DS 1 -- Systèmes linéaires (dont élec PCSI) - ALI (13/09/2014 4h) Aucune sortie n est autorisée avant 12h

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1 PSI 14/15 DS 1 -- Systèmes linéaires (dont élec PCSI) - ALI (13/09/2014 4h) Extrait des Instructions générales des concours Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l attribution de points. Toute application numérique ne comportant pas d unité ne donnera pas lieu à l attribution de points. Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc. Aucune sortie n est autorisée avant 12h - 1 -

2 Problème 1 : Adaptation d impédance et stabilité (extrait CCP > 2010) - 2 -

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4 Problème 2 : Filtre en électronique (extrait anciennes Mines de sup) Le but de ce problème est d étudier un exemple simple de circuit électronique permettant de filtrer certains signaux et d en éliminer d autres. On considère le circuit électronique suivant : 2C - v e R A R C + v s L amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire. Étude en régime permanent sinusoïdal La tension d entrée est fournie par un générateur basse fréquence et s écrit v e E m cost où E m est la valeur maximale et la pulsation de la tension d entrée. La tension de sortie sera notée v s V m cos(t+) où V m désigne la valeur maximale de la tension de sortie et le déphasage de celle-ci par rapport à la tension d entrée. L étude mathématique du filtre sera effectuée en utilisant la notation complexe v e et v s pour ces deux tensions : v e E e j t et v m s V e j ( t ) (avec j 2 = -1) m 1. Déterminer par des considérations physiques simples, avec peu de calculs, la nature probable du circuit électronique proposé. On admet que la fonction de transfert de ce circuit peut s exprimer sous la forme : vs 1 H( j) v jrc ( RC) e 2. Déterminer, en fonction de R, C et : le gain du filtre, noté G() le déphasage, dont on précisera l intervalle de variation. 3. On souhaite écrire la fonction de transfert sous forme normalisée : H(j) v s 1 v e 1 2j Exprimer les constantes (coefficient d amortissement du filtre) et 0 en fonction de R et de C. Déterminer simplement la nature du filtre à l aide de l expression de la fonction de transfert

5 4. Donner, en fonction de G() la définition du gain exprimé en décibels (db), noté dans la suite G db. Déterminer le comportement asymptotique du gain en décibels G db, c est-à-dire l expression simplifiée de G db pour << 0 et >> 0. Dans la suite, on considérera que << 0 si < 0 /10 et que >> 0 si > Définir, puis déterminer la bande passante du filtre. On fera aussi l application numérique. On donne pour cela C 1µF 10-6 F et R 100. Analyse de Fourier La tension d entrée est désormais une tension triangulaire (voir figure ci-dessous) de pulsation 0 (définie à la question 3) et de période T 0 2/ 0, dont la décomposition en série de Fourier s écrit : v e (t) 8E m cos 2 0 t 1 3 cos(3 t) cos(5 2 0t)... +E m v e (t) -T 0 0 T 0 /2 T 0 t E m, valeur maximale de v e, vaut ici E m 1 V. -E m On constate expérimentalement que la tension de sortie v s est une fonction sinusoïdale du temps. 6. Définir les termes : fondamental et harmonique de rang n. 7. Déterminer la pulsation de la tension de sortie. 8. Calculer numériquement la valeur maximale de la tension de sortie. Etude du circuit en régime transitoire La tension d entrée v e est désormais quelconque. v s (V) 9. Déterminer, en utilisant l expression de la fonction de transfert donnée à la question 2, l équation différentielle du second ordre qui relie les deux tensions v e et v s. On suppose que la tension d entrée est un échelon de tension, c est-à-dire que v e (t) 0 pour t < 0 et v e (t) E pour t 0, où E est une tension constante. La figure ci-contre, obtenue avec un logiciel de calculs formels, donne la variation de la tension de sortie v s en fonction du temps. Les données numériques sont les mêmes que celles de la question 5. t (s) 10. Quelle est la valeur numérique de la tension E? 11. Quelle est la nature du régime transitoire observé? Pourquoi? - 5 -

6 Problème 3 : Transitoires électriques (extrait anciennes Mines de sup) Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C placés en série. On le place aux bornes d un générateur de force électromotrice E et de résistance interne R g en série avec un interrupteur K. Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit u c la tension aux bornes du condensateur. A l instant t = 0, on ferme l interrupteur K. 1. Déterminer, sans calcul et en le justifiant u 0. Déterminer alors 0 2. Etablir l équation différentielle à laquelle obéit u c (t). c i. 3. Déterminer la constante de temps du circuit, et donner son interprétation physique (i.e. quelle information nous donne cette constante?). 4. Etablir l expression de u c (t) en fonction du temps. 5. Déterminer l instant t 1 pour lequel la tension du condensateur vaut u c = 0,9 E. 6. Lorsque le régime permanent est atteint (théoriquement pour un temps infini), quelle est l énergie emmagasinée dans le condensateur? 7. Au cours de la charge du condensateur, quelle est l énergie fournie par le générateur? Faire un bilan de puissance, puis un bilan énergétique, et en déduire l énergie totale dissipée par effet Joule dans le circuit

7 Dans l étude expérimentale du circuit RC, on observe l oscillogramme ci-dessous en utilisant un générateur délivrant un signal créneau [0,E]. Les sensibilités sont : 1V / carreau vertical ; 0,1 ms / carreau horizontal. 8. Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix. 9. Doit-on régler l oscilloscope en mode AC ou DC? 10. Préciser l expression de la tension au point P. Sachant que R = 100, déterminer R g à partir de l oscillogramme. 11. A partir de l oscillogramme, estimer une valeur minimale de la période du signal créneau utilisé. En déduire une majoration de la fréquence du signal carré utilisé. 12. Comment pourrait-on observer l intensité? Faire un schéma du circuit avec le branchement des voies A et B de l oscilloscope

8 Résolution de problème 4 : à propos du dessin animé Là-Haut de Pixar La première image est extraite du dessin animé «Là-Haut» de Pixar. On peut y voir une maison transportée dans les airs par des ballons gonflés à l Hélium. La deuxième image est une vraie photo de ce que l on appelle le «Ballooning» : le vol en ballons. Le dispositif représenté est censé pouvoir transporter une personne adulte. Questions : - Vérifier que le nombre de ballons de la 2 e photo est suffisant pour transporter une personne. - Le nombre de ballons représentés dans le dessin animé de Pixar est-il suffisant? - 8 -

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10 Fin de l énoncé