1 : La suite des nombres entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u 0 =
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- Jean-Marie Desmarais
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1 Chapitre SUITES NUMERIQUES I ] INTRODUCTION AUX SUITES NUMERIQUES : Défiitio : Ue suite umérique est gééralemet ue foctio de N das. Notatio : o utilise habituellemet les lettres u, v, w pour désiger ue suite et o ote u l image de par u. u : N fi a u u est le terme de rag (ou d idice ) Exemples : La suite défiie sur N par u = + 1 : u 0 = 1 ; u 1 = 3 ; u = 5 etc. est la suite des ombres etiers aturels impairs. La suite défiie sur N * par u = 1 : Remarques : u 1 = 1 ; u = 1 ; u3 = 3 1 etc. Ue foctio peut servir e mathématiques à décrire l évolutio d ue gradeur physique de (du type U = cos P t avec t [0 ; 10]) t pouvat predre des valeurs réelles, o parle d ue situatio cotiue. Das le cas des suites du même type que celles vues plus haut, la variable e pred que des valeurs etières, o parle alors de situatios discrètes. II ] LES SUITES ARITHMETIQUES : 1 ) Défiitios Exemples : Défiitio d ue suite arithmétique Ue suite arithmétique est ue suite umérique dot chaque terme s obtiet e ajoutat au précédet u ombre réel r costat appelé raiso. Pour tout ombre etier aturel o a u +1 = u + r Exemples : La suite des ombres etiers aturels impairs est ue suite arithmétique de raiso et de premier terme u 0 = 1 La suite des ombres etiers aturels est ue suite arithmétique de raiso 1 et de premier terme u 0 =
2 Pour démotrer qu ue suite est ue suite arithmétique, il suffit de vérifier que u +1 u est costat. Cette costate est la raiso r. ) Expressio du terme u e foctio de : O se propose d établir u résultat permettat d obteir directemet le terme u d ue suite arithmétique sas calculer les termes précédets. Preos ue suite arithmétique u de raiso r : u 1 = u 0 + r u = u 1 + r u 3 = u + r u = u -1 + r ( u 1 + u + + u -1 ) + u = u 0 + ( u 1 + u + + u -1 ) + r Doc u = u 0 + r Théorème : Pour ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r : u = u 0 + r Pour ue suite arithmétique de premier terme u 1 et de raiso r : u = u 1 + ( 1) r avec das N* 3 ) Représetatio graphique : 8 u D : y = x +1 La suite des etiers aturels impairs est défiie sur N par : u = +1 u 3 6 u Plaços das u repère orthoormé (O ; i ; j ) la successio des poits d abscisse et d ordoée u. C est la représetatio graphique de la suite arithmétique : a u = u 1 Elle est costituée par l esemble des poits de la droite y = x +1 dot l abscisse est u etier aturel. u La représetatio graphique d ue suite arithmétique est costituée de poits aligés. O passe de l u à l autre e ajoutat 1 à l abscisse et la raiso r à l ordoée. - -
3 4 ) Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique : Exemple de la somme des premiers etiers aturels o uls. Posos A = ( 1) + O a A = + ( 1) Additio terme à terme A = (+1)+ (+1)+ + (+1)+ (+1) Doc A = ( + 1 ) termes Doc A = ( + 1 ) Théorème : La somme des premiers etiers aturels o uls est : ( 1) + = ( + 1 ) Somme de +1 termes cosécutifs d ue suite arithmétique. Soit u = ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme u 0. Pour calculer S = u 0 + u u, o exprime chaque terme e foctio de u 0 et r puis o fait la somme membre à membre. u 0 = u 0 u 1 = u 0 + r u = u 0 + r u 3 = u r u = u 0 + r S = (+1) u 0 + ( ) r S ( + 1 ) ( +1) = (+1) u 0 + r S = (+1)[ u 0 +.r ] S = (+1)[ u0 +.r ] S S = (+1)( u 0+ u 0+. r ) = (+1)( u 0+ u ) - 3 -
4 Théorème : Pour ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r : u 0 + u u = ( + 1 ) ( u0 + u ) Pour ue suite arithmétique de premier terme u 1 et de raiso r : u 1 + u + + u = ( u1 + u ) S = ombre de termes x (premier terme + derier terme) IIIIII ]] LEESS SUIITEESS GEOMEETTRIIQUEESS :: 1 ) Défiitio - Exemples : Défiitio d ue suite géométrique Ue suite géométrique est ue suite umérique dot chaque terme s obtiet e multipliat le précédet par ue costate q (q 0) appelée raiso. Pour tout ombre etier aturel o a : u +1 = q. u Exemple : La suite de terme gééral u = est ue suite géométrique puisque pour tout das N o a : u +1 = +1 =. La raiso est q =. u Pour démotrer qu ue suite est ue suite géométrique, il suffit de vérifier que le u 1 + rapport est costat. Cette costate est la raiso q. u Ue suite géométrique est défiie par so premier terme et sa raiso q ) Expressio du terme u e foctio de : O se propose d établir u résultat permettat d obteir directemet le terme u d ue suite géométrique sas calculer les termes précédets Preos ue suite géométrique u de raiso q : u 1 = u 0 q u = u 1 q u 3 = u q u = u -1 q ( u 1 x u x x u -1 ) u = u 0 ( u 1 x u x x u -1 ) q Doc u = u 0 q - 4 -
5 Théorème : Pour ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q : u = u 0 q pour tout das N Pour ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q : u = u 1 q 1 pour tout das N * O peut reteir u = (premier terme) x (raiso) 3 ) Exemples de représetatios graphiques : ombre de termes avat U Pour otre exemple du I ] où est la suite géométrique correspodat au capital après aées de placemet, sa représetatio graphique est doée ci après : u u 4 u 3 u u 1 = La représetatio graphique d ue suite géométrique est costituée de poits situés sur ue courbe. O passe de l u à l autre e ajoutat 1 à l abscisse et e multipliat l ordoée par la raiso r
6 4 ) Somme de termes cosécutifs d ue suite géométriques : Exemple : somme des (+1) premières puissaces d u ombre réel q (q 0) Posos B = 1 + q + q ² + + q - q B = - q q ² - q q +1 Additio terme à terme B q B = 1 q +1 Doc B (1 q ) = 1 q +1 Fialemet B = 1 q + 1 si q 1 1 q Théorème : Si q 1, 1 + q + q ² + + q = 1 q +1 1 q Exemple : ² + 9 = Somme de +1 termes cosécutifs d ue suite géométrique. Soit u = ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0. Pour calculer S = u 0 + u u, o exprime chaque terme e foctio de u 0 et q. S = u 0 + u u S = u 0 + q u q u 0 S = u 0 (1 + q + q ² + + q ) Fialemet S = u 0 1 q + 1 si q 1 1 q Théorème : pour ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q 1, S = u 0 + u u = u 0 1 q +1 1 q O peut reteir : S = (premier terme) x ( 1 raiso ombre de termes ) 1 raiso - 6 -
7 IV ] SUITES CROISSANTES, DECROISSANTES, MONOTONES : 1 ) Suites croissates : Ue suite umérique (u ) défiie par u = f() est (strictemet)croissate si la foctio f(x) est (strictemet) croissate. Ue suite (u ) est croissate à partir du rag 0 si et seulemet si, pour tout etier 0 o a u +1 u. Ue suite (u ) est strictemet croissate à partir du rag 0 si et seulemet si, pour tout etier 0 o a u +1 > u. Ue suite arithmétique est strictemet croissate si sa raiso est strictemet positive. Ue suite géométrique est strictemet croissate si : - sa raiso est supérieure à 1 et so premier terme est positif. - sa raiso est strictemet comprise etre 0 et 1 et so premier terme est égatif. ) Suites décroissates : Ue suite umérique (u ) défiie par u = f() est (strictemet) décroissate si la foctio f(x) est (strictemet) décroissate. Ue suite (u ) est décroissate à partir du rag 0 si et seulemet si, pour tout etier 0 o a u +1 u. Ue suite (u ) est strictemet décroissate à partir du rag 0 si et seulemet si, pour tout etier 0 o a u +1 < u. Ue suite arithmétique est strictemet décroissate si sa raiso est strictemet égative. Ue suite géométrique est strictemet décroissate si : - sa raiso est strictemet comprise etre 0 et 1 et so premier terme est positif. - sa raiso est supérieure à 1 et so premier terme est égatif. 3 ) Suites mootoes : Ue suite mootoe est ue suite soit croissate, soit décroissate. V] ENONCES USUELS SUR LES SUITES : 1 ) Opératios sur les suites covergetes: O dit d ue suite (u ) qui ted vers l lorsque ted vers + qu elle coverge vers l
8 Soiet (u ) et (v ) deux suites qui coverget vers l et l. O admettra les propriétés suivates : La suite (u ) + (v ) coverge vers l + l. La suite (u v ) coverge vers l l. Si l 0, la suite ( v 1 ) coverge vers 1 u et la suite ( l' v ) Propriétés : ) coverge vers ( l ) l' Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites telles que (v ) et (w ) coverget vers la même limite l. Si à partir d u certai rag : v u w ) alors u coverge vers la limite l. Toute suite de ombres réels croissate et majorée (ou décroissate et miorée) est covergete. VI] CROISSANCES COMPAREES DES SUITES : ( 1 ) Limite de ces suites : O démotre et o admet les résultats suivats : a ), ( ), ( l ) Si a > 1, la suite ( a ) est croissate et lim a = + + Si 0 < a <1, la suite ( a ) est décroissate et lim a = 0 + Si > 0, la suite ( ) est croissate et lim = + + Si < 0, la suite ( ) est décroissate et lim = 0 + La suite ( l ) est croissate et lim (l ) = 0 ) Croissace comparée des suites : ( a ), ( + ), ( l ) avec a > 1 et > 0 O démotre et o admettra les résultats suivats : lim a = + et lim l + + = + 3 ) Suite égligeable devat ue autre, suites équivaletes : O dit que la suite (u) est égligeable devat la suite (v) si lim O dit que la suite (u) est équivalet à la suite (v) si lim O écrit ( u ) ~ ( v ) u = v u = 1. v
9 TD 1 APPLICATION DU COURS Pour les exercices de 1 à 5, (u ) désige ue suite arithmétique avec comme premier terme u 0, de raiso r et S = u 0 + u u. Exercice 1 Exercice O doe u 0 = 1 et r = 4 1 ; Calculer u 1 et S 1. Exercice 3 O doe u 3 = et r = 3 ; Calculer u 0 et S 3. O doe u = 10 et u 4 = 30 ; Calculer u 0 et r. Pour les exercices de 4 à 6, (u ) désige ue suite géométrique avec comme premier terme u 0, de raiso q et S = u 0 + u u. Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 O doe u 1 = et q = 5 ; Calculer u 0 et u 5. O doe u 4 = 4 et q = 1 ; Calculer u0. O doe u 1 = 196 et u 3 = 49 ; Calculer q et u 0. O cosidère ue suite (u ) défiie pour tout etier par la relatio suivate : u +1 u = u +1 + u 1. Motrer que la suite (u ) est ue suite géométrique. Préciser sa raiso.. Exprimer e foctio de u 0 et de la somme u 0 + u u 3. Que peut - o dire sur la mootoie de cette suite? Justifier. Exercice 7 Soit la suite umérique défiie par u = +1 ( pour etier aturel. + 1)² 1. Calculer u 0, u 1, u.. Etudiez la mootoie de u. 3. E déduire à partir de quel rag u est mootoe. 4. Coclure quat à la covergece de u
10 TD APPLICATION DIVERSES Exercice 1 O souhaite amortir ue machie achetée avec des auités qui soiet des termes cosécutifs d ue suite arithmétique de premier terme et de raiso 450. Calculer le ombre d aées écessaires pour amortir cette machie. Exercice Das u jeu télévisé, e cas de succès, u cocurret peut quitter l émissio e emportat so gai ou, la semaie suivate, remettre e jeu cette somme qui doublera alors e cas de succès et aisi de suite de semaie e semaie. Mais e cas d échec, il perd tout. La première semaie le gai est de 50. O étudie le cas où u joueur gage et remet e jeu so gai semaies cosécutives. O appelle f () le gai obteu au ième succès cosécutif, par exemple : f (1) = 50, f () =500 etc. 1. Motrer que les gais sot les termes cosécutifs d ue suite géométrique dot o doera le premier terme et la raiso.. Calculer f () e foctio de. 3. Combie le cadidat emporte t il s il arrête au bout de 5 semaies cosécutives de gai? Exercice 3 Mosieur DUPONT désire acheter ue automobile qui coûte au 1 er juillet N ayat à sa dispositio que 1 000, et e voulat pas predre de crédit, il décide de placer ses à u taux auel de 7 %. O se propose de calculer e quelle aée Mosieur DUPONT pourra acheter la voiture dot il rêve. Pour tout etier, o ote u le capital dot il dispose au 1 er juillet de l aée Calculer u 1 et u.. Motrer que la suite (u ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso. Exprimer u e foctio de 3. O admet que le prix de l automobile que veut acheter Mosieur DUPONT augmete régulièremet de 3% au 1 er juillet de chaque aée. Pour tout etier, o ote v le prix de l automobile au 1 er juillet de l aée Calculer à partir de quelle aée, Mosieur DUPONT pourra effectivemet s offrir so véhicule
11 ELEMENTS DE REPONSE DES TD Exercice 1 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 u 1 = ; S 1 = 1 3 u 0 = 11 ; S 3 = 6 u 0 = -10 ; r = 10 u 0 = - 5 ; u 5 = 150 u 0 = 384 u 0 =39 et q = 1 ou u 0 = -39 et q = O trouve u +1 = - 3 u doc q = 3. S = u 0 +1 ( 1 ( 3 ) ) 4 3. Elle est pas mootoe car q < 0. Exercice 8 1. u 0 =1 ; u 1 = 4 3 ; u = 9 5. E utilisat f (x) = +1 ( x x x( x+ 1 ) o a f ( x ) = + 4 doc (u 1 )² ( x+ 1) ) strictemet décroissate 3. A partir du rag E remarquat que pour tout etier aturel, (u ) > 0, comme (u ) est strictemet décroissate elle est covergete. Exercice 1 Exercice 9 as 1. f ( +1) = f ( ). C est doc bie ue suite géométrique de premier terme f 1 =50 et de raiso q =. f = Exercice 3 1. u 1 = u = ,80. (u )= ,07 3. (v )= ,03 4. Pour (u ) = (v ) o trouve 6 soit e
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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