Résolution de problèmes les problèmes additifs Constuire le sens des opérations. Beauvais 13 mars 2018

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1 Résolution de problèmes les problèmes additifs Constuire le sens des opérations Beauvais 13 mars 2018

2 Plan de l animation Les enjeux des Instructions en mathématiques Qu est ce qu un problème additif ou soustractif? S approprier la classification des problèmes additifs de G Vergnaud -Développer des compétences pour résoudre des problèmes additifs et soustractifs

3 Les enjeux des Instructions en mathématiques Au cycle 2, on apprend à réaliser les activités scolaires fondamentales que l on retrouve dans plusieurs enseignements et qu on retrouvera tout au cours de la scolarité : résoudre un problème, comprendre un document, rédiger un texte, créer ou concevoir un objet.

4 La resolution de problèmes Mathématiques > Introduction Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. Les problèmes permettent d aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations rencontrées dans d autres enseignements, notamment «Questionner le monde». Ils ont le plus souvent possible un caractère ludique. On veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements. Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens, en particulier des problèmes portant sur des grandeurs ou sur leurs mesures.»

5 Nombres et calculs Repères de progressivité Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul CP CE1 CE2 Problèmes additifs et soustractifs + problèmes multiplicatifs Etude de la division : initiation situations simples de partage ou de groupement. Elle est ensuite préparée par la résolution de deux types de problèmes -ceux où l on cherche combien de fois une grandeur contient une autre grandeur -et ceux où l on partage une grandeur en un nombre donné de grandeurs. + problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d aller au-delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau

6 Qu est ce qu un problème additif ou soustractif? Les problèmes qui se résolvent par une addition ou une soustraction relèvent de ce qu on appelle le champ additif.!

7 QUIZZ Combien existe-t-il de types de problèmes additifs? plus?

8 Un constat

9 Types de problème 1- X a 3 billes. Y a 5 billes. Combien X et Y ont ils de billes ensemble? (5+3) 2- X avait 3 billes. Puis Y lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant X? (5+3) 3- X avait des billes. Il en a donné 5 à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien avait-il de billes? (5+3) 4- X avait 8 billes. Puis il a donné 3 billes à Y. Combien de billes a maintenant X? (8-3) 5- X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes. Combien Y a-t-il de billes? (8-3) 6- X avait 3 billes. Y lui en a donné. X a maintenant 8 billes. Combien de billes Y a-t-il données à X? (8-3) 7- X avait 8 billes. Il en a donné à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien de billes X a-t-il données à Y? (8-3) Proportion de réussite sur 100 GS CP CE1 CE

10 A contexte égal (jeu de billes), à mêmes valeurs numériques, tous les problèmes relevant de l addition ne sont pas de même difficulté. Un grand nombre de problèmes relevant d une soustraction sont beaucoup mieux réussis que d autres relevant d une addition. L enseignant est responsable des problèmes qu il choisit pour aider les élèves à construire ses connaissances.

11 Classer les problèmes du champ additif 1. J ai 20 bonbons ; j en mange 2 et puis encore 3. Combien m en reste-t-il? 2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? 3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de Thomas? 4. Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue? 5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12. Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés? Et combien?

12 6. La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers? 7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe? 8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? 9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins. Combien mesure la bande bleue? 10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvait-elle auparavant? 11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a-t-il?

13 12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout? 13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 83.Combien d'argent Sophie a-t-elle de plus que lui? 14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches? 15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout? 16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magali a-t-elle reçu d argent au total? 17. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur? 18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris?

14 19. Il y avait 160 oiseaux dans l arbre. Il n en reste plus que 50. Combien d oiseaux se sont envolés? 20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l immeuble de mon cousin a-t-il d étages? 21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième fois, il recule d une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout?

15 La classification de Gérard Vergnaud

16 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformations (ete) Problèmes du type : état initial transformation (+ ou -) état final 1. Transformation positive Recherche de l état final (et+e) 2. Transformation négative ; recherche de l Etat Final (et-e) 3. Transformation positive ; recherche de L ÉTAT INITIAL (Et+e) Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo? Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo? Transformation négative; recherche de L ÉTAT INITIAL (Et-e) Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait il de billes? -

17 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformations (ete) Problèmes du type : état initial transformation (+ ou -) état final 5. Recherche de la transformation positive 6. Recherche de la transformation négative Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a t elle données à Léo? Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a t il données à Juliette? + -

18 7. Recherche de la combinaison de deux états. (eee) Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de combinaison (eee) Problèmes du type : partie partie - tout Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? 8. Recherche d un état connaissant un second état et la combinaison des deux états. (eee) Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a t il de billes?

19 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de comparaison (ece) Problèmes du type : état 1 comparaison (+ ou -) état 2 9- Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison positive. (Ec+e) 10 - Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison négative. (Ec-e) 11- Recherche de l état comparé (comparaison positive) (ec+e) Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a t elle? Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a t elle? Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a t elle?

20 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de comparaison (ece) Problèmes du type : état 1 comparaison (+ ou -) état Recherche de l état comparé (comparaison négative) (ec-e) Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a t elle? 13- Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. (ec+e) 14 - Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. (ec-e) Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a t elle de plus que Léo? Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a t elle de moins que Léo?

21 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de composition de transformations Problèmes du type : état initial transformation 1 état intermédiaire transformation 2 état final 15- Recherche de la composée de plusieurs transformations Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins qu au départ? Et combien? 16 - Recherche d une des composantes Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu au départ. Combien a-t-il perdu de billes

22 Retour sur les problèmes que nous avons classés.

23 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformations (ete) Problèmes du type : état initial transformation (+ ou -) état final 1. Transformation positive Recherche de l état final (et+e) 2. Transformation négative ; recherche de l Etat Final (et-e) 3. Transformation positive ; recherche de L ÉTAT INITIAL (Et+e) N 17. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur? N 2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? N 4. Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue? 4. Transformation négative; recherche de L ÉTAT INITIAL (Et-e) N 10. Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvait-elle auparavant?

24 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de transformations (ete) Problèmes du type : état initial transformation (+ ou -) état final 5. Recherche de la transformation positive 6. Recherche de la transformation négative N 6. La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout, 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers? N 19. Il y avait 160 oiseaux dans l arbre. Il n en reste plus que 50. Combien d oiseaux se sont envolés?

25 7. Recherche de la combinaison de deux états. (eee) 8. Recherche d un état connaissant un second état et la combinaison des deux états. (eee) Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de combinaison (eee) Problèmes du type : partie partie - tout 16. Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magalie a-t-elle reçu d argent au total? 7. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe? 14.Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches? 18. Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris?

26 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de comparaison (ece) Problèmes du type : état 1 comparaison (+ ou -) état 2 9- Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison positive. (Ec+e) 10 - Recherche de l état à comparer connaissant l état comparé et la comparaison négative. (Ec-e) N 20. Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l immeuble de mon cousin a-t-il d étages? N 11. Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a- t-il? N 9. Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de moins. Combien mesure la bande bleue? 11- Recherche de l état comparé (comparaison positive) (ec+e) N 3. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de Thomas?

27 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de comparaison (ece) Problèmes du type : état 1 comparaison (+ ou -) état Recherche de l état comparé (comparaison négative) (ec-e) 13- Recherche de la comparaison positive connaissant les deux états. (ec+e) 14 - Recherche de la comparaison négative connaissance les deux états. (ec-e) N 8. Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? N 13. Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 38.Combien d'argent Hervé a-t-il de moins que Sophie?

28 Les problèmes additifs et soustractifs Problèmes de composition de transformations Problèmes du type : état initial transformation 1 état intermédiaire transformation 2 état final 15- Recherche de la composée de plusieurs transformations N 1. J ai 20 bonbons ; j en mange 2 et puis encore 3. Combien m en reste-t-il? N 5. Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12. Au total en a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés? Et combien? N 12. Un sous marin plonge en deux étapes dans l océan. A la première étape, il descend de 45m. et à la deuxième étape, il descend de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout? N 15. Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en tout? N 21. Hakim joue trois fois de suite au jeu de l oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième fois, il recule d une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout?

29 L automatisation du processus de reconnaissance de l opération n est réellement effective que si l élève parvient à associer une opération (la soustraction par exemple) à n importe quelle situation nécessitant cette opération. Choisir parmi plusieurs opérations nécessite de construire simultanément une automatisation (elle sera progressive) du processus de reconnaissance de l opération. Ces conditions impliquent que l élève ait été confronté à la diversité des situations additives regroupant les problèmes d addition et de soustraction.

30 Un exemple de situation d apprentissage : le jeu des enveloppes Le nombre au cycle 2 Scérén 2_ pdf Pour cette étape, il s agit bien d une situation et non pas d un énoncé. Les élèves disposent d enveloppes contenant un nombre de jetons inconnu d eux. Le maître leur fait ajouter des jetons. Les élèves comptent alors tous les jetons dans leur enveloppe. Ils doivent trouver le nombre initial de jetons dans leur enveloppe, sans contrainte de procédure, puis dans un second temps, en utilisant une écriture soustractive. Par la suite, il leur est demandé de vérifier avec le matériel.

31 Exemple de mise en œuvre pour : Recherche de l état initial à partir d une transformation positive. Objectif: automatiser l utilisation de la soustraction pour la résolution d un problème relevant d une telle structure.

32 Mise en œuvre proposée: 1) Comprendre la situation; 2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées; 3) Elaborer une première procédure; 4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l association soustraction/nouvelle procédure de résolution; 5) Réinvestissement; -Le passage de la situation à l énoncé; -Automatiser l utilisation de la soustraction pour résoudre le problème; -Traiter le contexte ordinal 6) Evaluation.

33 1) Comprendre la situation; -Donner des enveloppes avec les jetons. -Mimer l action -L élève ne peut bâtir une représentation qu à partir de manipulations -La représentation d un problème sous forme d énoncé est encore une phase ultérieure.

34 2) Dissocier la situation des autres déjà rencontrées; -On suppose que des affiches récapitulant les autres situations ont été faites; -On va faire voir que cette situation ne correspond à aucune autre déjà rencontrée; -On va parler aux élèves de Problème avec une action, Quantité avant l action, Quantité après l action, - Puis regarder ce que l on cherche.

35 3) Elaborer une première procédure; Les élèves élaborent des procédures personnelles: -dessin -Texte -calcul -Additions à trou L addition a trou permet de suivre la chronologie de l histoire. Elle est donc naturelle. Exemple? + 8 =12

36 4) Identifier cette nouvelle procédure et construire l association soustraction/nouvelle procédure de résolution; -Affiche composée avec les élèves où figurent: Un schéma Un dessin Une opération à trou La soustraction Chaque affiche sera spécifique à la classe: elle fera référence aux procédures des élèves.

37 5) Réinvestissement; -Le passage de la situation à l énoncé écrit; Un énoncé possible: Combien y avait-il de cubes dans la boîte? J ai des cubes dans une boîte. J en ajoute 35. Maintenant, j en ai 123.

38 5) Réinvestissement; -Le passage de la situation à l énoncé écrit; L énoncé est source de difficultés -La forme des phrases, l ordre des données -L ordre chronologique donne de meilleurs résultats -Par exemple: «J ai des cubes dans la boîte. J en ajoute 14. Maintenant, j en ai 26» est plus facile que: «J ajoute 14 cubes dans une boîte et maintenant j en ai 26» -La question posée en début de problème donne de meilleurs résultats.

39 5) Réinvestissement; -Automatiser l utilisation de la soustraction pour résoudre le problème; Faire choisir la bonne affiche de référence est une bonne manière de guider les élèves; Puis faire élaborer une procédure de résolution; Faire créer des énoncés de ce même type de problème aux élèves leur permet de reconnaître la structure au-delà de l énoncé.

40 5) Réinvestissement; -Traiter le contexte ordinal Il s agit de faire le lien entre le contexte cardinal et le contexte ordinal. Le problème est le suivant: Au jeu de l Oie, je suis sur une case. Je fais «8». Je déplace alors mon pion et je me trouve sur la case 26. Sur quelle case avais je mon pion avant de jouer?

41 6) Evaluation. Problème utilisé au milieu d autres problèmes relevant des catégories utilisées précédemment. En cas de non-réussites, d autres critères d analyse: -l élève sait évoquer la situation concrète -L élève reconnaît une situation d action -L élève sait identifier l état final -L élève reconnaît que l on cherche l état initial -L élève utilise une addition à trou