Cours de physique générale

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1 19 décembe 2008 cous de la semaine # 14 Bienvenue au ous de physique généale Physique I pou étudiants de pemièe année en section de mathématiques Pof. eoges Meylan Laboatoie d astophysique Site web du laboatoie et du cous : EPFL - M 1

2 Théoème de Huygens-Steine onnaissant le tenseu d inetie d un solide pa appot à son cente de masse pou les solides de fomes simples, on les touve dans des tables), le théoème de Huygens-Steine pemet alos d obteni le tenseu d inetie elativement à n impote quel point A du solide EPFL - M 2

3 Théoème de Huygens-Steine Pa appot à un point A quelconque : I A ) ij = + % m AP2 #ij $ AP ) AP & i ) j )* = + % ) 2 m A+P # ij $ A) i +P) & i %- = m / A P2 + 2 A, P 2 # &. 1 ij + $ A) i A) j $ P ) P i ) A) j +P) j ) ) j $ A ) i P = + % m P2 #ij $ P ) P & i ) j )* + m A 2 # ij $ A I A ) ij = I ) ij + M A 2 # ij $ A + [ ) i A) ] j = tenseu d inetie au point A d une masse M au point )* ) j $ P ) i A [ ) i A) ] j pemet de calcule le tenseu d inetie au point A quelconque connaissant celui au cente de masse ) j ] EPFL - M 3

4 Théoème de Huygens-Steine applications) Fomule de Steine pou les moments d inetie : Δ = axe de diection u passant pa un point quelconque ^ Δ = axe de diection u passant pa le cente de masse d = distance ente les deux axes Δ et Δ I = # I ) ij u i u j = # I ) ij u i u j + M 2 u i u j $ ij % i, j = I + M 2 % & u ˆ I = I + M d 2 Axes pincipaux : i, j [ ) 2 ] # i, j = moment d inetie d une masse M à une distance d de Δ ^ [ ) i u i ) j u ] j Si les axes Δ et sont des axes pincipaux d inetie au point alos les axes Δ et sont des axes pincipaux d inetie au point d 1 3 solide 2 u^ Δ Δ EPFL - M 4

5 Poblème de la meule Desciption et hypothèses : Meule : disque mince de masse M, ayon R, cente de masse Axe de la meule : hoizontal, sans masse, longueu d Roulement sans glissement su le sol avec point fixe su un axe vetical ω = otation pope de la meule, Ω = otation autou de l axe vetical Vecteu instantané de otation total = % 0 = v A = v + + # & ) $ A 0 = v = v + + # ) $ # + $ ) % A = # + $ ) % # % A = $ % #R = $d Equations du mouvement : dp dt dl dt = Mv = T + N +Mg = M ) = N +Mg pas de glissement + # EPFL - M 5 T 1 2 Ω 3 Démo : Moulin à gyoscope # 224 ω d R N A Mg

6 Poblème de la meule suite) Tenseu d inetie : dans epèe d inetie d axes 1, 2, et 3, en otation avec l axe de la meule autou de 3) Moment cinétique : L = I # + $ ) = I ) 11 d L = I dt ) d 11 # dt = 1MR 2 2 Equations du mouvement : M v = d L dt & M$ 2 d = T 1 F # 0 = T 2 ) 0 = T 3 +N % Mg = M # 1 MR 2 $* = dn % Mg) 2 Démo : Moulin à gyoscope # 224 [ ] I ) ij = I ) ij + M 2 ij # ) i ) j $ 1 2 MR2 0 0 $ I = & 0 1 4MR 2 0 ) & % 0 0 1MR ) + M & 0d 2 0) & ) 4 2 % 0 0d 2 # + I ) 33 $ Ω $ % # 3 N = Mg MR 2 # $ d = Mg MR#2 > Mg EPFL - M Action-éaction : si le sol exece une foce N su la oue, la oue exece une foce -N su le sol foce dite d écasement) 6 T 1 2 ω d R N A Mg

7 Donc, en penant le cas I 1 = 1/2) m R 2, nous obtenons finalement : A tite d illustation, considéons le cas R = 50 cm et Ω = 1 t/s : la éaction du sol sea alos le double du poids. âce à cet effet gyoscopique, la foce execée pa la meule su le sol est supéieue au poids de la meule. Remaque : L effet gyoscopique appaaît losqu une oue est soumise à deux otations daxes pependiculaies ici e 3 et e 1 ). Mentionnons que dans le cas d un viage effectué su une moto, cet effet gyoscopique s additionne à l effet centifuge et contibue à la stabilité du mvt. A : 1e axe de otation vitesse constante) B : 2e axe de otation axe de otation de la oue, vitesse constante) N = Mg MR#2 > Mg Exemple de la moto : Axe dapplication de leffet gyoscopique e 1 e 3 ω = 2π)/T = 2πf Leffet gyoscopique des oues los dun viage aua tendance à diminue l inclinaison de la moto EPFL - M 7

8 Roulement sans glissement su plan incliné ylinde de évolution oulant sans glisse : v A = 0 v = ωr Moment d inetie : I,y = k MR 2 k = nombe caactéisant la «fome», indépendamment de la masse et de la dimension k = 1/2 si cylinde homogène plein k = 1 Moment cinétique : si cylinde homogène vide L = I,y, L = I,y = kmr v 2 = krmv R Equations du mouvement : Ma = Mg + N + F % Ma = Mg sin# $ F & 0 = 0 0 = N $ Mg cos# dl = M % 0 = 0 dt & krma = FR 0 = 0 a cylinde ceux) inféieue Accéléation a ne dépend que de k, pas de M ni de R! a cylinde plein) Démo : ylindes oulants su plan incliné # 60 EPFL - M 8 ) * + F R A N Mg % N = Mg cos# & F = Mg sin# a = g sin# k +1 ω = ωy^ α ^ z k k +1 ^ x

9 Au tableau Enegie cinétique d un solide Pou un point A quelconque du solide : 1 E cin = # v 2 = 1 2 m 2m # = 1 2M v 2 A + Mv A & $ % A v A + $ % AP ) 2 ) m $ % AP ) 2 EPFL - M 9 # 1 2 m # $ AP ) 2 % = 1 2 m # 2 2 AP & # AP ) 2 + % )*,- = 1 2 % 2 m *%# i # j. ij AP &%# i # j AP ) i,j i,j = 1 2 % 2 # i # % j m AP.ij & AP ) i AP )* i,j = 1 % 2 # i # j I A ) ij = 1 2 # L A = 1 2 # I A # E cin = 1M 2 v 2 A + Mv A # $ A i,j ) ) # I A # =0 si A= cente de masse) ou si v A =0 point fixe) ) i AP ) j ) j ) +,- Si otation selon axe pincipal d inetie Δ pa un point fixe : E cin = 1 2 I #2 + -,

10 Roulement sans glissement su pente Enegie cinétique en utilisant le point A) : Enegie cinétique en utilisant le point ) : Enegie mécanique totale : Exemple : h E cin = 1 2 I A,y 2 = 1 2 I,y +MR 2 ) 2 E cin = 1 Mv I 2,y 2 = 1 MR I 2,y 2 E tot = E cin +E pot = 1 2 I A,y 2 t) +Mgz t) = constante A z^ v =0 x^ A ω = ωy^ v = ωrx^ la foce de fottement en A ne tavaille pas! v A =0) EPFL - M 10 R A ω = ωy^ z^ E tot = Mgh = 1 2 I A,y 2 # = 2Mgh I A,y x^

11 Dynamique du solide avec axe fixe Quand un axe de otation Δ est fixe et que l on ne s intéesse ni aux foces ni aux moments qui maintiennent cet axe fixe), il est utile de pojete le théoème du moment cinétique su cet axe : Pou tout point O su l axe Δ de diection u^ d L dt O = d L dt O # u ˆ M O ) = d dt I $% ) = I $ % = où &,) et F &,) de & et F & M O # u ˆ & F & ) # u ˆ & &,) F &,) u ) # ˆ & sont les composantes pependiculaies à u ˆ Exemple : pendule physique = solide soumis à la pesanteu et libe de se mouvoi autou d un axe fixe hoizontal I # = $,% & m $ g ) u ˆ $ I ) =,% & Mg ) u ˆ = * L Mg sin) ) = * L Mg sin) I Démo : Pendule simple # 483 EPFL - M 11 ω Démo : Pendule physique # 65 φ L Si toute la masse M est en I Δ = ML 2 ) : Mg axe Δ O = # g ˆ u L sin

12 Dynamique du solide avec axe fixe suite) Solide libe de toune autou d un axe fixe passant pa O ente de pecussion : point O su la doite O tel qu un choc pecussion) appliqué en ce point pependiculaiement à O) n engende aucune éaction épecussion) de l axe de otation su le solide Exemples et applications : Mateau : où le teni? Batte de baseball : où fappe la balle? Butée de pote : où l installe? gonds O aucune foce nécessaie en O pou gade le point O fixe foce execée pa le clou su le mateau O O pote mateau EPFL - M 12 butée placée au cente de pecussion : attention aux gonds mu O butée clou

13 alcul du cente de pecussion Batte de baseball fappée pa une balle avec une foce Ft) au cente de pecussion O pa appot à l emplacement des mains en O : Juste avant le choc t=0): v =0, ω=0 batte au epos) Juste apès le choc t=δt): v = ωd 0 & dp dt dl ) dt = F = M # p = # L = #t #t * $ F t) dt Mv = $ Ft) dt t =0 #t + $ M t) dt I % = d $ Ft) dt, t =0 #t Démo : ente de pecussion à épecussion nulle pendule) # 88 Pendule physique inteompu dans sa couse : Point O à l émité d une bae mince homogène de masse M et de longueu L : t = ML2 = I = Mdd= M L 2 d d= L 6 Pou fappe un solide sans se faie mal au poignet mateau, etc ), il faut teni le solide à une distance a = d + d du point de choc. EPFL - M 13 t =0 O d=l/2 d =L/6 d d O Ft) Mv d= I % O O I = Mdd L

14 Axes en otation : équations d Eule dl = M dt ˆ e 1ˆ e 2ˆ e 3 L = L iˆ e i avec L i = I i # i dl i I i = moments dinetie pincipaux = L dt iˆ e i +L iˆ e i ) = I i # iˆ e i +L i # $ e ˆ i ) = I i # iˆ e i + # $ L = point fixe du solide ou cente de masse) = epèe d inetie au point lié au solide) i # I 1 = I 2 % $ I & # + 1 & # I 2 % ) 1 1 & I 2 2 % $ 3 $ I 3 3 Théoème du moment cinétique pa appot à, en composantes dans le epèe d inetie : I 1 1 # I 2 # I 3 ) 2 3 = M, 1 I 2 2 # I 3 # I 1 ) 3 1 = M, 2 I 3 3 # I 1 # I 2 ) 1 2 = M, 3 i % Note : d & dt équations d Eule équations difféentielles couplées pou ω 1 t), ω 2 t) et ω 3 t) EPFL - M 14 L i = # L $ i constants* )