POURCENTAGES ET PROPORTIONS
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- Félix Germain
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1 POURCENTAGES ET PROPORTIONS 1. Proporion Une populaion es un ensemble homogène e quanifiable d élémens. Les élémens consiuan une populaion son appelés individus. Le nombre d individus d une populaion es appelé effecif (ou cardinal). La proporion (ou fréquence) d une sous-populaion dans une populaion es le rappor : Effecif sous populaion Effecif populaion Un effecif es obligaoiremen un nombre posiif. L effecif d une sous-populaion es obligaoiremen plus pei (ou égal) que celui de sa populaion référene. Une proporion es donc un nombre compris enre 0 e 1. Si l on muliplie une proporion par 100, on obien un pourcenage. Noaion : on noera n A l effecif de la populaion A e n R l effecif de la populaion de référence. La proporion de A dans R s écri donc : p = n A n R (Que l on peu aussi écrire n R = n A p ou n A = n R p ) Exemple : 300 élèves son en première dans un lycée de 1000 élèves. La proporion d élèves de premières es donc = 3 10 = 0,3 = 30% 2. Variaion absolue e aux d évoluion Soien 2 quaniés e y 2, els que 0 < y 2 La variaion absolue (ou brue) de vers y 2 es la différence y 2 La variaion relaive (ou aux d évoluion) de vers y 2 es le rappor y 2 Exemple : une quanié passe de 80 à 120 : elle a augmené de 40, c es la variaion brue. La variaion relaive es 40 = 1 = 0,5 = 50% 80 2 YDV Pourcenages e proporions, 1ere ES e L 1
2 3. Coefficiens muliplicaeurs Appliquer un pourcenage revien à muliplier par ce pourcenage. Il convien ensuie d ajouer (augmenaion) ou d enlever (diminuion) ce résula à la valeur iniiale. Dans le cas d une augmenaion de % faisan passer une quanié sricemen posiive à une quanié y 2, on a : y 2 = +. = 00 1 (1 + ). Bien sur (augmenaion) Exemple : une quanié 50 augmene de 30%. On calcule la nouvelle quanié : * Méhode 1 : 50 + (50 30%) = 50 + (50 0,3) = = 65 * Méhode 2 : 50 ( ) = 50 (1 + 0,3) = 50 1,3 = Dans le cas d une diminuion de % faisan passer une quanié sricemen posiive à y 2 y1, on a : y 2 =. = 00 1 (1 ). Bien sur (diminuion) Ces nombres (1 + ) e (1 ) son appelés coefficiens muliplicaeurs Remarque : le aux d évoluion réciproque, qui perme de revenir à la valeur iniiale après une évoluion, es différen du aux d évoluion iniial : On sai que dans le cas d une augmenaion, y 2 = (1 + (c es le coefficien muliplicaeur). On en dédui : = y 2 c = y 2 ( 1 c ) Or muliplier par 1 c 100 ) = c (c es-à-dire diviser par c) n es pas idenique à muliplier par (1 c). Exemple : on passe d une quanié 20 à une quanié 25 en muliplian par 1,25. On repasse de 25 à 20 en divisan par 1,25 e pas en muliplian par 0,75 comme on pourrai êre inuiivemen ené de le faire. Remarque : Appliquer un pourcenage puis enlever ce même pourcenage ne perme donc pas de revenir à la valeur de dépar. YDV Pourcenages e proporions, 1ere ES e L 2
3 4. Evoluions successives Soien 3 quaniés, y 2 e y 3 elles que 0 < y 2 y 3 (augmenaion). Un premier coefficien muliplicaeur perme de passer de à y 2 : On le nomme C 1 = (1 + 1 ) Un second coefficien perme de passer de y 2 à y 3 : on le nomme C 2 = (1 + 2 ) Le coefficien permean de passer direcemen de à y 3 es le produi des deux coefficiens inermédiaires : C 1 C 2 = (1 + 1 ) (1 + 2 ) Le aux d évoluion de à y 3 es donc : (C 1 C 2 1) ou encore (1 + 1 )(1 + 2 ) 1 En effe, on sai que : y 2 = C 1 = (1 + 1 ) y 3 = y 2 C 2 = y 2 (1 + 2 ) = (1 + 1 )(1 + 2 ) Par conséquen : y 3 = y 3 1 = (1+ 1 )(1+ 2 ) 1 = (1 + 1 )(1 + 2 ) 1 Exemple : on augmene une quanié 20 de 30% puis de 40% * Méhode 1 : % = ,3 = 26 puis % = ,4 = 36,4 * Méhode 2 : 20 1,3 1,4 = 36,4 : les calculs inermédiaires son inuiles YDV Pourcenages e proporions, 1ere ES e L 3
4 5. Indices Définir un indice sur une valeur revien à éablir une proporionnalié : Soien 2 valeurs e Q 2 d une même grandeur. On défini l indice de base I 1 = 100 pour la valeur. Alors I 2 = I 1. Q 2 = 100 Q 2 Remarque : Les aux d évoluion des indices son les mêmes que ceux des quaniés : I 2 I 1 I 1 = Q 2 Exemple : Valeur Indice ,7 133, Il y a 6,67% d augmenaion enre 1500 e 1600 Il y a 33,33% d augmenaion enre 1500 e 2000 Remarque : il n y a pas 33,33-6,67 = 26,67% d augmenaion enre 1600 e 2000! On n addiionne (ou ne sousrai) jamais des pourcenages. YDV Pourcenages e proporions, 1ere ES e L 4
5 6. Formulaire On défini : A es une sous populaion d une populaion B non vide n A e n B son les effecifs de A e B, y 2,, y n des quaniés elles que 0 < y 2 y n (augmenaion) I 1, I 2,, I n des indices sur les quaniés, y 2,, y n, avec I 1 = 100 (base) E p AB es la proporion de A dans B i es le aux d évoluion de y i à y i+1 (par ex. 2 es le aux d évoluion de y 2 à y 3 ) c i es le coefficien muliplicaeur de y i à y i+1 c 1n es le coefficien muliplicaeur de à y n (évoluions successives) I i es l indice de la quanié y i Alors p AB = n A n B i = y i+1 y i y i = c i 1 c i = y i+1 y i = i + 1 c 1n = C 1 C 2 C n I i = I 1 y i = 100y i YDV Pourcenages e proporions, 1ere ES e L 5
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