S5 Info-MIAGE Mathématiques Financières Emprunts indivis. Université de Picardie Jules Verne Année UFR des Sciences

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1 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis Universié de Picardie Jules Verne Année UFR des Sciences Licence menion Informaique parcours MIAGE - Semesre 5 Mahémaiques Financières EMPRUNTS INDIVIS Il exise une grande variéé d empruns qui peuven cependan êre regroupés en deux caégories selon que l empruneur, personne physique (pariculier) ou morale (enreprise, associaion, collecivié publique), s adresse à un seul ou à plusieurs prêeurs. Si l emprun es conracé auprès d un prêeur unique (généralemen une banque), le conra éabli enre les deux paries défini les modaliés d un emprun ordinaire communémen appelé emprun indivis. Il se différencie d un emprun obligaaire qui fai inervenir plusieurs prêeurs. Les empruns indivis son consiués esseniellemen par les prês personnels aux pariculiers (acha de biens de consommaion durables : auomobiles, meubles, appareils ménagers...), les prês immobiliers (consrucion d une maison individuelle, acquisiion d un logemen,...), les crédis à moyen erme (d invesissemens en maériels, ouillages, véhicules...). Pour les prês à une personne physique, on parle de crédi affecé lorsque l emprun doi êre uilisé pour l acquisiion d un bien clairemen idenifié, non affecé lorsque son uilisaion es à la discréion de l empruneur. Les clauses du conra enre prêeur (créancier) e empruneur (débieur) précisen enre aures la durée de mise à disposiion des fonds, le aux d inérê, les condiions de remboursemen du capial empruné. I - Généraliés 1) Exemple Une personne emprune qu elle s engage à rembourser en 5 ans par des annuiés variables versées en fin d année au aux annuel de 8 %. L empruneur s engage : à payer, à la fin de chaque année, l inérê, au aux annuel de 8 %, du capial empruné e non remboursé ; à rembourser, à la fin de chaque année, une parie du capial empruné. Ce remboursemen es appelé amorissemen du capial. L annuié à payer, en fin d année, es la somme de l inérê e de l amorissemen. La somme des inérês payés es parfois appelé coû du crédi. Voici le ableau d amorissemen de l emprun indivis : Année Capial resan à amorir en débu d année Inérê à payer en fin d année Amorissemen Monan oal de l annuié à verser en fin d année ) Relaions fondamenales On emprune un capial C au aux e remboursable en n annuiés R 1, R 2,..., R n (le premier remboursemen ayan lieu une période après la mise à disposiion des fonds). Le capial empruné es la valeur acuelle des annuiés au momen du versemen des fonds : C R R R n2 1 n2 R n1 1 n1 R n 1 n (1) Le capial resan dû en fin de période es la valeur acuelle des annuiés non échues. Séphane Ducay 1

2 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis On peu schémaiser les encaissemens (enrées de capial) e les décaissemens (sories de capial) par un diagramme des flux, par exemple du poin de vue de l empruneur : C 1 2 n-1 n R 1 R 2 R n-1 R n II - Eude des sysèmes d empruns les plus uilisés 1) Empruns remboursables en une seule fois A la fin de chaque période, l empruneur ne paie que l inérê du capial empruné. Les amorissemens son nuls. Il rembourse en une seule fois, à la dae fixée dans le conra, l inégralié du capial empruné. On a donc R 1 R 2... R n1 C e R n CC. Cela es uilisé pour des empruns de coure durée enre pariculiers. 2) Empruns à amorissemens consans Le capial empruné es remboursé en n périodes par amorissemens égaux à C n. Désignons par C p le capial resan dû au débu de la période p, A p l amoissemen versé en fin de période p, I p l inérê versé en fin de période p. Il es clair que pour ou p 2,...,n, C p C p1 A p1 C p1 C n. La suie C p 1pn es arihméique de raison C n e de premier erme C 1 C, e donc C p C 1 p1 C n Cp1 C n. L annuié R p versée en fin de période p es la somme de l amorissemen A p C n e des inérês I p C p sur le capial resan dû. On en dédui que R p A p I p C n C p1 C n. Le capial resan dû diminue à chaque période de C n. Les inérês, e donc les annuiés, diminuen à chaque période de C n ; ce qui se démonre en vérifian que R p1 R p C n. Ainsi, la suie R p es arihméique décroissane de raison C n e de premier erme R 1 C n C. 3) Empruns à annuiés consanes : sysème classique français L empruneur paie à la fin de chaque période une annuié consane R. La relaion (1) du paragraphe précéden donne C R 11n, e donc R C 11 n. On a comme précédemmen les relaions C p C p1 A p1 e R p A p C p. Les annuiés éan consanes, on a R p R p1, e donc l amorissemen de la période p vérifie A p A p1 1. En effe, de R p R p1 on dédui successivemen : A p C p A p1 C p1, A p A p1 C p1 C p A p1 A p1 A p1 1. La suie A p es donc géomérique de raison1 : on a donc A p A 1 1 p1 pour ou p 1,...,n. Le premier erme es A 1 R1 n. En effe, R R 1 A 1 C 1 A 1 C, d où A 1 R C R R11 n R1 n. Ainsi, on a A p A 1 1 p1 R1 n 1 p1 R1 np1 pour ou p 1,...,n. Il sui que C p R 11np1 ou encore C p C 11np1 11 n. En effe, on a R R p A p C p, d où C p R A p R R1np1 R 11np1. C es la valeur acuelle (en dae p1) des np1annuiés consanes R resan à payer aux daes p, p1,..., n. C es aussi la valeur des np1 amorissemens A p, A p1,, A n resan dus en débu de période p : n p1 C p A k C A k CA 1 1p1 1 R 11n R1 n 1p1 1 kp k1 C p R 11n 1 np1 1 n R 11np1. Séphane Ducay 2

3 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis 4) Empruns avec annuiés consanes, mais amorissemen différé Pendan les k premières périodes, l empruneur ne paie que l inérê du capial C empruné puis, dès que l amorissemen commence, verse des annuiés consanes. L annuié R à verser à parir de la k 1-ème période es calculé comme au 3) à parir du capial C empruné e du nombre de versemens resan à effecuer. Il arrive aussi que l empruneur ne paie rien sur les k premières périodes. L annuié R à verser à parir de la k 1-ème période es calculé comme au 3) à parir du capial C C1 k, valeur acuelle de C après les k premières périodes, e du nombre de versemens resan à effecuer. 5) Empruns remboursables par plusieurs suies d annuiés consanes consécuives Les valeurs R 1, R 2,..., R p son calculés comme au 3) pour les valeurs acuelles des capiaux des débus de leur série. 6) Empruns à aux d inérês progressifs e annuiés consanes R es relié aux différens aux par la formule du 3). 7) Empruns à "aux adapable", à "aux ajusable", à "aux modulable" Pour le financemen immobilier de longue durée (10, 15 ou 20 ans), les éablissemens de crédi proposen à leur clienèle des prês conçus, soi pour alléger les premières annuiés de remboursemen, soi pour faire évoluer le monan des annuiés parallèlemen aux revenus e au coû de la vie. Les formules son variées. 8) Empruns avec annuiés consanes, mais à inérês payés d avance Au débu de chaque période, le débieur paie l inérê sur le capial dû pendan oue cee période. Ainsi, à la signaure du conra, les inérês de la première période son prélevés sur le capial nominal, l empruneur ne recevan donc que CC. La dernière annuié ne comprend que le dernier amorissemen puisque l inérê sur ce dernier amorissemen fai parie de l avan-dernière annuié. On a les relaions C p1 C p A p e R p C p1 A p. Comme les annuiés son consanes R p R p1, on en dédui que A p A p1 1. La suie A p es donc géomérique de raison 1 1 e de premier erme A 1 R 1 C. Ainsi, on a A p A 1 1 p1 Le dernier amorissemen es A n R III - Les quare règles fondamenales A 1. L annuié consane es ainsi R C n n. Pour conclure, on peu énoncer quare règles fondamenales à respecer dans la consrucion d un ableau d amorissemen, quel que soi l emprun indivis concerné. Règle 1 : la par d inérê versée en fin de période es égale au capial dû en débu de période, muliplié par le aux d inérê de la période. Règle 2 : l annuié es égale à la somme de l inérê e de l amorissemen. Règle 3 : la somme des amorissemens es égale au capial empruné. Règle 4 : le capial dû au débu de la dernière période es égal à la dernière par d amorissemen. La règle 4 es un corollaire de la précédene. Elle perme de vérifier l exaciude d un ableau d amorissemen. IV - Quelques complémens 1) Périodicié aure qu annuelle En héorie, oues les périodiciés son envisageables. En praique, les empruns son souven remboursés par des versemens mensuels ou rimesriels, mais les aux d inérês son généralemen donnés pour une périodicié annuelle : aux d inérê annuel. Considérons des remboursemen mensuels, modalié rès répandue pour les crédis aux pariculiers. Il se pose donc le problème du calcul du aux périodique, ici du aux mensuel. De façon rigoureuse, il faudrai calculé le aux mensuel équivalen au aux annuel. Mais la plupar des organismes de crédi uilise le aux mensuel proporionnel, plus avanageuse pour le prêeur. Par exemple, pour un emprun de 1000 remboursable en 12 mensualiés consanes, au aux annuel a 12%, on a : Séphane Ducay 3

4 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis - avec le aux mensuel proporionnel m a 0.01 (soi 1 %), 12 chaque mensualié sera égale à R C 11 n , le coû du crédi ean alors égal à ,20. - avec le aux mensuel équivalen m donné par1 m 12 1 a, soi m 1 a (soi 0, %), chaque mensualié sera égale à R C 11 n , le coû du crédi éan égal à ) La renégociaion des clauses d un emprun Un emprun indivis à aux fixe engage le souscripeur dans une série de versemens don les monans dépenden du aux d inérê. Si, après la souscripion du conra, le aux passe de à, avec, il peu êre inéressan de renégocier le conra. Lorsque les aux d inérê son orienés à la baisse, le souscripeur peu avoir inérê à renégocier son prê à des condiions plus avanageuses. En praique, l emprun iniial es remboursé par anicipaion e remplacé par un nouvel emprun à un aux plus inéressan. Evidemmen, le prêeur peu refuser (sauf si une clause de remboursemen anicipé figure expréssemen dans le conra iniial) e exige le plus souven le paiemen de pénaliés (de l ordre de 3% du capial resan dû), auxquelles s ajouen parfois des frais de reprise d hypohèque (dans les cas des prês immobiliers). Le remboursemen anicipé suppose donc un écar de aux imporan dans un sens favorable à l empruneur pour que l opéraion soi inéressane. De plus, il ne vau mieux pas que la durée resan à courir jusqu au dernier remboursemen soi faible, les charges d inérê éan alors réduies. Ainsi, la négociaion peu prévoir une réducion des versemens en mainenan la durée iniiale, ou au conraire une réducion de la durée en mainenan des versemens à peu près ideniques. Exemple. Le 15 mars 2000, une banque a accordé à un clien un prê de sur 15 ans au aux annuel de 12 %. L emprun es remboursé par mensualiés consanes, les inérês éan calculés au aux proporionnel. Le 15 mars 2006, la mensualié dûe ce jour là éan versée, le clien peu souscrire dans la même banque un nouveau prê pour une durée de 9 ans au nouveau aux de 7,2 %., avec les mêmes condiions de remboursemen. La banque réclame une indemnié de 3 % du capial resan dû, sans aure frais à régler. Emprun iniial e indemnié Le aux mensuel (proporionnel) de l emprun iniial remboursé en 180 mensualiés es 1 %. La mensualié es donc R C 11 n Le capial resan dû au 15 mars 2006 (immédiaemen après 72 mensualiés payées) es C 73 C 11np1 11 n L indemnié dûe es donc 3 C Nouvel emprun Le nouvel emprun es d un monan de C 73, remboursé en mensualiés. Le aux mensuel (proporionnel) es 0,6 %. La nouvelle mensualié es donc R Comparaison des deux opéraions Emprun iniial mené à erme Emprun renégocié Monan de chacune des 72 premières mensualiés 840,12 840,12 Monan de chacune des 108 dernières mensualiés 840,12 697,57 Monan oal des 180 mensualiés à 1 près Coû oal du crédi à 1 près La renégociaion perme donc de diminuer le coû du crédi de plus de , ce qui compense largemen l indemnié de Séphane Ducay 4

5 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis 3) Les crédis renouvelables Le crédi renouvelable, appelé égalemen credi revolving, es un produi bancaire proposé aux pariculiers. Il s agi d une réserve permanane de liquidiés, accordé par un éablissemen de crédi, direcemen ou par l inermédiaire d une sociéé commerciale. Le monan du crédi peu êre uilisé à ou momen, e se reconsiue au fur e à mesure des remboursemens, le plus souven mensuels. Le monan du prê es plafonné, généralemen enre e , e dépend principalemen des possibiliés de remboursemen de l empruneur. L inérê esseniel de cee formule es la non-affecaion à un usage précis des sommes prêées. L uilisaion peu êre oalemen libre, e une simple demande à l éablissemen de crédi (dans le cadre du plafond) suffi à déclencher le versemen d une somme sur le compe bancaire de l empruneur. Dans d aures cas, le crédi renouvelable es associé à des cares privaives (care Cofinoga, care FNAC ou care Pass de Carrefour), le monan du prê n éan uilisable que pour des achas auprès d un ou plusieurs commerçans clairemen idenifiés. Le plafond dépend de la solvabilié de l empruneur. En foncion de sa capacié de remboursemen, l organisme déermine le monan maximal qu il peu prêer à son clien en foncion de la durée souhaiée. En supposan les remboursemens consans, le monan du crédi (plafond) correspondan à une capacié de remboursemen de R sur n périodes es : C R 11n. Exemple. Un pariculier dispose d une capacié mensuelle de remboursemen de 150. Il peu s engager dans un crédi revolving sur des durées comprises enre 12 e 24 mois, au aux mensuel de 0,85 %. Plafond de crédi sur 12 e 24 mois Sur 12 mois, le plafond es C L organisme arrondi le plus souven par défau, soi un plafond de crédi de Sur 24 mois, le plafond es C , arrondi à Emprun de 1000 remboursables sur 12 mois La mensualié de remboursemen es R C 11 n Capacié d emprun sur 24 mois après la sixième mensualié de l emprun de 1000 Ne pouvan dépasser le versemen mensuel oal de 150, l empruneur ne peu consacrer au remboursemen d un second emprun que Le plafond du second emprun sur 24 mois es donc C V - Exercices Les calculs se fon à inérês composés. Chaque fois que le aux indiqué ne correspond pas à la périodicié des versemens, on uilisera le aux équivalen. Exercice 1 Dresser le ableau d amorissemen d un emprun indivis de , remboursable en 5 ans, par annuiés comporan un amorissemen consan, la première annuié échéan un an après la remise des fonds. Taux d inérê annuel : 8,25 %. Exercice 2 Le premier amorissemen d un emprun indivis remboursable en 15 annuiés consanes (la première 1 an après la conclusion du conra), au aux annuel de 9,60 %, s élève à 783,80. Déerminer le monan de l annuié. Exercice 3 a) En combien de semesrialiés consanes peu-on rembourser un emprun de 4 500, si l on dispose d environ par semesre? Taux annuel : 8,47 %. b) Dresser le ableau d amorissemen pour la (ou les) soluion(s) reenue(s). Séphane Ducay 5

6 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis Exercice 4 Un emprun de es remboursable en 9 ans au moyen de rimesrialiés consanes. On ne dispose que de deux renseignemens : le monan du cinquième amorissemen es 655,66 e celui du douzième amorissemen es 834,18. Calculer le aux d inérê rimesriel. Exercice 5 Un emprun de es remboursable en 8 ans par annuiés consanes. Taux annuel : 9,75 %. Déerminer le capial resan dû après paiemen de la deuxième annuié, de la cinquième annuié e de la sepième annuié. Exercice 6 Déerminer le monan du capial empruné e le monan de l annuié consane pour chacun des empruns don les élémens connus son les suivans : a) remboursable par 5 annuiés, aux annuel : 7,75 %, monan du premier amorissemen : 256,96. b) remboursable par 10 annuiés, aux annuel : 10,25 %, monan du dernier amorissemen : 969,83. c) remboursable par 8 annuiés, monan du premier amorissemen : 490,86, monan du dernier amorissemen : 777,96. d) remboursable par 16 annuiés, monan du sepième amorissemen : 4 022,41, monan du huiième amorissemen : 4 398,51. e) remboursable par mensualiés consanes, aux mensuel : 1 %, monan du premier amorissemen : 262,50, monan du dernier amorissemen : 336,64. Exercice 7 Calculer le premier e le dernier amorissemen pour chacun des empruns don les élémens connus son les suivans : a) emprun de remboursable par des annuiés consanes de au aux annuel de 9,25 %. b) emprun de remboursable par 20 mensualiés consanes calculées au aux mensuel de 1 %. c) emprun remboursable par des semesrialiés consanes de 555,46, monan du sixième amorissemen : 297,10, monan du dixième amorissemen : 392,35. d) emprun remboursable par 18 rimesrialiés consanes, monan du cinquième amorissemen : 576,82, monan du dix-sepième amorissemen : 822,41. e) emprun de remboursable par mensualiés consanes, monan du sepième amorissemen : 74,32, monan du douzième amorissemen : 76,58. Exercice 8 Un commerçan emprune sur cinq ans dans les condiions suivanes : aux mensuel de 0,7 %, les 12 premières mensualiés ne comprennen que l inérê du capial empruné ; le capial es remboursé au cours des 48 mensualiés consanes suivanes. Déerminer le monan des 48 dernières mensualiés. Exercice 9 "Prenez dès aujourd hui livraison d un véhicule neuf en versan un appor iniial de 35 %, ne payez rien pendan 12 mois e remboursez en 45 versemens mensuels consans." Profian de cee offre, un pariculier prend livraison d un véhicule don le prix compan T.T.C. es de Son appor iniial es de e, après 12 mois, il accepe d acquier 45 mensualiés de 355,10. Quel es le aux de ce emprun? Exercice 10 Une personne emprune un capial remboursable par 15 annuiés consanes de Taux annuel d inérê progressif : 7,5 % pendan les 5 premières années, 8,5 % pendan les 5 années suivanes e 9 % pendan les 5 dernières années. a) Calculer, au jour de la remise des fonds (la première annuié échéan un an après) les valeurs acuelles d abord des 5 premières annuiés, puis des 5 annuiés suivanes e enfin des 5 dernières annuiés. b) En déduire le monan du capial empruné. c) Présener le ableau d amorissemen. Séphane Ducay 6

7 S5 Info-MIAGE Mahémaiques Financières Empruns indivis Exercice 11 Un emprun de es remboursable en 5 ans par annuiés consanes avec inérês payables d avance. Taux annuel : 8 %. Dresser le ableau d amorissemen. Exercice 12 Une enreprise conrace un emprun de , amorissable en 8 ans par annuiés consanes sur la base d un aux d inérê annuel de 8,50 %. a) Calculer le capial resan dû immédiaemen après le paiemen de la roisième annuié. Au momen du versemen de la sixième annuié, l enreprise décide, en accord avec son prêeur, de rembourser la oalié du capial resan à amorir. b) Quel es le monan du paiemen effecué en sus de la sixième annuié? Exercice 13 Une personne emprune une ceraine somme qu elle s engage à rembourser par 60 mensualiés consanes, calculées au aux mensuel de 0,60 %. Sachan qu immédiaemen après le paiemen de la quarane-huiième mensualié, le capial resan dû s élève à 4 150, déerminer le monan de la mensualié assuran le service de l emprun, puis le monan de l emprun. Exercice 14 Une personne emprune , remboursables en 20 ans par mensualiés consanes calculées au aux mensuel de 0,8 %. A ou momen, à la dae d une échéance mensuelle, elle a la possibilié de se libérer de la oalié de sa dee, moyennan le paiemen d une indemnié égale à 3 % du monan du capial resan dû. Au momen du versemen de la 112ème mensualié, les aux d inérê éan en fore baisse, elle décide de ou rembourser, ayan pu empruner, à un aux inéressan, la somme nécessaire à ce remboursemen oal. a) Quel es le monan des 112 premières mensualiés? b) Quel es le monan du paiemen effecué en sus de cee mensualié pour se libérer oalemen du premier emprun? c) Sachan que le second emprun s élève à e es remboursable par 90 mensualiés consanes au aux mensuel de 0,6 %, déerminer le monan de chacune de ces mensualiés, la première échéan un mois après le remboursemen oal. Exercice 15 Une sociéé financière reçoi un clien qui dispose d une capacié mensuelle de remboursemen de 200 e qui souhaie disposer d un encours de crédi de Le aux mensuel reenu es 0,85 %. Calculer la durée minimale de crédi. Exercice 16. (D après pariel de novembre 2006) 1) Une enreprise emprune au aux annuel 12%. Le remboursemen se fai en 3 mensualiés égales, la première mensualié ayan lieu un mois après la mise à disposiion des fonds. Dresser le ableau d amorissemen de ce prê pour des aux mensuels équivalens. 2) Une famille peu consacrer 1600 par mois au remboursemen d un prê immobilier d une durée de 240 mensualiés au aux annuel 6 %. L organisme financier emploie pour le calcul des inérês le aux mensuel proporionnel. Quel monan maximum cee famille peu-elle empruner? Exercice 17. (D après examen de janvier 2010) Un pariculier emprune sur 3 ans au aux annuel de 6 %. Dresser le ableau d amorissemen de ce emprun pour les différenes modaliés de remboursemen suivanes, la première annuié inervenan un an après la mise à disposiion des fonds. a) Remboursemen par annuiés à amorissemen consan. b) Remboursemen par annuiés consanes. c) Remboursemen par annuiés avec paiemen différé : aucun paiemen la première année, puis annuiés consanes les deux dernières années. Séphane Ducay 7

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