Thermodynamique. Chapitre 4 : Machines thermiques. 1 Machines thermiques

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1 Thermodynamique Chapitre 4 : Machines thermiques Sommaire 1 Machines thermiques Machines thermiques cycliques Distinction moteur / récepteur Inégalité de Clausius Impossibilité d un moteur cylcique monotherme - énoncé de Kelvin Machines thermiques cycliques dithermes Source froide et source chaude Classification des machines cycliques dithermes : diagramme de Raveau Efficacité d une machine thermique Définition Efficacité (ou rendement) d un moteur ditherme Efficacité d un réfrigérateur ditherme Efficacité d une pompe à chaleur Machine ditherme réversible - Cycle de Carnot Etude d un exemple : le moteur à essence Principe de fonctionnement et cycle réel du moteur à essence 4 temps Approximation du cycle réel Cycle de Beau de Rochas Comparaison du cycle de Beau de Rochas avec le cycle de Carnot Efficacité cycle de Beau de Rochas Efficacité pour un cycle moteur de Carnot Conclusion Page On se propose dans ce chapitre d appliquer le premier et le deuxième principe de la thermodynamique à l étude des machines thermiques, dont le principe est de convertir du travail en transfert thermique ou inversement. Historiquement, les principes thermodynamiques présentés dans les chapitres précédents ont été progressivement découverts au xix e siècle lors du développement des moteurs. Après avoir dégagé quelques généralités concernant les machines thermiques, on déterminera l efficacité des trois types de machines dithermes que l on peut réaliser : moteur, réfrigérateur et pompe à chaleur. On étudiera enfin un exemple concret : celui du moteur à essence. 1 Machines thermiques 1.1 Machines thermiques cycliques Les machines thermiques ont été inventées dans le but d effectuer des échanges énergétiques ciblés : un moteur doit fournir du travail à l utilisateur ; un réfrigérateur ou un climatiseur doit prélever de l énergie thermique à ce qu il contient ; une pompe à chaleur doit puiser de l énergie thermique à l air extérieur pour chauffer l intérieur d une maison. 2013/2014 1/9

2 Les machines thermiques courantes (moteurs d automobiles, réfrigérateurs,...) fonctionnent de manière cyclique : le mécanisme revient périodiquement dans son état initial. On va donc se concentrer sur l étude des évolutions cycliques. Le fonctionnement d une machine thermique peut généralement être schématisé par une succession de transformations d un fluide, au cours desquelles celui-ci échange de l énergie avec l extérieur, sous forme de travail et de transfert thermique avec des thermostats. Dans toute la suite du chapitre, les échanges d énergie sont toujours orientés en convention récepteur : de l extérieur vers le système (le fluide). Le signe de chacun des échanges d énergie permet d en déduire le sens réel : diagramme Σ + sources de chaleurs 1.2 Distinction moteur / récepteur On peut classer les machines thermiques en deux catégories, selon qu elles fournissent ou reçoivent du travail (réellement, pas conventionnellement). Un moteur fournit effectivement du travail à l extérieur. Un récepteur reçoit effectivement du travail de l extérieur. Précisons le signe du travail échangé pour ces deux types de machines : moteur : W < 0 récepteur : W > 0 Dans le diagramme de Watt, un cycle moteur correspnd à un cycle parcouru dans le sens horaire. L aire du cycle correspond au bilan du travail effectivement fourni lors d un cycle : On en déduit qu un cycle récepteur est décrit par un cycle parcouru dans le sens anti-horaire : 1.3 Inégalité de Clausius Une machine thermique est dite polytherme si le fluide circulant échange de l énergie par transfert thermique avec plusieurs sources de chaleur. Elle est dite monotherme sinon. Elle est dite ditherme dans le cas d échanges avec deux sources de chaleur. Etablissons l inégalité de Clausius qui correspond à l expression du deuxième principe appliqué au cas d une machine cyclique polytherme : machine cyclique : S = 0 S e = k Q k T k S c 0 0 k Q k T k Inégalité de Clausius L inégalité de Clausius caractérise un système subissant une évolution cyclique polytherme : N Q k 0 (1) T k k=1 où Q k représente le transfert thermique fourni au système par le k-ème thermostat à la température T k. L égalité correspond au cas limite de la transformation réversible. 2013/2014 2/9

3 1.4 Impossibilité d un moteur cylcique monotherme - énoncé de Kelvin Kelvin a énoncé le deuxième principe sous la forme suivante : Enoncé de Kelvin du deuxième principe Il n existe pas de cycle moteur construit à partir d une seule source d énergie thermique. Vérifions cette assertion en appliquant les deux premiers principes : 0 = Q + W 0 Q T Q 0 W 0 (nécessairement une machine réceptrice) L énoncé de Kelvin traduit la dissymétrie entre l énergie thermique et l énergie mécanique : il est impossible de convertir intégralement de l énergie thermique en énergie mécanique de façon cyclique, c est-à-dire selon une transformation dont le seul résultat serait cette conversion d énergie. Par exemple, on ne peut pas envisager de faire avancer un bateau uniquement en prélevant de l énergie par transfert thermique à l eau. Le premier principe ne l interdit pas, le second l interdit. 2 Machines thermiques cycliques dithermes 2.1 Source froide et source chaude La plupart des machines thermiques usuelles fonctionnent en utilisant deux thermostats à deux températures différentes. On appelle source chaude le thermostat de température la plus élevée ( ), et source froide le thermostat de température la plus basse ( ). On notera le transfert thermique reçu par le système depuis la source chaude (orientation conventionnelle), et Q F celui reçu depuis la source froide. 2.2 Classification des machines cycliques dithermes : diagramme de Raveau A l aide du premier principe appliqué à un cycle, montrons que pour une valeur donnée du travail on peut considérer comme une fonction de Q F : 0 = Q F + W = W Q F On peut représenter graphiquement les différentes machines cycliques dithermes envisageables : c est le diagramme de Raveau (,Q F ) : Traccer en fonction de Q F En invoquant l inégalité de Clausius, repérons la partie du diagramme correspondant à un fonctionnement possible : Q F La droite Q F. Q F Q F est plus pentue que = En invoquant le premier principe, distinguer les deux parties du diagramme correspondant respectivement à un fonctionnement moteur ou récepteur : 2013/2014 3/9

4 W + Q F = 0 W > 0 Q F < 0 < Q F récepteur : zones II, III et IV W < 0 > Q F moteur : zone I ; ( < 0, Q F > 0) : le sens des transferts thermiques est spontané. Pour un fonctionnement récepteur possible, repérons la partie du diagramme correspondant aux récepteurs utiles, i.e. qui inversent le sens spontané des transferts thermiques entre sources chaude et froide : zone II : Q F < 0 > 0 même sens que le transfert spontané (inutile) zone III : Q F < 0 < 0 Les deux sources jouent le même rôle (inutile) zone IV : Q F > 0 < 0 Le sens des transferts thermiques n est pas spontané (récepteur utile) 2.3 Efficacité d une machine thermique Définition L efficacité thermodynamique e d une machine thermique caractérise l efficacité avec laquelle est réalisée la conversion d énergie. Elle est définie par la relation : e = énergie utile énergie coûteuse (2) Efficacité (ou rendement) d un moteur ditherme En appliquant le premier et le deuxième principe sur un cycle, montrons que l efficacité d un moteur ditherme est inférieure à une valeur que l on précisera en fonction de et : Carnot-Clausius : e = W 0 = Q F + W 0 W W Å 1 1 ã e e max = 1 Le cas de l égalité n est atteint que si l évolution est réversible. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Carnot. Par ailleurs, l efficacité d un moteur ditherme étant toujours inférieure à 1, on l appelle aussi rendement du moteur, noté η. Théorème de Carnot relatif au moteur Le rendement d un moteur cyclique ditherme est : η η max = 1 (3) Le rendement maximal correspond à un moteur fonctionnant de manière réversible. 2013/2014 4/9

5 2.3.3 Efficacité d un réfrigérateur ditherme Un réfrigérateur a pour but de prélever de l énergie thermique à une enceinte froide pour maintenir sa température à une valeur basse. Il rejette de l énergie thermique dans une pièce déjà chaude. Ce transfert d énergie d une zone froide vers une zone chaude est contraire à ce qui se produirait spontanément. Il faut donc un apport d énergie par un agent extérieur pour réaliser ce transfert. Cet apport d énergie se fait sous forme mécanique : un compresseur fournit du travail au fluide qui circule dans la machine. C est ce compresseur qui consomme de l énergie électrique : Carnot-Clausius : premier principe : e = Q F W 0 = W + Q F W + Q F e peut être supérieur à 1. Å 1 Q F 1 ã W e ( ) e Efficacité d une pompe à chaleur Une pompe à chaleur a pour but de prélever de l énergie thermique à l air extérieur à une maison (source froide) pour chauffer l intérieur de la maison (source chaude). Ce transfert non spontané d énergie thermique de la source froide vers la source chaude nécessite un travail. efficacité : Carnot-Clausius : e = W Å ã TF W e 0 W Rq : efficacité max si =. 2.4 Machine ditherme réversible - Cycle de Carnot Un cycle ditherme réversible est appelé cycle de Carnot. Il faut que les échanges thermiques avec les thermostats se fassent de manière réversible : T = (isotherme) pendant échange avec S C T = (isotherme) pendant échange avec S F En dehors de ces échanges : (évolutions adiabatiques et réversibles : S = cte) Q F = = 0 Un cycle ditherme réversible doit être constitué de deux isothermes reliées par deux isentropiques (adiabatiques réversibles) : Tracé p(v) : (rappel : pente adiabatique plus pentue) Rq : aire du cycle faible. 3 Etude d un exemple : le moteur à essence On présente le principe de fonctionnement d un moteur à essence, puis en le modélisant de manière simplifiée on cherchera à calculer son rendement. 2013/2014 5/9

6 3.1 Principe de fonctionnement et cycle réel du moteur à essence 4 temps Il s agit du moteur à essence dans lequel un mélange convenable air-essence, obtenu à l aide d un carburateur, est admis dans la chambre de combustion du cylindre (représenté ci-dessous) où l inflammation est produite par une étincelle. On peut distinguer 4 temps au cours d un cycle : 1er temps : admission. La soupape d admission s ouvre et la soupape d échappement est fermée. Le piston entraîné par la bielle descend et aspire le mélange carburé (air + carburant) à la pression atmosphérique : étape AB. 2ème temps : compression et combustion. Les deux soupapes sont fermées. Le piston entraîné par la bielle remonte et comprime le mélange carburé : étape BC. En C, une étincelle électrique jaillit de la bougie (allumage). La combustion s effectue très rapidement et chauffe le gaz. Le piston n a pas le temps de beaucoup bouger, le volume reste presque constant et la pression augmente : étape CD. 3ème temps : détente. Le piston est alors repoussé violemment vers le bas, et le gaz de combustion se détend : étape DE. C est le véritable temps moteur du cycle (gaz fournit du travail au piston). 4ème temps : échappement. La soupape d admission restant fermée, la soupape d échappement s ouvre. Le piston entraîné par la bielle remonte et éjecte les gaz brûlés dans l atmosphère, à pression atmosphérique : étape EA. Pour que la machine soit motrice à chaque instant, on associe alors quatre cylindres qui parcourent le même cycle avec un décalage temporel constant les uns par rapport aux autres. 2013/2014 6/9

7 Il n est pas simple d étudier théoriquement le rendement de ce moteur. En effet, le gaz enfermé dans le cylindre change de nature au cours d un cycle. Par ailleurs, le système défini par l intérieur du cylindre et délimité par le piston est un système ouvert : du gaz est admis initialement, puis éjecté finalement. Enfin, les transformations subies par le gaz enfermé dans le cylindre ne correspondent pas exactement aux transformations simples envisagées jusqu ici (adiabatique, isotherme, isobare, monobare, etc...). 3.2 Approximation du cycle réel Cycle de Beau de Rochas Pour déterminer simplement le rendement du moteur à essence, on va assimiler le cycle réel à un cycle plus simple, une approximation du cycle réel : le cycle de Beau de Rochas. Pour obtenir ce cycle simplifié, on fait les hypothèses suivantes : A tout instant, les gaz enfermés dans le cylindre sont assimilés au même gaz parfait diatomique. C est une approximation raisonnable car l air est en large excès dans le mélange. L admission AB est supposée isobare et isotherme, seule la quantité de gaz parfait augmente et se traduit par une augmentation de volume. La compression BC et la détente DE sont supposées adiabatiques. C est raisonnable car ces transformations s effectuent très rapidement, et les échanges de chaleur n ont pas le temps de se faire. On les suppose en outre réversibles car grâce aux lubrifiants employés, on peut négliger les frottements solides du piston contre la paroi du cylindre. Ces deux transformations sont donc isentropiques. La combustion CD est supposée isochore. C est une approximation raisonnable car l explosion est très rapide et le piston n a pas le temps de bouger. Le gaz ne subit aucune évolution chimique. On assimile donc la chaleur dégagée pendant la combustion comme étant fictivement fournie par une source de chaleur jouant le rôle de source chaude. On décompose la phase d échappement EA en deux transformations : On suppose que l ouverture de la soupape d échappement ramène le gaz à la pression atmosphérique suffisamment rapidement pour que le piston n ait pas le temps de bouger. On suppose aussi que la quantité de gaz éjectée est très faible et peut être négligée. La quantité de gaz reste constante. Le système est fermé et la détente est isochore : étape EB du cycle de Beau de Rochas. Lors de cette détente, le gaz fournit de la chaleur à l atmosphère qui joue ici le rôle de source froide. L éjection des gaz est supposée isotherme et isobare, seule la quantité de gaz parfait diminue et se traduit par une diminution du volume : étape BA du cycle ci-dessous. La figure ci-dessous à gauche présente le cycle correspondant aux approximations faites ci-dessus. 2013/2014 7/9

8 Dans le cadre de nos approximations, on remarque que les transformations AB et BA sont exactement inverses l une de l autre, et s effectuent à travail et transfert thermique nuls. Ainsi modélisées, elles n ont pas d influence sur le bilan énergétique que l on va effectuer pour calculer le rendement. On les néglige donc. Tout se passe comme si une certaine quantité de gaz constituant un système fermé décrivait indéfiniment le cycle simplifié BCDE de la figure précédente appelé cycle de Beau de Rochas. (Σ) échange un travail algébrique W avec l extérieur (que l on peut déjà prévoir négatif étant donné que l on modélise un moteur), un transfert thermique algébrique avec la source chaude et un transfert thermique algébrique Q F avec la source froide. On se ramène donc finalement au modèle classique d une machine cyclique ditherme, mais il faut être conscient des nombreuses approximations conduisant du moteur à explosion réel au modèle simplifié choisi. 3.3 Comparaison du cycle de Beau de Rochas avec le cycle de Carnot Considérons un cycle de Carnot, pour lequel la température de la source chaude correspond à la température maximale atteinte au cours du cycle, c est-à-dire T D. La température de la source froide est celle de l atmosphère, c est-à-dire T 0. Considérons par exemple les données suivantes : P B = P 0 = 1 bar ; T B = T 0 = 300 K ; taux de compression ou rapport volumétrique a = Vmax V min = 6 L efficacité d un moteur est définie par : e = η = W = + Q F = 1 + Q F Efficacité cycle de Beau de Rochas Au cours de la transformation CD (échauffement isochore), on a : = U CD = C V (T D ) Au cours de la transformation EB (refroidissement isochore), on a : Q F = C V (T B T E ) On peut donc exprimer le rendement du cycle en fonction des températures T B,, T D et T E : 2013/2014 8/9

9 η = 1 + T B T E T D Pour les transformations BC et DE adiabatiques réversibles, on peut appliquer les lois de Laplace. Il vient : D où l efficacité : pv γ = cte T V γ 1 = cte T B V γ 1 max = V γ 1 min T D V γ 1 min = T EV γ 1 max η = 1 + T B T E T E T B a 1 γ = T B a γ 1 T D = T E a γ 1 1 γ η = 1 a Efficacité pour un cycle moteur de Carnot D après la section II, l efficacité pour un cycle moteur de Carnot est : η C = 1 soit ici : η C = 1 T 0 T D Il faut donc déterminer T D pour accéder à l efficacité de Carnot : D + W CD = U CD D = C V (T D ) = 5 m 2 M R(T D ) Avec = T 0 a γ 1, on obtient : T D = T 0 a γ 1 + 2Mq C 5R Pour un carburant usuel, le pouvoir énergétique du à la combustion est q C = m 2000 kj kg 1. On en déduit : M = 29 g mol 1 η C = Conclusion Le cycle de Beau de Rochas est loin d être réversible. L irréversibilité provient surtout des transformations isochores CD et EB car au cours des échanges la température du gaz n est pas égale à celle de la source. 2013/2014 9/9

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