Chapitre 5 : Géométrie plane

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1 Chapitre 5 : Géométrie plane Objectifs : *Connaitre et savoir utiliser les propriétés de géométrie du collège. * Connaitre la définition d un vecteur. * Savoir résoudre un problème de géométrie à l aide des vecteurs. I Géométrie du collège (rappel) Théorème de Pythagore: ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si BC²=AC²+AB² Théorème de Thalès : Soit A,B, C trois points alignés et A, B,C trois points alignés dans le même ordre. (BB ) // (CC ) si et seulement si Contraposée du théorème de Thalès : Soit A,B, C trois points alignés et A, B,C trois points alignés dans le même ordre. implique que (BB ) et (CC ) ne sont pas parallèles. Hauteur dans un triangle : la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au coté opposée [BC] Médiane dans un triangle : la médiane issue de A est la droite passant par A et qui coupe le coté opposée [BC] en son milieu. Bissectrice : Une bissectrice d un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Médiatrice : Une médiatrice d un segment est une droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Propriétés: Dans un triangle, les 3 trois hauteurs se coupent en un point (l orthocentre), les 3 trois médianes se coupent en un point (le centre de gravité), les 3 trois médiatrices se coupent en un point (le centre du cercle circonscrit), les 3 trois bissectrices se coupent en un point (le centre du cercle inscrit). Propriétés: Dans un triangle rectangle, Le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. La médiane issue de l angle droit a pour longueur la moitié de l hypoténuse. 4 et 6p268 p262 Chapitre 5 : géométrie plane Page 1

2 II Translation Exemple : Une télécabine BCDEF est accrochée à un câble rectiligne. Le point d attache au câble est en A. Puis la télécabine se déplace et le point d attache se trouve alors en A. 1. Dessiner sur la figure ci-dessus, la télécabine après son déplacement.(les nouveaux sommets seront appelés B C D E F. 2.a) Comparer les déplacements des points A et B. Qu en déduit on pour le quadrilatère AA B B? Qu en déduit-on pour les segments [AB ] et [A B]? b) Faire de même avec d autres points de la télécabine. 3a) Proposer une solution pour indiquer sur la figure que le déplacement s est fait de A vers A et non de A vers. b) On appelle le déplacement précédent translation de vecteur. Quels autres vecteurs aurait- on pu donner à la place (On dit alors que les vecteurs sont égaux)? c) Sur la figure, proposer le tracer d un vecteur égal à tel que ce vecteur ne soit pas sur la télécabine. (sur le principe d une échelle). Chapitre 5 : géométrie plane Page 2

3 Définition 1 : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur. Remarque : Le vecteur est donc caractérisé par : - une direction : celle de la droite (AB), - un sens : de A vers B, - une longueur : la longueur AB. Définition 3 : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel que les segments [BC] et [AD] ont le même milieu. 1 er cas : C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. 2 e cas : C (AB) On dit que ABDC est un parallélogramme applati. Définition 3: Dire que les deux vecteurs et sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B, associe au point C le point D. On note =. Remarque : Les deux vecteurs ont donc: - une même direction - un même sens - une même longueur Propriétés: Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement applati). Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si [BC] et [AD] ont le même milieu. Remarque : Si = alors B et C sont confondus Définition 4: Ces trois vecteurs sont égaux, on dit alors que,, sont des représentants d un même vecteur que l on peut noter également, (par exemple) Remarque: On parle ici de la translation de vecteur représentants.. Un vecteur admet une infinité de 5,6,8,10,14,15p311 1p290+p293,295,303,304+1à4,7p310+9,11,12,13,16,17p311 Chapitre 5 : géométrie plane Page 3

4 III. Opérations sur les vecteurs Exemple : Une fourmi se promène sur la télécabine précédente. 1) Elle part de B selon le trajet définie par puis. Où arrive-t-elle? 2) Elle part de B et arrive à F selon le trajet définie par puis. Si l on s intéresse uniquement à son point de départ et son arrivée, quelle vecteur a-t-elle parcouru finalement? 3)Comparer et. Que se passe-t-il pour la fourmi si elle enchaine ces deux trajets? Définition 1: La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur et se note. Remarque : L ordre d enchaînement n a pas d importance. On peut également enchaîner trois translations ou plus. Définition 2: Pour tous vecteurs,, on a : =. = = = = Vecteurs particuliers : Le vecteur nul est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A. Il se note et. Le vecteur opposé à noté - est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A. C est donc le vecteur. Définition 3: La différence de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des translations de vecteur et de vecteur - où - est le vecteur opposé à et se note. Exemple : = Chapitre 5 : géométrie plane Page 4

5 Relation de Chasles : Pour tout points A, B, C, = Remarque : Cette égalité nous dit deux choses : On peut simplifier une addition de vecteurs dans certains cas. «Dans un enchainement de vecteur on ne s intéresse qu au départ et à l arrivée. Aller de A à B puis de B à C revient à aller de A à C». On peut utiliser la relation de Chasles dans l autre sens. «on va de A à C, rien ne nous empêche de faire un détour par B» Exemple : En terme de vecteur, faire un voyage de Lyon à Marseille est équivalent à faire un voyage de Lyon à Pékin puis de Pékin à Marseille. = Règle du parallélogramme : Pour tout points A, B, C, tous distincts = où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. Définition 4:Soit = un vecteur non nul donné et k un réel. Le point C tel que k = est tel que : 1 er cas : C [AB) et AC=kAB si k>0 2 e cas : C est aligné avec A et B mais C [AB) et AC=-kAB si k<0 Propriétés : k=0 ou = si et seulement si k = k( (k+k ) k(k Définition 5: Deux vecteurs et sont colinéaires si il existe un réel k tel que Définitions 6: Trois points A, B, C du plan sont alignés si et seulement si et sont colinéaires. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. 21à25p312+29à31p313+33à37p214+70p p323 18à20p312+26,27,28,32p313+62,63,65p318 Chapitre 5 : géométrie plane Page 5