Strictement parallèles. peut être : Strictement parallèle

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1 2 Géométrie dans l espace TS 2017/ Droites et plans 1. 1 Positions relatives de droites et de plans Proposition Deux droites et de l espace peuvent être : Coplanaires et sécantes Coplanaires et strictement parallèles est un point Coplanaires et confondues Non coplanaires 2. Deux plans et peuvent être : Sécants est une droite Strictement parallèles Confondus 3. Par rapport à un plan une droite Sécante est un point peut être : Strictement parallèle Contenue dans Remarque 2. 1 Dans un plan deux droites qui n ont aucun point en commun sont parallèles. Ce n est pas le cas dans l espace. On considère un cube. Sans justifier indiquer les positions relatives : Exemple des plans et ; 2. des droites et ; 3. de la droite et du plan ; 4. des plans et ; 5. du plan et de la droite ; 6. des droites et Parallélisme dans l espace Proposition 2. 2 i. Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. ii. Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre. Proposition

2 2 Géométrie dans l espace TS 2017/ Une droite est parallèle à un plan si et seulement si est parallèle à une droite contenue dans. 2. Si deux plans et sont parallèles alors toute droite contenue dans est parallèle à. Proposition Si une droite est parallèle à deux plans et sécants en une droite alors et sont parallèles. 2. Si et sont deux plans sécants selon une droite et si et sont deux droites parallèles respectivement contenues dans et alors, et sont parallèles. 3. Si deux plans et sont parallèles alors tout plan sécant à est sécant à et les droites d intersections sont parallèles. Proposition Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. 2. Si un plan contient deux droites sécantes et parallèles à un plan alors et sont parallèles. Remarque Si une droite est parallèle à un plan ellee n est pas parallèle à toutes les droites du plan. - Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas nécessairement parallèles. - Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas nécessairement parallèles. Exemple 2. 2 On considère un cube., et sont les milieux respectifs des segments, et. 1. Justifier que la droite est parallèle au plan. 2. a. Démontrer que les droites et sont parallèles. b. Démontrer que les droites et sont parallèles. c. Démontrer que les droites et sont sécantes et construire leur point d intersection. 3. a. Justifier que est parallèle au plan. b. Justifier que et sont sécants et construire leur point d intersection Orthogonalité dans l espace Proposition

3 - Deux droites sont orthogonales si l une d elles est parallèle à une droite perpendiculaire à l autre. - On dit qu une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu elle est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan. Proposition Si deux droites sont parallèles toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. 2. Si est orthogonale à un plan elle est orthogonale à toute droite contenue dans. 3. Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. 4. Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles. 5. Si deux plans sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre. 6. Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite alors ils sont parallèles. Remarque On utilise le mot «perpendiculaire» lorsque les ensembles concernés sont orthogonaux et sécants. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et coplanaires. - Deux droites perpendiculaires à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Exemple 2. 3 est un cube. 1. Démontrer l orthogonalité des droites et du plan. 2. En déduire que les droites et sont orthogonales. 3. En déduire l orthogonalité de la droites et du plan puis celle des droites et. Exercice 2. 1 (A préparer : questions e et f) Exercice 2. 2 (A préparer : exercice 2. 3) ; exercice 2. 4 (A préparer : questions d et e) Exercice Géométrie vectorielle 2. 1 Extension de la notion de vecteur à l espace La notion de vecteur est définie dans l espace comme dans le plan. On a les mêmes définitions et on peut énoncer les mêmes théorèmes avec démonstrations analogues à celles des théorèmes du plan. Définition 2. 2 i. Si et sont deux points distincts de l espace, le vecteur est défini par sa direction : celle de la droite, son sens : de vers et sa norme : la longueur notée. ii. Lorsque et sont confondus, le vecteur est appelé vecteur nul, noté 0. iii. Lorsque deux vecteurs ont même direction, même sens et même norme on dit qu ils sont égaux. Proposition

4 Comme dans le plan, si et, les vecteurs et sont égaux si et seulement si est un parallélogramme Calcul vectoriel dans l espace Les opérations sur les vecteurs, addition de deux vecteurs, multiplication d un vecteur par un réel, sont définies comme dans le plan et leurs propriétés se démontrent de la même façon. Proposition 2. 8 i. Relation de Chasles : Quelque soient les points /, 0 et de l espace, /0 + 0 /. ii. Règle du parallélogramme :,, et désignant quatre points de l espace, est un parallélogramme si et seulement si +. Ces deux propriétés donnent deux manières permettant de construire une somme vectorielle : «bout à bout» ou à l aide d un parallélogramme. Proposition 2. 9 Pour tous vecteurs ",!,. du plan, i. "+!!+" ; ii. "+!+. "+!+. ; iii. "+0 0+" " ; iv. Il existe un unique vecteur, noté " et appelé opposé de %, tel que "+ " "+" 0. (Si", " ) Définition 2. 3 i. Soustraire un vecteur! à un vecteur " c est lui ajouter son opposé : "! "+!. ii. Le produit du vecteur % par le réel & est le vecteur '" tel que : - si " 0 ou ' 0 alors '" 0 ; - sinon, '" a : - la même direction que " ; - le même sens que " si ' >0, le sens contraire de " si ' < 0 ; - pour norme ' ". Proposition

5 Quelque soient les vecteurs ",!,. et les réels ', ', i. ' "+! '"+'! ; iii. ' ' " '' " ; ii. '+' " '"+' " ; iv. '" 0 si et seulement si ' 0 ou " 0. Exemple 2. 4 est un tétraèdre.,,,,, sont les mieux respectifs des segments,,,,,. 1. Démontrer que Montrer que Montrer que 2 et que 2. En déduire la nature du quadrilatère. 4. Soit 3 le milieu du segment. Démontrer que Vecteurs colinéaires Définition 2. 4 Dire que deux vecteurs " et! de l espace sont colinéaires signifie qu il existe un réel ' tel que " '!. Remarque 2. 4 Lorsque deux vecteurs " et! sont colinéaires on peut écrire l un en fonction de l autre. On dit que les vecteurs sont dépendants ou liés. On dit qu ils sont indépendants ou libres dans le cas contraire. Proposition Soit un point et " un vecteur non nul. L ensemble des points / tels que / et " sont colinéaires est une droite, notée 5,". On dit que " dirige la droite ou que " est un vecteur directeur de cette droite. Conséquence 2. 1 i. Trois points,, sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. ii. Trois points,, définissent un plan si et seulement si ils et ne sont pas colinéaires. iii. Deux droites et sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. Exemple 2. 5 est un cube. est le centre du carré, le point défini par, est le milieu du 4 segment et / le point défini par / + 2/ Faire une figure. 2. a. A l aide de la relation de Chasles démontrer que 2. Que peut-on en déduire? b. Retrouver le résultat précédent en exprimant les vecteurs et en fonction des vecteurs, et. 3. Démontrer que les points, /, sont alignés. Exercices 2. 6 (A préparer : exercice 2. 7) 5

6 2. 4 Vecteurs coplanaires Définition 2. 5 On dit que trois vecteurs ",! et. de l espace sont coplanaires si il existe deux réels ' et ' tels que " '!+'.. Remarque 2. 5 Lorsque trois vecteurs sont coplanaires on peut en écrire un en fonction des deux autres. On dit que les vecteurs sont dépendants ou liés. On dit qu ils sont indépendants ou libres dans le cas contraire. Exemple 2. 6 est un tétraèdre, est le point tel que. Les vecteurs,, sont-ils coplanaires? 9 Proposition Soit un point, " et! deux vecteurs non nuls non colinéaires. L ensemble des points / tels que /, " et! sont coplanaires est un plan, On dit que " et! dirigent le plan ou sont des vecteurs directeurs de ce plan. Conséquence 2. 2 i. Quatre points,,, sont coplanaires si et seulement si les vecteurs,, sont coplanaires. ii. Deux droites et sont coplanaires si et seulement si les vecteurs,, sont coplanaires. iii. Une droite /0 est parallèle à un plan si et seulement si /0, et sont coplanaires. iv. Un plan /0 est parallèle à un plan si et seulement si /0, /, et sont coplanaires. Remarque 2. 6 D après i, trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si ils admettent des représentants dont les extrémités sont coplanaires. Exemple 2. 7 est un cube,,,, : sont les milieux respectifs des segments,,, et / est le point tel que / Justifier que / se trouve dans le plan. 2. Démontrer que les droites et : sont parallèles. 3. Démontrer que les vecteurs /, et sont coplanaires. Que peut-on en déduire? 4. Démontrer que les plans / et : sont parallèles. Exercices 2. 8 et (A préparer : exercice 2. 9) 2. 5 Repérage dans l espace Définition 2. 6 On appelle repère de l espace tout quadruplet ;3 ; =, >,'? où 3 est un point de l espace et =, >, ' trois vecteurs non coplanaires Proposition

7 Soit ;3 ; =, >, '? un repère de l espace. i. Pour tout point /, il existe un unique triplet de nombres réels D ; E ; F tels que 3/ D=+E>+F'. ii. Pour tout vecteur ", il existe un unique triplet de nombres réels D ; E ; F tels que " D=+E>+F'. Ce triplet est appelé triplet de coordonnées du point / ou du vecteur " dans le repère ;3 ; =, >, '?. D, E, F sont respectivement appelés abscisse, ordonnée et côte du point / ou du vecteur ". Les propriétés de calcul sur les coordonnées sont analogues à celles du plan et peuvent être obtenues en utilisant les mêmes procédés. Proposition Soit ;3; =, >, '? un repère de l espace. 1. Si " D ;E;F et " D ;E ;F alors : - " 0 si et seulement si D 0, E 0 et F 0 ; - "! si et seulement si D D, E E et F F ; D+D - "+" G E+E H ; F+F 'D - pour tout réel ','"G 'EH. 'F 2. Si et sont deux points de l espace de coordonnées respectives D I ; E I ; F I et D J ; E J ; F J alors : D J D I - GE J E I H ; F J F I - le milieu du segment a pour coordonnées K L MNL O 3. Si le repère est orthonormé : - " SD +E +F ; - S D J D I + E J E I + F J F I. ; P MNP O ; Q MNQ O R. Exemple Soient 1 ;2; 1, 2 ;1;3, 1 ;3; 2 et 1 ;1;6. a. Démontrer que les points, et définissent un plan. b.,, et sont-ils coplanaires? 2. Soient 2 ;3;1, 1 ;2;2, 1 ; 1 ;3 et 4 ; 10 ; 8. Les droites et sont-elles sécantes? 3. Soient 1 ;1;1, 1 ;2;3, 2 ; 1 ;6, 3 ; 4;3 et 7 ; 9 ;0. a. Démontrer que les points, et définissent un plan. b. La droite est-elle parallèle au plan? 4. Soient 1 ;3;1, 3 ;1; 1, 1 ; 3 ; 1 et 5 ;0;2. a. Démontrer que est un triangle rectangle. b. Montrer que les vecteurs et sont colinéaires. En déduire que les points,, et sont coplanaires. c. Quelle est la nature du quadrilatère? A préparer : exercice Produit scalaire dans l espace 7

8 3. 1 Expressions du produit scalaire Dans l espace deux vecteurs sont nécessairement coplanaires. On étend alors aux vecteurs de l espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan et les expressions établies dans le plan restent valables dans l espace. Proposition L espace est muni d un repère orthonormé ;3;=,>,'?. Soient deux vecteurs " D ;E;F,! D ;E ;F,,, tels que " et!. Soit U la mesure de l angle géométrique associé à " et! et le projeté orthogonal de sur la droite. i. "! "+! "! ; ii. "! "! cosu ; iii. "! ; iv. "! DD +EE +FF. Remarque 2. 7 i. " " et pour deux points et,. ii. Si " 0 ou si! 0 alors "! 0. iii. Si " et! sont deux vecteurs colinéaires et de même sens, U 0 donc "! "!. Si " et! sont colinéaires et de sens contraire, U V donc "! "!. iv. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Règles de calcul Proposition Soient ",!,. trois vecteurs et ' un réel. i. Le produit scalaire est symétrique : "!! " ; ii. "!+."!+". et "+!. ".+!. iii. '"! ' "! et " '! ' "!. Conséquence 2. 3 "+! " +2"!+! ou encore "+! " +2"!+! ; "! " 2"!+! ou encore "! " 2"!+! ; "+! "! "! ou encore "+! "! "!. Exemple 2. 9 est un cube d arête W. est le milieu du segment. Les points / et 0 sont les centres des faces et. Exprimer en fonction de W les produits scalaires suivants : a. ; c. ; e. ; g. ; i. ; b. ; d. ; f. ; h. ; j. ; k. / 0. En déduire l arrondi au dixième de degré de l angle /0 X. Exercice Exercice (A préparer : exercice 2. 14) 4 Représentations paramétriques Proposition

9 L espace est rapporté à un repère ;3;=,>,'?. Soit D I ;E I ;F I et " W ;\;]. D D I +W_ La droite 5," est l ensemble des points / D ;E;F tels que ^E E I +\_ ` où _ R. F F I +]_ On dit que ce système est un système d équations paramétriques de 5 ;", _ est le paramètre. Remarque Lorsqu une représentation paramétrique d une droite est écrite sous la forme du système précédent alors on peut affirmer que passe par le point D I ;E I ; F I et que " W ;\ ;] dirige. - Puisqu une droite admet une infinité de vecteurs directeurs et passe par une infinité de points alors il existe une infinité de systèmes d équations paramétriques de. Exemple Donner une représentation paramétrique de la droite 5 ; " où 1 ;2;0 et " 0 ; 1 ;1. D 3_ 1 2. Soit la droite de représentation paramétrique ^E _+2 où _ R. F _ 2 Donner un point et un vecteur directeur de la droite. D _+2 3. Le point 3 ; 1 ;4 est-il un point de la droite définie par ^E 2_+3` où _ R? F 3_ 2 4. Soient 2 ;0;1 et 0 ; 1 ;3. D 4+6_ La droite a-t-elle pour représentation paramétrique ^E 1+3_ où _ R? F 1 6_ A préparer : exercice Proposition L espace est rapporté à un repère ;3 ;=,>,'?. Soient D I ;E I ;F I, " W ;\ ;] et! W ;\ ;]. D D I +W_+W _ Le est l ensemble des points / D ;E;F tels que ce E I +\_+\ _ ` où _;_ R. F F I +]_+] _ On dit que ce système est un système d équations paramétriques Exemple Soient 1 ;0;2, 1 ;1;3 et 5 ;1;0. a. Démontrer que les points,, définissent un plan. b. Déterminer une représentation paramétrique de. D 1+_+2_ 2. Soit le plan de représentation paramétrique ^E 1+_ _ ` où _;_ R. F 3+3_ a. Donner un point et un couple de vecteurs directeurs de ce plan. b. Démontrer que 3,=,> sont sécants. c. Déterminer l intersection de 3,=,>. A préparer : exercice Equation cartésienne d un plan. Définition

10 On appelle vecteur normal à un plan tout vecteur non nul d orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui dirigent. Remarque 2. 9 Si d est un vecteur normal à alors tout vecteur non nul colinéaire à d est aussi un vecteur normal à. Exemple Vérifier que les points 0 ;1 ; 1, 3 ; 2 ;0 et 3 ; 2 ;2 définissent un plan. 2. Le vecteur d 1 ;2 ;3 est-il normal au plan? Proposition L espace est muni d un repère orthonormé ;3;=,>,'?. Soit un point, un plan et d un vecteur non nul. i. L ensemble des points / tels que / d 0 est le plan passant par de vecteur normal d. ii. Si d W ;\;] est un vecteur normal à alors admet une équation cartésienne de la forme WD+\E+]F+ 0 où R. iii. Réciproquement si W, \,], sont quatre réels, W, \,] non tous nuls, alors l ensemble des points / D ;E;F tels que WD+\E+]F+ 0 est un plan de vecteur normal d W ;\;]. ROC Exemple a. Déterminer un vecteur normal au plan d équation 3D E+F+1 0. b. Le point 1 ;2 ;3 appartient-il à? 2. Soient 1 ;3 ;2, 0 ; 1 ; 1 et 9 ;2 ; 2. a. Démontrer que, et définissent un plan. b. Montrer que le vecteur d 1 ;2 ; 3 est normal au plan. c. Déterminer une équation cartésienne du plan. 3. Soient 1 ;1 ;5, 3 ;1 ;1 et 2 ; 3 ; 1 a. Démontrer que les points, et définissent un plan. b. Démontrer que admet pour équation cartésienne 2D 3E+F 4 0. A préparer : exercice Exercice Positions relatives de plans et de droites 6. 1 Positions relatives de droites Proposition Les droites 5 ;" et 5 ;! sont : i. parallèles si et seulement si " et! sont colinéaires. ii. coplanaires si et seulement si les vecteurs, " et! sont coplanaires. iii. sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles. iv. orthogonales si et seulement si " et! sont orthogonaux. v. perpendiculaires si et seulement si elles sont coplanaires et orthogonales. Conséquence 2. 4 ROC On peut démontrer le résultat suivant : une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 10

11 Exemple D 1+_ Soient 2 ; 1 ;5, 1 ; 3 ;2, et la droite de représentation paramétrique ^E 2 où _ R. F 3+_ 1. Les droites et sont-elles parallèles? Orthogonales? 2. Soit la parallèle à passant par 2 ;3;9. Donner une représentation paramétrique de. 3. Démontrer que les droites et sont sécantes. 4. et sont-elles perpendiculaires? 5. Déterminer les coordonnées du point d intersection de et. Exercice (à préparer : exercices et 2. 21) Sujets 1, 2, Positions relatives de deux plans Proposition Deux plans et de vecteurs normaux respectifs d et d sont : - parallèles si et seulement si d et d sont colinéaires. - sécants si et seulement si d et d ne sont pas colinéaires. - perpendiculaires si et seulement si d et d sont orthogonaux. Exemple Soient e 2D+E F 3 0 et e D+2E 2F+5 0. Démontrer que e et e sont sécants D 9 suivant une droite de représentation paramétrique g E _ 9 ` où _ R. 9 F _ 2. Soient 1 ;2; 8, 3 ;4;4 et 1 ;0;4 trois points de l espace. a. Démontrer que, et définissent un plan. b. Vérifier que admet pour équation 4D 2E F 0. c. Démontrer que les plans et D+3E 2F+1 0, sont perpendiculaires. d. Déterminer une représentation paramétrique de la droite, intersection de et de. e. Déterminer une équation cartésienne du plan parallèle à passant par. f. Justifier que et se coupent perpendiculairement suivant une droite dont on donnera une représentation paramétrique. 3. Existe-t-il un point appartenant aux trois plans D 2E 3F 6, h 2D+4E F 48 et i 3D 2E+F 2? Si oui le déterminer. Exercice (à préparer : exercice 2. 22) Sujets 4, Positions relatives d une droite et d un plan Proposition Soit un plan de vecteur normal d. - 5 ;" et sont parallèles si et seulement si " et d sont orthogonaux. - 5 ;" et sont sécants si et seulement si " et d ne sont pas orthogonaux. - 5 ;" et sont perpendiculaires si et seulement si " et d sont colinéaires. Exemple Soit e le plan d équation 2D E+3F 6 0. Dans chaque cas étudier les positions relatives de et e. Lorsqu ils sont sécants déterminer les coordonnées de leur intersection. a. 5 ;" où 2 ;1 ; 2 et " 1 ;2 ; 1. b. où 2 ;1 ; 1 et 3 ;0 ; 2. c. 5 ;! où 1 ;2 ;2 et! 2 ; 5 ; 3. 11

12 2. Soit le plan d équation cartésienne 3D 2E+F 6 0 et la droite de représentation D 1+_ paramétrique ^E 1 _ où _ R. F 7 5_ a. Démontrer que est contenue dans. b. Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. c. Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les plans 3 ;=,>, ;3 ;=,'? et ;3 ;>,'?. 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par 2 ;3 ;5 perpendiculaire au plan d équation 3D 2E+F Déterminer une équation cartésienne du plan passant 3 ;1 ;1 perpendiculaire à la droite où 1 ;0 ;5 et 3 ; 3 ;8. Exercice (à préparer : exercice 2. 24) QCM, sujets 6, 7, 8, 9 Exercice (à préparer : exercice 2. 27) Exercice Exercice (à préparer : exercice 2. 30) Sujets 10, 11, 12 Exercice (à préparer : exercice 2. 32) Sujets 13, 14 Exercice (à préparer : exercice 2. 34) Exercice (à préparer : exercice 2. 36) Exercice Sujet 15 Exercice

13 Exercices Exercice 2. 1 est un cube cf annexe. Les points,,,:,/,0,,h sont les milieux de certaines arêtes du cube. Dans chaque cas construire la section du cube par le ; ; :/ ; /0 ; h ; :. Exercice 2. 5 Nouvelle Calédonie, novembre 2016 Exercice 2. 2 est un tétraèdre.,, sont les points définis par,, a. Préciser la position relative de et. b. Préciser la position relative de et. c. Préciser la position relative de et. d. Placer le point d intersection de et. 2. a. Préciser la position relative de et b. Tracer l intersection de ces deux plans. Exercice 2. 3 est un tétraèdre, cf annexe, et. On suppose que la droite n est pas parallèle au plan. 1. Placer le point d intersection de et du plan. 2. Représenter la section du tétraèdre par le plan. Exercice 2. 4 est un tétraèdre cf annexe. Les points,,,: sont les milieux respectifs des segments,,, et / est un point de la face. Dans chacun des cas, construire la section du tétraèdre par le / ; : ; :/ ; :/ ; est le plan passant par et parallèle aux droites et. 13

14 Exercice 2. 6 Soit le cube. 1. Représenter les points, et définis par, et Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs, et. 3. Même question avec le vecteur. 4. En déduire que les points, et sont alignés. Exercice 2. 7 est un tétraèdre, est le milieu de, est le point tel que et est le centre de gravité du triangle, c est à dire le point tel que Démontrer que + 2. En déduire que les points, et sont alignés. 2. Démontrer que, et sont alignés. Exercice 2. 8 est un cube, et sont les points tels que 3 et Construire le point intersection du plan et de la droite. 2. Trouver le nombre ' tel que '. 3. En déduire que est parallèle au plan. Exercice 2. 9 ROC On se propose de démontrer la théorème du toit. Soient et deux plans sécants suivant une droite et soient et deux droites parallèles telles que et. 1. Justifier que si et sont confondues alors. 2. On suppose que et ne sont pas confondues. Soit " un vecteur directeur de et " un vecteur directeur de. a. En supposant que et ne sont pas parallèles démontrer que " ;" est un couple de vecteurs directeurs de. En déduire que et sont parallèles. b. En déduire que " et! sont colinéaires puis que et sont parallèles à. Exercice Dans un repère ;3;=,>,'? on donne les points 5 ;0;0, 2 ; 1 ;1, 10 ;1; 2 et 3 ;2;1. 1. On pose ",! et.. Démontrer que ; ",!,. est un repère de l espace. 2. On se place dans le repère ; ",!,.. est le milieu du segment, : est le point tel que 3: et est le centre de gravité du triangle. Démontrer que les droites et : sont parallèles. 3. Soit le point tel que 3. Démontrer que la droite est parallèle au plan Exercice On considère un cube. 1. Justifier que i ;;,,? est un repère de l espace. Dans la suite de l exercice l espace est rapporté au repère i. 2. Donner sans justification les coordonnées des sommets du cube. 3. Déterminer les coordonnées des points, et, milieux respectifs des faces, et. 4. a. Démontrer que les points,, et sont coplanaires. b. Tracer la section du cube par le plan. 5. a. Démontrer que le centre de gravité : du triangle est également le centre de gravité du triangle. b. Démontrer que les points, et : sont alignés. 5. a. Quelle est la nature du triangle? b. Démontrer que est perpendiculaire au plan. 6. Calculer le volume du tétraèdre. Exercice Polynésie, juin 2017, n 3, 4pts Exercice Soient _ R N,, et trois points de l espace. On considère les points et définis par les égalités vectorielles : +2 +_ 0 et Exprimer en fonction de et de _. 2. Soit la fonction définie sur R N par _. 9N a. Montrer que _ R N ; 0 _<1. b. Montrer que pour tout 0 ;1 il existe un réel positif _ tel que _. c. Montrer que l ensemble des points lorsque _ décrit R N est le segment privé de. 14

15 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Centres étrangers, juin 2011 Exercice Donner un point et un vecteur directeur de la droite de représentation D 2_+1 paramétrique ^E 3_ `où _ R. F 2 2. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par 1 ; 3 ;4 dirigée par le vecteur " 4 ;6; Soient 2 ;1; 1 et 2 ; 1 ;1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite. b. Donner une représentation paramétrique du segment. c. Donner une représentation paramétrique de la demi-droite. D 4 4. Soit la droite de représentation paramétrique ^E 3_ `où _ R. F 1+12_ a. Le point 1 ; 3 ;13 appartient-il à? b. Le vecteur " 0 ; 1 ; 4 dirige-t-il? c. Déterminer les coordonnées du point de de paramètre Soient 2 ;0; 2 et 13 ; 10 ;3. D 1 3_ a. La droite admet-elle pour représentation paramétrique ^E 2+2_ `où _ R? F 1 _ b. Déterminer les coordonnées du point de d abscisse 5. 15

16 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 c. La droite passe-t-elle par le point K 10 ; œ 9 ; 4 9 R? Exercice L espace est rapporté à un repère orthonormé ;3;=,>,'?. On note la droite passant par 1 ; 2 ; 1 et 3 ; 5 ; 2. D 1+ +2_ 1. Démontrer qu une représentation paramétrique de est ^E 2 3_ ` où _ R. F 1 _ D 2 _ 2. est la droite de représentation paramétrique ^E 1+2_ ` où _ R. F _ Démontrer que les droites et ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan passant par le point 0 ; 3 ;0 et dirigé par les vecteurs " 1 ; 4 ;0 et! 0 ; 5 ;1. a. Démontrer que contient. b. Démontrer que le plan et la droite se coupent en un point dont on déterminera les coordonnées. Exercice Déterminer un vecteur normal de chacun des plans suivants : a. D+E+2 0 ; b. F 2D est le plan passant par 3 ;1; 2 et de vecteur normal d 4 ;6;3. a. Déterminer une équation cartésienne de. b. Le point 0 ;2;0 appartient-il à? 5. a. Justifier que les points 0 ; 2 ; 1, 2 ;7;2 et 1 ;10;2 définissent un plan. b. Démontrer que le plan admet pour équation cartésienne 3D+E 5F 30. c. Le vecteur d 6 ; 2 ;10 est-il normal au plan? Exercice Dans chacun des cas suivants donner une représentation paramétrique de la droite parallèle à et passant par 4 ;5; 2. a. où 1 ;3; 8 et 3 ;3; ; 4. D 2 b. a pour représentation paramétrique ^E 2_ `où _ R. F 2 5_ 2. On donne les droites et de représentations paramétriques : D 6 3_ D 3+_ ^E 7+2_ ` où _ R, ^E 3 `où _ R. F 1+_ F 5+2_ a. Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. b. et sont-elles perpendiculaires? 3. Montrer que les systèmes d équations suivants déterminent une même droite. D 3+2_ D 7 4_ ^E 5 2_ `où _ R et ^E 1+4_ `où _ R. F 1+_ F 3 2_ Exercice Pondichéry, avril 2017, n 5, 3pts Exercice Pondichéry n 3 Sujets

17 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Amérique du nord n 3 Sujets 1 3 Exercice Dire si les plans sont parallèles, perpendiculaires ou ni l un ni l autre. a. D+3E F 0 et : D+2E+5F+40; b. L + P +F+10 et 9 9 3D E F+ 0 ; c. D E+F+1 0 et D E ; d. D 2E+F 3 et F D+2E a. Justifier que les plans D 3E+ +2F 5 et 2D+E+7F 1 sont sécants et donner une représentation paramétrique de leur intersection. b. Même question avec D+2E+F 1 et D+E+F Donner une équation du plan parallèle à d équation 2D+F 10 et passant par le point 5 ;0;7. Exercice Amérique du Nord n n 4 Sujets 4 et 5 17

18 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 D _+ +1 b. D+2E+F 1 et ^E 2 ` où _ R. F _+3 D _ _ 2. Soient 0 ;3; 4, 4 ;2;1 et ^E _ +1 `où _;_ R. F 2_+3_ 2 a. Donner une représentation paramétrique de la droite. b. Vérifier que 2D+E+F+10 est une équation de. c. Démonter que et sont sécantss et préciser les coordonnées de leur point d intersection. D 1+_ 3. Quelle est l intersection du plan 2D+ E 2F 8 et de la droite ^E 4+2_ ` _ R. F 3+2_ 4. Dans chaque cas dire si le plan et la droite sont perpendiculaires. D _+1 a. D+2E 4 et ^E _ ` où _ R ; F 2_ 1 b. D E F 1 et passant par 0 ;1;2 et 2 ; 1 ;0. 5. Déterminer une équation du plan perpendiculaire à la droite où 5 ;2;0 et 3 ;5; Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par 1 ; 4 ;3 perpendiculaire au plan d équation D 2E 4F a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan 2D E+F+50 et passant par 2 ;1;0. b. Déterminer les coordonnées du point, projeté orthogonale de sur. c. En déduire la distance de à. 8. Déterminer une droite passant par le point 3 ; 2 ; 4 qui est parallèle au plan 3D 2E 3F 70 et qui la droite 5 ;" où 2 ; 4 ;1 et " 3 ; 2 ;2. Exercice Centres étrangers n 4 Sujets 6, 7, 8, 9 Exercice Etudier les positions relatives du plan et de la droite. D 2_+1 a. D E+F 0 et ^E _ 1`où _ R ; F _+2 18

19 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Amérique du Nord n 1 Sujets 6, 7, 8, 9 Exercice Amérique du Nord, juin , n 4, 5 pts Exercice Antilles Guyane, juin 2017, n 5, 5pts Sujets 6, 7, 8, 9 19

20 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Pondichéry n 4 Sujets 10, 11, 12 Exercice Nouvelle Calédonie, mars 2017, n 5, 5pts Sujets 10, 11, 12 20

21 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Métropole n 3 Sujets 13, 14 Exercice Centres étrangers, juin 2017, n 2, 4pts 21

22 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Liban, juin 2017, n 1, 6pts s Exercice Métropole, juin 2017, n 2, 3pts Sujets 13, 14 22

23 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 Exercice Polynésie n 3 Exercice Métropole juin 2011 Exercice Nouvelle Calédonie n 3 23

24 2 Géométrie dans l espace TS 2017/ On considère la sphère de centre 3 ;1;3 et de rayon 3, le point de coordonnées 2 ; 1 ;1 et la droite de représentation paramétrique : D 1+_ ^E 3+ +2_ ` où _ R. F _ a. Montrer que le point appartient à la droite. b. Montrer que le point appartient à la sphère. c. Montrer que la droite coupe la sphère en un deuxième point. Exercice Soient 2 ;5 ; 1 et 4 ;1 ; 3. a. Déterminer une équation de la sphère de diamètre. b. Déterminer une équation du plan tangent à en. 2. a. Déterminer le centre et le rayon de la sphère D +E +F 4D+6E+90. b. Montrer que le plan d équation D 4 est tangent à S en 4 ; 3 ;0. Sujet 15 Exercice 2. 1 Sujets 1 Antilles Guyane n 4 2 Amérique du Sud n 2 3 Antilles Guyane n 1 4 Antilles Guyane n 1 5 Liban n 3 6 Asie n 4 7 Métropole n 4 8 Nouvelle Calédonie n 3 9 Polynésie n 1 10 Antilles Guyane n 4 11 Liban n 1 12 Amérique du Nord n 1 13 Métropole n 4 14 Nouvelle Calédonie n 3 15 Nouvelle Calédonie n 4 QCM 1 Métropole n 2 QCM 2 Amérique du Sud n 2 QCM 3 Liban n 2 QCM 4 Asie n 1 24

25 Exercice 1 Exercice

26 Exercice