Université d Evry Val d Essonne Laboratoire d Analyse et Probabilités EA 2172 THESE. présentée pour obtenir le titre de

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1 Universié d Evry Val d Essonne Laboraoire d Analyse e Probabiliés EA 2172 THESE présenée pour obenir le ire de DOCTEUR EN SCIENCES MATHÉMATIQUES de l Universié d Evry Val d Essonne par Armand Brice NGOUPEYOU Opimisaion des porefeuilles d acifs soumis au risque de défau. souenue le 7 Juille 21 devan le jury composé des professeurs : Lauren Denis Monique JEANBLANC Nicole EL KAROUI Anis MATOUSSI Huyen PHAM Agnès SULEM Examinaeur Direceur Examinaeur Co-Direceur Rapporeur Rapporeur

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3 Rapporeurs Bruno BOUCHARD : Universié Paris-Dauphine. Huyen Pham : Universié Paris 7 Didero. Agnès SULEM : Insiu Naional de la Recherche en Informaique e Auomaique. 3

4 À ma mère "Voici je mes en Sion une pierre angulaire, choisie, précieuse, e celui qui croi en elle ne sera poin confus." La Bible, Pierre 2 :6. 4

5 Remerciemens Mes premiers remerciemens s adressen à ma direcrice de hèse Monique Jeanblanc qui m a oujours encouragé dans mes ravaux e qui m a donné l envie e le plaisir de chercher e réaliser ce ravail dans un cadre agréable. Je suis un admiraeur de Monique car par son volume de ravail e sa capacié à répondre facilemen aux quesions elle me monre la voie pour réussir e devenir plus ard un vrai chercheur. Je ne pourrai pas rouver de mos pour remercier mon co-direceur de hèse Anis Maoussi qui m a guidé e oriené depuis ma deuxième année universiaire. Il a su m encadrer, m apporer le souien echnique e moral don j avais besoin ou au long de mon parcours universiaire, je ne le remercierai jamais assez. Je iens à remercier mes rapporeurs de hèse Bruno Bouchard, Huyen Pham, Agnès Sulem d avoir accepé de faire parie de mon jury de hèse. Je les remercie pour ou le emps qu ils on accordé pour la lecure de cee hèse e pour oues leurs suggesions. Je iens à remercier Nicole El Karoui d avoir accepé d êre membre de jury de cee hèse. Je iens à remercier mes collègues Behnaz Zaghari, Georgia Gallegaro, Thomas Lim avec qui j ai passé des momens formidables ou au long de ma hèse, merci pour ces momens d échange e de parage qui m on permis d apprécier mon séjour à l universié d Evry, merci pour ces momens de fous rires au Laboraoire qui m on permis de désresser e de ravailler dans un cadre agréable. Un grand remerciemen à Lauren Denis pour sa disponibilié, pour son aide don il a fai preuve à mon égard. 5

6 Je iens à remercier Ould Baba El Maouloud pour son aide en logiciels e équipemens informaiques, Valérie Pico pour la grâce e la genillesse don elle a fai preuve à mon égard ou au long de mes années de hèse. Je iens à remercier ous les membres du laboraoire pour leur accueil, il y règne une ambiance conviviale, ou ce univers e ces lieux que j ai parcouru me manqueron énormémen. Un merci pariculier à Jean Pierre Lepelier, Said Hamadène, Alexandre Popier pour leurs encouragemens, à oue l équipe du Laboraoire de Mahémaiques de l universié du Mans pour leur accueil e leur souien. Je iens à remercier les membres du proje Premia Enpc/Inria, Anonino Zanee pour m avoir donné la chance de ravailler pour ce proje, Ahmed Kebaier pour ses conseils e ses encouragemens e ous les aures membres pour leur accueil e parage au Cermics. Je iens à remercier la famille Nana e la famille Mbopda pour leur souien moral ou au long de ces années de hèse. Je iens à remercier ous les membres de ma famille, je commencerai par mon bien aimé grand frère Achille que je respece pour ses capaciés en Mahémaiques, il a su me donner l envie de m inéresser dès mon enfance à cee discipline pour sa logique e l espérance qu elle pouvai nous apporer. Par son ravail, sa persevérance, il a su me monrer l exemple, par cee hèse je lui rends hommage car si on rese dans l univers des Mahémaiques je suis une version de mon grand frère qui a eu la chance de coninuer ses éudes dans de bonnes universiés avec ou le confor e l aide qui suiven. Je iens à remercier mon père pour son souien. Un grand merci à ma grande soeur Inès avec qui j ai ravaillé en Mahémaiques oue mon enfance, elle m a guidé e a oujours cru en moi, merci grande soeur. Je remercie rès chaleureusemen ma peie soeur Armelle qui a supporé oues mes humeurs cee année, sa joie de vivre e son espri combaif me poussen à ne jamais baisser les bras. Un grand merci pour ma peie soeur Vanessa, elle es une lumière, sa consane bonne humeur e son humulié me fai comprendre qu on doi reser oujours humble e 6

7 dans une quêe quoidienne du savoir. Je remercie mon frère Seeve e ma peie soeur Prisicilia pour ou leur amour. Merci mes amis Karly, Séverin, Merlin, Parice, Roméo, Mireille, Césaire, Franck, Eric e Hervé avec qui j ai paragé mes soucis e inquiéudes. Je garde biensûr pour la fin la personne à qui je dédie cee hèse : ma mère, celle qui a éé oujours là pour moi, dans ous mes combas j ai resseni son amour qui me porai e permeai de reser debou, elle m a béni par ses aces e son amour pour son prochain, 7

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9 Avan-propos Cee hèse es consiuée de rois paries poran sur la maximisaion d uilié des porefeuilles d acifs soumis au risque de défau e sur la valorisaion des dérivés de crédi. Dans la première parie, on ravaille en modèle cerain c es à dire sous l hypohèse qu il exise une unique probabilié hisorique modèle ; dans la seconde parie on suppose l hypohèse inverse, en considéran une muliude de modèles. Nore ravail dans cee parie consise à déerminer le "bon" modèle e à caracériser la richesse opimale dans ce modèle. La roisième parie pore sur les différenes méhodes de valorisaion d un dérivé de crédi. La première parie de cee hèse es un ravail réalisé avec mes direceurs de hèse. C es un Preprin iniulé "Quadraic Backward Sochasic Differenial Equaions wih jumps and applicaion in uiliy maximizaion". La deuxième parie de cee hèse es un ravail réalisé avec mes direceurs de hèse e soumis au journal "Finance and Sochasics" sous le ire de "Robus uiliy from erminal wealh and consumpion in disconinuous filraion". La roisième parie es la suie de mon ravail de sage de Maser II effecué au sein de l INRIA e de l ENPC dans le proje Mahfi Premia sous la direcion d Agnès Sulem e d Anonino Zanee. A la fin de mon sage, j ai inégré l équipe Mahfi-Premia secion risque de crédi pour éudier la valorisaion des dérivés de crédi en décrivan des algorihmes de pricing e de calibraion. Le bu éan d avoir un ouil performan de pricing. 9

10 1 Table des maières 1

11 Table des maières 1 Inroducion Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à sau e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Maximisaion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à saus Semimaringale quadraique-exponenielle e applicaions aux EDSR Conrôle sochasique robuse e maximisaion d uilié Robusesse des modèles Maximisaion de la consommaion e de la richesse erminale sous le modèle opimal Méhodes numériques e calcul du prix d un dérivé de crédi Cadre saique Cadre dynamique Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Inroducion Model and Preliminary Noaion Quadraic exponenial semimaringales Quasi-enropic maringales Quadraic exponenial semimaringale and BMO properies

12 12 Table des maières Sabiliy resuls of quadraic exponenial semimaringale Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE Exisence of he soluion of a quadraic BSDE wih jump Uniqueness in a paricular case Exisence resul : exponenial inegrable condiion case Uiliy maximizaion problem for credi derivaives The model Dynamic programming and BSDEs Appendix BMO maringales and quadraic-exponenial semimaringales Universal Bound for quadraic exponenial semimaringale Technical lemma Lipschiz BSDEs wih Jumps Exisence and comparison heorem for he linear growh case Linear growh coefficien and exponenial inegrable erminal condiion 8 3 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Inroducion The Model and he Robus Opimizaion Problem The Model The robus opimizaion problem The Opimal Model Measure Some properies of soluions of he BSDE Comparison heorem and properies of he value process The second opimizaion problem The opimal plan Properies of he value process The opimizaion problem Logarihm Case Appendix

13 Table des maières 13 4 Méhodes numériques Inroducion Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique Spread d un CDS dans un cadre saique Evaluaion d une ranche de CDO dans un cadre saique Calibraion du paramère de corrélaion e pricing d une ranche non sandard Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique Approche Boom Up Approche Top down Conclusion

14 14 Inroducion 14

15 Chapire 1 Inroducion Les deux premières paries de ce ravail son de naure héorique. Cependan, elles corresponden à des préoccupaions majeures des inervenans sur les marchés financiers. Un cas pariculier du modèle que nous avons éudié es celui où les processus de compage son des indicaeurs de défau c es à dire, H i = 1 {τi }, où les τ i son des variables posiives représenan les emps de défau, i = 1,, d. Nous avons ainsi dans un cadre général où les défaus son correlés par l inermédiaire des inensiés mesuré le risque de modèle, c es à dire le risque d un choix de dépendance incorrec. En effe, face à la crise acuelle, les peres des banques e l illiquidié acuelle des produis soumis au défau CDS, CDS, meen en évidence plusieurs risques don il es imporan de enir compe dans l avenir : le risque du choix du modèle pour enir compe du risque de défau e de conagion, le risque d illiquidié e le risque de conreparie. Nous avons monré dans ces ravaux qu il es possible de consruire un modèle en considéran le risque de défau, ou en définissan une mesure de risque dynamique associée à un acif coningen dépendan des défaus des firmes dans le sysème considéré. Nous ravaillons dans un espace probabilisé filré Ω, G, G, P où ous les processus considérés dans cee éude son G adapés e définis sur l inervalle [, T où T es à horizon fini e nous faisons les hypohèses suivanes : Hypohèse A 1 1 Pour ou i = 1,...,d, H i es un processus de compage e il exise un processus adapé 15

16 16 Inroducion e posiif λ i, appelé l inensié de H i sous P, el que le processus N i donné par N i := H i λi sds es une G maringale. Nous supposerons que les processus H i, i = 1,...,d n on pas de saus communs. 2 Toue maringale disconinue adme une représenaion de la forme suivane : dm Y = d Ŷ i dn i où Ŷ i, i = 1,...,d son des processus G prévisibles. Ces hypohèses son saisfaies dans le cas où la filraion es générée par un mouvemen Brownien e un processus de Poisson inhomogène e dans le cadre du risque de crédi. Dans le cas d une filraion générée par un mouvemen Brownien p-dimensionnel e les emps de défau le prix d un acif aura la forme suivane : d+p ds i = S i µ i d + σ i,j dn j + σ i,j dw j d,i = 1,...,d. j=1 j=d+1 Le processus σ i,j représene l impac de l acif de j sur le prix de l acif i. Pour une richesse donnée, nous nous inéressons dans une première parie à la composiion opimale d un porefeuille de els acifs. Nous déduirons de cee éude le prix d un acif coningen non duplicable éan donnée l aversion au risque de l invesisseur via la noion de "prix d indifférence". Dans la deuxième parie nous éudions la noion du risque de modèle en supposan une muliude de façons de percevoir le modèle, nous éudierons le choix du "bon" modèle e définissons la consommaion e la richesse opimale sous ce modèle. Dans la roisième parie nous donnons quelques résulas numériques obenus lors des calculs des prix des dérivés de crédi. 16

17 Inroducion 17 Noaions Les noaions que nous présenons dans cee parie son uilisées dans ous les chapires de cee hèse. Nous noons par : L exp l espace des variables aléaoires X, G T -mesurables vérifian pour ou γ > : E[exp γ X <. D exp l espace des processus X progressivemen mesurables vérifian γ > : D exp E [ exp γ ess sup T X <. 1 l espace des processus X progressivemen mesurables els que γ > : [ E exp γ X s ds <. M p P l espace des P-maringales M = M T elles que Esup T M p < L 2 λ l espace des processus prévisibles X à valeurs dans R d els que [ E Xs i 2 λ i sds < S l espace des processus adapés à valeurs dans R els que Y S = E sup T Y <. S 2 l espace des processus adapés X à valeurs dans R els que E sup T X 2 <. H 2 l espace des processus adapés Z à valeurs dans R p T els que E Z s 2 ds <. U exp l espace des P maringales M = M T elles que EM es une maringale uniformémen inégrable. D exp l espace des processus opionnels X els que expx D, où D es l ensemble des processus apparenan à la classe D. L 1 exp l espace des variables aléaoires X, G T mesurables elles que E[expX <. 17

18 18 Inroducion 1.1 Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à sau e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Maximisaion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Nous nous plaçons dans un marché financier incomple e nore objecif es de caracériser le prix d indifférence d un acif coningen ψ T non duplicable. Nous nous inéressons à la maximisaion de l espérance de l uilié de la richesse finale sur un ensemble de sraégies admissibles. Pour résoudre ce probléme, nous uilisons les echniques de conrôle sochasique dynamique voir cours de S. Flour 1981 de El Karoui [26. Afin de caracériser la valeur du problème de conrôle, nous uilisons le principe de la programmaion dynamique en erme d Équaion Différenielle Sochasique Rérograde EDSR, don le coefficien es à déerminer. Ean donnée l aversion au risque représenée par une foncion d uilié exponenielle de paramère δ posiif, le prix de ce acif es donné via le prix d indifférence de ψ T en résolvan successivemen les problèmes d opimisaion suivans : u x = max E[ exp δx x,π π T, u ψ x = max π E[ exp δx x,π T ψ T, 1.1 où π i représene la proporion de richesse invesie dans l acif i, apparenan à un ensemble compac A, x représene la richesse iniiale e X x,π T la richesse erminale à l horizon T. L applicaion du principe de programmaion dynamique nous perme de caracériser la valeur du problème de conrôle par le processus d éa Y où le riple Y,Z, U es soluion d une EDSR associée à g,ψ T, avec g défini P-p.s pour ou [, T par : { 1 g Y, Z, U = inf κ δ j δu k κ. θ λ + δ κ Z + θ 2 2 δ Z. θ θ 2 }. 2δ Ā 1.2 Le processus κ défini par κ := π σ se décompose en κ = κ, κ avec κ = κ 1,, κ d e κ = κ d+1,, κ d+p. La prime de risque minimale θ = σ r σ σ r 1 µ es aussi réparie en deux composanes θ = θ 1,, θ d+1 e θ = θ d+1,, θ d+p. L ensemble des sraégies κ es défini par Ā := Aσ pour ou T. 18

19 Inroducion 19 Le coefficien g vérifie : l z. θ θ 2 2δ g y, z,u 1 δ j δu + δ 2 z 2 où l es un processus G-adapé e borné. Le coefficien g de l EDSR es à croissance quadraique en z e exponenielle en u. L éude des EDSR associées respecivemen à g,ψ T e à g, perme de déerminer la soluion des problèmes d opimisaion e de caracériser le prix d indifférence p de l acif coningen ψ T, vérifian u x = u ψ x + p. Ainsi le calcul du prix d un acif coningen dépendan des défau es donc calculé en caracérisan la soluion d une EDSR don le coefficien es à croissance quadraique en z e exponenielle en u Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à saus En 199, moivés par la représenaion du processus adjoin en conrôle sochasique, Pardoux e Peng [6 on inrodui le concep général des Equaions Différenielles Sochasiques RérogradesEDSR comme un couple de processus adapés Y,Z els que dy = g Y, Z d Z.dW avec une condiion erminale Y T = ψ T, où g y,z es un processus sochasique appelé le coefficien de l EDSR, e ψ T es une variable G T mesurable. Sous les condiions de carré inégrable des maringales, Peng e Pardoux on monré que l EDSR à coefficien Lipschiz adme une unique soluion de carré inégrable ; la preuve éan basée sur le héorème du poin fixe [6. En finance, l applicaion des EDSR a suscié un inerê considérable. En résolvan une EDSR à coefficien linéaire, on peu caracériser la richesse e la sraégie opimale dans le modèle de Black and Scholes voir [29. Les EDSR permeen égalemen de résoudre le problème de maximisaion de la richesse erminale e permeen ainsi de déduire le prix d indifférence d un acif coningen voir [42. Nous nous sommes inéressés dans la suie à l applicaion des EDSR pour caracériser le prix d un acif coningen dans un modèle présenan des saus. D après l hypohèse A1-2 faie sur la représenaion des maringales, pour déduire ce prix dépendan des saus, il es imporan de définir de nouveaux ypes d EDSR, "les 19

20 2 Inroducion EDSR à saus" définies comme un riple de processus adapés Y,Z, U el que dy = g Y, Z, U d Z.dW U.dN où la condiion erminale Y T = ψ T apparien à G T. La résoluion des EDSR dépend foremen des condiions sur le coefficien g e sur la condiion erminale ψ T, nous monrerons dans la première parie de ce ravail, l exisence de la soluion dans le cas Lipschiz. La preuve es basée sur des méhodes sandards voir [2 e [57. En considéran une condiion erminale ψ T L 2 Ω, G T, P e le coefficien g Lipschiz, on monre qu il exise un riple Y, Z, U soluion de l EDSR dy = g Y, Z, U d Z.dW Y.dN, Y T = ψ T. De plus : E sup T Y 2 + Z 2 d + U i 2 λ i d CE ψ T 2 + g,, 2 d Pour obenir un héorème de comparaison dans le cas des EDSR avec saus, nous avons besoin d une condiion supplémenaire sur les variaions du coefficien de l EDSR par rappor aux saus. On noera cee condiion dans oue la suie la condiion A γ définie par : g y, z,u 1 g, y,z, u 2 γ i u i 1, u i 2u i 1 u i 2λ i, P-p.s, u 1, u 2 R d. où le processus γ i vérifie 1 + δ i γ i u i 1, ui 2 ci ; δ i, c i R +, pour ou i = 1,, d. Afin de monrer l exisence e l unicié de la soluion de l EDSR associée au problème de maximisaion 1.1 don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle, on peu uiliser les argumens sandards voir [57. Cee méhodologie consise à définir une suie g n n N de coefficiens Lipschiz vérifian la condiion A γ e convergean vers le coefficien g de l EDSR. En noan Y n, Z n, U n la soluion de l EDSR associée à g n, ψ T e en uilisan les caracérisiques de g n on dédui : E sup T Y n 2 + Z n 2 d + U n,i 2 λ i d CE ψ T 2 + g n,, 2 d Grâce à des argumens de convergence faible e de convergence fore, on prouve par une méhode sandard l exisence de la soluion de l EDSR asscociée à g,ψ T où g es à croissance quadraique-exponenielle. Le bu de la première parie de cee hèse es d éablir 2

21 Inroducion 21 l exisence de la soluion d une EDSR don le coefficien es à croissance quadraiqueexponenielle en uilisan de nouveaux argumens liés aux semimaringales quadraiques. En effe, la noion des semimaringales quadraiques définies par Barrieu, El Karoui e Xu [5 perme de résoudre plus rapidemen ce ype d EDSR. Nore ravail e nore appor consiseron à éendre la noion de "semimaringales quadraiques" aux "semimaringales quadraiques-exponenielles" afin de enir compe des ermes en saus dûs aux défaus. Cee nouvelle noion de semimaringales quadraiques-exponenielles nous permera de résoudre facilemen les EDSR don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle e nous pourrons déduire de cee éude le prix d un acif coningen Semimaringale quadraique-exponenielle e applicaions aux EDSR Dans cee secion, nore objecif es l éude de l exisence e de l unicié des EDSR don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle e de valeur erminale non bornée. On inrodui la noion de semimaringale quadraique exponenielle, s inspiran de la noion semimaringale quadraique développée par Barrieu, El Karoui e Xu [5 dans le cadre de processus coninus. Le erme exponenielle fai reférence à la croissance du coefficien par rappor à la variable sau. Cee nouvelle approche es basée sur des ouils probabilises, els que la décomposiion addiive de Doob-Meyer, des esimaions enropiques e des héorèmes de sabilié pour les semimaringales spéciales. Les argumens uilisés par la méhode de Kobylanski [45 son pluô analyiques s inspiran des ravaux de Boccardo, Mura e Puel [1. En effe, l approche de Kobylanski repose sur un changemen de variable exponeniel, sur les méhodes de roncaure e sur les héorèmes de sabilié par passage à la limie. Nous définissons les semimaringales quadraiques exponenielles comme sui : Definiion 1. Semimaringale quadraique-exponenielle Une semimaringale X = X + V + M c + U.N es appelée semimaringale quadraique-exponenielle q exp si le riple V,M c, U vérifie la condiion de srucure Q exp Λ, A,δ suivane : il exise des processus 21

22 22 Inroducion prévisibles croissans Λ, A e une consane posiive δ elle que : dv << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ j δu d, Ainsi dλ X da δ 2 d Mc 1 δ jδu d << dv d V << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ j δu + jδu d où la foncion j es définie par ju = d expu u 1λi pour ou u = u 1,, u d R d. En pariculier la semimaringale X = X + M δ 2 Mc. 1 δ jδu d es appelée semimaringale canonique quadraique-exponenielle, elle es égalemen noée X = RX, M c, U. Definiion 2. Le processus enropique associé à la variable aléaoire ψ T G T elle que expδψ T L 1 P pour ou δ R es donné par : ρ δ, ψ T = 1 δ ln E[expδψ T G. Un processus opionnel X apparenan à la classe D exp es appelé : i Sous-maringale enropique si pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ, P ps. ii Surmaringale enropique si X es une sous-maringale enropique, i.e., pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ équivalen à ρ 1,σ X τ X σ, P ps. iii Quasi-maringale enropique si X es une sous-maringale enropique e une surmaringale enropique. Pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X σ ρ 1,σ X τ, P ps. Pour caracériser une quasi-maringale enropique, il suffi de caracériser une sousmaringale enropique, ce qui es fai en uilisan le héorème de Doob. Soi X une sousmaringale enropique càdlàg adapée e apparenan à la classe D exp alors le processus X adme la décomposiion addiive : X = M 1 2 Mc. ju d + A. où M = M c +. U dn e le processus A es un processus prévisible croissan. 22

23 Inroducion 23 Ce résula perme de caracériser les propriéés des sous-maringales enropiques X e X bornées, exponenielles inégrables à parir des propriées de leurs paries maringales e réciproquemen. Par exemple, dans le cas où X es bornée, on peu déduire que sa parie maringale M es de ype BMO. Nous uilisons cee approche des semimaringales quadraiques-exponenielles pour avoir un résula d exisence pour des EDSR quadraiques avec une condiion erminale non bornée. A nore connaissance, ce problème relaif à une condiion erminale non bornée dans le cas d une EDSR à sau n a pas éé résolu dans la liéraure. 1.2 Conrôle sochasique robuse e maximisaion d uilié Robusesse des modèles Dans cee parie, nore objecif es d éudier un problème de maximisaion d uilié avec une inceriude sur le choix de la probabilié hisorique. Nous nous proposons de déerminer la richesse opimale e la consommaion opimale d une uilié robuse; c es à dire de résoudre Le problème : supinf Uπ, Q, 1.3 π Q où π apparien à un ensemble des sraégies admissibles sraégies de porefeuilles, sraégies de consommaion,..., e Q apparien à Q, l ensemble des modèles hisoriques. Dans le cas classique d un seul modèle connu Q = {P} avec P la probabilié de reférence, Uπ, P es donné sous la forme d une espérance d uilié sous P d une richesse finale e/ou d une consommaion. Le cas où Q n es pas rédui à un singleon a éé éudié par Lazrak e Quenez [5, Schied [67, Schied e Wu [68, Oksendal e Sulem [59. Leurs approches son basées sur la dualié convexe. Nore approche alernaive es basée sur une méhode de pénalisaion : nous inroduisons dans Uπ, P un erme de pénalisaion qui dépend seulemen de Q pas de π e nous opimisons sur un espace plus large que Q. Ce modéle a éé inrodui par les économises Anderson, Hansen and Sargen [1 dans un cadre Markovien en uilisan formellemen des équaions de Hamilon-Jacobi-Bellman associées au probléme. Bordigoni, Maoussi e 23

24 24 Inroducion Schweizer on fai une éude mahémaique de la parie minimisaion du problème 1.3 dans un cadre général des semimaringales. Nore conribuion es d éudier une problème de max min dans une filraion disconinue engendrée par les saus e une filraion de référence coninue. Nous nous plaçons sur l espace probabilisé filré Ω, G, G, P. Nous considérons l ensemble des modèles Q := {Q probabilié sur Ω.q. Q P sur G T } el que le processus densié Z Q es une P-maringale càdlàg Z Q = dq [dq dp G = E P G dp Nous idenifions Z Q avec Q dans nore problème d opimisaion. Nous noons par S δ := exp δ s ds le processus d escompe avec un aux δ = δ T e on se donne la foncion coû suivane cω, Q := U δ,tq + R δ,tq. avec U,T δ Q es le erme d uilié acualisé donné par où Ũ = Ũ U δ,tq = Ss δ S δ Ũ s ds + Sδ T S δ Ū T [,T Dexp 1 représene le processus de consommaion, ŪT L exp représene la richesse finale e R δ,t Q représene le erme de pénalié donné par R δ,tq = δ s S δ s S δ log ZQ s Z Q ds + Sδ T S δ log ZQ T Z Q Nous nous proposons de résoudre le problème de conrôle suivan minimiser Q ΓQ := E Q [ c., Q. 1.4 sur l espace des probabiliés Q P sur G T. On noe que ΓQ représene Uπ, Q pour un π fixé associé au couple consommaion-richesse. Nous noons dans la suie PŨ,ŪT le problème d opimisaion précéden. En uilisan la probabilié de référence P, ΓQ s écri : ΓQ = E P [Z Q T [ T SsŨs δ ds + STŪT δ + E P δ s SsZ δ s Q log Zs Q ds + STZ δ Q T log ZQ T

25 Inroducion 25 Le deuxième erme de la dernière expression fai apparaîre l enropie relaive de Q par rappor P sur G T : E Q [log Z Q T, si Q P sur G T HQ P := +, sinon Ce erme exprime le choix du modèle Q par rappor à la probabilié de référence P car l enropie relaive représene une "disance" enre Q e P. Plus pariculièremen nous définissons Q f comme l ensemble des probabiliés Q sur Ω, G elles que Q P sur G T, Q = P sur G e HQ P < e nous noons par Q e f := {Q Q f Q P on G T }. Bordigoni, Maoussi e Schweizer [13 on prouvé l exisence d une unique probabilié opimale, soluion de 1.4 en considéran une filraion générale. Nore conribuion consise dans l uilisaion du principe de programmaion dynamique pour décrire la valeur du problème de conrôle avec des EDSRs généralisées. De plus, nous caracérisons la densié opimale Z Q dans le cadre de la filraion disconinue. Considérons l EDSR à saus à coefficien quadraique-exponeniel : dy = Y T = ŪT [ j y + Ũ δ Y d 1 2 d MY,c dm Y,c y.dn 1.6 La soluion de cee équaion es un riple Y,M Y,c, y el que Y es une semimaringale, M Y,c es une maringale locale coninue de carré inégrable nulle en e y = y 1,, y d es un processus prévisible localemen borné à valeurs dans R d. Le cas δ a éé éudié par Schroder e Skiadas [71 dans le cadre d une filraion Brownienne au moyen des EDSR pariculières quadraiques en Z avec une condiion finale non bornée. Ils on considéré égalemen le même ype de problème mais d un poin de vue de l uilié différenielle récursive inroduie par Duffie e Epsein [2. Soi Y,M Y,c, y soluion de l EDSR 1.6 e supposons que Z = EL es une P-maringale où dl = dm Y,c + e yi 1 dn, i L =

26 26 Inroducion Ainsi, Y saisfai la récursivié suivane donnée par [BMS : pour ou emps d arrê τ à valeurs dans [, T, Y = ln E [exp P Y τ + τ δ s Y s Ũsds G 1.8 On éabli l exisence e l unicié de la soluion de l EDSR quadraique-exponenielle 1.6, ce qui permera de déduire le modèle opimal. Theorème : Il exise un unique riple Y,M Y,c, y D exp M p P L 2 λ soluion de 1.6. De plus, le modèle opimal Q es soluion de 1.4 e adme pour densié Radon- Nikodym par rappor à P, Z Q = EL où L es donné en 1.7. Nous obenons égalemen que l unique soluion de l EDSR 1.6 es donnée par V,M V,c, v où V es le processus valeur associé au problème d opimisaion PŨ,ŪT. De plus, nous monrerons que V défini une mesure de risque dynamique du couple uilié Ũ,ŪT. En considéran δ = e le couple,ūt, on rerouve la mesure de risque enropique de ŪT définie par Barrieu e El Karoui [6. Definiion 3. Pour deux variables aléaoires X e Y, nous définissons X Y pour X Y p.s. Pour deux processus A e B, nous définissons A B pour A B, [, T, p.s., nous définissons X, A Y, B si X Y p.s e A B. La soluion Y, M Y,c, y de l EDSR à saus quadraique-exponenielle dépend du couple Ũ,ŪT. Bien que le coefficien de l EDSR 1.6 es à croissance quadraiqueexponenielle, on pourra comparer les soluions de ces EDSR en faisan varier le couple Ũ,ŪT. En effe, supposons pour k = 1,2, Y k, M k,c, y k es soluion de l EDSR 1.6 associée à Ũk,Ūk T. En supposan, Ũ1,Ū1 T Ũ2,Ū2 T, on obien Y 1 Y 2, dp d. De ce héorème de comparaison, on peu déduire l unicié de la soluion de l EDSR 1.6. C es une réponse alernaive à la preuve de l unicié de la soluion de L EDSR dans le cas coninu faie par Bordigoni, Maoussi e Schweizer [13 en uilisan la relaion de récursivié. De même en uilisan les EDSR on pourra donner une réponse alernaive à la preuve de la concavié du processus valeur par rappor au couple Ũ,ŪT obenue par Bordigoni [12 dans sa hèse en uilisan les argumens d analyse foncionnelle. 26

27 Inroducion 27 En effe, considérons l applicaion F : Ũ,Ū FŨ,Ū = V où V,MV,c, v es la soluion associée à Ũ,Ū Dexp 1 L exp. L applicaion F es concave, pour ou θ,1 e Ũ1,Ū1 T,Ũ2,Ū2 T apparenan à leurs espaces respecifs, on a : F θũ1 + 1 θũ2, θū1 T + 1 θū2 T θfũ1,ū1 T + 1 θfũ2,ū2 T. On a monré d une par que l applicaion F es croissane e d aure par qu elle es concave. En supposan que ŪT = Ūψ représene l uilié de la richesse erminale e Ũ = Uc représene l uilié de la consommaion, nous déerminons le conrôle opimal c, ψ qui maximise V où V,M V,c, v es soluion de l EDSR 1.6. Afin de caracériser le conrôle opimal c, ψ, nous avons éudié la régularié coninuié, la concavié e la différeniabilié de la foncion d éa V de l EDSR 1.6 par rappor à ce conrôle. La difficulé majeure es l éude de oues ces propriéés de l EDSR 1.6 par rappor au paramère de conrôle en noan que son coefficien es quadraique-exponeniel e que sa condiion erminale es exponeniellemen inégrable. A nore connaisance, l éude des EDSR par rappor à un paramère de conrôle n es faie dans la liéraure que dans le cas d un coefficien Lipschiz voir El Karoui, Peng e Quenez [ Maximisaion de la consommaion e de la richesse erminale sous le modèle opimal Dans cee parie nous noons c = c T le processus adapé représenan la consommaion de l invesisseur, e nous noons ψ sa richesse erminale. Nous supposerons que l invesisseur possède une richesse iniiale x e que la probabilié risque neure du marché es donnée par P. L ensemble admissible Ax sera défini par c, ψ H 2 [, T L 2 Ω, G T el que P E e[ c d + ψ x, Nous considérons deux foncions d uiliés U e Ū saisfaisan les condiions habiuelles e nous posons Ũ = Uc T e ŪT = Ūψ e nous noons par Q la mesure opimale 27

28 28 Inroducion déerminée précédemmen. Nous cherchons à résoudre le problème d opimisaion suivan : [ [ sup E Q SsUc δ s ds + S TŪψ δ + E Q δ s Ss δ lnzs Q ds + ST δ lnz Q T c,ψ Ax = sup V x,ψ,c c,ψ Ax Résoudre ce second problème d opimisaion revien donc à éudier une EDSR quadraiqueexponenielle dépendan des paramères c, ψ. Pour monrer l exisence d un paramère de conrôle opimal, il suffi de monrer la semi-coninuié supérieure de V par rappor au paramère de conrôle. L unicié découle de la concavié de V, conséquence de la concavié des foncions d uiliés U e Ū. Touefois, la caracérisaion de ce paramère rese difficile car les argumens du principe de maximum son saisfais si l EDSR es différeniable par rappor au paramère de conrôle. En effe considérons le paramère opimal c, ψ du problème d opimisaion non conrain : [ où X x,c,ψ = EP e T c sds + X x,c,ψ T x,c,ψ max {V νx x,c,ψ x}, ν >, c,ψ Ax. Pour ou paramère de conrôle c, ψ Ax e pour ou ǫ, 1, posons c ǫ = c + ǫc c e ψ ǫ = ψ + ǫψ ψ, ainsi c ǫ, ψ ǫ Ax car Ax es un ensemble convexe. En uilisan le principe du maximum, on obien : V x,c,ψ νx x,c, ψ x V x,cǫ,ψ ǫ νx x,cǫ,ψ ǫ x. Posons ǫ V x,c,ψ = lim ǫ 1 ǫ V x,cǫ,ψ ǫ V x,c,ψ e ǫ X x,c,ψ = lim ǫ 1 ǫ Xx,cǫ,ψ ǫ X x,c,ψ, on en dédui : ǫ V x,c,ψ ν ǫ X x,c,ψ 1.9 Pour caracériser le paramère opimal soluion du problème non conrain, il suffi donc de caracériser les différenielles des variables X x,c,ψ e V x,c,ψ par rappor au paramère de conrôle si celles-ci exisen. La variable X x,c,ψ éan linéaire en c, ψ, on dédui : [ ǫ X x,c,ψ P = E e c s c sds + ψ ψ. 28

29 Inroducion 29 L exisence e la caracérisaion de la différenielle de V x,c,ψ es plus complexe vu la forme quadraique-exponenielle de l EDSR 1.6. La proposiion suivane nous perme de déduire l exisence de cee différenielle afin de caracériser le paramère opimal. Soien V x,c,ψ e V x,cǫ,ψ ǫ les processus valeur associés aux problèmes d opimisaion PUc,Ūψ e PUc ǫ,ūψǫ. La limie ǫ V x,c,ψ := lim ǫ 1 ǫ V x,cǫ,ψ ǫ V x,c,ψ exise, e il exise un unique riple ǫ V x,c,ψ, ǫ M V,c, ǫ v soluion de L EDSR : d ǫ V x,c,ψ = δ ǫ V +U c c c d d ǫ M V,c ǫ v.dn, ǫ V T = Ū ψ ψ ψ. où le processus ǫ M V,c es une Q -maringale de carré inégrable, ǫ v es un processus prévisible d-dimensionnel e le processus N es la parie Q maringale de la Q semimaringale N. On dédui ainsi : ǫ V x,c,ψ [ S δ = E Q T S δ Ū ψ ψ ψ + Ss δ S δ U c sc s c sds G En uilisan le principe du maximum via l inégalié 1.9, on dédui le paramère de conrôle opimal c, ψ soluion du problème d opimisaion conrain. Soien I e Ī les inverses des foncions U e Ū. Le plan de consommaion opimal c, ψ qui résou le second problème d opimisaion es donné par les équaions implicies : c ν ZP e = I S δ Z Q d dp p.s, ψ = Ī ν S δ T Z e P T Z Q T p.s. 1.1 où ν > saisfai : E e P [ I ν S δ Z e P Z Q d + Ī ν S δ T Z e P T Z Q T = x On rerouve les résulas de Karazas e Shreve voir [48 dans le cas où Q = {P}. L approche EDSR nous perme de déerminer la densié opimale Q e de caracériser le paramère de conrôle opimal. Nore conribuion a éé d uiliser cee approche pour caracériser l opimal c, ψ dans une filraion disconinue en différenian une EDSR à croissance quadraique-exponenielle. 29

30 3 Inroducion 1.3 Méhodes numériques e calcul du prix d un dérivé de crédi Cee parie repose sur les différenes méhodes de calcul des prix des dérivés de crédi. Nous ravaillons dans deux cadres : le cadre saique e le cadre dynamique. Dans le cadre saique nous meons en évidence les méhodes de pricing basées sur les différenes copules : gaussiennes, Suden, Double-T. Nous discuons sur les m hodes de calibraion des dérivés de crédi non sandard basée sur "la base-correlaion". Dans le cadre dynamique, nous éudions commen simuler la dynamique d un spread de dérivé de crédi en s aardan principalemen sur deux approches : approche Boom up e l approche Top down Cadre saique Definiion 4. Une copule es une foncion de disribuion mulivariée don les marginales son uniformémen disribuées sur [,1. Propriéés 1. Une copule n-dimensionnelle C :[,1 n [,1, n N es une foncion qui possède les propriéés suivanes, pour ou u = u 1, u 2,, u n [,1 n : C es croissane en chaque composane u i pour ou i = 1 n. S il exise une composane u i nulle, Cu =. Pour ou i = 1,, n, C1,1,, u i,1,1 = u i. Theorème SKLAR Soi F une foncion de disribuion n mulivariée don les marginales F Xi son connues pour ou i = 1 n. Il exise une foncion copule C elle que pour ou x = x 1,, x n Fx 1, x 2,, x n = CF X1 x 1, F X2 x 2,, F Xn x n Cee foncion es unique si pour ou i = 1,, n, F Xi es coninue On dédui du héorème 3

31 Inroducion 31 de SKLAR : Cu 1,, u n = FF 1 X 1 u 1,, F 1 X n u n Exemples de copules Copule gaussienne Soi R une marice symérique définie posiive elle que chaque erme de la diagonale vau 1, on défini la copule gaussienne n dimenssionnelle par : Cu 1,, u n, R = Φ R Φ 1 u 1,,Φ 1 u n pour ou u = u 1,, u n où Φ R es la foncion de disribuion d une gaussienne n mulivariée don la marice de covariance es égale à R, la foncion de densié de cee gausienne es définie par : où x = x 1,, x n. Copule de Suden f R x = 1 der 2π n e1 2 x R 1 x On considère oujours la même marice R e on défini la copule de Suden de paramère ν par : Cu 1,, u n, ν,r = R,ν 1 ν u 1,, 1 ν u n Pour ou u = u 1,, u n, où R,ν es la foncion de disribuion d une loi de Suden n-muivariée don la marice de covariance es égale à R. Copule de Clayon Soi u = u 1,, u n [,1 n e θ > on défini la copule de Clayon par : Cu 1,, u n = [ n u θ i n θ Connaissan les marginales correspondan aux probabiliés de survie de chaque enié, on uilisera les copules pour déerminer la probabilié joine de survie, paramère esseniel pour implémener le prix des dérivés de crédi car ce prix pourra oujours s écrire comme 31

32 32 Inroducion une espérance de la pere due aux défaus des eniés Cadre dynamique Approche Boom up L approche Boom up consise à consruire l inensié de défau de chaque enié e la probabilié joine de survie afin de déerminer le prix du dérivé de crédi. Nous nous aardons dans cee parie sur le modèle d Herbersson [41. Nous supposerons de plus que les emps de défau τ 1, τ 2,, τ d son "échangeables" en supposan que chaque enié présene les mêmes spécificiés ; ainsi l inensié de la firme i, λ i = λ es définie par : d 1 λ = a + b k 1 Tk, 1.12 k=1 où T k 1 k d représenen les emps ordonnés des emps de défau, a > e b 1, b d 1 son els que λ >. Proposiion 1. Hebersson. Il exise un processus de Markov Y sur un espace d éa fini E = {,1,2,,, d} el que les emps d arrês : T k = inf{ > : Y = k}, k = 1, d son des emps ordonnés des d emps de défau échangeables τ 1, τ 2,, τ d don les inensiés son définies par Le généraeur Q de Y es donné par : k Q k,k+1 = d k a +, Q k,k = Q k,k+1 pour ou k =,1, d 1 j=1 b j Les aures ermes de la marice Q valen zéro, ce processus de Markov commence à l éa {}. En uilisan les propriéés des processus de Markov e l échangeabilié des emps de défau, nous déduisons les probabiliés joines de survie nécéssaires pour le calcul du prix des dérivés de crédi. 32

33 Inroducion 33 Proposiion 2. Considérons les d eniés don les inensiés son définies par Soi q N, 1 q d, on obien : Pτ 1, τ q = αe Q s q, Pτ 1, τ q Y = j = Cq d j C q d pour j d q où α = 1,, représene la disribuion iniiale sur E e s q j Approche Top down = Cq d j C q,1 j d. d Le principe de l Approche Top down es de simuler direcemen le processus de peres d un panier de dees afin de calculer le prix des dérivés de crédi. Pour mieux éudier cee approche, nous avons uilisé la méhode de Schönbucher [69 où le processus de pere e les probabiliés condiionnelles de pere uiles dans le calcul des prix son donnés par les définiions suivanes : Definiion 5. Processus de pere e probabiliés condiionnelles. Le processus de pere à la dae [, T es donné par : L = 1 {τi }. Le veceur de probabilié condiionnelle du nombre de défau à la dae T éan données les informaions à la dae, le veceur p, T = p, T,, p d, T es défini par : p n, T = P LT = n G, n d. Hypohèse A2 : On supposera dans la suie que le processus de pere es une chaîne de Markov inhomogène e qu il exise une marice de ransiion A.T = [a i,j., T 1 i,j d elle que le veceur de probabilié condiionnelle saisfai l équaion de Kolmogorov : p, T = A, T.p, T, T. T Les coefficiens de la marice A vérifien pour ou [, T, i d : d j=1 a i,j, T =. Ean donnée la marice de ransiion A, on peu simuler les prix des dérivés de crédi en uilisan la relaion récursive sur les probabiliés condiionnelles induie par l hypohèse précédene : 33

34 34 CHAPITRE 1. INTRODUCTION m < n exp P n,m, T = P m,m, T a n, sds d 1 k=n m = n P n,k, s P m,m, s a k,m, sds m > n Les résulas numériques e les différenes méhodes employées son donnés plus en déail dans le dernier chapire de cee hèse.

35 Chapire 2 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion 2.1 Inroducion We sudy a class of exponenial-quadraic BSDE wih jumps by considering he poin of view based on esimaes of he sae soluion by enropic-semimaringale and by using sabiliy heorem for semimaringales. Moreover, we apply his resul o solve a exponenial uiliy maximizaion problem in a marke involving defaulable asses. We show ha he value funcion of he problem is he unique soluion of class of an exponenial-quadraic BSDE wih jumps. Backward sochasic differenial equaions in shor BSDE s were firs inroduced by Bismu in 1973 [9 as equaions for he adjoin process in he sochasic version of Ponryagin maximum principle. Pardoux and Peng [6 generalized he noion in 199 and were he firs o consider general BSDE s and o solve he quesion of exisence and uniqueness. In a coninuous filraion, a soluion for a BSDE associaed wih a coefficien

36 36 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion g, ω, y, z and a erminal value ξ T is a pair of square inegrable adaped w.r.. he Brownian filraion processes Y, Z T such ha : Y = ξ T + g s ω,y s, Z s ds Z s.dw s, T. 2.1 When he funcion g is Lipschiz coninuous wih respec o y, z and ξ T L 2 Ω, Pardoux and Peng proved, in heir seminal paper [6, he exisence and uniqueness of a soluion for 2.1. Since hen, BSDE s have been widely used in sochasic conrol and in paricular in mahemaical finance, mainly because any pricing problem in a replicaion sense can be wrien in erms of linear BSDEs, or non-linear BSDEs when porfolios consrains are aken ino accoun see El Karoui, Peng and Quenez [27. Anoher direcion which has araced many works in his area, especially in connecion wih applicaions, is how o improve he exisence/uniqueness condiions of a soluion for 2.1. When he funcions g and ξ T are valued in R, many aricles have presened weakes exisence condiions of a soluion for 2.1. Paricularly in hose papers, i is only assumed ha g is coninuous and saisfies a quadraic growh condiion. Among hem, we can quoe Kobylanski [45 and Lepelier and San Marin [51. In all of hese works, he erminal condiion is assumed o be bounded, and he main ools are an exponenial change of variable, runcaion procedure and comparison heorem of soluions of BSDE s. Noneheless, noe ha in general we do no have uniqueness of he soluion. In [45 a uniqueness resul is given by adding a more sronger condiions on he coefficien. This laer model of BSDE s is very useful in mahemaical finance when one deals wih exponenial uiliies or risk measure heory, especially for weaher derivaives see e.g. El Karoui and Rouge [3, Mania and Schweizer [56, Hu, Imkeller and Müller [42, Barrieu and El Karoui [6 and Becherer [7, 8. Acually, i has been shown in [3, ha in a marke model wih consrains on he porfolios, if we define he indifference price for a claim ξ as he smalles number p such ha sup π E[ e δxx+p,π T ξ sup π E[ e δxx,π T where X x,π is he wealh associaed wih he porfolio π and iniial value x, hen his problem urns ino he resoluion of a BSDE wih quadraic growh coefficien. Finally le us poin ou ha conrol risk-sensiive problems urn ino BSDE s which fall in he

37 2.1 Inroducion 37 same framework in El Karoui and Hamadène [31. Our work was also moivaed by solving a uiliy maximizaion problem of erminal wealh wih exponenial uiliy funcion in models involving defaulable asses. Therefore we need o consider Backward Differenial Equaions wih jumps of he form Y = ψ T + g s Y s, Z s, U s ds Z s dw s U i sdn i s. 2.2 where for each i = 1,, d, N i is he maringale associaed o a couning process H i see secion 2.2 for more deails on he model. A soluion of such BSDE associaed wih g, ψ T is a riple of square inegrable processes Y, Z, U T. The sandard BSDE s wih jumps driven by Lipschiz coefficien was firs inroduced by Barles, Buckdahn and Pardoux [3 in order o give a probabilisic inerpreaion of viscosiy soluion of semilinear inegral- Parial equaions. Aferwards he case of BSDE s wih jumps and quadraic coefficien was sudied by Becherer [8 and Morlais [57 in he conex of exponenial uiliy maximizaion problem in model involving jumps. In he boh papers [8, [57, he auhors have used in he case of bounded erminal condiion he Kobylanski mehod in he jump seing. As a consequence, hey obain ha he sae process Y and he jump componens U of he BSDE soluion are uniformly bounded, and ha he maringale componen is a BMO-maringale. Moreover, he so-called Kobylanski mehod is based on analyical poin view inspired from Boccardo, Mura and Puel paper [1 and i is based on he exponenial change of variables, runcaion procedure and sabiliy heorem. Therefore, one of he main difficuly in his mehod is he proof of he srong convergence in he maringale par approximaion. More recenly, Tevzadze [74 proposed a new mehod o ge he exisence and uniquness of he soluion of quadraic BSDE s. The mehod is based on a fixed poin heorem bu for only bounded erminal condiion wih small L -norm. Our main ask in his paper is o deal wih quadraic BSDE s wih non-bounded erminal value and jumps which appear in he dynamics of credi derivaives. Our poin of view is inspired from Barrieu, EL Karoui and Xu [5 where hey sudy he coninuous case. By adoping a forward poin of view, we shall characerize firs a soluion of BSDE s as a quadraic Iô semimaringale Y, wih a decomposiion saisfying he quadraic exponenial srucure condiion Q exp l,a, δ, where

38 38 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion he erm exponenial refers o he exponenial feaure of he jump coefficien which appears in he generaor of he BSDE. More precisely, we assume ha : here exiss wo consans a δ >, and an adaped process l such ha : l a y 1 2 δ z 2 1 δ j δu g y,z,u l + a y δ z δ j δu, a.s. where j u = d eui u i 1λ i. The canonical srucure Q exp,, δ will play a essenial role in he consrucion of he soluion associaed o generale Q exp l,a, δ srucure condiion. The simples generaor of a quadraic exponenial BSDE, called he canonical generaor, is defined as g y, z,u = q δ z, u = δ 2 z δjδu. For a given random variable ψ T, we call enropic process, he process defined as ρ δ, ψ T = 1 δ [expδψ ln E T G which is a soluion of he canonical BSDE s associaed wih he coefficien q δ and final condiion ψ T. This is a enropic dynamic risk measure which have been sudied, by Barrieu and El Karoui in [6. The backward poin of view of our approach permis o relae he quadraic BSDEs o a quadraic exponenial semimaringale wih srucure condiion Q exp l,a, δ, using he enropic processes. Namely, a semimaringale X wih non bounded erminal condiion ψ T and saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ, yields he following dominaed inequaliies : ρ δ, U T X ρ δ, U T, [, T 2.3 where U T and U T are wo random variables depending only on l, a, δ and ψ T. Briand and Hu [14 prove implicily he inequaliies 2.3 in he proof of he exisence of he soluion of a quadraic BSDE, using Kobylanski mehod and localizaion procedure. The main goal in our approach is hen o deduce, from his dominaed inequaliies, a srucure properies on he maringale par and he finie variaion par of X. Indeed, we obain he canonical decomposiion of an enropic quasimaringale which is a semimaringale which saisfies 2.3 as a canonical quadraic semimaringale par plus an predicable increasing process. This Doob ype decomposiion helps us o define a general quadraic exponenial semimaringale as a limi of a sequence of canonical quadraic semimaringale plus a sequence of an increasing process. Then, from he sabiliy heorem for forward

39 2.1 Inroducion 39 semimaringales given by Barlow and Proer [4, we prove he exisence of he soluion of a quadraic exponenial BSDE associaed wih g,ψ T for a coefficien g saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ and for non-bounded erminal condiion ψ T. Finally, we have o menion ha i is imporan o compare our approach wih ha used by Peng in [62, 64, 65 wihin he represenaion heorem of small g-expecaion in erms of a BSDE s wih coefficien g which admis a linear growh condiion in z. Peng s approach is based on he noion of maringale associaed wih a nonlinear expecaion, Monoonic limi heorem, a nonlinear Doob-Meyer s decomposiion Theorem see e.g. [63. Moreover, Peng obained he represenaion heorem for he nonlinear expecaion which is dominaed by a srucure nonlinear expecaion soluion of BSDE s wih coefficien given specially by g µ y, z = µ y + z. Barrieu and El Karoui in [6 have exended his represenaion heorem for a dynamic convex risk measure in erms of quadraic BSDE s wih convex coefficien g which depends only in z. Our approach is an exension of he Peng s resuls in he more naurel framework of quadraic exponenial semimaringale. The paper is srucured as follows : in a second secion, we presen he model and preliminary noaion. In he hird secion, we define he quadraic exponenial semimaringale and we sudy he enropic quadraic exponenial quasimaringale. In paricular, we give he characerizaion of an enropic quasimaringale and is Doob decomposiion. Then, we give he BMO properies and he sabiliy resuls of quadraic exponenial semimaringale. In he fourh secion, we presen applicaions of quadraic exponenial semimaringale o solve he quadraic BSDE s associaed o g, ψ T for a coefficien g saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ and for non-bounded erminal condiion ψ T. In he fifh secion, we solve a uiliy maximizaion problem of erminal wealh wih exponenial uiliy funcion in models involving defaulable asses. In Appendix, we give firs resuls abou BMO maringales and BMO semimaringales. Aferwards, we prove a universal bound for a quadraic exponenial semimaringale wih general srucure condiion which is crucial o ge exisence resuls of Theorem 3 for quadraic BSDE s.