) 9 don f admet un maximum 9 pour x =. 0 f (x) = x don f admet un minimum 00. Le javelot part à mètres de haut. La hauteur maximale atteinte est 7 m (au bout t = seondes) et le vol dure seondes soit environ 5,58 seondes.. L énoné diret et sa réiproque sont vrais.. L énoné est faux ; on le montre à l aide d un ontreexemple. Si f (x)= x x +, 0 et la parabole qui représente f est au-dessous de l axe des absisses pour x ompris entre et. Par ontre, l énoné réiproque est vrai : si la parabole d équation y = ax + bx + est au-dessus de l axe des absisses alors a 0 et b a 0 soit b e qui entraîne que est positif. a Fihier assoié sur : 0S_exerie.ggb (Geogebra) et 0S_exerie.gw (Geoplan).. On trae la parabole d équation y = x + 5x +, on définit un urseur a variant de 5 à 0 et on trae la Chapitre Le seond degré 9

10 droite d équation y = ax +. En faisant varier a, on onstate qu il y a trois as possibles.. Soit l équation x + (5 a)x + = 0, on alule Δ, on obtient Δ = a 0a + 9. Par onséquent, si a ou a 9, Δ est positif : la parabole et la droite ont deux points d intersetion. Si a = ou a = 9, il n y a qu un point d intersetion. Si a 9, la droite et la parabole n ont pas de point d intersetion. 5 Faux, le sommet est ; 9. 6 Vrai ar 9 et sont les raines de x 6x + 8 et a 0. 7 Faux, g admet un minimum ar la parabole est tournée vers la haut (a 0). 8 Vrai, le sommet a pour oordonnées ( ; ) et a 0. 9 f (x) = 0 si x = 5 ou x = 7 don si x 7 ou x 5, f (x) 0. 0 Les raines sont et don si x ou x, f (x) 0. La fontion est roissante sur ] ; ], déroissante sur [ ; + [. Son maximum est f () =. y = (x + 5)(x ). y = 7(x + ) +. Il s agit de résoudre l équation x + 0x + 7 = 0. Les solutions 5 9 et Les points d inter setion ont pour oordonnées ; et ;. La parabole est au-dessus de la droite si : x + 0x soit x ompris entre et POUR FAIRE LE POINT A ; D ; D ; B, C et D ; 5 B ; 6 A et D ; 7 B ; 8 A ; 9 C. POUR APPROFONDIR 5 a. Après rédution au même dénominateur, on obtient : x x + 6 = 0. Les solutions sont et. 6x(x + ) b. L équation est équivalente à : 8x 8x + = 0. (x )(x + ) Les solutions sont : et.. L équation est équivalente à : x x 7 = 0. x Les solutions sont : et. 6 En posant y = 0 x, on se ramène à l équation : x + x 080 = 0. Les solutions sont x = 8 ou x = 60. On obtient deux ouples solutions : (8 ; ) et ( 60 ; 90). 7 Les absisses des points d intersetion des deux ourbes vérifient l équation x x = 0, soit x = et x =. 8 Les absisses des points d intersetion des deux ourbes vérifient l équation x 5x + = 0, soit x = ou x =. Les points d intersetion ont pour oordonnées : ; et ( ;). 9. u + u 6 = 0, u = ou u = d où les solutions de l équation (E) sont : x = et x =.. Si u = x, alors u + u 5 = 0, soit u = ou 5. Les solutions de l équation biarrée sont x = et x =. 0 a. Si u = x, alors u = ou u = 6, e qui donne deux solutions pour x :,, 6 et. b. u = 7 ou u = + 7 soit x = + 7 ou u = ou u = 6, l équation n a pas de solution. a. Si u = x, on obtient : u = ou u = 5. Soit une solution x =. b. De même, on obtient u = ou u = soit x = ou 7 x = 7.. En posant u =, on obtient u = ou u = x soit x = ou x =. Si u = x +. L équation E est équivalente à x 0u 77u + 0 = 0 ; on obtient u = 5 5 ou u = 0. On en déduit les valeurs possibles pour x : 0,5,, 0, et 5. On se ramène à l équation : 6x 97x + 6 = 0 soit x = 9 ou x = 9. Le nombre herhé est don égal à ou bien. Soit n le nombre de jours de travail du père et s son salaire quotidien. Le problème se traduit par les deux équations : ns = 500 et (n 5)(s 8) = 0. On trouve que s est une solution de l équation : s 60s = 0. On obtient s = 0 ou s = 0. Si s = 0, alors n = 5 ; si s = 0 alors n =,5 e qui est exlu. Conlusion : le père travaille 5 jours pour un salaire

11 quotidien de 0 (!) ; le fils 0 jours pour par jour(!). NB : l énoné onduit à des résultats peu rédibles 5 ab = 858 et a + b = 7,5. On trouve que a est une solution de l équation : a 5 56,5a = 0. On obtient a =, b = 7,5 et l hypoténuse de e triangle retangle mesure 7,5. Le périmètre est ; 5 [ ; 7]. 7 a. x + 0x 7 0 x soit ; 6 ; +. b. ]0 ; ] ] ; + [. x. 0 soit S = ] ; [. x + d. x + 0 x 9 0 soit S = ] ; 0] ] ; [ [ 0 ; + [. 8 Dans et exerie, la alulatrie sert à onjeturer, vérifier ou orriger des résolutions algébriques d inéquations. x. x 0 si x ou x. x. x 5x + 7 équivaut à : 5x 0x x 5(x ) soit 0. D où x. x 9 Il s agit d étudier le signe de l expression : x x + ( x ) soit le signe de x + x x +. Ainsi, la ourbe est située au-dessus de la droite si x [ ; [ [0 ; + [. 50 x 8x si x ou x 7. (x + )(x ) 0 si x ou x. Don x 8x et (x + )(x ) 0 si x ou x a. L équation 5x +x 8 = 0 admet une solution évidente :. Comme le produit des raines est égal à 8, l autre solution est b. L équation 7x + 0x + = 0 admet une solution évidente :. Ave le même raisonnement, on trouve que l autre solution est 7.. Pour qu une équation du seond degré admette deux raines de signes ontraires, il faut que leur produit a soit négatif don que a et soient de signes ontraires. d. Pour que les deux raines soient négatives, il faut que leur produit b soit positif et que leur somme a a soit négative. Don les réels a, b et doivent être de même signe. 5. S il existe deux réels a et b dont la somme est S et le produit P alors a(s a) = P soit a as + P = 0. a et b sont don solutions de l équation : X SX + P = 0. Cette équation admet deux solutions si S P est positif, si S P est nul, il y a une raine double.. Il s agit de trouver deux réels positifs tels que S = 8 et P = 95. Si es réels existent, ils sont solutions de l équation : X² 8X + 95 = 0. Les dimensions du retangle sont 5 et.. Algorithme : Saisir S et P d prend la valeur S P Si d 0 alors affiher «s d, s + d» sinon affiher «il n y a pas de solution» Fin si TI Prompt S, P S P d If d 0 Then Disp s d, s + d Else «PAS DE SOLUTION» End 5. x + ( x = x ) CASIO? S :? P S P d If d 0 Then s d s + d Else «PAS DE SOLUTION» If End don l expression est positive x puisque x est un réel 0.. a d + b + b + d a = a d + d a + b + b positif ar on retrouve la somme de deux expressions positives de la forme x + x (f. question ).. De même a f + b e + d + d + e b + f 6 est la somme a de trois expressions positives de la forme x + x (ave x = a f, puis x = b e et enfin x = ), e qui prouve d que a f + b e + d + d + e b + f a Il s agit de démontrer que pour tout réel x, x x soit x x + 0. Le polynôme x x + est stritement positif pour tout x puisque son disriminant est négatif et que le oeffiient de x est positif. Don la parabole est toujours au-dessus de la droite. Chapitre Le seond degré

12 . D après e qui préède, on peut dire que la longueur MN est égale à : a a +. La fontion f définie par f (x)= x x + est représentée par une parabole, tournée vers le haut ; l absisse de son sommet est. Conlusion : si a =, la distane MN est minimale. 55 La fontion f définie par f (x) = x + 7x est représentée par une parabole, tournée vers le bas ; l absisse de son sommet est 7. f 7 = 5 8. Par onséquent : si m 5, l équation f (x) = m n a pas de solution 8 Si m = 5, l équation f (x) = m a une solution. 8 Si m 5, l équation f (x) = m a deux solutions Les sommets de paraboles d équations y = ax + x + ont pour oordonnées : a ; a + (e qui prouve que es points appartiennent à la droite d équation y = x + ). 57 Fihiers assoiés sur : 0S_exerie57.gbb (Geogebra) et 0S_exerie57.gw (Geoplan). On trae la parabole d équation y = x +5x +. On rée un urseur b et on trae les droites d équation y = x + b. Suivant les valeurs de b, on onstate qu il y a deux, un ou auun points d intersetion entre la droite et la parabole. On valide ette observation en herhant le nombre de solutions de l équation x + 5x + = x + b suivant les valeurs de b. x + 8x + b = 0, Δ = + 8b. Si b, pas de point d intersetion ; si b =, la droite est tangente à la parabole ; si b, la droite oupe la parabole en deux points. 58 Fihiers assoiés sur : 0S_exerie58.ggb (Geogebra) et 0S_exerie58.gw (Geoplan). On rée de même la parabole y = x 5x +, un urseur m, la droite d équation y = x + m. On fait varier m pour faire apparaître les différents as. On rée les points d intersetion entre la parabole et la droite (intersetion entre deux objets), on plae le milieu I du segment ainsi réé. En faisant varier m et en séletionnant trae ativée, on onstate que les points I se déplaent sur une demi-droite vertiale. Démonstration :. Pour déterminer le nombre de points d intersetion entre la parabole et la droite, on déterminer suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l équation : x 5x + = x + m soit x x + m = 0. Δ = 8m 5. Don si m 5, il y a deux points d inter- 8 setion, si m = 5, la droite est tangente à la parabole. 8. Si I m milieu de [A m B m ], alors son absisse est la semi somme des solutions de l équation : x x + m = 0 soit x I =. Les points I m dérivent don la demi droite d équation x =, issue du point ;, ave x Fihiers assoiés sur : 0S_exerie59.ggb (Geogebra) et 0S_exerie59.gw (Geoplan). On définit un urseur m et on trae la droite d équation y = mx + m, droite de oeffiient direteur m passant par A. En faisant varier m, on onjeture pour quelle valeur de m, la droite est située entièrement «en dessous» de la parabole.. La droite de oeffiient direteur passant par A oupe la parabole aux points de oordonnées ( ; ) et ( ; ).. La droite est au dessus de la parabole pour x ompris entre et (x x + 0).. On herhe m tel que, pour tout réel x : x mx + m 0. Δ = m m + = (m ). Don x mx + m 0 pour tout réel x si m =. 60 Un point M est à égale distane de F et de la droite si et seulement si : x + y = y soit y = x. La parabole d équation y = x a pour foyer le point F 0 ; et pour diretrie la droite d équation, y =. 6 Si x = v + v alors x = + +. Une des solutions de l équation x x = (soit x x = 0) est + +, soit v + v. 6 Soit a la longueur du segment que l on partage et x la longueur du «partage» (x est don un réel inférieur à a). Le retangle «ompris sous la droite entière et l un de ses segments» a pour dimensions a et x, le arré de «l autre segment» est (a x). Soit (a x) = ax, qui équivaut à : x ax + a = 0. Cette équation admet deux solutions : a a 5 et a + a 5. On retient la première solution, puisque, par hypothèse («partage») x a.

13 6 Soit O l objet, m O sa masse, x la distane entre et objet et la terre. Il s agit de déterminer le nombre de solutions de l équation : M T M o = M L M o x (d x). Tous aluls faits, on obtient : Δ = d (M T M o )(M L M o ). Comme on peut supposer que l objet est plus léger que la terre et la lune, le disriminant est positif et don il y a deux points situés sur la droite «terre-lune» qui subissent des attrations égales de la part de la terre et de la lune. 6 On utilise le théorème de Thalès pour démontrer que MN = 6x 8 et BQ = x. On en déduit que MQ = x, et ainsi que l aire du retangle MNPQ est x x soit : 9 8 x + 9x. On en déduit que l aire du retangle est maximale pour x =. 65. a. L angle PMQ est égal à 90 ar : AMP = QMB = 5. b. On exprime les longueurs PM et MQ en fontion de x à l aide du théorème de Pythagore. Puis, à l aide de e même théorème, on a : PQ = PM + MQ, soit x (0 x) +. Ainsi : PQ = x 0x Pour plaer M tel que PQ = 6, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles : x 0x + 50 = 6. On obtient x = 5 + et x = 5.. La fontion f est déroissante sur [0 ; 5] et roissante sur [5 ; 0]. f (0) = f (0) = 50 et f (5) = 5. On en déduit que PQ est ompris entre 5 et 5. Don L [5 ; 5 ].. a. Le triangle AIB est retangle isoèle en I ar les angles IAB et IBA valent 5. b. PIQM est un retangle don IM = PQ (diagonales du retangle).. La valeur minimale de IM est 5 : est la longueur de la hauteur issue de I dans le triangle IAB. La valeur maximale de IM est IA (IA = IB), 'est-à-dire 5. On retrouve ainsi géométriquement les résultats préédents. 66 Si on note x et y les dimensions du retangle, H le projeté orthogonal de O sur la orde parallèle à T, on a : x + y = 6, y + OH = et OH + x = 9. Ainsi : y²+ (6 OH ) = 6 soit y = OH. D où OH + OH = et ainsi OH =. Si on suppose que la orde est traée de telle sorte que O appartienne au segment [AH], 'est-à-dire que y = OH +, OH + x et x + y = 6, on obtient de même y = OH et don OH =. C'est-à-dire que H et A sont symétriques par rapport à O, dans e as, on ne peut pas onstruire le retangle. 67. Si on roule à 0 km/h, la distane de freinage est environ 5 m ; 0 km/h, distane = 08 m ; 50 km/h, distane = 0 m.. On résout l inéquation : v + v 0 et on trouve v 0,6 soit environ moins de 8 km/h. Prises d'initiatives 68 Si on pose x = AM, on trouve que l aire du parallélogramme MNPQ est égale à : x 6x Cette aire est minimale pour x =. L aire minimale est 8 m². 69 Si on pose x = AP, ave le théorème de Thalès on montre que PM = x ; don l aire du retangle APMQ est x x = x + x. Elle est maximale pour x =. 70 On démontre que les sommets de es paraboles ont pour oordonnées a ;. a Don es points dérivent la droite d équation y = x +. 7 Soit v la vitesse de la olonne en m/s, V la vitesse de la dernière fourmi, t le temps aller et t le temps retour. La distane aller est V t = v t La distane retour est V t = 50 v t. D où : 50 t = V v et t 50 50v =. Ainsi : V + v V v + 50v V + v = 50. Si on pose X = V v, on obtient : 50 x + 50 x + = 50 soit X = X. Si X X = 0 ave X 0 alors X = + soit V = ( + )v. La distane parourue par ette fourmi est : ( + )v (t + t ) = ( + )(v t + v t ) soit ( + ) 50 m. Chapitre Le seond degré

14 F Ativités TICE TP Programmation et alul formel A. Voii l algorithme permettant de résoudre une équation du seond degré en envisageant les trois as possibles. Saisir a, b, d prend la valeur b a Si d 0 alors affiher ( b d ) ( a), ( b + d ) ( a) Sinon Si d = 0 Alors affiher ( b) ( a) Sinon affiher «pas de solution» TI Prompt A, B, C B^ A C D If D 0 Then Disp ( B D) ( A), ( B + D) ( A) Else If D = 0 Then Disp B ( A) Else Disp «pas de solution» End CASIO? A? B? C B^ A C D If D 0 Then ( B D ( A) ( B + D) ( A) Else If D = 0 Then ( B ( A)) Else «pas de solution» If End B. Utilisation d un logiiel de alul formel Fihiers assoiés sur : 0S_TP.xws (Xas) et 0S_TP.dfu (Derive). Les aides figurant au bas de la page et à la fin du manuel doivent permettre aux élèves d utiliser les logiiels proposés, Xas et Derive. Les prinipales ommandes y sont dérites. Exemples ave le logiiel Xas. S = x + x =. On se propose de aluler x 5 + x 5. a. Si T = x + x alors T = x + + x + = S + soit T = 6. b. U = x + x = x (x + ) + x (x + ) = T + S =.. De même : V = x + x = x (x (x + )) + x (x (x + )) = (x + x ) + x + x don V = U + T = d. A = x 5 + x 5 = x (x ) + x (x ) = x (x + x ) + x (x + x ) = (x + x ) + (x + x ) d où A = V + U soit A = 8. B. Algorithme de alul Fihier assoié sur : 0S_TP.alg (Algobox). Une erreur s est glissée dans la vue d éran : S prend la valeur et T prend la valeur 6. Saisir n S prend la valeur T prend la valeur 6 Pour I variant de à N U prend la valeur x T + S S prend la valeur T T prend la valeur U Fin Pour Affiher T CASIO? N S 6 T For I to N T + S U T S U T Next Ainsi x 0 + x 0 = 5907 x 5 + x 5 = 556 x 5 + x 5 = C. Utilisation d un tableur Fihiers assoiés sur : 0S_TP.xls (Exel 00), 0S_TP.xlsx (Exel 007) et 0S_TP.ods (Open Offie). D. Utilisation d un logiiel de alul formel. et. TP A. Calul des premières valeurs. Les solutions de l équation : x x = 0 sont x = et x = +.. Ave le tableur : x 0 + x 0 = ,00 Ave Xas : x 0 + x 0 =

15 On peut penser que le résultat donné par le tableur est plus fiable que elui donné par le logiiel de alul formel.. On onstate que tous les nombres x k + x k sont entiers et pairs. 5. La ommande permet d affiher les sommes x k + x k pour k variant de à 0. La ommande seq(expr,k,,n) définit en effet la liste des valeurs des expr lorsque k varie de à n. 6. Fihiers assoiés sur : 0S _TP (Xas) et 0S_TP (Derive). Chapitre Le seond degré 5

16 CHAPITRE Étude de fontions A Le programme Contenus Capaités attendues Commentaires Étude de fontions Fontions de référene x et x x. x Connaître les variations de es deux fontions et leur représentation graphique. Démontrer que la fontion raine arrée est roissante sur [0 ; + [. Justifier les positions relatives des ourbes représentatives des fontions x x, x x² et x x. Auune tehniité dans l utilisation de la valeur absolue n est attendue. Sens de variation des fontions u + k, λu, u et, la fontion u u étant onnue, k étant une fontion onstante et λ un réel. Exploiter es propriétés pour déterminer le sens de variation de fontions simples. On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les lasses préédentes en montrant à l aide de ontre-exemples qu on ne peut pas énoner de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fontions. L étude générale de la omposée de deux fontions est hors programme. Remarque : Le symbole signale des «démonstrations, ayant valeur de modèle. Certaines sont exigibles et orrespondent à des apaités attendues». 6 B Notre point de vue L objetif de e hapitre est d introduire deux nouvelles fontions de référene : la fontion raine arrée et la fontion valeur absolue (la fontion ube n est pas étudiée). Conformément aux ommentaires, nous n avons pas développé de tehniité dans l utilisation de la valeur absolue ; ependant, il nous semblait important de signaler ertaines propriétés algébriques et l inégalité triangulaire. C est par le biais d exeries que nous avons abordé es points. Nous avons mis la démonstration de la roissane de la fontion raine arrée dans le ours. Elle s appuie sur l expression onjuguée. La position relative des ourbes des fontions x x, x x et x x sera prétexte à introduire un savoir-faire à propos de l étude plus générale de la position relative de deux ourbes. L étude générale de la omposée de deux fontions est hors programme. Aussi, les résolutions des exeries proposés s appuieront sur les types de fontion vus dans le programme : u + k, λu, u et u. Nous n avons don pas introduit la omposition de fontions.

17 Enfin, nous avons évoqué (ar ela apparaît dans les ommentaires) la somme et le produit de deux fontions. C est l oasion dans les savoir-faire de montrer «à l aide de ontre-exemples qu on ne peut pas énoner de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fontions». Au ours de e hapitre, nous utiliserons les résultats du hapitre préédent onernant le seond degré. Dans les savoir-faire, nous avons insisté sur des méthodes algébriques, graphiques et sur l utilisation de la alulatrie. L étude des variations des fontions s appuiera sur la définition et sur les propriétés des fontions de référene. Des exeries simples permettront de travailler les savoir-faire développés dans le ours, d autres viseront à donner du sens. L énoné de la page «Cherher ave méthode» permet de mettre en œuvre une démarhe d analyse pour étudier le sens de variation d une fontion et pour onstruire son raisonnement. L utilisation des TICE est développée aux ours de e hapitre. Les notions abordées dans le hapitre. Sens de variation. Fontion valeur absolue. Fontion raine arrée. Comparaison de fontions de référene. Opérations sur les fontions et sens de variation C Avant de ommener Se tester ave des QCM B ; C ; C ; A, C et D ; 5 A et B ; 6 B et C ; 7 B et C ; 8 B, C et D. Se tester ave des exeries 9 a. 9 et ; b. Oui ;. 0 et ; 9 0 a. f () = et g () = ; b. ] ; 0] [ ; + [ ; a. f ; b. f ( 5) f ( ). ( ) f ( ) D Ativités Ativité Minimum d une aire Ativité Une nouvelle fontion Cette ativité permet de réativer des réflexes, des tehniques voire des définitions dans le adre des fontions.. f (x) = x.. DN = 6 x et f (x) = x.. Graphique.. La valeur est,. x ( x) 5. = x ( x) = f (x). 6. Fihier assoié sur : 0S_ativite.ggb (Geogebra). a. Minimum pour x =. b. a = et b a =. f (x) = [(x ) + 5]. Le minimum est 7,5 pour x =. Cette ativité introduit la fontion valeur absolue à l aide de la distane définie à l aide d un axe gradué.. a., 6, et 5. b. Les deux réels sont et. Les deux points sont A et B. A O I B 0. [ ; ]. O I [ ] 0. x 0 ar est une distane.. M et M sont symétrique par rapport à O (O est le milieu du segment [MM ]), don OM = OM. Chapitre Étude de fontions 7

18 Ainsi x = x.. a. Si x 0, alors f (x) = x = x et si x 0, alors f (x) = x = x. b. y Ativité D une fontion à l autre, d une variation à l autre Cette ativité introduit à l aide d exemples les fontions f + k et f et permet d évoquer les variations.. Il faut définir la fenêtre ave la alulatrie. 0 x. et sont solutions. d. [ ; ].. a. Ativité Comparaison de x, x et x Cette ativité permet de omparer les images de trois fontions de manière graphique et de manière algébrique.. Faux : si on prend un nombre x négatif, alors x x. Les élèves raisonnent souvent ave les entiers.. a. b. La ourbe g se déduit de f en ajoutant à haque ordonnée d un point de la ourbe f.. Les fontions f et g sont roissantes sur [,5 ; 0] et déroissantes sur [0 ;,5]. d. On vérifie que g (x) = f (x) +.. a. C g C f 0 b. Si 0 a, alors a a a et si a, alors a a a.. a. x x = x(x + )(x ), sur l intervalle [0 ; + [ le signe de x x est le même que elui de x ar x 0 et x +. Don x x si 0 x et x x si x. b. Deux méthodes. On a 0 = 0. Si x 0, x x = ( x x )( x + x ) = x x x + x x x. Le signe de x x est le même que elui de x x. On en déduit que x x si x et que x x si 0 x. L autre méthode est l utilisation de la roissane de la fontion raine arrée et de l égalité x = x si x 0 et en utilisant la question. a.. Si 0 x, alors x x x et si x, alors x x x. Ce qui onfirme la leture faite sur le graphique. C h x b. La ourbe h se déduit de f en multipliant haque ordonnée d un point de la ourbe f par.. Les fontions f et h sont roissantes sur [,5 ; 0] et déroissantes sur [0 ;,5]. d. On vérifie que h (x) = f (x). Ativité 5 L inverse d une fontion Cette ativité introduit sur un exemple l inverse d une fontion qui ne s annule pas et qui garde un signe onstant.. Éran alulatrie. Les fontions u et f ont des sens de variation ontraires.. a. Si 0 a b, alors 0 a b ar la fontion arré est roissante sur [0 ; + [. En multipliant par (positif) et en ajoutant, on obtient a + b +, 'est-à-dire u(a) u(b). b. Comme u(a) u(b), alors 0 u(a) u(b). La 8

19 fontion inverse est déroissante sur ]0 ; + [, alors u(a), soit f (a) f (b). Ainsi, si 0 a b, alors u(b) f (a) f (b). La fontion f est déroissante sur ]0 ; + [.. De manière analogue, on démontre que f est roissante sur ] ; 0] en utilisant le fait que la fontion arré est déroissante sur l intervalle ] ; 0]. x 0 + u(x) x 0 + f(x) Cei onfirme l observation faite à la question. E Exeries POUR DÉMARRER f est déroissante sur et 5, don f ( ) f (5). f est roissante sur, alors f ( ) f (x) f () ; f (x).. La fontion arré est stritement roissante sur [0 ; + [, don f (0,998) f (0,999).. La fontion arré est stritement déroissante sur ] ; 0], don f ( 0,998) f ( 0,999). Si x, alors f (x). 5. La fontion inverse est stritement déroissante sur ]0 ; + [, don f (0,998) f (0,999).. La fontion arré est stritement déroissante sur ] ; 0[, don f ( 0,998) f ( 0,999). 6 Faux, ar et ne sont pas dans le même intervalle I : on ne peut pas appliquer la définition d une fontion roissante. 7 a. La fontion arré est déroissante sur ] ; 0[, don a b ; l inégalité est fausse. b. La fontion inverse est déroissante sur ] ; 0[, don a ; l inégalité est fausse. b. Si a b 0, alors a b 0 et a b ; l inégalité est juste. 8 7, et. 9. 0,5 ; 8 ; 8 9 ; 0 ; 0 0 ; Antéédent et.. Non, x f(x) = x y. Solutions 5 et 5.. [ ; ]. h(x) = x g(x) = x y f(x) = x 0 x 5 5, ar. Les réels 5 et 5 sont négatifs et la fontion valeur absolue est stritement déroissante sur ] ; 0]. Don La fontion raine arrée est stritement roissante : x. 5 0,998 0,999 don f (0,998) f (0,999), ar f est stritement roissante sur +. 6 f (8) + f () = 8 + = 6 = 7 = f (7). 7 u est déroissante sur I, don u est déroissante sur I, et 5u est roissante sur I. 8 x f (x) 5 On ajoute, on ne hange pas le sens de variation. 8 x g (x) 0 0 x On multiplie par, on hange le sens de variation. x f (x) 0,5 0, Chapitre Étude de fontions 9

20 u (x) 0, don elle ne hange pas de signe. u et f ont des sens ontraires de variations. 9. La fontion f est définie sur [ ; ]. x 0 u(x) 0 Les fontions u +, u et u ont le même sens de variation que u, et u a le sens ontraire. x 0 u(x) + 5 x 0 u(x) x 0 u(x) 8 0 x 0 u(x) La fontion f est définie sur [ ; ]. x 0 u(x). La fontion u ne s annule pas et garde toujours le même signe (ii positif). x 0 u(x) x 0 u(x) POUR S ENTRAÎNER. La fontion f est une fontion affine, elle est soit roissante, soit déroissante sur. Comme on a 0 et f (0) f (5), alors f est déroissante (on peut bien sûr aluler f( ) f(0) = 0 ).. Si 5 x 5, alors f ( 5) f (x) f (5) (on peut faire remarquer aux élèves que l on a la réponse sans aluler les images et ).. et +.. On résout l équation f (x) =, soit x x = 0. Solutions : 0 et. ] ; [ ] ; [ ] ; + [. Ce sont tous les nombres réels sauf eux qui sont solutions de l équation x 9 = 0. Il faut que x 6x 0. On a x 6x = x(x 6) et a 0. La fontion f est définie sur ] ; 0] [6 ; + [. 5 C est oui, ar est la même expression après rédution au même dénominateur et le même ensemble de définition. 6 Il suffit de réduire au même dénominateur dans l expression f (x). 7 Elles sont égales : il suffit de réduire au même dénominateur dans l expression de g (x). 8. On sera amené théoriquement à résoudre un système. Les élèves analyseront l énoné pour se simplifier le travail Notons g (x) = ax + bx +. Comme g (0) = 0, alors = 0. g ( ) = 0, alors a b = 0, soit a = b. g ( ) =, alors a b =, d où par exemple a + = b. On déduit a = a +, 'est-à-dire a =, d où b =. Conlusion : g (x) = x + x.. On vérifie que g () = 8, don par définition, le point ( ; 8) est sur la ourbe représentative. 9 Vrai. Il ne faut pas se fier aux apparenes. On peut soit aluler, soit observer simplement que les x disparaissent, e qui suffit pour répondre à la question (on a f (x) = 8x + 5). 0 Vrai. On veut savoir s il existe au moins un nombre x tel que f (x) = x. Il en existe au moins un ar f () =. On peut aussi vérifier ave f ( ) =. L équation sousjaente est x + x =, mais est inutile de la résoudre ou de la trouver pour répondre à la question. Faux. Par exemple si x =, alors x + x =. Or il faut que x + x 0.. (x + ) = x + x + = x + x.. Le oeffiient de x est positif, le minimum de f est, il est atteint pour, la fontion f est déroissante sur ] ; ] et elle est roissante sur [ ; + [. On a f ( ) = 0 et f ()=, don si x, alors f (x).. f (x) = x ( ) 9. x + f (x) 0

21 . Le oeffiient de x est positif, le minimum de f est 9 =,5, il est atteint pour. La fontion f est déroissante sur ; et elle est roissante sur ; +. On a f (0) = 0 et f () =, don si 0 x, alors,5 f (x) f (x) = (x + ).. Le oeffiient de x est positif, le minimum de f est, il est atteint pour, la fontion f est déroissante sur ] ; ] et elle est roissante sur [ ; + [. x + f (x). Si x 5, alors f () f (x) f (5), soit 9 f (x) 95.. f ( ) = 5 f (5). Si x 5, alors f (x) f (5), soit f (x) a. Vrai. b. Vrai.. Faux. 8. f (a) 6.. f (a) f (a).. f ( a) a b 0, don f ( a) f ( b).. a b 0, don f (a ) f (b ).. 0 a, don 0 f (a ). 0 Faux. a = et b =, on a a b, d où. a a = ( ) ( ) = et b b = = 0, don a a b b. Faux. Contre-exemple :, et f ( ) =, f ( ) = 0, 'est-à-dire f ( ) f ( ). La forme anonique ( ). est x + x = x + a. + ; b. π ;.. a. et. b. Pas de solution.. et.. x 0 + x. Si x, alors x.. Si x, alors x 0, d où 0 x. 5. Si x 0, f (x) = x ; si x 0, f (x) = x. 0 y = y f(x) = x A0 B x. Les absisses de A et B environ 0,7 et 0,7.. Si x 0, f (x) = revient à = x, soit x = qui est positif. Si x 0, f (x) = revient à = x, soit x = qui est négatif. 6. g ( 5 ) = 5 = 5 ar 5.. Si x, g (x) = x ; si x, g (x) = x +. y f(x) = x y = B A 0 6 x. Les absisses de A et B sont et Si x > 0, alors f (x) = x. Si x < 0, alors f (x) = x. La représentation graphique est formée de deux demi-droites.. Si x > 0 : f (x) = équivaut à x =, soit x =, et [0 ; + [. Si x < 0 : f (x) = équivaut à x =, soit x =, et ] ; 0]. Les solutions sont et. Vérifiation graphique : les absisses des points d intersetion de la droite d équation y = ave la représentation graphique de la fontion f sont et. y 8. Si x, f (x) = x ; si x, f (x) = x +. D où les deux équations des deux demi-droites.. y f(x) = x 0 B A 0 x y = x Chapitre Étude de fontions

22 . Les absisses de A et B sont et ; 0,56 ; 7 et 00.. Le résultat est la valeur absolue.. Il faut modifier le Traitement : 50. Si x 5 Alors Affiher x 5 Sinon Affiher x + 5 Fin Si y f(x) = x +. x vaut x ou x suivant les valeurs de x, e qui donne dans les deux as des fontions affines.. Si x, alors f (x) = x 5 et si x, f (x) = x Tous les réels sauf 0.. Si x 0, s(x) = et si x 0, s(x) =. y f(x) = signe (x) 0 x y = A 0. x 0, d où f (x).. B x La représentation graphique est formée des deux demi-droites sans les points d absisse Si x, alors x = x et f (x) = (x ) + x = x. Si x, alors x = x + et f (x) = ( x + ) + x = x Si x, alors f (x) = x + ; si x, alors f (x)= x. Si x 0, alors g (x) = x + ; si x 0, alors g (x) = x +.. Les ourbes sont superposées pour x 0. y y = x + 5 y f(x) = x y = x + y = A B 0 x 5 a.. b. [0 ; + [. 5. L expression x est assoiée à : f (x) = x et l expression x + est assoiée à : f (x) = x +.. La ourbe orrespond à la fontion f (x) = x. La ourbe orrespond à la fontion f (x) = x. 5 y f(x) = x + 0 x. Les fontions ne sont pas égales.. Si x 0, on a x + x +. Si x 0, on a x + = x +. On peut résumer les deux as par x + x Si x 0, alors p (x) = x ; si x 0, alors p (x) = 0. Si x 0, alors q (x) = 0 ; si x 0, alors q (x) = x. C est la fontion q qui est représentée.. y y = p(x) 0 x y = q(x) 0 x. On a p (x) = x si x 0 et p (x) = 0 sinon, don p (x) 0. On a q (x) = x si x 0 et q (x) = 0 sinon, don q (x) 0. C est e qu on observe sur les représentations graphiques.