L3 PHYSIQUE EXPERIMENTALE ENS LYON. Etude de deux systèmes chaotiques Pendule double et circuit de Chua

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1 L3 PHYSIQUE EXPERIMENTALE ENS LYON Etude de deux systèmes chaotiques Pendule double et circuit de Chua Bérut Antoine et Lopes Cardozo David Mars 2009

2 Résumé Nous nous sommes intéressés à la mise en évidence du comportement chaotique de deux systèmes, l un mécanique, le pendule double, et l autre électronique, le circuit de Chua. Notre but était d'approcher pour la première fois ce genre de systèmes et d'essayer d'y trouver des points communs dus à leur caractère chaotique. Lors de l'étude du pendule double nous avons effectué des séries de lancés, enregistrant l'angle entre eux les deux parties de notre pendule ainsi que l'angle entre la verticale et la partie supérieure du pendule. Pendant chaque série de lancés, les positions et vitesses initiales du pendule étaient identiques de manière à mettre en évidence une sensibilité aux conditions initiales. Une grande partie de notre travail a ensuite été d'obtenir des signaux suffisamment propres par filtrage électronique et numérique pour pouvoir être dérivés et ainsi tracer des diagrammes de phase. Notre travail sur le circuit de Chua est une étude de ses différents composants. N'ayant pas réussi à obtenir les résultats souhaités nous présenterons ici brièvement les problèmes que nous avons dû affronter et quelques résultats présentés dans des articles de recherche que nous aurions voulu reproduire. Table des matières I) LE PENDULE DOUBLE... 3 A) DISPOSITIF EXPERIMENTAL ) Etude des problèmes mécaniques ) Etude des problèmes d acquisition... 5 B) EXPLOITATION DES DONNEES... 6 II) LE CIRCUIT DE CHUA... 8 A) TROIS CIRCUITS DE CHUA... 8 B) RESULTATS ESCOMPTES

3 I) Le pendule double A) Dispositif expérimental Le pendule double que nous avons utilisé est constitué de deux barres métalliques (cf figure 1.1). Chacune des liaisons (celle liant la barre supérieure au support et les deux barres ensemble) est munie de potentiomètres, les valeurs de leur résistance étant proportionnelles es aux angles respectivement θ 1 et θ 2. Le but de la manipulation est de lancer de la manière la plus reproductible possible notre pendule. Plusieurs acquisitions avec des conditions initiales identiques à moins d'un millimètre près furent ainsi effectuées de manière à mettre en évidence la sensibilité aux conditions initiales de notre système. De plus, notre objectif était de tracer la vitesse angulaire en fonction de l'angle pour obtenir des diagrammes de phase figure 1.1 3

4 1) Etude des problèmes mécaniques Les potentiomètres prennent des valeurs comprises entre 0 et 10 kω pour l'un et 0 et 20 kω pour l'autre. Pour pouvoir visualiser l'évolution de la valeur des potentiomètres au cours des acquisitions nous avons construits des ponts de Wheatstone (cf figure 1.2) de manière à ce qu'ils soient équilibrés lorsque le pendule est dans sa position d'équilibre. Le signal obtenu en sorti des ponts était enregistré sous Synchronie. figure1.2 : Pont de Wheatstone Des butées empêchent que plus de 10 tours soient effectués autour de chaque liaison. Le nombre de tours pouvant être effectués par la première liaison est, de plus, limité par les fils du potentiomètre qui risquent de s'enrouler autour de la liaison et modifier le comportement du système. Nous avons donc pris le parti de lancer le pendule de manière à ce que la première liaison n'effectue pas plus d'un tour sur elle-même. Nous avons voulu tout d'abord lancer le pendule depuis un point placé à la verticale de sa position d'équilibre (cf figure 1.3) mais de cette manière celui-ci ci se comportait très vite comme un pendule simple et basculait soit à droite soit à gauche, ce qui rendait les acquisitions difficiles à comparer. Nous prîmes donc la décision de le lâcher un peu en biais, de telle sorte qu'il parte initialement toujours dans la même direction. Pour une plus grande reproductibilité, le pendule était simplement lâché, et non pas lancé. Pour ce faire, nous avons tout d'abord utilisé une pince, puis un électroaimant pour éviter d'éventuels frottements, le pendule risquant de glisser un peu dans la pince avant de chuter. La hauteur de lâché joue également. Plus le pendule est lâché haut, plus il a une énergie initiale importante. Après plusieurs essais, nous avons pu remarquer qu'une énergie suffisamment importante devait être apportée initialement au système pour que la sensibilité aux conditions initiales soit bien visible. figure 1.3 4

5 2) Etude des problèmes d acquisition Nous avons d abord obtenus des courbes de cette allure : On constate sur ces images un premier trait caractéristique d'un comportement chaotique. Toutes les courbes suivent le même chemin pour les premiers instants d'acquisitions et divergent systématiquement les unes des autres pour un temps suffisamment long (environ 1 seconde pour l'angle θ 1 et moitié moins pour l'angle θ 2 ). D'autre part, on remarque des discontinuités dans les signaux acquis qui apparaissent pour certaines valeurs de l'angle θ 2. Cela semble provenir de défauts du potentiomètre correspondant. Nous avons essayé de regarder l'allure d'un portrait de phase avec les courbes ainsi obtenues, mais, même pour les courbes qui semblent les plus lisses (celles de l'angle θ 1 par exemple), les dérivées étaient particulièrement bruitées et même avec un nombre important de lissages numériques les résultats n'étaient pas très probants. Allure d une dérivée «brute» (en bleu). Allure après une soixantaine de lissages numériques. Pour améliorer nos acquisitions nous avons donc décidé de nous placer le plus loin possible des zones problématiques, les lancés ont donc été effectués de manière à ce que les angles provoquant des discontinuités ne soient pas réalisés lors des acquisitions (ce qui n est pas très contraignant puisque θ 2 ne fait jamais plus de 3 tours sur lui même), quitte à régler à nouveau le zéro des ponts de Wheatstone (ce qui n'était pas non plus difficile puisqu'ils étaient réalisés avec des résistances variables pour faciliter l étalonnage). Nous avons également rajouté un filtre passe-bas et un amplificateur entre les ponts et la plaquette d'acquisition (cf figure 1.4). Nous nous sommes de plus affranchis au maximum des effets d'antenne en réalisant les circuits de la manière la plus compacte possible. 5

6 B) Exploitation des données figure 1.4 Nous avons obtenu des courbes d allure suivante (nous avons réalisé en tout trois séries de 4 lancés dont une avec une position initiale différente des deux autres) : Nous avons alors essayé de réaliser un portrait de phase, en combinant les lissages numérique et la fonction "filtre passe-bas" disponible sous synchronie. Qualitativement, les oscillations observées sur nos signaux étaient, pour les plus rapides, de l'ordre de 1 Hz, ce qui laissait a priori une grande marge dans le choix de la fréquence de coupure du filtre numérique à appliquer. Cependant, nous avons constatés que des filtres numériques trop restrictifs, même s'ils permettaient d'obtenir de superbes portraits de phase (figure 1.5 (a)), provoquaient un étrange décalage entre les courbes expérimentales et les modèles lissés (figure 1.5 (b)). Nous avons donc décidé de nous limiter à des filtres d'une fréquence de coupure relativement proche du 50Hz, fréquence de plus grand poids dans le bruit, comme nous l'avaient indiqué les transformées de Fourier des signaux obtenus (figure 1.6). 6

7 figure 1.5 : (a) Filtre numérique à 2Hz. figure1.5 : (b) Divergence du modèle (noire) par rapport à l expérience (rouge). Nous obtenons alors des portraits de phase d allure suivante (réalisés ici pour trois angles θ 1 et trois angles θ 2 ) : figure 1.6 : filtre numérique à 15Hz et une dizaine de lissages par signal. On constate avant tout dans chaque portrait de phase un enroulement autour d'un point d'équilibre, correspondant à l'amortissement du mouvement dû à la présence de frottements. Cependant, on constate également que, malgré la divergence apparente sur les courbes représentants les angles en fonction du temps, les portraits de phase présentent de fortes similarités, et ce, quel que soit le lâché initial. Il y a donc bien ici l'illustration de deux choses : _ Le comportement chaotique du pendule double, qui, malgré des conditions initiales les plus identiques possible, diverge très rapidement dans le temps. _ Le caractères déterministe du chaos suggéré par la similarité des portraits de phase. 7

8 Il est difficile de tirer plus d'information de nos mesures et de leur exploitation, en particulier des informations quantitatives sur les portraits de phase ou sur l'existence d'attracteurs étranges car, dans le cas idéal sans frottement, le pendule double ne présente pas d'attracteur étrange dans son portrait de phase. Un phénomène de dédoublement de fréquence aurait aussi pu apparaître si le système avait été moins amorti. II) Le circuit de Chua Nous voulions comparer les résultats obtenus avec un système chaotique mécanique à ceux que l'on peut obtenir avec un système chaotique électronique. Nous avons choisi le circuit de Chua car il ne nécessitait que des composants simples et était réputé peu sensible à la valeur des composants introduits. Le circuit de Chua a été décliné en plusieurs circuits. Nous nous sommes intéressés ici à trois d'entre eux. Malheureusement, nous n'avons pas pu obtenir les résultats escomptés avec ces circuits. Même après avoir résolu plusieurs problèmes dus à des dysfonctionnements matériels nous n'avons malgré tout jamais réussi à obtenir autre chose que du bruit avec les circuits complets. Nous présenterons donc ici nos observations et brièvement certains résultats dont nous aurions aimé nous rapprocher. A) Trois circuits de Chua Les circuits que nous avons réalisés peuvent être séparés en deux grandes catégories : les circuits non autonomes (représentés en figure 2.1 et figure 2.2) et un circuit autonome (identique à celui de la figure 2.1 dans lequel le générateur de tension variable entre A et B serait remplacé par un interrupteur ouvert), puisqu'alimenté uniquement par le biais des AO. Pour chaque circuit, le but était de tracer la tension aux bornes d'un condensateur en fonction de celle aux bornes de l'autre condensateur. Suivant un article, nous avons d'abord réalisé un circuit de Chua non-autonome (figure 2.1). figure 2.1 Source : article «A new non-autonomous version of Chua s circuit» par Recai Kiliç, Ö. Galip Saraçoglu et Fatma Yildirimb (Journal of the Franklin Institute 2006). Pour lequel nous n'avons obtenu aucun résultat malgré différentes tentatives de branchement (notamment le choix des masses et de la position de l'alimentation n'étaient pas particulièrement explicite). Nous avons donc décidé de nous reporter vers un modèle plus simple, le circuit de Chua «original» (figure 2.2). 8

9 figure 2.2 Source : article «The Double Hook» par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, no 12, décembre 1988). Pour lequel nous n'avons pas eu plus de résultats. Nous avons alors tenté de réaliser un circuit de Chua autonome, réputé simple à faire fonctionner et donnant de bons résultats (cf figure 2.3). figure 2.3 Source : article A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos par Hobson et Landbury. Là encore, nous n'avons rien pu obtenir. Une étude minutieuse de chaque composant de circuit pris à part nous permis de déterminer que le problème venait de la "résistance négative non linéaire" (figure 2.4), pièce maîtresse du circuit de Chua et cause de son comportement chaotique. Or cette résistance se comportait chez nous comme une simple résistance positive... figure 2.4 : schéma d une résistance négative d impédance Z (a) et sa caractéristique attendue (b). Source : article «The Double Hook» par Bartissol et Chua (IEEE Transactions on circuits and systems, vol 35, no 12, décembre 1988). 9

10 B) Résultats escomptés Nous présentons ici des résultats expérimentaux tirés d'un des articles que nous avons utilisés. D'après cet article, avec le dernier circuit représenté sur la figure 2.3, nous aurions pu obtenir des attracteurs de la forme suivante : (a) period-4 attractor. (b) The single scroll attractor. (c) A period 3 attractor. (d) The double scroll attractor. figure 2.5 Source : article A simple circuit to demonstrate bifurcation and chaos par Hobson et Landbury Conclusion générale : Cette brève étude des deux systèmes chaotiques que nous avons choisis nous a permis de mettre en évidence certaines des principales caractéristiques du chaos : sensibilité aux conditions initiales et caractère déterministe du chaos exprimé dans les portraits de phase. Elle aurait dû, dans le cas idéal, nous permettre également de tracer un attracteur étrange caractéristique du circuit de Chua et donner un aperçu de la diversité des comportements des systèmes chaotiques (le pendule double ne présentant pas par exemple d attracteur étrange et les conditions initiales du circuit de Chua n'étant pas contrôlables). Elle nous a entre autres confrontés à différents problèmes expérimentaux, mécanique, d acquisition ou de traitement du signal, qui nous ont obligés à adapter nos protocoles par rapport à nos prévisions initiales. 10