Chap. 11 Mathématiques 1 ère S 2005/2006. Les suites. I Notions de suite. 1) Premières définitions

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1 Les suites I Notios de suite 1) Premières défiitios Défiitio 1 : De maière géérale, défiir ue suite (u ), c est associer à chaque etier aturel, u ombre u et u seul. Ue suite est doc ue foctio dot l esemble de défiitio est l esemble N des etiers aturels. Vocabulaire et otatios : L image d ue etier est otée u plutôt que u() ; c est la otatio idicée. La suite u : N R est otée (u ) N, ou plus simplemet : (u ). Le ombre u est appelé terme gééral ou terme d idice de la suite (u ) N. Exemple : Soit (u ) N, la suite défiie par : u = 2 ² 1. Calculer les termes d idice : 1) 10 : u 10 = 199 2) 5 : u 5 = 2( 5)² 1 = 2 ² ) 2 : u 2 = 2 (2)² 1 = 8 ² 1 1

2 Remarque : Il arrive que l esemble de défiitio d ue suite soit l esemble N privé de quelques aturels. Elle peut par exemple être défiie que pour tout 3. O la ote alors : (u ) 3. Exemple : A partir de quel rag sot défiies les suites (a ) et (b ) telles que a = 1 7 et b = ² 16? a est pas défii pour = 7, doc (a ) est défiie à partir du rag 8. b est défii lorsque ² 16 0, doc (b ) est défiie à partir du rag 4. 2) Modes de géératio d ue suite. a. Moyes élémetaires : 1. Ue liste de ombre : La liste 1, 1 2 ², 1 3 ²,, 1 ², défiit ue suite (u ) de terme gééral 2. Ue phrase : La phrase : «u est le -ième etier aturel impair» défiit la suite (u ) de terme gééral : u = Ue situatio (géométrique, ) : 1 ². Sur la figure ci-cotre, o défiit u comme le ombre de triagles de sommets O et deux autres poits parmi A 0, A 1,, A. (u ) est aisi parfaitemet défii pour 1 : u 1 = 1, u 2 = 3, b. Deux moyes classiques : 1. Ue formule explicite : Des expressios telles que : a = 3 ² 1, b = 3, ou c = + ( 1) permettet aisémet de calculer le terme d idice 17 (par exemple), e remplaçat par 17. Das le cas de (a ), ous pouvos exprimer la foctio sous-jacete : a = f (), avec f(x) = 3 x ² 1 ; ce qui est plus délicat pour (b ) et (c ). (La foctio x a 3 x sera vue e Termiale, mais ( 1) x est défii que pour x etier.) Théorème 1 : 2. Ue relatio de récurrece : Soit f ue foctio et a u réel doé. Lorsque les relatios : u 0 = a u + 1 = f (u ) permettet de défiir tous les termes d ue suite, cette suite est uique. Défiitio 2 : O dit que la suite est défiie par récurrece. u 0 est le premier terme, l égalité u + 1 = f (u ) est ue relatio de récurrece : elle permet d exprimer chaque terme e foctio de so prédécesseur. Exemple : La suite (u ) est défiie par u 0 = 3 et u + 1 = u ² u. Détermier u 1, u 2, u 3 : u 1 = u 0 ² u 0 = 3² 3 = 6 u 2 = u 1 ² u 1 = 6² 6 = 30 u 3 = u 2 ² u 2 = 30² 30 =

3 II Ses de variatio d ue suite 1) Suite croissate, suite décroissate Défiitio 3 : Soit (u ) ue suite de ombres réels. O dit que : Techiques d étude : la suite (u ) est croissate lorsque u u + 1 pour tout etier aturel. la suite (u ) est décroissate lorsque u u + 1 pour tout etier aturel. la suite (u ) est costate lorsque u = u + 1 pour tout etier aturel. la suite (u ) est mootoe lorsqu elle est strictemet décroissate ou strictemet croissate. méthode foctioelle : (suites : u = f () ) algébrique pricipe Si f est croissate sur [0, + [, (u ) l est aussi, Si f est décroissate sur [0, + [, (u ) l est aussi. O étudie le sige de la différece : u + 1 u. Si u > 0, o compare le quotiet : u + 1 u à 1. Exemple : 1] Etudier le ses de variatio des suites de terme gééral a + b, ², 1, et 1 ². Les foctios xa a x + b (avec a > 0), x a x² sot croissates sur, doc les suites (a + b) (avec a > 0) et (²) sot croissates. Les foctios xa a x + b (avec a < 0), x a 1 x, x a 1 x² sot décroissates sur]0 ; + [, doc les suites (a + b) (avec a < 0), 1 et 1 sot décroissates. ² 2] Etudier la mootoie des suites de terme gééral u = 2 et v = a avec a > 0. La différece u + 1 u s écrit : u + 1 u = ( + 1) (2 ) = = 2 (2 1) 1 = 2 1. Or pour tout, 2 1 doc u + 1 u 0 : (u ) est croissate. Puisque v > 0, cosidéros le quotiet v + 1 v = a + 1 a = a, doc : - Si a > 1, v + 1 v - Si a < 1, v + 1 v > 1, doc (v ) est croissate. < 1, doc (v ) est décroissate. 2) Suite majorée, suite miorée Défiitio 4 : Soit (u ) ue suite de ombres réels. O dit que : la suite (u ) est majorée s il existe u réel M tel que, pour tout etier aturel : u M la suite (u ) est miorée s il existe u réel m tel que, pour tout etier aturel : u m la suite (u ) est borée lorsqu elle est majorée et miorée. Techiques méthode Pricipe d étude : foctioelle : Si f est majorée, (u ) l est aussi, (suites : u = f () ) Si f est miorée, (u ) l est aussi. algébrique O utilise les résultats sur les iégalités. 3

4 Exemple : 1] Etudier les bores évetuelles de la suite de terme gééral u = 2 1. La foctio f : xa 2 1 x est borée : pour x 1 :1 f(x) 2, doc (u ) est miorée par 1, majorée par 2. 2] Etudier les bores évetuelles de la suite de terme gééral u = cos + 1 pour tout, 1 cos 1, et pour tout 1 : 0 1 1, doc 1 u 2 : la suite (u ) est miorée par 1 et majorée par 2. 3) Les représetatios graphiques a) L escalier : O l obtiet lorsque f est croissate sur [0, + [. b) La spirale : O l obtiet lorsque f est décroissate sur [0, + [. Remarque : D u poit de vue expérimetal, e examiat les premières valeurs e ombre suffisat, o peut appréheder l évolutio d u phéomèe discret (décrit par ue suite), coduisat à ue relatio de récurrece. Deux outils sot utilisables : les calculatrices, et les tableurs. Exemple 1: Exemple 2: Le modèle malthusie (croissace sas frei) (1798): Ue populatio de idividus augmete régulièremet de t% par a. Observer et commeter so évolutio das les cas suivats : t = 1% ; 2% ; 3% ; 5% et 10 %. u o = Modélisatio : u + 1 = 1 + t 100 u. C est ue progressio géométrique. Le modèle de Verhulst (croissace saturée) (1840): Si ue populatio s accroît trop, elle se régule d elle-même par effet de saturatio. (ourriture mois abodate, ouvelles maladies ) Modélisatio : 0 < u 0 < 1 ;u + 1 = a u ( 1 u ), avec a fixé Observer le comportemet de (u ) avec a = 3,2 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 2,8. 4) Les sommes Notatios : Si la suite (u ) a pour premier terme u 0, o ote : S la somme de ses + 1 premiers termes, et o a : S = u i = u 0 + u 1 + u 2 + u u Remarque : Cette otatio est très pratique pour simplifier l écriture des calculs 4

5 Exemples : 1] ] (2i) = ] u i u i = u + u i u i = u. 2] i² = ² 4] (2i + 1) = (2 + 1) III Théorèmes sur les limites 1) Suite ayat pour limite a (a réel) Défiitio 5 : Soit (u ) ue suite umérique et a u ombre réel. O dit que (u ) admet pour limite a si tout itervalle ouvert coteat a cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Remarque : Das l étude d ue suite, il y a qu ue seule limite à calculer : celle e +! Notatios : * Si (u ) admet pour limite a, o ote : lim + u = a * Lorsqu ue suite admet ue limite fiie a, o dit qu elle est covergete, ou qu elle coverge. Das le cas cotraire, o dit qu elle est divergete ou qu elle diverge. Théorème 1 : Si ue suite est covergete, sa limite est uique. 2) Cas d ue suite défiie par ue foctio Théorème 2 : Soit (u ) la suite de terme gééral u = f(), où f est ue foctio défiie sur u itervalle de la forme : [ M, + [. Si lim + f(x) = a, avec a réel, alors (u ) a pour limite a. Exemple : Les suites de termes gééraux : 1, 1, 1 ² et 1 3 coverget. 3) Opératios sur les suites covergetes Théorème 3 : Soit (u ) et (v ) deux suites covergeat respectivemet vers a et b. Alors les suites de terme gééral u + v, u v et (si b 0), u v sot covergetes, et ot pour limites respectivemet : a + b, ab et a b. 4) Eocés de comparaiso : Théorème 4 : théorème d ecadremet (dit aussi : «théorème des gedarmes») 1) Soit (v ) et (w ) deux suites covergeat vers la même limite a. Si, à partir d u certai rag, v u w, alors la suite (u ) coverge vers a. 2) Si, à partir d u certai rag, u a v, avec lim + v = 0, alors (u ) coverge vers a. Théorème 5 : théorème de comparaiso : 5

6 Soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites vérifiat, pour assez grad : 1) v u, et lim + v = +, alors lim + u = + 2) u w, et lim + w =, alors lim + u = IV Deux grads exemples de suites : 1) Les suites arithmétiques a. Défiitio Défiitio 6 : Dire qu ue suite (u ) est arithmétique, sigifie qu il existe u réel r tel que pour tout aturel : u + 1 = u + r. Le réel r est appelé la raiso de la suite (u ). Autremet dit, ue suite est arithmétique lorsqu o passe d u terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r. Exemples : 1) N = {0, 1, 2, 3, }, la raiso est : r = 1, le premier terme : u 0 = 0 2) les etiers pairs : { 1, 3, 5, }, la raiso est : r = 2, le premier terme : u 0 = 1 3) les etiers impairs : { 0, 2, 4, }, la raiso est : r = 2, le premier terme : u 0 = 0 4) les multiples d u ombre : {0,, 2, 3, }, la raiso est : r =, le premier terme : u 0 = 0 b. Défiitio par ue formule explicite Théorème 6 : Si (u ) est la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r, alors : pour tout, o a : u = u o + r. Iversemet, si (u ) est la suite affie de terme gééral u = a + b, alors (u ) est ue suite arithmétique de raiso a. Démostratio : u = u 1 + r u 1 = u 2 + r u 2 = u 3 + r = u 2 + r u 3 u 2 = u 1 + r + u 1 = u 0 + r u = u 0 + r Iversemet, si u = a + b, pour tout, u + 1 u = a ( + 1) + b a b = a doc (u ) est ue suite arithmétique de raiso a. Théorème 7 : Formule explicite (cas gééral) : Si (u ) est ue suite arithmétique de raiso r, alors : pour tous etiers et p, o a : u = u p + ( p) r. Démostratio : u = u 1 + r u 1 = u 2 + r u p + 2 = u p r + u p + 1 = u p + r u = u p + ( p) r 6

7 Exemple : Expliciter le terme gééral de la suite arithmétique (u ) telle que : u 12 = 5 et u 30 = 41 O a d après la formule explicite : u 30 = u 12 + (30 12) r doc 41 = r doc r = 41 5 = 2 18 Doc u = 5 + 2( 12), d où : u = 2 19 c. Ses de variatio Théorème 8 : Soit (u ) est ue suite arithmétique de raiso r, alors o a : Si r > 0, u + 1 u > 0, doc : (u ) est croissate Si r < 0, u + 1 u < 0, doc : (u ) est décroissate Si r = 0, u + 1 u = 0, doc : (u ) est costate. d. Sommes Théorème 9 : Soit S la somme des termes cosécutifs d ue suite (u ) arithmétique, alors o a : Exemple fodametal: S = (ombre de termes) 1 er terme + derier terme 2 Si (u ) est la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r, o a : i = ( + 1) 2 S = ( + 1) u 0 + u 2 = i = i = 1 e. Limites E gééral, ue suite arithmétique a ue limite ifiie. 2) Les suites géométriques a. Défiitio Défiitio 7 : Dire qu ue suite (u ) est géométrique, sigifie qu il existe u réel q tel que pour tout etier aturel : u + 1 = u q. Le réel q est appelé la raiso de la suite (u ). Autremet dit, ue suite est géométrique lorsqu o passe d u terme au suivat e multipliat toujours par le même ombre q. Exemples : 1) {1, 2, 2 ², 2 3 }, la raiso est : q = 2, le premier terme : u 0 = 1 2) ( 1) : la raiso est : q = 1, le premier terme : u 0 = 1 3) les puissaces d u ombre :{1,, ², 3, }, la raiso est : q =, le premier terme : u 0 = 1 b. Défiitio par ue formule explicite Théorème 10 : Si (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q, alors : pour tout das, o a : u = u o q. Iversemet, si le terme gééral d ue suite (u ) est de la forme : u = k a, (k et a réels doés), alors (u ) est ue suite géométrique de raiso a. 7

8 Démostratio : u = u 1 q = (u 2 q) q = u 2 q 2 = (u 3 q) q 2 = u 3 q 3 = = u k q k = u 0 q Théorème 11 : Si (u ) est ue suite géométrique de raiso q, alors pour tous etiers et p, o a : u = u p q p. Démostratio : u = u k q k = u p q p, e posat p = k c. Ses de variatio Théorème 12 : Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q, alors o a : Si q > 1, u + 1 > 1, doc : (u u ) est croissate Si q < 1, u + 1 < 1, doc : (u u ) est décroissate Si q = 1, u + 1 = 1, doc : (u u ) est costate. d. Sommes Théorème 13 : Soit S la somme des termes cosécutifs d ue suite (u ) géométrique, alors o a : S = (1 er terme) ombre de termes 1 raiso, avec la raiso o égale à 1. 1 raiso Si (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q, o a : S = u 0 1 q q, avec q 1. Exemple fodametal: 2 i = e. Limites Théorème 14 : Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0, alors o a : Si q > 1, alors lim + q = +, doc (u ) a ue limite ifiie. Si q = 1, alors la suite (q ) est costate (et a pour limite 1) doc (u ) coverge et a pour limite u 0 Si 1 < q < 1, alors lim + q = 0 doc (u ) coverge et a pour limite 0 Si q 1, alors la suite (q ) est divergete et a pas de limite, doc (u ) est divergete et a pas de limite. Remarque : Ue suite géométrique coverge doc si et seulemet si sa raiso q est telle que : q < 1. Exemple fodametal: Etude de la limite de la suite (S ) défiie par : S = x i = 1 x + 1, 1 x si 1 < x < 1, alors : lim + x i = lim + 1 x x = 1 1 x = lim + S. 8

9 V Exercices types 1) Situatio coduisat à des suites arithmétiques ou géométriques : itérêt simple et itérêt composé. Pour u prêt de remboursable e six auités, u commerçat s est vu proposer par deux établissemets de crédit les deux formules suivates : 1 ère formule : remboursemet de la première aée, puis de 500 par a. 2 ème formule : remboursemet de la première aée, puis de 15% de plus par a. 1] Détermier pour chaque formule la somme totale remboursée au bout de six as. 1 ère formule : les six auités sot les six premiers termes de la suite arithmétique de premier terme et de raiso 500. Soit u = S 6 = 6 u 1 + u 6 = = 3 ( ) = , 2 soit u remboursemet de sur 6 as. 2 ème formule : les six auités sot les six premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raiso = 1,15. Soit v = ,15 S 6 = v 0 1 1, ,21 soit u remboursemet de eviro sur 6 as. 1 1,15 2] Quelle est la formule la plus avatageuse? C est la deuxième formule, ecore faut-il pouvoir payer les de la première aée. 2) Avec ue suite auxiliaire Détermier ue formule explicite de la suite (u ) défiie par : u 0 = 5 u + 1 = 3 u 2 (Utiliser la suite auxiliaire de terme gééral v = u 1.) 1] Etudier (v ) : motrer qu elle est arithmétique ou géométrique. Pour tout, v + 1 = u = 3 u 3 = 3 (u 1) = 3 v, doc (v ) est géométrique de raiso q = 3, et de premier terme v 0 = u 0 1 = 5 1 = 4. 2] E déduire l expressio de v e foctio de Pour tout, v = v 0 q = ] E déduire l expressio de u e foctio de Pour tout, u = v + 1 =