Corrigé TD-E4 : Modulation et démodulation du signal

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1 Corrigé TD-E4 : Modulation et démodulation du signal Exercice 1 : caractéristiques d un signal modulé en amplitude et puissance transportée 1. Les trois composantes spectrales correspondent aux fréquences f p f m, f p et f p + f m. On mesure graphiquement f p = 3kHz et f m = 00Hz.. La composante à la fréquence f p a pour amplitude A, tandis que celle à f p + f m vaut A m. La mesure graphique du rapport des deux amplitudes nous donne m 0, 18, on en déduit m = 0, 36. Exercice : Caractéristiques d un signal modulé en amplitude et puissance transportée 1. Voir figure.. On mesure 9 T p = 1, 1ms d où f p = 8, khz. On mesure T m = 1, 1ms d où f m = 909Hz. 3. (a) Il y a trois composantes spectrales : f p = 16kHz, f p +f m = 17kHz et f p f m = 15kHz. La bande passante autorise un spectre du signal dont le contenu spectral va jusqu à environ 9 = 4, 5kHz, toutes les hautes fréquences (aigües) ne sont donc pas restituées, d où un son de faible qualité sonore. (b) s(t) = A cos (πf pt + φ p) + m cos ( π ( ) ) m f p + f m + φp + cos ( π ( ) ) ] f p f m + φp s(t) = A cos (πf pt + φ p) + m 4 cos ( π ( ) ) m f p + f m + φp + 4 cos ( π ( ] ) ) f p f m + φp + termes croisés s(t) ] 1 = P = A + m 8 + m 8 P = P p + P b P p = P 1 + m = 1561kW P b = P P p = 0kW L essentiel de la puissance du signal est contenu sur l onde porteuse, le signal audio intéressant ne correspond qu à une faible puissance du signal total transmis. 1 PSI, lycée de l Essouriau, 015/016

2 Exercice 3 : Débruitage d un signal par détection synchrone 1. z(t) = 10 u(t) p(t)] A cos (πf o t + φ) z(t) 10 = UA cos (πf ot) cos (πf o t + π) + AP cos ( πf p t ) cos (πf o t + φ) = UP cos φ + cos (4πf ot + φ)] + AP ( ( ) ) ( ( ) )] cos π fp f o φ + cos π fo + f p + φ Le spectre du signal en sortie du multiplieur est représenté sur la figure ci-dessous :. Il faut choisir f c de telle sorte que f c < f o f p. Ainsi, en sortie du filtre passe-bas ne passera que la composante continue de z(t). 3. Il faut avoir cos φ = 1, c est-à-dire choisir φ = ππ]. PSI, lycée de l Essouriau, 015/016

3 Exercice 4:Transmission d un signal périodique par modulation d amplitude avec : 1. On sait que le signal périodique s i (t), de période, peut se mettre sous la forme suivante (cf. annexe ) : Calculons c n : c n = 1 ŝ 0 ( n ) c n = A T0 / m = A m / T0 / / = A m s i (t) = T0 / ( exp j pt / { exp jpt ( c n exp jp nt ) T ( ) pt cos exp( jpf t) d t où f = n ) ( + exp j pt ( f 1 )] exp( jpf t) d t )] + exp ( jpt f + 1 )]} d t L intégration donne un sinus cardinal. Il vient alors, en faisant f = n/ : c n = A m { sin p(n 1/) ] p(n 1/) On en déduit, puisque c n = c n : + sin p(n + 1/) ] } p(n + 1/) d où c 0 = A m p a n = c n + c n = c n et b n = c n c n = 0 c 1 = A m 3p c = A m 15p Finalement s i (t) peut se mettre sous la forme : s i (t) =A cos(v 0t) ] 15 cos(v 0t)+ avec A = A m p et v 0 = pf 0 Sur la figure S16. on a représenté graphiquement le spectre de Fourier ŝ i (f ) jusqu à l ordre deux inclus. ŝ i (f ) 0 f f 0 f 0 f 0 f 0 FIG. S16..

4 Solutions des exercices. Le spectre du signal modulé en amplitude, s(t) = a p,m + s i (t) ] cos(v p t), s obtient en prenant la Transformée de Fourier : ŝ(f )= 1 ap,m d(f )+ŝ i (f ) ] d(f f p )+d(f + f p ) ] = 1 Par définition, le signal analytique s a (t) associé à s(t) a le spectre suivant : ap,m d(f f p )+ŝ i (f f p ) ] + 1 ap,m d(f + f p )+ŝ i (f + f p ) ] ŝ a (f )=a p,m d(f f p )+ŝ i (f f p )= a p,m d(f )+ŝ i (f ) ] d(f f p ) d où s a (t) = a p,m + s i (t) ] exp(jv p t) 3. Si l on veut transmettre les deux premiers harmoniques, la bande passante doit être : Df = f 0 = 4f 0 = 4kHz Les fréquences caractéristiques du signal s(t) transmis sont donc, en dehors de f p = 1MHz : f p f 0 = 0, 999 MHz f p f 0 = 0, 998 MHz f p + f 0 = 1, 001 MHz et f p + f 0 = 1, 00 MHz 4. Le signal analytique s a,1 (t), correspondant à s 1 (t), admet comme spectre : ŝ a,1 (f )=a p,m d(f f p )+Ad(f f p )+ A 3 d(f f p f 0 ) d où : s a,1 (t) =(a p,m + A) exp(jv p t)+ A 3 expj(v p + v 0 )t] = a p,m + A + A ] 3 exp(jv 0t) exp j(v p t) ce qui s écrit aussi : s a,1 (t) =A(t) exp j(v p t)= A(t) exp jv p t + f(t)] avec A(t) =a p,m + A + A 3 exp(jv 0t) On en déduit l amplitude réelle A(t) et la phase f(t) : A(t) = et : { a p,m + A + A ] } 1/ 3 cos(v 0t) + A 9 sin (v 0 t) = a p,m + 10A 9 Pour a p,m = V et A = 1V,ontrouve: tan f = (A/3) sin(v 0 t) a p,m + A +(A/3) cos(v 0 t) + A(a p,m + A) 3 ] 1/ cos(v 0 t)+a p,m A A(t) = 9, 1 + cos(v 0 t) ] 1/ et tan f(t) = sin(v 0t) 9 + cos(v 0 t)

5 Exercice 5 : Démodulation par détection d enveloppe (d après CCP PSI 005) 1. v e = v s + v d donc v d = v e v s. On en déduit les deux régimes de fonctionnement possible : La diode est bloquée tant que v s > v e (v d < 0), alors le condensateur se décharge dans la résistance avec une constante de temps τ = C et v s (t) = v e (0)e t τ. Au cours de la décharge il existe un instant tel que v s = v e, la diode devient alors passante. La diode est passante tant que v s = v e (v d = 0). Le condensateur se charge avec v s (t) = v e (t). Si le temps de décharge est grand devant la période T, alors on a v s (t) V e, c est-à-dire v s est égale à l amplitude des oscillations, i.e. à V o (1 + m cos ωt). Le temps τ ne doit pas non plus être choisi trop grand devant T sinon on risque de ne plus suivre les crêtes du signal : T < τ < T.. Loi des nœuds : i = C dv s dt + 1 v s. 3. i = CV o mω sin ωt + 1 V o (1 + m cos ωt) i = V o 1 + me jωt Cmωe j(ωt+ π ) ] = V o 1 + me jωt (1 Cωj) ] = V ] o 1 + me jωt e 1 jφ + (Cω) avec tan φ = Cω i(t) = V o 1 + g cos (ωt + φ)] avec tan φ = Cω et g = m 1 + (Cω) i(t) > g cos (ωt + φ) > 0 g < 1 m ( 1 + (τω) ) < 1 τ < (m < 1) ω m 4. D après la question 3, l application numérique conduit à la condition sur τ : τ < 3, 5µs. D après la question 1), τ > π Ω. Finalement :, 0µs < τ < 3, 5µs 5 PSI, lycée de l Essouriau, 015/016