GEOMETRIE DANS L ESPACE A. Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires

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1 GEOMETRIE DANS L ESPACE A. Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires 1) Vecteurs colinéaires a) Définition de deux vecteurs colinéaires Deux vecteurs u et v sont colinéaires s il existe deux réels a et b non tous nuls tel que au bv 0 Deux vecteurs u et v sont non colinéaires si pour tout couple, Conséquence : Deux vecteurs u et v sont colinéaires S il existe un réel tel que uvou s il existe un réel tel que v u On peut remarquer que 0 et n importe quel vecteur sont colinéaires b) Théorème Soient deux vecteurs u et v avecu 0 1 ab, au bv 0 a b 0 Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel tel que v Démonstration Première étape u On suppose u et v colinéaires Alors il existe un réel tel que uvou il existe un réel tel que v u(dans ce deuxième cas c est terminé) 1 Siu v, on peut dire que 0 (sinonu 0 ) et alors v u Deuxième étape : On suppose qu il existe un réel tel que v c) Définition d une droite vectorielle Soit u un vecteur non nul ualors u et v colinéaires On appelle droite vectorielle dirigée par le vecteur u, et l on note colinéaires au vecteur u On a donc Vect u v, v u d) Définition d une droite Soit u un vecteur non nul On appelle droite passant par le point A et dirigée par le vecteur u, et on note l ensemble des points M tels que AM Vect u On dit que u est un vecteur directeur de la droite la direction de la droite A Vect u A Vect u l ensemble des vecteurs A Vect u, Vect u et que la droite vectorielle Vect u est

2 Deux vecteurs directeurs d une même droite sont colinéaires Des droites sont dites parallèles si elles ont la même direction Des points sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite ) Vecteurs coplanaires a) Définition Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires s il existe trois réels non tous nuls tels que au bv cw 0 3 Trois vecteurs u, v et w sont non coplanaires si pour tout triplet abc,,, au bv cw 0 a b c 0 Conséquence : Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires S il existe deux réels et tels que u v w OU s il existe deux réels ' et ' tels que v ' u ' w OU s il existe deux réels "et " tels que w " u " v b) Théorème Soient deux vecteurs u et v non colinéaires Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement s il existe, tel que w u v Démonstration : Première étape On suppose u, v et w coplanaires Alors il existe deux réels et tels que u v w alors nécessairement 0 (sinon u et v colinéaires) 1 et w u v OU il existe deux réels ' et ' tels que v ' u ' w, alors nécessairement ' 0(sinon u et v ' 1 colinéaires) et w ' u ' v OU Il existe deux réels " et " tels que w " u " v (dans ce cas c est tout de suite terminé) Deuxième étape : On suppose qu il existe deux réels et tel que w u v,alors u v w 0 On peut dire alors que les trois vecteurs sont coplanaires

3 c) Définition d un plan vectoriel Soient deux vecteurs u et v non colinéaires On appelle plan vectoriel dirigée par les vecteurs u et v (ou de base uv, ), et l on note Vect u, v l ensemble des vecteurs coplanaires aux deux vecteurs u et v On a donc,,, Vect u v w w u v d) Définition d un plan Soient deux vecteurs u et v non colinéaires On appelle plan passant par le point A et dirigé par les vecteurs u et v, et on note A Vect u, v, l ensemble des points M tels que AM Vect u, v Le plan vectoriel Vect u, v est appelé la direction du plan A Vect u, v Le plan passant par A et de base uv, est l ensemble M de l espace tels que AM, u et v sont coplanaires : soit A Vect u, v M / t, t ' AM tu t ' v Remarque : Par trois points non alignés passe un plan et un seul : le plan ABC Soient quatre points A, B, C et D ABC M / AM, AB et AC coplanaires A, B, C et D coplanaires AB, AC et AD coplanaires 3

4 B. Modes de repérage 1) Coordonnées cartésiennes Une base de l espace est la donnée d un triplet i, j, k de vecteurs non coplanaires Un repère de l espace est la donnée d un quadruplet O, i, j, k où O est un point de l espace et i, j, k une base de l espace Théorèmes : Soit i, j, k une base de l espace. Pour tout vecteur u de l espace, il existe un triplet unique de réels x, y, z tel que u xi y j zk Les réels x, y, z sont appelés les coordonnées du vecteur u dans la base i, j, k et on note x u x, y, z ou u y z Soit O, i, j, k un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un triplet unique de réels x, y, z tel que OM xi y j zk Les réels x, y, z sont appelés les coordonnées cartésiennes du point M dans le repère O, i, j, k et on note M x, y, z ou Définitions : x M y z La norme euclidienne du vecteur u xi y j zk u x y z dans la base orthonormée,, i j k est Un vecteur est dit unitaire ou normé si sa norme vaut 1 B A B A B A Soient deux points A et B de l espace, AB AB x x y y z z Une base i, j, k (respectivement un repère O, i, j, k ) est dite orthonormée si les vecteurs i, j, k sont orthogonaux deux à deux et normés 4

5 ) Coordonnées cylindriques Le repérage cylindrique consiste à remplacer les deux premières coordonnées cartésiennes par des coordonnées polaires dans le plan O Vect i, j On appelle coordonnées cylindriques d un point M dans le repère orthonormé O, i, j, k tout triplet de réels r,, z tel que r 0 OM rcos i rsin j z k ru zk avec u cos i sin j Remarque : Les coordonnées cylindriques, comme les coordonnées polaires, ne sont pas uniques ATTENTION : Le réel r ne correspond pas à la distance OM mais à la distance orthogonal de M sur le plano Vect i, j OM ', où M ' est le projeté Exercice Déterminer les coordonnées cylindriques du point A1, 1, 5

6 C. Produit scalaire Soient deux vecteursu et v de l espace On appelle produit scalaire de u par v le réel noté u v(on lit «u scalaire v») défini par : Si l un au moins des deux vecteurs est le vecteur nul alorsuv 0 Sinon u v u v cos u, v Cette définition est identique à celle vue dans le plan Toutes les propriétés vues dans le plan restent vraies dans l espace : Propriétés : Symétrie : quels que soient les vecteurs u et v, uv v u Bilinéarité : quels que soient les vecteursu, v et w, quels que soient les réels et, et u v. w u w v w u v w u v u w Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si uv. 0 Si u et v ont pour coordonnées respectives x, y, z et alors u. v xx' yy ' zz ' Démonstration : à faire x', y', z ' dans une base orthonormée,, i j k, 6

7 D. Produit vectoriel 1) Orientation de l espace Un repère O, i, j, k de l espace est dit direct si la base i, j, k est directe ) Produit vectoriel de deux vecteurs a) Définition Soient deux vecteurs u et v de l ensemble des vecteurs de l espace On appelle produit vectoriel scalaire de u par v le vecteur noté u v (On lit «u vectoriel v») défini par : Si les deux vecteurs sont colinéaires alors uv 0 Sinon alors Le vecteur u vest orthogonal aux vecteurs u et v (direction du vecteuru v) Le triplet u, v, u v u v u v sin u, v est une base directe (sens du vecteur u v) (norme du vecteur u v) b) Propriétés : Antisymétrie : Quels que soient les vecteurs u et v, v u u v Bilinéarité : Quels que soient les vecteursu, v et w, quels que soient les réels et, et u v w u w v w u v w u v u w Quels que soient les vecteurs u, v et w, on au v w u v u w Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul 7

8 c) Application Soient les vecteurs u OAet v OB supposés non colinéaires (les points O, A, B forment un plan P ) Soit w u v Aire du triangle Or OAB AH OB w OA OB OA OB sin OB AH OA OB Donc Aire du triangle OAB = Et aire du parallélogramme construit à partir des segments0a etob = OA OB d) Expression analytique du produit vectoriel de deux vecteurs dans une base orthonormée directe Une base i, j, k est dite orthonormée directe si elle est orthonormée et directe On a alors i j k, j k i, k i j Soit i, j, k une base orthonormée directe et deux vecteurs y y' z z' yz ' zy ' z z' u v zx ' xz ' x x' xy ' yx ' x x' y y' x x ' u y et v y' z z ' 8

9 E. Produit mixte de trois vecteurs 1) Définition Soient trois vecteurs uvet, w de l ensemble des vecteurs de l espace On appelle produit mixte (ou déterminant) de,, ) Propriétés Le réel u, v, w u v. w Interprétation géométrique : Si les trois vecteurs ne sont pas coplanaires u v w (dans cet ordre) le réel u, v, w u v. w est nul si et seulement si les trois vecteurs u, v, wsont coplanaires u, v, w OD. OC OD OC cos OD, OC OD OH, où H est le projeté orthogonal de C sur la droite OD Donc u, v, w volume du parallélépipède formé à partir de ces trois vecteurs Propriétés Le produit mixte de trois vecteurs est inchangé si on effectue une permutation circulaire sur les trois vecteurs : C est-à-dire u, v, w v, w, u w, u, v Antisymétrie : Le produit mixte de trois vecteurs change de signe si l on échange deux vecteurs : C est-à-dire v, u, w u, v, w Le produit mixte est linéaire en chacun de ces vecteurs (tri linéarité) : C est à dire Pour tous vecteurs u, u ', v, w pour tous réels et, u u ', v, w u, v, w u ', v, w 9

10 Pour tous vecteurs u, v, v', w pour tous réels et, u, v v', w u, v, w u, v', w Pour tous vecteurs u, v, w, w ' pour tous réels et, u, v, w w' u, v, w u, v, w' Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe x1 x Soit i, j, k une base orthonormée directe et trois vecteurs u y1, v y et z 1 z x1 x x3 y y3 x x3 x x 3 u, v, w y1 y y3 x1 y1 z 1 z z3 z z3 y y3 z z z 1 3 x3 w y3 z 3 Disposition pratique : Règle de Sarrus Pierre Frédéric Sarrus ( )mathématicien français. 10

11 F. Droites et plans dans l espace 1) Droites Soit la droite D A, u A Vect u Soit la droite D ' B, v B Vect v passant par A et dirigée par u passant par B et dirigée par v soit confondues soit parallèles soit coplanaires soit strictement paralléles Det D' sont soit sécantes soit non coplanaires Remarque : D / / D ' u et v sont colinéaires Pour établir que les droites D et sont non coplanaires, deux méthodes sont possibles a) Méthode 1 Si les deux droites ne sont pas parallèles, on détermine D pour savoir si les deux droites sont sécantes ou non coplanaires b) Méthode D et D ' sont coplanaires AB, u et v sont coplanaires AB, u, v 0 Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l espace sont orthogonales (on se ramène ainsi à la notion d orthogonalité ou de perpendicularité dans le plan) D D ' u v 0 ATTENTION : deux droites orthogonales dans l espace ne sont pas nécessairement perpendiculaires Représentation paramétrique d une droite Dans l espace muni d un repèreo, i, j, k, on considère la droite D A Vect u passant par et dirigée par u avec, et réels non tous nuls a A b c 11

12 ) Droites et plans a) Représentation paramétrique d un plan Dans l espace muni d un repère a ' A b et de base uv, avec u et v ' c ' x x t a M y D t tel que y t b z z t c O, i, j, k, on considère le plan P A Vect u, v passant par x x t ' t ' a M y P A Vect u, v t, t ' tel que y t ' t ' b z z t ' t ' c Une représentation paramétrique de plan est un «objet» mathématique lourd à utiliser b) Droites et plans dans l espace Soit la droite D A, u A Vect u passant par A et dirigée par u Soit le plan P B, v, w B Vect v, w passant par B et de base vw, soit contenue dans le plan P soit parallèle au plan P La droite D stritement parallèle au plan P soit coupe le plan P Remarques : Une droite est parallèle à un plan si cette droite est parallèle à une droite de ce plan Théorème A Vect u / / B Vect v, w u, v et w sont coplanaires u, v, w 0 Droite orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan Définition Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan 1

13 Théorème Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si cette droite est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan OU (version vectorielle) Démonstration : Première étape A Vect u B Vect v, w u v= 0 et u w= 0 On suppose D A, u A Vect u P B, v, w B Vect v, w La droite D A, u est donc par définition orthogonale à toute droite du plan P B, v, w En particulier D A, u est orthogonale aux droites D B, v et, du plan P B, v, w et alors u v= 0 et u w= 0 Deuxième étape : On suppose que u v= 0 et u w= 0 P B, v, w, montrons alors que, D B w qui sont deux droites sécantes D A u orthogonale à toute droite du plan Soit une droite quelconque de ce plan dirigée par un vecteur t Comme v, w, t coplanaires et vw, non colinéaires, il existe deux réels a et b tels que t av bw Nous avons alorsu t u av bw a u v b u w 0 donc, Vecteur normal à un plan D A u Un vecteur non nul n est normal à un plan s il dirige une droite orthogonale à ce plan n normal à B Vect v, w n v=0 et n w=0 Remarque importante : Le vecteur v w est un vecteur normal au plan B Vect v, w L espace est rapporté à un repère orthonormé O, i, j, k x Soit un point A y z A A A et un vecteur non nul a n b c L ensemble E des points M de l espace tels que AM n 0 est le plan passant par A et admettant n pour vecteur normal Démonstration : Soit Q le plan passant par A et admettant n pour vecteur normal, prenons uv, une base de l ensemble des vecteurs de ce plan Montrons par double inclusion que E Q 13

14 Première étape : Soit M un point quelconque de l ensemble E Le quadruplet A, u, v, n constitue un repère de l espace Il existe donc trois réels uniques xyet, z tels que AM xu yv zn AM n xu yv zn n x u n y v n z n n 0 0 z n, comme M E, Or on a AM n z n 0 soit z 0et donc AM xu yv et M Q Finalement on a montré que E Q Deuxième étape : Soit M un point quelconque de Q, il existe alors deux réels x et y tels que AM xu yv Nous avons alors AM n xu yv n x u n y v n soit M E Finalement on a montré que Q E E Q E Q Q E x M y E AM n 0 a x xa b y ya c z za 0 z En développant on obtient le théorème suivent : Théorème Tout plan de l espace admet une équation cartésienne de la forme ax by cz d 0 avec abc,, 0,0,0 Réciproquement L ensemble des points x M y z plan admettant pour vecteur normal de l espace tels que ax by cz d 0 a n b c avecabc,, 0,0,0 Démonstration : Comme l un au moins des trois réels abcn est,, pas nul, on peut supposer a 0 Notons F l ensemble des points,, abc,, 0,0,0 M x y z de l espace tels que ax by cz d 0 avec d d Le point A, 0, 0appartient à cet ensemble puisque a b0 c0 d 0 a a d d M x, y, zf ax by cz d 0 a d a x by cz 0 AM n 0 a a Avec na, b, c, ce qui conduit au résultat souhaité est un 14

15 Exercice : Soit A1,,3, u(1,0,1), v 0,1,1 Donner une équation cartésienne du plan A Vect u, v Remarque Soit la droite D A, u A Vect u passant par A et dirigée par u Soit le plan P passant par B et de vecteur normal n A Vect u P u et n colinéaires A Vect u / / P u. n = 0 c) Plans dans l espace Soit le plan P passant par A et de vecteur normal n Soit le plan P ' passant par B et de vecteur normal n ' soit confondus soit parallèles P et P' sont soit strictement parallèles soit sécants suivant une droite Remarque : P / / P ' n et n ' colinéaires Deux plans sont perpendiculaires si l un contient une droite orthogonale à l autre P P ' n n '=0 15

16 Etant donnés des réels 1, 1 1, 1,,,, a b c d a b c d tels que les triplets a, b, c et,, non proportionnels, l ensemble des points M x, y, z tels que droite Toute droite admet au moins un système d équations de ce type a b c soient a1 x b1 y c1z d1 0 est une ax b y cz d 0 Plus précisément : Soient P 1 et P deux plans non parallèles Si n 1 est un vecteur normal au plan P 1 et si n est un vecteur normal au plan P, alors n n est un vecteur directeur de la droite P1 P 1 Régionnement de l espace Tout plan de l espace partage cet espace en deux demi-espaces de frontière P C est-à-dire Tout plan P qui a pour équation cartésienne : ax by cz d 0 abc,, 0,0,0 avec partage l espace en deux demi-espaces E1 M x, y, z; ax by cz d 0 et E M x, y, z; ax by cz d 0 de frontière P Il suffit d un point de l espace non situé sur P pour distinguer ces deux demi-espaces Orientation d un plan dans l espace Orienter un plan P consiste à choisir un vecteur unitaire n normal au plan P Une base orthonormale uv, de P est alors directe si u v n et indirecte si u v n G. Projeté orthogonal d un point sur une droite, sur un plan 1) Projeté orthogonal d un point sur une droite Soit un point M de l espace et une droite Il existe un unique point H D tel que HM. u 0 D A Vect u Ce point H est appelé projeté orthogonal du point M sur la droite D A Vect u Démonstration : Cherchons les points P situés sur la droite PD A Vect u t, AP tu PM. u 0 PA AM. u PAu. AM. u 0 D A Vect u tels que PM. u 0 AM. u PM. u 0 tu. u AM. u 0t u0 u Le paramètre solution étant unique : Il existe un unique point H D tel que HM. u 0 La longueur HM est appelée distance du point M à la droite d M, D D A Vect u et est notée 16

17 La distance d un point M à la droite D A Vect u est donnée par : d M, D Démonstration : En notant H le projeté orthogonal du point M sur la droite AM u AH HM u AH u HM u HM ) Projeté orthogonal d un point sur un plan AM u u AM u u Soit un point M de l espace et un plan P de vecteur normal n Il existe un unique point H P tel que HM n 0 Ce point H est appelé projeté orthogonal du point M sur le plan P Démonstration : Soit P A vect u, v Cherchons les points Q P A vect u, v QP A vect u, v,, AQ u v u v AM. u 0 AM. u QM n 0 u v AM. v 0 AM. v avec u et v orthogonaux et unitaires, de vecteur normal n tels que QM n 0 QM n 0 QA AM n 0 u v AM n 0 Les réels et sont uniques : Il existe un unique point H P tel que HM n 0 La longueur HM est appelée distance du point M au plan P de vecteur normal n et est d M, P notée La distance d un point M au plan P passant par le point A et de vecteur normal n est donnée par : d M, P Démonstration : AM. n n AM. n AH HM. n HM. n HM n 1 HM Conséquence : AM. n Si le plan P a pour équation cartésienne : ax by cz d 0 n avecabc,, 0,0,0 d M, P axm bym czm d a b c l espace rapporté à un repère orthonormé, alors Démonstration : AM n x x a y y b z z c ax by cz ax by cz ax by cz d. M A M A M A M M M A A A M M Puisque ax by cz d 0 car A P A A A dans 17

18 H. Sphères 1) Définition On appelle sphère de centre et de rayon 0 M de l espace tels que M R ) Equations cartésiennes d une sphère R, notée S, L espace est muni d un repère orthonormé O, i, j, k, soit x M y S, R M R x a y b z b R z a b c En développant x M y S, R x y z ax by cz a b c 0 z Toute sphère de l espace admet une équation cartésienne de la forme x y z Ax By Cz D 0, avec A, B, C, D réels R l ensemble des points ATTENTION : x L ensemble des points M y de l espace tels que x y z Ax By Cz D 0n est pas z nécessairement une sphère (cet ensemble peut être une sphère ou un point ou l ensemble vide) 3) Complément Soient deux points distincts A et B de l espace L ensemble E des points M de l espace tels que MA. MB 0 est la sphère de diamètre AB En effet, en introduisant I le milieu de AB, M E MI IA. MI IB 0 MI IA. MI IA MI IA 0 M E IM IA IM IA 4) Problèmes d intersection a) Intersection d une sphère et d une droite Soit une sphère S, R et une droite D Notons A le projeté orthogonal de sur la droite D 18

19 Si d, D A R Si d, D A R Si d, D A R, la droite D est extérieure à la sphère S, R, la droite D est tangente à la sphère S, R, la droite D coupe la sphère S, R en deux points b) Intersection d une sphère et d un plan Soit une sphère S, R et un plan P Notons H le projeté orthogonal de sur le plan P Si d, P H R Si d, P H R Si d, P H R rayon, le plan P est extérieur à la sphère S, R, le plan P est tangent à la sphère S, R, le plan P coupe la sphère S, r R H R suivant un cercle de centre H et de 19

20 I. Transformations de l espace euclidien 1) Rotations Soit n un vecteur non nul et un réel On appelle rotation vectorielle d angle autour de l axe orienté par le vecteur n, l application qui transforme tout vecteur u de l espace en où v r p u u p u pu est le projeté orthogonal de u sur le plan vectoriel de vecteur normal n et où r est la rotation vectorielle d angle dans le plan vectoriel orienté par le vecteur normal n Commentaire : Le vecteur u Soit i, j, k une base orthonormée directe L image d un vecteur u de coordonnées x, y, z dans la base i, j, k par la rotation vectorielle d angle autour de l axe orienté par le vecteur k est le vecteur v de coordonnées x', y', z ' x' cos sin 0 x avec : y' sin cos 0 y z' z Démonstration : Soit un vecteur u de coordonnées x, y, z dans la base i, j, k CommeVect i, j est le plan vectoriel de vecteur normal k, le projeté orthogonal du vecteur u sur ce plan est pu xi y j 0

21 L image de vecteur pu xi y j par la rotation vectorielle d angle dans le plan vectoriel x' cos sin x Vect i, j orienté par le vecteur k est égal au vecteur x' i y ' j où y' sin cos y Finalement l image du vecteur u de coordonnées x, y, z est égal au vecteur x' i y ' j z ' k avec x' cos x sin y y ' sin x cos y z' z Remarque : La matrice cos sin 0 sin cos 0 est la matrice dans la base orthonormée directe i, j, k 0 0 1,de la rotation vectorielle d angle autour de l axe orienté par le vecteur k La composée de deux rotations vectorielles autour d un même vecteur k d angles respectifs et ' est la rotation vectorielle autour de k et d angle ' 1 cos sin 0 cos sin 0 sin cos 0 sin cos 0 : matrice dans la base orthonormée directe i, j, k,de la rotation vectorielle d angle autour de l axe orienté par le vecteur k ) Réflexions On appelle réflexion vectorielle par rapport au plan vectoriel P, l application qui transforme tout vecteur u de l espace en le vecteur v tel que orthogonale sur le plan P v p u u où p est la projection 1

22 Soit i, j, k une base orthonormée L image d un vecteur u de coordonnées x, y, z dans la base i, j, k par la réflexion par rapport au plan vectoriel, x' x y' y z' z Vect i j est le vecteur v de coordonnées x', y', z ' avec :

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