Les variables aléatoires discrètes.

Transcription

1 Probabltés. Chaptre 3. Les varables aléatores dscrètes. On suppose dans ce chaptre que (Ω, P) est un espace probablsé fn ou dénombrable (c'est à dre que les éléments de Ω sont numérotables). 1 Les varables aléatores dscrètes. Par défnton, les varables aléatores réelles défnes sur (Ω, P) sont les applcatons de Ω dans R. Elles sont dscrètes (par opposton à "contnues") en ce sens que, comme Ω, l'ensemble des valeurs qu'elles prennent est au plus dénombrable. Par eemple, s l'épreuve étudée consste à jeter deu fos un dé ordnare, on peut chosr pour unvers Ω l'ensemble {1,, 3, 4, 5, 6} et pour probablté P l'équprobablté. La somme, la dfférence, le produt, le quotent, le plus grand, le plus pett, le premer, le deuème, (etc...) des deu numéros obtenus sont des varables aléatores réelles. Les varables aléatores réelles sont souvent notées X et, accessorement, s'l y en a pluseurs : Y, Z, T. Dans la sute du chaptre, X, Y, Z, T désgnent des varables aléatores réelles défnes sur Ω. Voc comment on peut noter certans événements : Evénement Notaton {a Ω / X(a) = 8} (X = 8) {a Ω / X(a) 5} (X 5) {a Ω / 3,5 < X(a) < 8} (-3,5 < X < 8) {a Ω / X(a) > 7} (X > 7) La lo de probablté. La lo de probablté de X est la donnée, sous forme de tableau ou par une formule, des valeurs possbles pour X et des probabltés P(X = ) correspondantes. Quand la lo de probablté de X est présentée sous forme d'un tableau, on a ntérêt à donner auss les probabltés cumulées P(X ). Voc, à ttre d'eemple, un tel tableau pour X égale à la somme des deu numéros obtenus lors de deu jets d'un dé ordnare : P(X = ) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 P(X ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 1/36 6/36 30/36 33/36 35/36 1 La lgne des probabltés cumulées dot se termner par 1. Elle défnt la foncton de répartton. La foncton de répartton F de X est la foncton défne sur R, à valeurs dans [0,1], telle que: F() = P(X ). Dans le cas où les valeurs possbles pour X sont en nombre fn, la courbe représentatve de F est un escaler dont la premère marche a pour ordonnée 0 et dont la dernère marche a pour ordonnée 1. * Eercce : représenter F dans l'eemple c-dessus. Probabltés Chaptre 3 Page 1

2 3 L'espérance mathématque. On suppose que X prend les valeurs avec les probabltés respectves p ( IN*). L'espérance mathématque de X est le réel : E(X) = p.. L'espérance mathématque de X précse la poston de X. Pour tout réel a : E(a) = a ; E(X + a) = E(X) + a ; E(X + Y) = E(X) + E(Y) ; E(a.X) = a.e(x). (L espérance d une constante est cette constante ; l espérance est lnéare.) On admet provsorement l égalté E(X + Y)=E(X) + E(Y). Par défnton, une varable aléatore est centrée s son espérance mathématque est nulle. Centrer une varable aléatore, c est lu retrer son espérance mathématque. s m = E(X) alors : E(X m) = 0. 4 La varance, l'écart-type. On suppose que X prend les valeurs avec les probabltés respectves p ( IN*). On désgne par m l'espérance mathématque de X. a) La varance. La varance de X est le réel : V(X) = E(X m). La varance de X précse sa dsperson. Elle est d autant plus grande que X est dspersée. Elle est nulle s, et seulement s, X est constante. Voc dfférentes écrtures pour la varance de X : V(X) = E(X m) ; V(X) = p.( m) ; V(X) = E(X ) m ; V(X) = p. m. Retenr : espérance du carré mons carré de l espérance. S a est un réel alors : V(a) = 0 (et récproquement, s V(X)=0 alors X est constante) ; V(X + a) = V(X) (la varance est nsensble au translatons); V(a.X) = a.v(x) ; E(X a) = V(X) + (m a) (égalté de Koeng-Huygens). b) L écart-type. L'écart-type de X est la racne carrée de la varance de X. On le note σ (X). σ (X) = V(X). Il résulte des proprétés de la varance que : ( (a, b) IR ) σ (a.x + b) = a. σ (X). L'écart-type de X précse lu auss la dsperson de X. Il est d autant plus grand que X est dspersée. Il est nul s, et seulement s, X est constante. Par défnton, une varable aléatore est rédute s son écart-type est égal à 1. Rédure une varable aléatore d écart-type non nul, c est la dvser par son écart-type. S s = σ(x) et s s 0 alors : σ(x/s) = 1. Probabltés Chaptre 3 Page

3 c) L'négalté de Benaymé-Tchébycheff. Désgnons par m l'espérance mathématque de X. S σ(x) > 0 alors : Voc un graphque llustrant cette négalté : Pour a > 0 : P( X - m a.σ(x)) 1 a. m-3s m-s m-s m m+s m+s m+3s (s : écart-type) mons de 5% à l'etéreur donc plus de 75% à l'ntéreur Démonstraton : σ = p ( m) m a. σ mons de 11, % (1/9) à l'etéreur donc plus de 88,8 % à l'ntéreur p ( m) a. σ p = a. σ.p( X m a. σ). m a. σ 5 Les moments. Désgnons par m l'espérance mathématque de X, s elle este. Le moment d ordre n (n N) de X est l espérance de X n n, c est à dre : p. Le moment centré d ordre n (n N) de X est l espérance de (X-m) n n, c est à dre : p ( m). Ans, le moment (centré ou pas) d ordre 0 de X est 1 ; le moment d ordre 1 de X est E(X) ; le moment centré d ordre 1 de X est 0 ; le moment centré d ordre de X est V(X). Certans moments de X peuvent ne pas ester : la varable aléatore prenant la valeur ( N*) avec la 6 1 π probablté p = ne possède que son moment d ordre 0. ( = ). π 6 6 La lo unforme sur { a + 1, a +,..., a + n } (a IR ; n IN*). On suppose que la lo de probablté de la varable aléatore X est ans défne : ( {1,..., n}) P(X = a + ) = 1 n. Par défnton, X est unforme sur { a + 1,..., a + n }. X a pour espérance mathématque : X a pour varance : E(X) = a + n + 1. V(X) = n 1 1. Probabltés Chaptre 3 Page 3

4 Eercces. 1. On tre au hasard une carte dans un jeu de 3. Sot X la varable aléatore qu assoce à une carte la valeur 4 s c est un as, 3 pour un ro, pour une dame, 1 pour un valet et 0 pour le reste. Donner la lo de probablté de X, l espérance mathématque de X et la varance de X.. On jette deu dés non truqués. Soent X le plus grand des deu chffres, Y la somme des deu chffres et Z la somme de X et de Y. Détermner les los de probabltés, les espérances mathématques et les varances des tros varables aléatores X, Y et Z. 3. Une urne content 10 boules numérotées 0 pour l une d entre elles, 1 pour tros d entre elles et pour les autres. On etrat smultanément deu boules. Détermner la lo de probablté de la somme X des chffres pus E(X) et Var(X). 4. Les 6 faces d un dé truqué sont numérotées de 1 à 6. Les faces 1, 3, 5 sont équprobables, les faces pares sont équprobables et on sat que P()= 3 P(1). a) Trouver les probabltés des dfférentes faces. b) On pose X=1 s le numéro est mpar, X= s le numéro est 6 et X=0 dans les autres cas. Détermner la lo de probablté de X, sa foncton de répartton, son espérance mathématque et sa varance. 5. Un jeu consste à puser au hasard dans un sac contenant 0 jetons blancs et 80 jetons nors. On puse jusqu à l obtenton d un jeton nor, mas en se lmtant à 4 trages au mamum et en remettant le jeton tré dans le sac à chaque fos. A comben de trages peut-on s attendre sur 100 partes. 6. On lance un dé d fos de sute. Sot X le numéro obtenu au -ème lancer et S la somme des numéros obtenus. a) Trouver E(X ), Var(X ), E(S), Var(S). b) Donner un majorant de P( S-E(S) 0). 7. On chost au hasard un nombre X entre 1 (comprs) et 9 (comprs). Donner la lo de probablté de X, son espérance mathématque et sa varance. Quelle est la probablté que ce nombre sot comprs, au sens large, entre 3 et 7? Utlser l négalté de Benaymé-Tchébychev pour donner un mnorant de cette probablté. 8. On chost au hasard, avec équprobablté, deu nombres parm les cnq nombres 0, 1,, 3, 4. On désgne par X la varable aléatore égale au plus grand des deu nombres choss Donner la lo de probablté de X, son espérance mathématque et sa varance. 8.. L négalté de Benaymé-Tchébychev fournt un majorant de la probablté P(X = 1). Quel est ce majorant? 9. On dspose 3 pons blancs et 1 pon nor sur un damer comportant 3 lgnes et 4 colonnes. a) Quelle est la probablté que les 3 pons blancs soent sur une même lgne ou un même colonne? b) quelle est la lo de probablté et l espérance mathématque de X défne comme la somme des ndces de lgne et de colonne de la case occupée par le pon nor? 10. 1) On consdère une roue de lotere dvsée en s secteurs égau : un rouge, tros blancs et deu bleus. Un joueur fat tourner cette roue et regarde quelle est la couleur obtenue. S elle est rouge, l gagne ; s elle est blanche, l perd ; s elle est bleue, l dot refare tourner la roue. S, à l ssue de cette deuème épreuve, la couleur obtenue est rouge, le joueur gagne ; s elle est blanche ou bleue, l perd. Calculer les probabltés suvantes : a) probablté p 1 de gagner dès la premère épreuve ; b) probablté p de gagner à l ssue de la deuème épreuve ; c) probablté p de gagner la parte. ) La roue possède mantenant secteurs égau ( étant un nombre enter supéreur ou égal à 4) ; un secteur est rouge, tros sont blancs et les autres sont bleus. Le prncpe du jeu reste le même que précédemment : s le joueur gagne à la premère épreuve, l reçot 4 F ; s l perd à cette premère épreuve, l verse F ; s l obtent un secteur rouge à la deuème épreuve, l reçot 6 F ; s l obtent un secteur blanc, l verse 1 F et s l obtent un secteur bleu, l ne reçot n ne verse ren. On appelle X la varable aléatore réelle égale à +A s le jour a gagné A F, à -B s le joueur a perdu B F. a) Etablr la lo de probablté de X en foncton de. b) Détermner en foncton de l espérance mathématque de X. c) Quel dot être le nombre total de secteurs de la roue pour que le jeu sot équtable, c est à dre pour que E(X)=0? d) Quel dot être le nombre total de secteurs pour que E(X) sot mamale? chevau, 4 blancs et 5 nors, pénètrent 1 à 1 sur la pste d un crque. On désgne par X le nombre de chevau blancs précédant le premer cheval nor. Donner la lo de probablté de X, son espérance mathématque et sa varance. Probabltés Chaptre 3 Page 4

5 1. Un sac content n boules dont deu blanches, les autres étant nores. On épuse l urne en trant une à une les n boules sans les remettre. Sot X le rang de la premère boule blanche trée. Donner la lo de probablté de X et son espérance mathématque. 13. On tre smultanément boules d un sac contenant 6 boules numérotées de 0 à 5. X est ans défn : X=0 s les numéros a et b obtenus sont mpars ; = a + b s ls sont tous deu pars ; X= a-b dans tous les autres cas. Trouver la lo de probablté de X. 14. On s ntéresse à une populaton de s personnes. Voc un tableau précsant l âge (en années) et le see de chacune d elles. On chost au hasard une personne dans cette populaton On consdère les événements suvants : A : la personne chose est de see masculn ; B : la personne chose est de see fémnn ; C : la personne chose est âgée d au plus 0 ans ; D : la personne chose est âgée d au mons 1 ans ; E : la personne chose est âgée d au mons ans. See M F F M M F Age a) Détermner les pares d événements (choss parm ces événements) ncompatbles. b) Détermner les pares d événements (choss parm ces événements) contrares. c) Détermner les pares d événements (choss parm ces événements) ndépendants On désgne par X la varable aléatore égale à l âge (en années) de la personne chose. a) Calculer l espérance mathématque et la varance de X. L négalté de Benaymé-Tchébychev fournt un mnorant de la probablté de l événement F : «L âge de la personne chose est comprs (au sens large) entre 0 ans et 3 ans». b) Donner ce mnorant. c) Quelle est la probablté réelle de cet événement F? On chost au hasard une autre personne parm les cnq personnes restantes. Calculer la probablté que les deu personnes choses soent de même see On désgne par Y la varable aléatore égale à l âge (en années) de la plus jeune des deu personnes choses. a) Donner la lo de probablté de Y. b) Calculer la probablté P (Y < X 1). c) Calculer la probablté P A (Y < X) ( Probablté que la deuème personne chose sot plus jeune que la premère, sachant que la premère est de see masculn) On chost au hasard une trosème personne parm les quatre personnes restantes. Calculer la probablté que la plus jeune et la plus âgée des tros personnes choses soent de même see. Probabltés Chaptre 3 Page 5

6 15. Luce possède eactement 5 poules : blanches et 3 rousses. Deman, elle en destnera une à la casserole. Les rousses sont plus dffcles à capturer que les blanches : pour chaque rousse, la probablté de passer à la casserole deman est 1/6 ; pour chaque blanche, cette probablté est 1/4. Pour l heure (la nut tombe, les poules s endorment), Luce vent chercher les œufs pondus aujourd hu. Ils sont dspersés dans la palle mas elle n aura pas grand mal à les trouver. Aucune poule ne pond plus d un œuf par jour. Les rousses sont plus vallantes que les blanches : chaque jour, pour chaque rousse, la probablté de pondre un œuf est /3. Pour chaque blanche, cette probablté est 1/. Les poules pondent, ou ne pondent pas, ndépendamment les unes des autres. Pour chaque poule blanche et pour chaque poule rousse, la ponte d un œuf aujourd hu et le passage à la casserole deman sont ndépendants On s ntéresse à une poule chose au hasard parm les 5 poules. Donner la probablté de chacun des événements suvants : B : la poule chose est blanche ; R : la poule chose est rousse ; F : la poule chose a pondu un œuf aujourd hu ; C1 : la poule chose passera à la casserole deman ; la poule chose a pondu un œuf aujourd hu et passera à la casserole deman On désgne par N le nombre d œufs pondus aujourd hu par les 5 poules. Donner l espérance mathématque de N pus la lo de probablté de N Calculer la probablté de chacun des événements suvants : la poule qu passera à la casserole deman est rousse ; la poule qu passera à la casserole deman a pondu un œuf aujourd hu ; les 5 poules ont pondu eactement 3 œufs aujourd hu Luce vent de trouver un œuf pondu aujourd hu. Il y a peut-être d autres œufs pondus aujourd hu. Calculer la probablté, sachant que Luce vent de trouver un œuf pondu aujourd hu, de chacun des événements suvants : la poule qu a pondu cet œuf est rousse ; la poule qu a pondu cet œuf passera à la casserole deman ; les 5 poules ont pondu eactement 3 œufs aujourd hu On s ntéresse à 3 poules choses au hasard parm les 5 poules. Calculer la probablté de chacun des événements suvants : RRR : les 3 poules choses sont rousses ; FFF : les 3 poules choses ont pondu aujourd hu ; C3 : l une des 3 poules choses passera à la casserole deman ; les 3 poules choses ont pondu aujourd hu et l une d elles passera à la casserole deman Luce vent de trouver deu autres œufs pondus aujourd hu. Il y a peut-être d autres œufs pondus aujourd hu. Calculer la probablté, sachant que Luce a trouvé tros œufs pondus aujourd hu, de chacun des événements suvants : ces 3 œufs ont été pondus par les 3 poules rousses ; la poule qu passera à la casserole deman a pondu l un de ces 3 œufs ; les 5 poules ont pondu eactement 3 œufs aujourd hu. Probabltés Chaptre 3 Page 6

7 Réponses P(X = ) 1/ 1/8 1/8 1/8 1/8 E(X) = 5/4 = 1,5 ; Var(X) = 35/ =, P(X = ) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 P(X ) 1/36 4/36 9/36 /36 5/36 1 y P(Y = y) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 P(Y y) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 1/36 6/36 30/36 33/36 35/36 1 z P(Z = z) 1/36 0 /36 1/36 /36 /36 3/36 /36 P(Z z) 1/36 1/36 3/36 4/36 6/36 8/36 11/36 13/36 Z P(Z = z) 4/36 3/36 4/36 4/36 3/36 /36 /36 1/36 P(Z z) 17/36 0/36 4/36 8/36 31/36 33/36 35/36 1 E(X) = 1/36 ; Var(X) = 555/196 ; E(Y) = 7 ; Var(Y) = 35/6 ; E(Z) = 413/36 = E(X) + E(Y) ; Var(Z) = 17675/196 Var(X) + Var(Y) a) E(X) = 3 ; V(X) = 4/5. b) E(X) = 13/15 ; V(X) = 86/ P(X = ) 1/15 3/15 6/15 5/15 P(X ) 1/15 4/15 10/15 1 Face Probablté 3/15 /15 3/15 /15 3/15 / P(X = ) 4/15 9/15 /15 P(X ) 4/15 13/15 1 X < 0 0 < 1 1 < < F() 0 4/15 13/ X : nombre de trages P(X = ) 4/5 4/5 4/15 1/15 E(X) = 1,48; Sur 100 partes on peut s attendre à 15 trages (14,8). 6. a) E(X ) = 3,5 ; V(X ) = 35/1 ; E(S) = 35 ; V(S) = 175/6 ; b) P( S E(S) 0) < 7/ La lo de X est unforme sur {1,,..., 9}.E(X) = 5 ; Var(X) = 0/3 ; P(3 X 7) = 5/9 ; P( X 5 ) 7/ P(X = ) 1/10 /10 3/10 4/10 9. a) 3 3 C C 1 E(X)=4,5. = 4/55 b) 1. E(X) = 3 ; V(X) = 1. P(X = 1) = P( X 3 ) 1/ P(X = ) 1/1 /1 3/1 3/1 /1 1/1 P(X ) 1/1 3/1 6/1 9/1 11/1 1 Probabltés Chaptre 3 Page 7

8 10. 1) p 1 = 1/6 ; p = 1/18 ; p = p 1 + p = /9 ) a) a P(X = a) P(X a) b) E(X) = 1 c) = 1 d) E () = 4 ; E () = ( 36 ) ; = 4 ; E(4) = ( {0, 1,, 3, 4}) P(X = ) = C 8 4 C9 ; sous forme de tableau : P(X = ) 70/16 35/16 15/16 5/16 1/16 P(X ) 70/16 105/16 10/16 15/16 1 E(X) = /3 ; Var(X) = 50/63 1. L unvers Ω est l ensemble des pares de trages parm n trages. Card Ω = C n = n( n 1) L événement (X = ) (1 n 1) a autant déléments qu l y a de postons possbles pour le trage de la ème boule blanche, c est à dre n. Donc P(X = ) = ( n ) n( n 1) n 1 ( n ) n n 1 E(X) = = - = 1 n( n 1) n( n 1) = 1 n( n 1) 13. (1 n 1). n 1 = 1 = n n( n 1) n( n 1) P(X=) 3/15 6/15 1/15 4/15 0 1/15 P(X ) 3/15 9/15 10/15 14/15 14/15 1. n( n 1)( n 1) n( n 1) 6 = n a) A et B ; C et D ; C et E b) A et B ; C et D c) A et C ; A et D ; B et C ; B et D. a) E (X) = 1,5 ; Var (X) = 35/1 b) 8/15 c) /3 3. /5 4. Voc un tableau donnant les valeurs possbles pour Y M F F M M F a) b) P (Y < X 1) = 1/3 c) 7/ / y P(Y = y) 5/15 4/15 3/15 /15 1/15 P(Y y) 5/15 9/15 1/15 15/15 15/ /5 ; 3/5 ; 3/5 ; 1/5 ; P(F C1) = 7/ E(N) = 3 (/3) + (1/) = 3 n P(N = n) 1/108 8/108 5/108 38/108 8/108 8/ P C1 (R) = 1/ ; P C1 (F) = 7/1 ; P(N = 3) = 19/ P F (R)=/3 ; P F (C1)=7/36 ; P(N=3 / N>0)=38/ /10 ; 3/108 ; 3/5 ; P(FFF C3) = 17/ P FFF (RRR)=/115 ; P FFF (C3)=68/115 ; P(N=3 / N 3)=19/37 Probabltés Chaptre 3 Page 8

9 B. Lefranços, Bulletn APMEP n 411, Jullet Voc, mes chers élèves, sous forme de poème, L énoncé d un nouveau et passonnant problème... Dans une urne, un beau jour, séjournaent, réuns, Vngt jetons dentques qu se trouvaent muns Chacun d un numéro allant de un à vngt. Voulor les dstnguer eut été vrament van! A côté de cette urne, se tenat, sur la table, Un magnfque dé, eactement semblable A ceu que, d habtude, vous tous utlsez Lorsque vous ne cherchez qu à vous en amuser. C est alors que, prêtant une man nnocente, Quelqu un de votre classe va rompre notre attente : Mylèn jette le dé, lt le nombre obtenu, Plonge la man dans l urne et, de son contenu, Retre de jetons ce nombre eactement. Alors elle décde, fort opportunément, De ne garder en fat, pour fare son bonheur, Que ceu des numéros dont cnq est dvseur. Et dans sa tête alors, qu, en calculs est bonne, (Et pour plare à son prof qu de chffres l assomme,) Des jetons conservés, elle calcule la somme. Pour celu qu possède un soupçon de pratque, Un tel nombre se nomme aléa numérque. De cet aléa-là, vous tous, sans héster, Devez donner la lo de probablté ; Enfn dans votre élan, calculez l espérance Et s vous le pouvez, auss la varance. Voc donc posées, en vers de mrlton, Des questons dont, j espère, vous amerez le ton... Probabltés Chaptre 3 Page 9

10 Soluton. P(S = 0) = 1 6 ( C 1 + C + C 3 + C 4 + C 5 + C 6 ) = C 0 6 ( ) = P(S = 5) = 1 6 ( C 0 + C 1 + C + C 3 + C 4 + C 5 ) = C P(S = 10) = P(S = 5) = P(S = 15) (S = 15) = {15} {5, 10}. P(S = 15) = P({15}) + P({5, 10}). P({15}) = ; P({5, 10}) = 1 6 ( C 0 + C 1 + C + C 3 + C ) = P(S = 15) = = P(S = 0) (S = 0) = {0} {5, 15}.P(S = 0) = P(S = 15) = P(S = 5) 498 (S = 5) = {5, 0} {10, 15}.P(S = 5) = P({5, 0}) + P({10, 15}) = P(5, 10}) = 180. P(S = 30) (S = 30) = {10, 0} {5, 10, 15}. P(S = 30) = P({10, 0}) + P({5, 10, 15}). 464 P({10, 0}) = P({5, 10, 15}) = 1 6 ( C + C + C + C ) = C P(S = 30) = = P(S = 35) (S = 35) = {15, 0} {5, 10, 0}. P(S = 35) = P({15, 0}) + P({5, 10, 0}) = P(S = 30) = P(S = 40) = P({5, 15, 0}) = 1 6 ( C 0 C C + C + C ) = P(S = 45) = P({10, 15, 0}) = 1 6 ( C 0 + C 1 + C + C ) = C P(S = 50) = P({5, 10, 15, 0}) = 1 6 ( C 0 + C 1 + C 84 ) = C C C 180. Lo de probablté de S s *P(S=s) *P(S s) E(S) = 35 4 ; Var(S) = Probabltés Chaptre 3 Page 10