Variable aléatoire Définir une variable aléatoire sur Ω, c est associer à chaque éventualité de Ω un unique nombre réel.

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1 Cours VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Le hasard, c est «l volotare smulat le volotare» - Tarde I - DEFINITIONS Sot Ω u uvers. Varable aléatore Défr ue varable aléatore sur Ω, c est assocer à chaque évetualté de Ω u uque ombre réel. Exercce corrgé : O lace 3 fos ue pèce équlbrée. Sot X le ombre de ples obteu. O a Ω = { FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP } X pred alors respectvemet les valeurs Les valeurs possbles de X sot doc 0, 1, 2, 3. La probablté que X pree la valeur 0 vaut 1 8, comme pour la valeur 3. O ote P ( X = 0 ) = 1 8. La probablté que X pree la valeur 1 vaut 3 8, comme pour la valeur 2. O désge par X (Ω) l esemble des valeurs possbles de X : X (Ω) = { x, x,..., }. Varable aléatore dscrète O dt qu'ue varable aléatore X est dscrète s l esemble des valeurs possbles X (Ω) est f ou déombrable. E mathématques, u esemble est dt déombrable, ou f déombrable, lorsque ses élémets peuvet être lstés sas omsso répétto das ue sute dexée par les eters. Exemple : N est déombrable alors que R e l est pas. 1 2 x Lo de probablté La lo de probablté d ue varable aléatore X est la focto qu, à tout élémet x de X (Ω), fat correspodre la probablté que X pree cette valeur x ( que l o ote P ( X = x ) ). Il est commode de préseter cette lo de probablté sous forme d u tableau : Valeurs prses par X : x... Probablté p = P ( X = x )... O a : p = = 1 1 Exemple précédet : La lo de probablté de X est résumée das ce tableau : x P ( X = x ) Varables aléatores dscrètes - Page 1 sur 8

2 II - ESPERANCE MATHEMATIQUE Déf O appelle espérace mathématque de la varable aléatore X le ombre : E ( X ) = = 1 p x Proprété : Pour tous réels a et b : E (a X + b) = a E (X) + b Exemple précédet : L espérace mathématque de X est : E (X) = = 12 = 1, III - VARIANCE, ECART-TYPE TYPE Varace La varace de la varable aléatore X est le ombre : V ( X ) = = 1 p ( x E ( X )) 2 Proprété : O motre que : V ( X ) = p x E ( X ) 2 2 = E ( X 2 ) + [ E ( X ) ] 2. = 1 Proprété : Pour tous réels a et b : V (a X + b) = a 2 V (X) Ecart-type type L écart-type de la varable aléatore X est le ombre : σ X = V ( X ) Exemple précédet : La varace de X est : V (X) = 1 0² + 3 1² + 3 2² + 1 3² 1,5² = 3 1, 5² = 0, L écart-type de X est : σ X = 0,75 0,87 IV VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES Déf Deux varables aléatores sot dépedates ss les évéemets ( X = x ) et ( Y = sot dépedats, c est-à-dre que P ( ( X = x ) ( Y = y j ) y j ) ) = P ( X = x ) P ( Y = y j ). Varables aléatores dscrètes - Page 2 sur 8

3 Cours EXEMPLES DE LOIS DISCRETES LOI UNIFORME dscrète Lo uforme dscrète O appelle lo uforme dscrète, ou ecore lo équréparte, toute lo d ue varable aléatore X qu peut predre valeurs avec ue probablté detque. Esemble des valeurs possbles : X ( Ω ) = { x 1, x 2,..., x } P ( X = x 1 ) = P ( X = x 2 ) = = P ( X = x ) = 1 Exemple : O joue avec ue roulette comportat 8 secteurs de même agle au cetre, umérotés de 1 à 8. La varable X pred les valeurs du uméro obteu. Doer la lo de probablté de la varable X ; Calculer E (X). LOI DE BERNOULLI Epreuve de Beroull Ue épreuve de BERNOULLI de paramètre p est ue épreuve aléatore ayat deux ssues cotrares appelées SUCCES et ECHEC de probabltés respectves p et q = 1 - p. Exemple : Voc quelques stuatos qu peuvet être modélsées par ue épreuve de Beroull : - Le lacer d ue pèce, - Le lacer d u dé avor 6 ou o - Gager à u jeu de hasard. - La réusste à u exame Lo de BERNOULLI La varable aléatore X qu pred la valeur 1 e cas de succès et 0 e cas d échec est appelée varable de Beroull. La lo de probablté de cette varable X est appelée : lo de Beroull. Esemble des valeurs possbles : X ( Ω ) = { 0, 1 } P ( X = 1 ) = p et P ( X = 0 ) = q = 1 p x 0 1 probablté 1 p p Varables aléatores dscrètes - Page 3 sur 8

4 Proprétés : S X sut ue lo de Beroull alors : E ( X ) = p et V ( X ) = p q Exemple : O lace ue fos ue pèce mal équlbrée pour laquelle la probablté d obter Ple est 0,7. Sot X la varable aléatore qu pred la valeur 1 quad o obtet Ple et la valeur 0 quad o obtet Face. Doer la lo de probablté de X, so espérace et sa varace. SIMULATION Algorthme de smulato d'ue épreuve de Beroull de paramètre p Doées : p : ombre etre 0 et 1 ; Début tratemet t pred ue valeur aléatore etre 0 et 1 ; s t < p alors Affcher "Succès" ; f so Affcher "Échec" ; f F TI : Prompt P NbreAleatore( ) T If T < P The Dsp "SUCCES" Else Dsp "ECHEC" XCas : sasr("etrer p : ",p) ; t :=alea(0,1) ; s (t<p) alors affcher("succès") ; so affcher("echec") ; fs ; Caso : "P"? P Rad# T If T < P The "SUCCES" Else "ECHEC" Pytho : from radom mport* p=float(raw_put("etrer p : ")) t=radom( ) f (t<p) : prt("succès") else : prt("echec") Pour smuler ue épreuve de Beroull de paramètre p, o utlse das la formule =Et(Alea( )+p) ou =SI(ALEA( )<p;1;0) Varables aléatores dscrètes - Page 4 sur 8

5 LOI BINOMIALE Schéma de Beroull U schéma de BERNOULLI est la répétto de épreuves de BERNOULLI detques et dépedates. Lo bomale La varable aléatore X doat le ombre de succès au cours de ces épreuves sut la lo bomale de paramètres et p, p état la probablté de succès. O ote : X ~ B (, p ). Esemble des valeurs possbles : X ( Ω ) = { 0, 1, 2,..., } P ( X = k ) = p k p k k ( 1 ) pour k { 0, 1, 2,..., } Coeffcet bomal : est le ombre de chems de l arbre réalsat k succès pour répéttos. O lt «k parm» k TI : O utlse la foctoalté Combaso (ou Cr) qu se trouve das Maths PRB. 4 Exemple : pour calculer, o tape 4 Cr 2 2 O utlse la foctoalté Comb ( ; k). Caso : Pour la calculatrce Caso Graph 25+Pro, o tape auss 4 Cr 2, Cr est obteu par OPTN F6 PROB. Proprétés : S X sut ue lo bomale B (, p ) alors : E ( X ) = p et V ( X ) = p q Exercce corrgé : O lace quatre fos ue pèce mal équlbrée pour laquelle la probablté d obter Ple est 0,7. Sot X la varable aléatore égale au ombre de ples obteu à l ssue des 4 lacers. Doer la lo de probablté de X, so espérace et calculer la probablté d obter 3 ples. La lo de probablté de X est la lo bomale B( 4 ; 0,7 ). E ( X ) = p = 2,8 ; P ( X = 3 ) = 4 (1 ) 3 p p 3 1 P ( X = 3 ) = 0,4116 Varables aléatores dscrètes - Page 5 sur 8

6 Pour recoaître et justfer les stuatos où ue varable aléatore X sut ue lo bomale B( ;p ), l est essetel de mettre e évdece : ue épreuve de Beroull, où le succès a pour probablté p, répétée fos, de faços detques et dépedates. CALCUL de P ( X = k ): TI : O utlse l structo bomfdp( que l o obtet par l structo DISTR (touches 2ND VARS ) et la touche 0 que l o complète as : bomfdp(, p, k). Caso : O utlse le meu STAT, o chost DIST (touche F5) pus BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et Var (touche F2). O resege la boîte de dalogue : Data : varable ; valeur désrée : k ; Numtral : ; probablté : p. La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; 0) revoe la probablté P (X = k ) pour ue varable aléatore X de lo bomale de paramètres et p. Varables aléatores dscrètes - Page 6 sur 8

7 CALCUL de P ( X k ): TI : O utlse l structo bomfrép( Caso : Chosr Bcd La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; 1) revoe la probablté P (X k ). SIMULATION Algorthme de smulato d'ue lo bomale de paramètres et p Doées : p : ombre etre 0 et 1 ; : eter aturel ; Début tratemet c pred la valeur 0 ; pour k de 1 jusque fare t pred ue valeur aléatore etre 0 et 1 ; s t < p alors c pred la valeur c + 1 ; f f F Sortes : Affcher c Pour smuler ue lo bomale de paramètres p et, o smule épreuves de Beroull de paramètre p, pus o fat la somme. Exemple : Lacer d ue pèce équlbrée deux fos. X est la varable égale au ombre de face. TYPE de GRAPHIQUE Varables aléatores dscrètes - Page 7 sur 8

8 Coeffcets bomaux - Proprétés ( Soet et k eters aturels, k ) = 1 0 = 1 = = = k k = k k + 1 k + 1 Tragle de Pascal Autre représetato du coeffcet bomal : Le coeffcet est égal au ombre de trajets qu aboutsset au pot de coordoées (k ; k ). k O utlse le mot «trajets» pour évter les cofusos etre les deux représetatos. O part de l orge d u repère. Pour chaque épreuve de Beroull, l abscsse augmete de 1 s o obtet u succès, so c est l ordoée qu augmete de 1. Après répéttos, à la f d u trajet, o obtet u pot pour lequel : abscsse = ombre de succès ordoée = ombre d échecs Varables aléatores dscrètes - Page 8 sur 8