( CD ) et ( ) ( ) ( FGC ) sont. ( AED ) sont : Droites et plans de l espace vecteurs MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet

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1 MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 Exercice Droites et plans de l espace vecteurs Exercice On considère le cube ABCDEFGH On pose u = EF, v = BC et w = HB Pour chaque question, donner toutes les bonnes réponses Dans l espace, on considère le cube ABCDEFGH ci-dessus Le point I est le milieu du segment [ AB ] Les droites CD ( EF ) et ( ) sont : Les droites FB ( CD ) et ( ) sont : Les plans ( DAI ) et ( EFG ) sont : Les plans EHC et ( ) ( FGC ) sont sécants selon : La droite ( FI ) et le plan ( AED ) sont : parallèles sécantes coplanaires sécantes parallèles non coplanaires parallèles sécants confondus le point C parallèles le segment [ BC ] sécants selon un point la droite ( BC ) sécants selon une droite Exercice Dans le plan, on considère le quadrillage régulier cidessous Dire si les affirmations sont vraies ou fausses Justifier que v = FG et déterminer un vecteur représentant la somme u+ v Est-il vrai que u+ v = AC? En trouvant dans chaque cas des représentants des vecteurs dont les extrémités sont situées dans un même plan, déterminer les sommes vectorielles v + w, u w et v + w u Soit O le centre du cube, I et J les centres respectifs des faces ABFE et DCGH Dans chaque cas, déterminer le point M vérifiant l égalité proposée : a HM = OB b OM = v c JM = w v Exercice 4 Déterminer dans chaque cas, la section du cube ABCDEFGH par le plan ( IJK ) AK + JR = AS HN JQ = DA 5 GL + AE = 5AF 7 IS + AQ = GP 4 9 PA OS = SF EK + PH = EH 4 VK AB + BI = ZS 6 4MI BC = ZE 8 AD + EM = FP - -

2 MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 est alors un repère orthonormé de l espace ( A,i,j,k) Lire les coordonnées des sommets du pavé droit Lire les coordonnées du point M dans le cas où M a la face EFGH ; b la face ADHE Lire les coordonnées du point N dans le cas où N a la face BCGF ; b la face ABCD 4 Lire les coordonnées du point P dans le cas où P a la face ADHE ; IJ b la droite ( ) 5 Reproduire la figure, et placer les points suivants : ;; ; a R ( ) b S ; ; Exercice 6 Dans le tétraèdre ABCD, on considère le milieu I de CD, le centre de l arête [ AB ], le milieu J de l arête [ ] gravité K du triangle BCD Démontrer que les segments [ AK ] et [ ] M, milieu de [ IJ ] IJ se coupent en Exercice 5 Sur la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un pavé droit tel que : AB = ; AD = 4 et AE = On pose : i = AB = AI j = AD = AJ k = AE 4 Exercice 7 ABCDEFGH est un cube On considère les points I, J, K, M et P définis par : HM = HE et CP = CA ; AE et I et K sont les milieux respectifs de segments [ ] [ MP ], et J est le centre de la face DCGH - -

3 MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 Démontrer que les points I, J et K sont alignés Proposer un repère de l espace qui aurait permis de démontrer ce résultat du Soit t un réel de l intervalle [ 0; ] On définit les points N et Q par : HN = t HE et CQ = t CA a Que décrivent les points N et Q lorsque t 0;? décrit l intervalle [ ] b En utilisant le repère proposé au, déterminer le lieu L des milieux des NQ, lorsque t décrit segments [ ] l intervalle [ 0; ]? 4 Soit S, le centre de gravité du triangle GNQ a Déterminer les coordonnées du point S en fonction de t dans le repère utilisé précédemment b En déduire une représentation paramétrique, du lieu L des points S, 0; lorsque t décrit l intervalle [ ] c Déterminer les positions relatives des ensembles L et L Exercice 8 Répondre par vrai ou faux,,, L espace est rapporté à un repère ( O i jk) les points A( ; ; ), B( 0 ) C( 4 ; ; 5 ) sont alignés On considère les points M( ; 0; ), N( 4) P( 4; ; ) et Q ( ; ; 0) Les droites ( ) ( PQ ) sont parallèles On considère les points I( ; 4; ), J( 4) K( ; ; 5) et L( 4 9) sont coplanaires ; ; et ; ;, MN et ; ;, ; ; Les points I, J, K et L Soit J le point d intersection de la droite ( ) du plan ( BB'G' ) Démontrer que Exercice 0 Répondre par vrai ou faux :,,, L espace est rapporté à un repère ( O i jk) AJ = AE' AE' et Les droites D et définies respectivement par : = t = 7 + u y = + t (t R) et y = + u (u R) = + t = 6 u sont sécantes A ; ; 4 et de La droite passant par le point ( ) vecteur directeur u a pour représentation paramétrique : = t + y = t + (t R) = t + B ; ; appartient à la droite D, dont Le point ( ) une représentation paramétrique est : = t y = + 6t (t R) = + t = t 4 La droite d, définie par y = (t R), est = 5 t parallèle à l axe ( O, j) 5 La droite d définie au 4 et la droite d passant par O et dirigée par u' = i j + k sont sécantes Exercice 9 La figure ci-dessous est composée de trois cubes identiques accolés Ecrire sous forme d un vecteur unique les sommes : AG+ FE AG' + C'D BH' + F'E BC + CH FG+ DF' CA BB' Démontrer que AI = AE - - Exercice ABCDEFGH est un pavé droit Les points I et J sont les FG Les points milieux respectifs des segments [ EF ] et [ ] O et O sont les centres respectifs des faces BCGF et ADHE Identifier les points M, N et P définis par : AM = EF + BG ; AN = AE + AD ; HP = EF + GC + DA Construire le point K tel que DK = DF Démontrer que les points C, K et I sont alignés

4 MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 Exercice Soit ABCD un tétraèdre, E le milieu du segment [ AB ] et J celui de [ CD ] Le point G est le centre de gravité du triangle ECD La droite ( AG ) coupe le plan ( BCD ) en F Déterminer les coordonnées du point F dans le B BC BD BCD repère ( ) ; ; du plan ( ) Vérifier que les points B, F et J sont alignés Exercice On considère les droites D et D de représentation paramétriques respectives : = + t = 4 t' y = t (t R) y = 5 8t' (t' R) = 5 t = 7 t' On considère un point M de la droite D et un point M de la droite D MM' lorsque les Quel est le lieu du milieu du segment [ ] points M et M décrivent respectivement les droites D et D? Exercice 4 Identifier les points I, J et K définis par : AI = AD + AE ; HJ = AB + HA ; AK = AG DH Construire les points M et N tels que : BM = u+ v + w et CN = u + v + w Soit x un nombre réel et P le point défini par : CP = CN + x u Déterminer x pour que les vecteurs BM et CP soient colinéaires Exercice 5 QCM Déterminer la ou les bonnes réponses : O, i, jk, on considère les points Dans un repère ( ) ( ; ; ), B( ; 0; ) et C( 0 6 0) A ; ; Le point G tel que GA + GC = 0 coordonnées : a ; 5; 4 b ; ; 4 4 0, 5 ; ;, 5 c ( ) a pour Si d est la droite de représentation paramétrique = t y = t (t R), alors : = a d = ( AB) b d = ( BC) c d ( AB) et d ( BC) et d ( CA) Les droites d et d de représentation paramétriques : = + t = t' y = t (t R) et y =, 5t' (t' R) = + t = + t' admettent comme point commun : I ; 0; ( ) J( ; ; ) K( 0; ; ) 4 La droite ( AC ) passe par le point : a B D 4; 0; 6 b ( ) c 9 E ; ; 5 Les droites de représentations paramétriques : = t = + t' y = + t (t R) et y = t' (t' R) sont : = t = 4 + t' a parallèles et distinctes b confondues c sécantes d non coplanaires - 4 -

5 MATHÉMATIQUES ENSM PI Marc Bizet 0-04 Exercice 6 ABCDEFGH est un cube J est le centre de la face CDHG Les points P et Q sont définis par : EP = EH AQ = AC PQ I est le milieu de [ AE ] et K le milieu de [ ] En utilisant un repère, démontrer que les points I, J et K sont alignés de la droite ( d ) passant par ( ; ; ) A et de vecteur directeur u avec le plan P caractérisé par le point 0 O( 0 ; 0 ; 0 ) et les vecteurs v 0 et w 0 Exercice 9 L espace est rapporté à un repère orthonormé O ; i, j, k Déterminer les positions relatives des ( ) droites suivantes : ( D ) y 5 t ( t R ) et ( D ) y t ( t R ) = + t = = 7 + 4t = 5 t = 6 + = t Exercice 7 Un cube d arête 8 cm est traversé par deux aiguilles JJ' I et J sont situés sur la suivant les droites ( II' ) et ( ) face EFGH I est à cm de ( EH ) et ( EF ) J est à 4 cm de ( HG ) et ( FG ) J est un point de la face ABFE situé à cm de ( AB ) et à 4 cm de ( BF ) I est un point de la face BCGF situé à cm de ( BC ) et à 5 cm de ( CG ) Les deux aiguilles se touchent-elles? Exercice 8 Déterminer l intersection : = + t = R avec = t le plan P d équation cartésienne x y + 5z = 0 de la droite ( d ) définie par y 5t ( t ) = + 6t = R avec le = plan P d équation cartésienne x + 6y + z 7 = 0 de la droite ( d ) définie par y t ( t ) ( D ) et ( D ) y 6 t ( t R ) = 4 + t = = + t ( D ) et ( D ) y ( t R ) 4 = + t = = 7 5t 4 ( D ) et ( D ) y t ( t R ) 5 = t = + = 9 6t Exercice 0 vrai/faux Deux droites de l espace sans point commun sont parallèles Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles Trois droites concourantes sont coplanaires 4 Deux droites de l espace orthogonales à une même troisième sont parallèles entre elles A ; 6 ; B ; ; 5 5 La droite ( AB ) où ( ) et ( ) admet pour système d équations paramétriques : = t y = 4 + t ( t R ) = t 6 La droite d intersection des plans d équations x + 4 y z = 0 et y z + = 0 admet pour système d équations paramétriques : x = + t y = + t ( t R ) z = + t - 5 -