3 e Thalès et sa réciproque
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- Vincent Labonté
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1 e Thalès et sa réciproque Exercice 1 Exercice Les droites (SU) et (TV) sont parallèles. Exercice Les droites (MN) et () sont parallèles. Calculer MN. Calculer, RV et ST. Exercice 4 C 1 et C ont pour diamètres respectifs [RU] et [UE]. RU = cm ; UE = cm et UG =,4 cm. Les triangles ROU et UGE sont rectangles respectivement en O et en G. a. Que peut-on en déduire pour les droites (RO) et (GE)? b. Calculer UO. c. Calculer GE.
2 Exercice 5 Document 1: Extrait de la liste alphabétique des élèves de la e F et d informations relevées en E.P.S. pour préparer des épreuves d athlétisme. Prénom Jour de naissance Taille en m Nombre de pas réalisés sur 100 m Gary 6/10 1, Mattéo 0/05 1,6 1 Matthieu 05/11 1,56 18 Vaiana 05/06 1,71 15 William 10/1 1,60 18 Yohanna 14/05 1,5 10 Document : Le croquis ci-dessous représente Vaiana élève de e F. Vaiana a d'abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s'est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la septième noix de coco. A l aide des informations qui proviennent des documents précédents, calculer la hauteur du cocotier en expliquant clairement la démarche. Exercice 6 AB = 5 cm AM = 8 cm AC =,5 cm AN = 5,6 cm Montrer que () et (MN) sont parallèles. Exercice 7 LJ = cm JN = 5 cm JT = 4 cm JM =,4 cm Montrer que (LN) et (MT) sont parallèles. Exercice 8 Sur la figure ci-contre, les droites (NS) et(ro) sont parallèles ; le point I appartient à [RO]. (RN) et (IS) sont sécantes en E. a. Montrer que les droites (IE) et (NO) sont parallèles. b. En déduire la nature du quadrilatère NOIS. c. Calculer SE.
3 e Thalès - Correction Exercice 1 Les droites (ST) et (RC) sont sécantes en A. Les droites (TC) et (SR) sont parallèles. AT AS = AC AR = TC SR Les droites (EB) et (DC) sont sécantes en A. Les droites () et (ED) sont parallèles. AB AE = AC AD = ED Les droites (RT) et (US) sont sécantes en V. Les droites (UR) et (TS) sont parallèles. VU VS = VR VT = UR ST Les droites (GL) et (HK) sont sécantes en O. Les droites (GH) et (KL) sont parallèles. OG OL = OH OK = GH LK Exercice Les droites (TS) et (VU) sont sécantes en R. Les droites (SU) et (TV) sont parallèles. RT = RU RV = SU TV =,5 RV = 4 5 Calcul de = 4 5 = 4 5 = 1 5 =,4 cm Calcul de RV,5 RV = 4 5 RV = 5,5 4 RV = 1,5 4 RV =,15 cm Calcul de ST ST = RT =,4 = 0,6 cm
4 Exercice Les droites (BN) et (CM) sont sécantes en A. Les droites (MN) et () sont parallèles. AM AC = AN AB = MN CB 0,6 1,8 = AN AB = MN,1 Calcul de MN 0,6 1,8 = MN,1 MN =,1 0,6 1,8 MN = 1,6 1,8 MN = 0,7 cm Exercice 4 a) Les droites (RO) et (GE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OG) donc les droites (RO) et (GE) sont parallèles. b) Les droites (RE) et (GO) sont sécantes en U. Les droites (RO) et (GE) sont parallèles. UR UE = UO UG = RO EG = UO,4 = RO EG Calcul de UO = UO,4 UO =,4 UO = 4,8 UO = 1,6 cm Exercice 5 C c) D après le théorème de Pythagore dans le triangle EGU rectangle en G, on a : UE² = UG² + GE² ² =,4² + GE² 9 = 5,76 + GE² GE² = 9 5,76 GE² =,4 GE =,4 = 1,8 cm E B D A D après le document 1, DE = 1,71 m. D après le document, AD = pas et AB = 10 pas. (on pourrait aussi calculer la longueur d un pas mais ce n est pas indispensable) L objectif de l exercice est de calculer. Ce n est pas indiqué dans l énoncé, mais on va supposer que le cocotier est planté verticalement par rapport au sol, et que Vaiana se tient droit. Dans ce cas, comme (ED) et () sont perpendiculaires à la même troisième droite (AB), elles sont parallèles entre elles. Les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A. Les droites (ED) et () sont parallèles. AD AB = AE AC = DE 10 = AE AC = 1,71 Calcul de 10 = 1,71 1, ,1 = 5,7 m Le cocotier mesure 5,7 m.
5 Exercice 6 Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A. AB AM = 5 8 = 0,65 AC AN =,5 5,6 = 0,65 D où AB AM = AC et les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre donc d après la réciproque du AN théorème de Thalès, les droites () et (MN) sont parallèles. Exercice 7 Les droites (LM) et (NT) sont sécantes en J. JL JM =,4 = 1,5 JN JT = 5 4 = 1,5 D où JL JM = JN et les points L, J, M et N, J, T sont alignés dans le même ordre donc d après la réciproque du JT théorème de Thalès, les droites (LN) et (MT) sont parallèles. Exercice 8 a) Les droites (NE) et (OI) sont sécantes en R. RE RN = 9 = 1 RI RO = 6 = 1 D où RE RN = RI et les points R, E, N et R, I, O sont alignés dans le même ordre donc d après la réciproque RO du théorème de Thalès, les droites (EI) et (NO) sont parallèles. b) (NO) // (SI) (question a) et (NS) // (OI) (énoncé) Les côtés opposés du quadrilatère NOIS sont parallèles donc NOIS est un parallélogramme. c) SI = 4, cm On va calculer EI pour ensuite trouver SE. Les droites (EN) et (OI) sont sécantes en R. Les droites (EI) et (ON) sont parallèles. RE RN = RI RO = EI NO 9 = 6 = EI 4, Calcul de EI 6 = EI 4, EI = 4, 6 EI = 8,4 6 EI = 1,4 cm SE = SI - EI = 4, 1,4 =,8 cm
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