LA SPHERE Etude analytique

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1 LA SPHERE Etude analytique I) DEFINITION ET EQUATION D UNE SPHERE 1) Définition d une sphère. Dans tout ce qui va suivre, l espace euclidien (E) est muni d un repère R(O, i, j, k ) orthonormé. Soit Ω un point dans l espace (E), et r un réel positif. La sphère de centre Ω et de rayon r est l ensemble des points M dans (E), tels que ΩM = r ; On la note par : S (Ω,r). 2) Equation d une sphère. S (Ω,r) = {M E / ΩM = r} 2.1 Equation d une sphère définie par son centre et son rayon. Soit Ω(a, b, c) un point dans l espace et r 0 M(x, y, z) S (Ω,r) ΩM = r Exercice ΩM 2 = r² (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r² Soit Ω(a, b, c) un point dans l espace et r 0, la sphère S (Ω,r) à une équation cartésienne de la forme : (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r² (1) Déterminer l équation cartésienne de la sphère de centre Ω(1, 2,0) et qui passe par A(2,1, 1). 2.2 Ensemble des points. En développant l équation (1), on obtient : M(x, y, z) S (Ω,r) x 2 + y 2 + z 2 2ax 2by 2cz + a 2 + b 2 + c 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 (où α = 2a; β = 2b ; γ = 2c et δ = a 2 + b 2 + c 2 r 2 ) Chaque sphère dans l espace à une équation de la forme : x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 Inversement : Soit (Γ) = {M(x, y, z) (E)/x 2 + y 2 + z 2 + αx + βy + γz + δ = 0 } où α, β, γ et δ sont des réels donnés déterminer suivant les valeurs de α, β, γ et δ la nature de l ensemble (Γ). Applications : Déterminer les ensembles suivants : 1

2 (Γ 1 ) = {M(x, y, z) (E)/x 2 + y 2 + z 2 + 3x y z 1 = 0 } (Γ 2 ) = {M(x, y, z) (E)/x 2 + y 2 + z 2 x z + 10 = 0 } 2.3 La sphère définie par son diamètre. Soient A et B deux points distincts dans l espace (E). et S k = {M (E)/ AM. BM = k} où k est un réel donné. 1- Déterminer suivant les valeurs de k la nature de l ensemble S k 2- Etudier le cas k = 0. Soient A et B deux points distincts dans l espace (E). la sphère de diamètre [AB] est l ensemble des points M dans l espace qui vérifient : AM. BM = 0. Soient A(x A, y A, z A ) et B(x B, y B, z B ) déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB] Soient A(x A, y A, z A ) et B(x B, y B, z B ) deux points distincts dans l espace. la sphère de diamètre [AB] a une équation de la forme : (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) + (z z A )(z z B ) = La sphère circonscrit un tétraèdre L axe d un cercle. Soit (C) un cercle dans l espace de centre I et contenu dans le plan (P). La droite (Δ) qui passe par I et perpendiculaire à (P) s appelle l axe du cercle (C) Soit (C) un cercle de centre I et d axe (Δ), A et B deux points distincts du cercle (C). Montrer que M (Δ) MA = MB Le plan médiateur d un segment. Soit [AB] un segment de milieu I ; le plan (P) qui passe par I et perpendiculaire à (AB) s appelle le plan médiateur du segment [AB] Si (P) est le plan médiateur du segment [AB] alors : M (P) MA = MB 2

3 2.4.3 La sphère circonscrit au tétraèdre. Soit ABCD un tétraèdre dans l espace (E) ; (Γ) le cercle circonscrit le triangle BCD et (Δ) l axe du cercle (Γ), Soit (π) le plan médiateur du segment [BC]. Application : 1-Montrer que (Δ) coupe (π) en un point Ω 2- Montrer que ΩA = ΩB = ΩC = ΩD. Soit ABCD un tétraèdre dans l espace (E) ; il existe un seule sphère circonscrit le tétraèdre ABCD de centre Ω intersection du plan (π) médiateur du segment [AB] et de (Δ) axe du cercle circonscrit le triangle BCD Soient A(3,0,0), B(0,2,0) et C(0,0,3) déterminer l équation de la sphère circonscrit le tétraèdre OABC. II) POSITIONS RELATIVES D UNE SPHERE ET D UN PLAN. 1) Etude des positions relatives d une sphère et un plan. Soit S (Ω,r) une sphère dans l espace. o o L ensemble des points M dans l espace qui vérifient : ΩM r s appelle la boule fermée de centre Ω et de rayon r et on la note par B (Ω,r) L ensemble des points M dans l espace qui vérifient : ΩM > r s appelle l extérieur de la sphère S (Ω,r) Pour étudier les positions relatives d une sphère S (Ω,r) et d un plan (P) on étudie la distance de Ω à (P). Si d(ω, (P)) = d = ΩH > R Si d(ω, (P)) = d = ΩH = R Si d(ω, (P)) = d = ΩH < R quelconque sur le plan (P) alors : ΩM ΩH > R Donc,tous les point du plan (P) sont à l extérieure de la sphère D où : S (P) = On a H S et H (P) d où ; H S (P) quelconque sur le plan (P) différent de H alors : ΩM > ΩH = R Et alors tous les point du plan (P) à l exception de Hsont à l extérieure de la sphère. Finalement : S (P) = {H} On a : S (P) Soit M un point de cet intersection on a : le triangle ΩHM est rectangle en H donc (Pythagore) HM 2 = ΩM 2 ΩH² = R 2 d² (constante) D où : HM = R 2 d 2 S (P) = (Γ) le cercle de centre H et de rayon ρ = R 2 d 2 et qui est dans le plan (P) Soit S la sphère de centre Ω( 1,1) et de rayon 3, et (P): 2x y + z + 1 = 0 1- Ecrire une équation cartésienne de la sphère (S). 2- Montrer que la sphère (S) coupe le plan (P) suivant un cercle (Γ). 3- a) Déterminer le rayon de (Γ) 3

4 b) Déterminer les coordonnées du centre de (Γ) c) Ecrire une équation cartésienne de (Γ). 2) Le plan tangent à une sphère. Preuve : Un plan est tangent à une sphère s il la coupe en un seul point Un plan est tangent à une sphère S (Ω,R) si et seulement si d(ω, (P)) = R, et leur point tangent est le point H la projection orthogonale du point Ω sur le plan (P). Voir le deuxième cas dans l étude précédente. Soit S la sphère de centre Ω(0,1) et de rayon 2, et (P m ): x my + z + m = 0 ; 1- Déterminer m pour que le plan (P m ) soit tangent à la sphère S. 2- Déterminer le point tangent du plan (P m ) et de la sphère S. 3) L équation du plan tangent à l un de ses points. Soit la sphère S (Ω,R) et A un de ses points ; si (P) est le plan tangent à S en A alors (d après l étude précédente) A est la projection orthogonale de Ω sur (P), et donc ΩA est normal sur (P) par suite M(x, y, z) (P) AM. AΩ = 0 Soit la sphère S (Ω,R) et A un de ses points, l équation du plan tangent à S en A s obtient par l équivalence : M(x, y, z) (P) AM. AΩ = 0 Soit S la sphère de centre Ω(0,1) et de rayon R = 3 ; 1- Ecrire une équation cartésienne de S. 2- Considérons le plan (P): x y + 1 = 0 a) Etudier la position relative de (P) et S b) Déterminer les coordonnées de H la projection de Ω sur la sphère S. c) Déterminer une équation de (Γ) l intersection de (P) et S 3- a) Vérifier que A(3,1,3) est un point de S b) Ecrire l équation cartésienne du (Q) plan tangent à S en A c) Etudier la position relative de (Q) et (P). 4

5 II) POSITIONS RELATIVES D UNE SPHERE ET D UNE DROITE. 1) Etude des positions relatives d une sphère et d une droite. Pour étudier les positions relatives d une sphère S (Ω,r) et d une droite (D) on étudie la distance de Ω à (D). Si d(ω, (P)) = d = ΩH > R Si d(ω, (P)) = d = ΩH = R Si d(ω, (P)) = d = ΩH < R quelconque sur la droite (D) alors : ΩM ΩH > R Donc, tous les point de la droite (D) sont à l extérieure de la sphère D où : S (D) = On a H S et H (D) d où ; H S (D) quelconque sur la droite (D) différent de H on a alors : ΩM > ΩH = R Et alors tous les point de la droite (D) à l exception de Hsont à l extérieure de la sphère, finalement : S (D) = {H} (D) et S se coupe en deux points distincts A et B dont le milieu est H la rojection orthogonale de Ω sur la droite (D). S (D) = {A, B} Remarque : On dit que la droite (D) est tangente à la sphère S si elles se coupent en un point. Une droite (D) est tangente à une sphère S (Ω,R) si et seulement si d(ω, (D)) = R L ensemble des droites tangentes à une sphère S en l un de ses points, est le plan tangent à la sphère S en ce point. REPRESENTATION PARAMETRIQUE D UNE SPHERE On a : cosα = X d où X = ΩNcosα ΩN et sinφ = ΩN ΩM, or : ΩM = R et donc ΩN = Rcosφ Finalement : X = Rcosφ cosα Et d autre part : cos ( π 2 D où : Y = Rcosφ sinα α) = Y ΩN = Y Rcosφ Et on a : cos ( π φ) = Z donc Z = Rsinφ 2 R On utilisant la relation de Chasles on aura : OM = OΩ + ΩM x = Rcosφ cosα + a Donc : { y = Rcosφ sinα + b z = Rsinφ + c Où Ω(a, b, c) 5