DS du 13 décembre 2010 : Sujet et corrigé
|
|
- Madeleine Laberge
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 DS du 13 décembre 2010 : Sujet et corrigé Exercice 1: f est une fonction dont le tableau de variation est le suivant : x f x Pour chacune des affirmations suivantes, répondez par vrai, faux, ou "on ne peut pas savoir", en justifiant votre réponse. a) f 2,5f 2 b) f x 2 pour tout x de [ 3; 4] c) f 1,5f 3 d) f 2,5f 0,5 e) f 2,5f 3 a) f 2,5f 2: VRAI, en effet la fonction f est strictement croissante sur [ 3; 2], donc aussi sur [ 2,5 ; 2]. 0,5 b) f x 2 pour tout x de [ 3; 4]:... VRAI, en effet -2 est le minimum de f sur [ 3; 4], il est atteint pour x= 3. c) f 1,5f 3: FAUX, en effet la fonction f est décroissante sur [1 ; 4], donc aussi sur [1,5 ; 3] et on a donc : f 1,5f 3. d) f 2,5f 0,5: On ne peut pas savoir, en effet d'après le tableau de variations, on peut seulement déduire que d'une part : 2f 2,50 et que d'autre part : 1f 0,51 e) f 2,5f 3: VRAI, en effet on remarque que : f 2,500,5f 3 Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur R par : f x =9 x2 2. On note C f sa représentation graphique dans le plan. 1) Développer et réduire f x, puis factoriser f(x). 2) Représenter graphiquement f sur votre calculatrice. 3) Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection de C f avec l'axe des ordonnées, puis les retrouver par le calcul. 4) Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses puis les retrouver par le calcul. 5) Justifier que tous les points de C f ont une ordonnée inférieure ou égale à 9. Bonus : 6) Justifier que tous les points de C f situés en dessous de l'axe des abscisses ont une abscisse supérieure à 1 ou inférieure à -5. 1) Forme développée et réduite de f : Pour tout réel x on a les égalités suivantes : f x =9 x 2 2 =9 x 2 4 x4= x 2 4 x5 Forme factorisée de f : Pour tout réel x : f x =9 x 2 2 =3 2 x2 2 =3 x 23x2= x1x5 2) Représentation de f sur la calculatrice : (Il ne fallait rien marquer sur la copie...!!) 3) Intersection de C f avec l'axe des ordonnées :
2 En utilisant par exemple la fonction trace du solveur graphique (touche G-solve) on obtient le graphique de droite, on en déduit que l'intersection de C f avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées (0 ; 5) Pour retrouver ce résultat par le calcul, il suffit de calculer f 0, et en prenant la forme développée et réduite de la question 1), le résultat est immédiat. 4) Intersection de C f avec l'axe des abscisses : En utilisant la fonction ROOT du menu G-solve on obtient les affichages ci contre. On en déduit que les points d'intersection de C f ont pour coordonnées : (-5 ; 0) d'une part et (1 ; 0) d'autre part. Retrouver le résultat par le calcul signifie résoudre l'équation f x =0. Pour cela, on utilise la forme factorisée de f obtenue à la question 1). On a alors l'équivalence : f x =0 x1x5=0 D'après la règle du produit nul on a donc : Soit x1=0 x=1 soit x 5=0 x= 5 Les points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses ont donc bien pour coordonnées (-5 ; 0) et (1 ; 0). 5) Montrons que tous le points de C f ont une ordonnée inférieur ou égale à 9 : Pour cela on compare f x et 9. Une méthode consiste alors à calculer f x 9 et à montrer que cette quantité est négative. Or en prenant la forme de départ donnée pour f(x), il vient : f x 9=9 x2 2 9= x2 2. Un carré étant un nombre positif, on a bien que pour tout réel x, f x 9 0, c'est à dire que f x 9. Bonus : 6) Déterminons les abscisses des points de C f situés en dessous de l'axe des abscisses : Cela revient à résoudre l'inéquation f x 0. On choisit alors la forme factorisée de f, on se ramène donc à résoudre : x1x50. Or d'une part : x1=0 x=1 et d'autre part : x5=0 x= 5 En utilisant alors le sens de variation des fonctions affine (strictement croissante si le coefficient directeur est positif et strictement décroissante si le coefficient directeur est négatif), on obtient le tableau : x -5 1 x x f x La courbe de f est donc située en dessous de l'axe des abscisses pour x 5 ou pour x1. Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur I = [-2 ; 4] dont la représentation graphique C f dans un repère orthogonal est donnée ci-contre. Le graphique est à compléter au fur et à mesure des questions. On donne le tableau de valeurs ci-dessous : x -2-1,83-1, ,64 3,83 4 f(x) ) Donner les images de -2 ; 0 ; 2 et 4 par f. 2) Donner le(s) antécédents(s) de -9 puis de 7 par f. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur I. 4) La fonction f admet-elle, sur I, un minimum ou/et un maximum? Pour quelles valeurs sont-ils atteints? 5) Comment choisir le réel m pour que l'équation f(x) = m admette 4 solutions.
3 6) Donner le signe de f(x) en fonction des valeurs de x. 7) Résoudre graphiquement : f x =0 puis 9f x 7. 8) Construire la représentation graphique de la fonction g définie sur I par g x=2 x1. 9) Résoudre graphiquement f x g x. 1) Images de (-2) ; 0 ; 2 et 4 par f : D'après le tableau de valeurs, les images de (-2) ; 0 ; 2 et 4 sont respectivement : 16 ; 0 ; 0 et 16 2) Antécédents de (-9) et de 7 : D'après la représentation graphique de f : - les antécédents de (-9) sont -1 et a trois antécédents dont on peut lire les valeurs dans le tableau : -1,83 ; 1 et 3,83 3) Tableau de variations de f : x f ) Extremum de f sur I : D'après le tableau ci-dessus : - le maximum de f sur I est 16, il est atteint pour x = -2 et pour x = 4. - le minimum de f sur I est -9, il est atteint pour x = -1 et pour x = 3. 5) Valeurs de m pour que l'équation f(x) = m admette quatre solutions : L'équation f(x) = m a quatre solution lorsque la courbe C f coupe exactement quatre fois la droite d'équation y = m, c'est à dire pour m appartenant à l'intervalle ] -9 ; 7 [. 6) Signe de f(x) : Déterminer le signe de f revient graphiquement à trouver les points de C f situés : - au dessus de l'axe des abscisses f x 0 - en dessous de l'axe des abscisses f x 0 - à l'intersection avec l'axe des abscisses f x =0 On trouve alors (en comparant la courbe et le tableau de valeurs de f) : f x 0 pour x [ 2; 1,64[ ]0; 2[ ]3,64 ; 4] f x =0 pour x { 1,64 ; 0 ;2 ; 3,64} f x 0 pour x ] 1,64 ; 0[ ]2 ;3,64[ 7) Résolution graphique de f(x) = 0 : D'après la question précédente, f x =0 pour x { 1,64 ; 0; 2 ;3,64} Résolution graphique de -9 < f(x) < 7 : On cherche les point de C f ayant une ordonnée strictement comprise entre -9 et 7. Les solutions sont les abscisses de ces points. Par lecture graphique, et en utilisant le tableau de valeurs on trouve que : S=] 1,83; 1[ ] 1; 1[ ]1; 3[ ]3 ;3,83[ 8) Construction de la représentation graphique de la fonction g : La fonction g est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite. Comme g x=2 x1, l'ordonnée à l'origine est 1, la représentation graphique de g passe donc par le point de coordonnées (0 ; 1). De plus g 4=2 41=9, la représentation graphique de g passe donc aussi par le point de coordonnées (4 ; 9). On obtient donc le graphique ci contre :
4 9) Résolution graphique de f(x) > g(x) : On cherche les point de C f situés strictement au dessus des point de C g. Les solutions sont les abscisses de ces points. Graphiquement on trouve : S=[ 2; 1,6[ ]0,1;1,6[ ]3,9 ; 4]. Exercice 4 : Dans une station balnéaire, trois sociétés de location de voitures proposent aux touristes les tarifs suivants : - Société S 1 : un forfait de 23 et 0,40 par kilomètre parcouru. - Société S 2 : un forfait de 66, les 72 premiers kilomètres gratuits et 0,30 par kilomètre au-delà de 70 km. - Société S 3 : 0,60 par kilomètre parcouru. 1) Pour une personne qui aura parcouru x kilomètres, calculer : a) le prix f 1 x qu'elle devra acquitter à la société S 1 b) le prix f 2 x qu'elle devra acquitter à la société S 2 (distinguer les cas ( x 70 et x70 ) c) le prix f 3 x qu'elle devra acquitter à la société S 3 2) a) Dans un repère orthogonal (unités : en abscisse 1 cm pour 20km, en ordonnée 1 cm pour 5 ), construire les représentations graphiques de f 1,f 2 et f 3. b) Déterminer graphiquement, puis par le calcul, le tarif le plus avantageux selon le nombre de kilomètres parcourus. 1) Calcul de f 1(x) : La société S 1 propose une formule avec un forfait de 23 et 0,40 le kilomètre parcouru, le coût pour une personne parcourant x km est donc : f 1 x =0,4 x23. Calcul de f 2(x) : La société S 2 propose une formule avec un forfait de 66, 70 km gratuit et 0,30 le kilomètre parcouru au-delà de 70km. - Le coût pour une personne parcourant x km, avec x 70 est donc : f 2 x=66 - Si x70 la fonction f 2 est affine de coefficient directeur 0,3. Donc f 2 x est de la forme : f 2 x=0,3 xp. (1) De plus sa représentation graphique passe par le point de coordonnées (70 ; 66), donc f 2 70=66. Or, d'après (1), f 2 70=0,3 70p=21p Donc : 21p=66 et donc p=66 21=45 Finalement, si x70, f 2 x=0,3 x45. Calcul de f 3(x) : La société S 3 propose une formule à 0,60 le kilomètre parcouru. Le coût pour une personne parcourant x km est donc : f 3 x =0,6 x. 2 a) Voir sur la page ci-après. b) Détermination du tarif le plus avantageux selon le nombre de kilomètre parcouru : 1] En utilisant le graphique : On cherche quelle est la courbe de tarif située sous les deux autres pour une abscisse donnée. Par lecture graphique, on trouve que : - Si x 115, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 3. - Si 115x 220, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 1. - Si x220, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 2. 2] Par le calcul : Comparaison de f 1 et de f 2 sur [0 ; 70] : f 1 70=0,4 7023=51 donc f Or la fonction f 1 est strictement croissante (son coefficient directeur est strictement positif), Donc f 1 est strictement inférieure à f 2 sur [0 ; 70]. On montre de même que f 3 est strictement inférieure à f 2 sur [0 ; 70].
5 Comparaison de f 1 et de f 2 si x > 70 : Pour comparer ces deux fonctions on peut étudier le signe de leur différence g 1 2 : Si x70, g 1 2 x =f 2 x f 1 x =0,3 x45 0,4 x23= 0,1 x22 donc : g 1 2 x =0 x= 22 0,1 =220 On a donc le tableau de signes : x 220 g 1 2 x Donc si 70x220, g 1 2 x0, c'est à dire que f 1 x f 2 x. Avec ce qui a été démontré plus haut, on en déduit que la société S 1 propose un tarif plus avantageux que celui de la société S 2 pour une distance parcourue comprise entre 0 et 220 km. Au delà, le tarif de la société S 2 devient plus intéressant. On compare donc maintenant les tarifs de la société S 1 et de la société S 3 : On étudie donc le signe de la fonction g 1 3 définie par g 1 3 x =f 3 x f 1 x: Expression de g 1 3 x : g 1 3 x =0,6 x 0,4 x23=0,2 x 23 donc : g 1 3 x =0 x= 23 0,2 =115 On a donc le tableau de signes : x 115 g 1 3 x Donc si 0x 115, g 1 3 x 0, c'est à dire que f 3 x f 1 x. La société S 3, est donc plus intéressante que la société S 1 pour une distance parcourue comprise entre 0 et 115 km. Au delà, la société S 1 est plus intéressante que la société S 3. Conclusion : Si la distance parcourue est inférieure à 115km, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 3. Si la distance parcourue est comprise entre 115km et 220km, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 1. Au delà de 220km, le meilleur tarif est celui de la société S 2.
6
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailLogistique, Transports
Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailLes fonction affines
Les fonction affines EXERCICE 1 : Voir le cours EXERCICE 2 : Optimisation 1) Traduire, pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme (où x désigne le nombre de kilomètres parcourus
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailFORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailSéquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailTerminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader
Terminale STMG O. Lader Table des matières Interrogation 1 : Indice et taux d évolution........................... 2 Devoir maison 1 : Taux d évolution................................ 4 Devoir maison 1
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailDécouverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS
Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul
DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailLecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailDévelopper, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailREPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation
REPRESENTER LA TERRE Seconde Page 1 TRAVAUX DIRIGES REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation Casterman TINTIN "Le trésor de Rackham Le Rouge" 1 TRIGONOMETRIE : Calcul du chemin le plus court. 1)
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailMesures et incertitudes
En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d erreur, ce qui ne l empêche pas d être exploitée pour prendre des décisions. Aujourd hui, la notion d erreur a son vocabulaire
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailSEANCE 4 : MECANIQUE THEOREMES FONDAMENTAUX
SEANCE 4 : MECANIQUE THEOREMES FONDAMENTAUX 1. EXPERIENCE 1 : APPLICATION DE LA LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE a) On incline d un angle α la table à digitaliser (deuxième ou troisième cran de la table).
Plus en détail