Séries numériques. 2.1 Sommes partielles et restes. 2.2 Séries à termes positifs. Chapitre 2. Exercice Soit α > 0.

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1 Chapitre Séries umériques : Sommes partielles et restes Exercice Motrer que les séries suivates coverget et calculer leur somme : S = + ) S = 3 S 3 = + )+ ) l ) k exo:4:oct:fri:7:36:4 Exercice Idiquer la ature et si elle existe la somme de la série de terme gééral + + Exercice 3 Idiquer la ature et si elle existe la somme de la série de terme gééral si + ) cos cos + Exercice 4 O admet que S = = π k= k 6 Motrer que k est covergete et calculer sa k+) somme S Exercice 5 Soit z C avec z < et p N Après avoir prouvé sa covergece calculer les sommes partielles et le reste de la série z p Exercice 6 Soit α > Motrer que x α + x dx = = ) + α Exercice 7 = = π 6 O cosidère la série de Riema et o ote L= sa somme O veut trouver ue = valeur approchée de L à p près p décimales exactes) O décide de predre comme valeur approchée de L la somme partielle S = k Écrire ue procédure Pytho qui calcule S E utilisat ue comparaiso avec ue itégrale motrer que pour tout N : R 3 Combie de termes sommer pour obteir ue valeur approchée de L à 4 près? 4 Trouver ue amélioratio de la méthode Séries à termes positifs Exercice k=

2 + ch) ch) e + ) 5 +) 6 cos Exercice 7 Exercice l) l ) + 3 ) 4 l + Exercice 3 l)! 3! a 4 si Exercice 4 si π e ) 4 cos Exercice 5 3! l l +3 Exercice 6 5 l) 6 e l + ) l + 6 +! 5 e 6 si 3 cos si l + ) 3 α R α + arcta si 6 Exercice l 3 4 3! 4 l l 6 Exercice 9! l l) 3 )α a+ b Exercice a l a> l)! l+ a)) α l ) α a> Exercice Type X + ) 4/3 + )+ 3) 3/ ; si ; ) + a+ 5 l + b+ ) 6 arccos + 5 cos ) α si + cos 6 ) si 3/ e 3 l 4 + ) 5 l l) 6 a α a > α > α k= k u = lk) 3 k! + p)! k= avec p α k=

3 O cherchera u équivalet de u Exercice Détermier la ature de la série de terme gééral + dx x α + α avec α> Exercice 3 Étudier la covergece puis calculer la somme quad celle-ci existe de la série de terme gééral l+ )+ a l+ )+b l+ 3) Exercice 4 Trouver le polyôme P pour que la série de terme gééral 4 + ) /4 P)) /3 soit covergete Exercice 5 Pour quelles valeurs de α la série de terme gééral ) α est-elle covergete? Exercice 6 Soit u ) ue suite réelle à termes positifs Motrer que les séries de terme gééral u v = u +u et w = l+u ) sot de même ature Si u coverge motrer que la série u ) α avec α est aussi covergete Exercice 7 Soit a ) ue suite de réels positifs O suppose que la série a coverge Quelle est la ature de la série de terme gééral : a) a ; b) a ; a c) si + a a d) + ; ) e) a O suppose que la série a diverge Quelle est la ature de la série de terme gééral : a) a + a ; b) a + a Exercice 8 Règle de Raabe-Duhamel Soiet u ) et v ) deux suites de réels strictemet positifs O suppose qu à partir d u certai rag u + u v + v Motrer que O v ) + O suppose que u + = α ) u + o avec α> + Motrer à l aide d ue comparaiso avec ue série de Riema que la série u coverge 3 O suppose cette fois-ci que u + u Motrer que la série u diverge Exercice 9 Détermier la ature de la série de terme gééral = α ) + o avec α< + { / si est u carré / sio Exercice Soit u ue série covergete et à terme gééral positif Étudier la covergece de u Exercice Cetrale PC Pour tout N o ote s) le ombre de chiffres de l écriture décimale de Étudier la covergece et la somme de s) + ) Exercice CCP MP Soit u ) N ue suite de réels strictemet positifs et l u réel positif strictemet iférieur à Démotrer que si lim + u + u = l alors la série u coverge u + Idicatio : écrire judicieusemet la défiitio de lim = l puis majorer pour + u assez grad u par le terme gééral d ue suite géométrique Quelle est la ature de la série!? Exercice 3 CCP MP 3

4 ig Soiet u ) N et v ) N deux suites de ombres réels positifs Motrer que : u + v = u et v sot de même ature ) Étudier la covergece de la série i ) si ) + 3 l i est ici le ombre complexe de carré égal à ) Exercice 4 Soit a R Détermier la ature de la série u où a + 3 Exercice 5 Oral CCP PC Pour tout N o pose Calculer a et a a = a) Motrer que a ) est décroissate t t dt b) Motrer que N a + = a c) E déduire qu au voisiage de + o a a a a) Motrer que la suite de terme gééral + )+ )a a est costate b) E déduire u équivalet de a au voisiage de+ et la ature de la série a Exercice 6 Itégrales de Wallis Formule de Stirlig Le but de cet exercice est de démotrer la formule de Stirlig qui doe u équivalet de la factorielle Motrer que la suite de terme gééral )! π + e a = e coverge vers ue limite L o ulle Idicatio : Poser l a puis cosidérer la série v ) de terme gééral u + u E déduire que! + L e! stirlig c 3 L objet de la suite du problème est de calculer L Pour ce faire o cosidère pour etier aturel l itégrale dite de Wallis) défiie par : a) Motrer que b) Calculer W et W c) Motrer que stirlig d d) E déduire pour tout N : stirlig e 4 π W = si t) dt π N W = cos t dt W = )! π!) NW + = + + W et W + =!) + )! e) Motrer que W ) est décroissate et positive E déduire que W ) est covergete f) E déduire que pour tout N : g) Motrer que W W + + W + W + W W + h) Établir que pour tout N + ) W + W = π π i) E déduire que : W + 4 E calculat pour N a et e faisat apparaître W a calculer L et e déduire la formule de Stirlig Exercice 7 Mies PC 3 Quelle est la ature de la série de terme gééral + e x arcta x dx 3 Comparaiso série-itégrale Exercice 3 Costate d Euler Motrer qu il existe u réel γ appelé costate d Euler) tel que H = = l + γ+o) k k=

5 :6 Exercice 3 Étudier la ature de la série où β> l ) β Exercice 33 Série de Bertrad Étudier la ature de la série de Bertrad : α l ) où αβ R β Exercice 34 Étudier la ature de la série de terme gééral l ll)) Exercice 35 Équivalet du reste de la série de Riema Motrer que si <α< alors k=k α α + α Détermier u ecadremet puis u équivalet du reste d ordre de la série de Riema pour α> α 3 Applicatio : doer la ature de la série de terme gééral puis celle de k=+k la série de terme gééral v = k 4 k=+ Exercice 36 Mies-Pot PC Idiquer la ature de u si ) arccos ) arccos + sas utiliser u télescopage Exercice 37 CCP MP O cosidère la série de terme gééral α où et α R l ) a) Cas α E utilisat ue mioratio très simple de u démotrer que la série diverge b) Cas α> Étudier la ature de la série Idicatio : O pourra utiliser la foctio f défiie par f x)= xl x) α Détermier la ature de la série 3 e + ) ) e l + ) ) 5 Exercice 38 Cetrale PC Quelle est la ature de la série de terme gééral où a R Exercice 39 Quelle est la ature de la série de terme gééral + ++ a a + où a R Exercice 3 CCP Pour o pose : Motrer que u diverge Motrer que : k= k= k l k l t dt u 3 Calculer x l t dt et e déduire que : l t dt 4 Doer u équivalet de u quad + 5 Quelle est la ature de la série u? 4 Critère de d Alembert Exercice 4 Nature de la série! Exercice 4 Nature de la série ) Exercice 43 Nature de la série α + a)+ a ) + a ) + l t dt + l où a> et α R

6 Exercice 44 Nature de la série u où si est pair 3 si est impair Exercice 45 Règle de Cauchy O cosidère ue série à termes positifs u O suppose que u + l E utilisat ue série géométrique motrer la règle de Cauchy : Si l < alors u coverge Si l > alors u diverge Exercice 46 Règle de Raabe-Duhamel preuve avec le critère de comparaiso logarithmique Soit ue série u à termes strictemet positifs O suppose que : u + u = α + o + /) Si α< motrer que la série u diverge Si α> motrer que la série u coverge O utilisera le théorème de comparaiso logarithmique avec ue série de Riema Ce résultat s appelle la règle de Raabe-Duhamel qui est hors-programme mais qu il faut savoir retrouver 5 Séries de siges quelcoques Exercice 5 Pour chacue des séries suivates justifier la covergece et S désigat la somme de la série préciser pour les trois premières tel que S S E déduire u ecadremet de S à près ) + ) )+ 4 ) + 5 ) + 6 l Exercice 5 ) + ) + cos π ) + + si π+ π ) 3 cos πl 4 ) + ) )) 5 ) 6 l Exercice 53 Étudier la covergece et la covergece absolue des séries de terme gééral : ) l ) l α ) 3 α + ) α β β ) 4 l + ) + a + Exercice 54 Étudier la covergece de ) x pour x ] [ Exercice 55 Motrer que ) 8 = )! est u réel égatif Exercice 56 Soit α R Détermier la ature de la série de terme gééral ) α si ) Exercice 57 Soit α> Étudier la ature de la série de terme gééral ) α + ) Exercice 58 Itégrale de Dirichlet O rappelle la covergece de l itégrale de Dirichlet E observat que détermier le sige de I I= + si t π I= ) = t + ) 5 si π ) + a+ ) + ) + ) 6 π+π/ si t π dt avec α> + t) α 7 ) P) P et Q deux polyômes Q) 8 cos π l + +)) dt si t π+t dt 6

7 bel Exercice 59 Oral Mies-Pot PC Nature de la série de terme gééral cos π ) + + /3 Exercice 5 Importat : à retrouver par vous-même Motrer que la série harmoique alterée ) est semi-covergete et motrer que ) + = l = Doer ue majoratio du reste R de cette série + ) Calculer + = Exercice 5 Trasformatio d Abel Soiet a ) ue suite positive décroissate de limite ulle et S ) ue suite borée Motrer que la série a a + )S est covergete E déduire que la série a S S ) est covergete 3 Établir que pour tout x R\πZ la série cosx) Exercice 5 Mies 3 Étudier la ature de la série de terme gééral Exercice 53 Étudier la ature de la série de terme gééral 6 Suites et séries )) ) k l ta k+ k= k= ) k k Exercice 6 Costate d Euler O cosidère la suite u ) N de terme gééral k= p l est covergete Motrer que la suite u ) coverge e passat par ue série 7 Motrer que la suite u ) coverge e utilisat ue méthode élémetaire La limite de cette suite est otée γ et est appelée costate d Euler 3 Trouver ue valeur approchée de γ grâce à votre calculatrice 4 La covergece de la suite u ) vers γ est-elle rapide? O pourra motrer que γ u + ) Exercice 6 Démotrer la covergece de la suite de terme gééral Exercice 63 Étudier la covergece de la suite de terme gééral + + ) Exercice 64 Étudier à l aide d ue série la ature des suites de terme gééral u suivates : l o ote γ sa limite) ; 3 k= k k= k= l k k l) ; a l E cas de covergece exprimer la limite à l aide de γ) k+ 7 Calculs de somme de séries Exercice 7 Cetrale PC 5 Soit a R + \ {} O pose k= a ) a k + Discuter suivat la valeur de a la ature de u Lorsque la série coverge calculer sa somme Idicatio : Motrer que α α où α ) est ue suite à détermier Exercice 7 Mies 7 Étudier la covergece et calculer la somme de ) + e remarquat que t dt Même questio avec ) 3+ + =

8 :49 :4 :8 8 Produit de Cauchy de deux séries Exercice 8 O cosidère la série ) + Étudier sa covergece et sa covergece absolue Soiet a< b Majorer simplemet x a)b x) pour x [ab] 3 Motrer que le produit de Cauchy de cette série par elle-même est ue série divergete Exercice 8 O cosidère la série ) + Covergece de cette série? Motrer que le produit de Cauchy de cette série par elle-même est ue série covergete Exercice 83 Soit z C Motrer que + z ) + ez Exercice 84 Idiquer la ature et évetuellemet la somme de la série de terme gééral Exercice 85 k= k k Prouver la covergece et calculer la somme de la série de terme gééral w = p p)! p= Faire de même avec la série de terme gééral + e admettat que = π 6 = w = p p) p= Exercice 86 O cosidère les suites a ) et b ) doées par a = b = et a = b = ) Motrer que a et b sot covergetes mais que leur produit de Cauchy est ue série divergete 8 9 Formule de Stirlig Exercice 9 Trouver u équivalet de ) ) Peut-o retrouver ce résultat à l aide du critère de d Alembert Exercice 9 Étudier la limite de )!! aisi que la covergece de la série! Exercice 93 Étudier suivat les valeurs de α R + la ature de la série de terme gééral 3)! α 3!) 3