Mathématiques - ECS1. 30 avenue de Paris Versailles. c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
|
|
- Bertrand Gravel
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Mathématiques - ECS1 12 Polynˆomes à une indéterminée Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris Versailles c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
2 12 Polynômes 12.1 Objectifs Ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K. Opérations algébriques. Degré. Ensembles K n [X] des polynômes à coefficients dans K de degré au plus n. Division euclidienne. Racines, ordre de multiplicité d une racine. Caractérisation de la multiplicité par factorisation d une puissance de (X a). Théorème de d Alembert-Gauss. Par convention deg(0) =. Multiples et diviseurs. Cas du trinôme. Résultat admis. Exemples simples de factorisation dans C[X] et R[X] de polynômes de R[X]. Les méthodes devront être indiquées Fonctions polynômes A toute liste (a 0, a 1,..., a n ) d un nommbre fini de réels, on associe l application La fonction p est appelée fonction polynôme. p : R R x a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Si p, q sont deux fonctions polynômes définies par p : R R, a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, et q : R R, x b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m on peut définir les fonctions polynômes p + q, pq par (p + q)(x) = p(x) + q(x), (pq)(x) = p(x) q(x), x R Si par exemple, m n, on aura pour x R et (p + q)(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x (a m + b m )x m + a m+1 x m + a n x n (pq)(x) = (a 0 b 0 )+(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+...+(a k b 0 +a k 1 b a 0 b k )x k +...+(a n b 0 +a n 1 b a n m b m )x n On obtient donc les coefficients de p + q et pq à partir de ceux de p et q en regroupant les coefficients des monômes en x de même degré. Remarque 1. On peut remplacer l ensemble R par l ensemble C et définir des fonctions polynômes complexes. 2
3 12.2 Fonctions polynômes 3 Objectif : L objectiif de ce chapitre est d étudier les principales propriétés d un objet (?) appelé polynôme et défini par une expression de la forme n a j X j j=0 où n N et (a 0, a 1,..., a n ) K n+1 avec K = R ou C et où X sera appelée l indéterminée. Dans toute la suite, K désignera R ou C Suites à support fini. Définition On dit qu une suite (a n ) est à support fini s il existe N N tel que pour tout n N, n N, a n = 0. En d autres termes, dire qu une suite est à support fini signifie qu elle est nulle à partir d un certain rang Polynômes à une indeterminée Définition Définition d un polynôme. On appelle polynôme à une indeterminée sur K toute expression de la forme a n X n où la suite (a n ) d éléments de K est à support fini. L élément a i s appelle coefficient d indice i du polynôme A = a n X n. Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls. s appelle le polynôme nul. On le note 0. Remarque 2. L expression X 0 désigne le polynôme constant 1. Remarque 3. Soit P un polynôme donné par P = a n X n. Comme la suite (a n ) est à support fini, il existe N N tel que a n = 0 pour tout entier n dès lors que n > N. On a alors P = a 0 X 0 + a 1 X a N X N. Les sommes de ce chapitre sont donc en fait des sommes finies. Remarque 4. On identifie les polynômes constants avec les scalaires : le polynôme ax 0 sera simplement noté a. n Remarque 5. On pourra, si besoin, identifier un polynôme P = a k X k avec la fonction polynôme associée définie sur K par p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Définition On appelle indéterminée, le polynôme noté X, dont le seul coefficient non nul est le coefficient d indice 1, qui est égal à 1.
4 4 Polynômes Définition (Définition de l égalité de deux polynômes). Deux polynômes A = a k X k et B = b k X k seront dits égaux si et seulement pour tout k N, a k = b k. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients d indice i pour tout i N. Définition (Définition de l addition de deux polynômes). Soient deux polynômes A = a k X k et B = b k X k. On appelle somme de A et B, et on note A + B, le polynôme dont le coefficient d indice n N est a n + b n. On a donc A + B = (a k + b k )X k. Définition (Définition du produit d un polynôme par un scalaire.). Etant donnés un polynôme A = a n X n et un scalaire λ K, on appelle produit de A par le scalaire λ, et on note λa, le polynôme dont le coefficient d indice n N est λa n. On a donc λa = λa n X n. Définition (Définitiondu produit de deux polynômes.). Soient deux polynômes A = a n X n et B = b n X n. On appelle produit de A et B, et on note AB, le polynôme dont le coefficient d indice n est c n = n a k b n k = 1 i, j n i+ j=n a i b j = a 0 b n + a 1 b n a n b 0. On a donc AB = c n X n où c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0, etc. Remarque 6. On a AB = BA : le produit des polynômess sur K est commutatif. C est clair n n d après la définition du produit puisque c n = a k b n k = b j a n j. ( j=n k) j=0 Proposition Quels que soient les polynômes A et B et l entier n 1, on a la formule du binôme n ( ) n (A + B) n = A k B n k k
5 12.2 Fonctions polynômes 5 Exercice 1. Soient les polynômes A = 1 + mx + ( ) m 2 X 2 + ( m 3) X X m et B = 1 mx + ( ) m 2 X 2 ( m 3) X ( 1) m X m. Exprimer le coefficient d indice p du produit AB. Quelles identités portant sur les coefficients binômiaux peut-on en tirer? Remarque 7. On a (AB)C = A(BC) quels que soient les polynômes A, B, C : le produit des polynômess sur K est associatif Degré d un polynôme Définition Soit P un polynôme défini par P = a k X k. Si P n est pas le polynôme nul, on appelle degré de P et on note deg P, le plus grand des indices des coefficients non nuls de P : deg P = max{k N a k 0} Si P est le polynôme nul, on adopte la convention deg 0 =. Définition Soit P un polynôme non nul de degré n N. Alors a n 0 et a n est appelé le coefficient dominant de P. Lorsque a n = 1, on dit que P est unitaire ou normalisé. n De plus, on peut écrire P = a k X k. Remarque 8. Lorsque l on manipule un polynôme P = oublier qu alors a n 0. n a k X k de degré n, il ne faut pas Exemple P = 1 + X + X 3 R[X] est unitaire de degré 3. Remarque 9. Soit n N. L ensemble des polynômes P de degré au plus n est noté K n [X]. On étend l addition de N et les relations et < à N { } de la façon suivante : pour tout n N, < n pour tout n N, ( ) + n = n + ( ) =, + ( ) =. Proposition Quels que soient les polynômes P et Q, on a deg(pq) = deg P + deg Q, deg(p + Q) max{deg P, deg Q}
6 6 Polynômes Corollaire Quels que soient les polynômes P, Q de K[X] : PQ = 0 si et seulement si P = 0 ou Q = 0. Corollaire Soient P, Q deux polynômes de K[X]. Si PQ = 1 alors P et Q sont des polynômes constants non nuls inverses l un de l autre Composition de deux polynômes Par convention, pour tout Q K[X], Q 0 désigne le polynôme constant égal à 1. Définition Soient P = a k X k et Q deux polynômes. On appelle polynôme composé de P et Q le poynôme noté P Q défini par P Q = a k Q k Exemple Si P = 1 + X et Q = X 2 alors P Q = 1 + X 2, Q P = (1 + X) 2 = 1 + 2X + X 2, P P = 2 + X. Proposition Si P et Q sont deux polynômes non nuls alors deg P Q = deg P deg Q Exercice 2. Soit A C[X] tel que A(X) = A( jx) avec j = e 2iπ/3. Montrer qu il existe P C[X] tel que A = P(X 3 ) Dérivation dans K[X] Définition Définition Soit P = a k X k un polynôme. On appelle polynôme dérivé de P le polynôme noté P défini par P = (k + 1)a k+1 X k Si P est constant alors P = 0 et si P est non constant, en notant d = deg P 1, on a d 1 d P = (k + 1)a k+1 X k = ka k X k 1. k=1
7 12.4 Division euclidienne dans K[X] 7 Exemple Si P = 3X 5 + 4X 2 + X + 7 alors P = 15X 4 + 8X + 1. Proposition Quelque soit les polynômes P et Q, et le scalaire λ K on a : (1) (P + Q) = P + Q (2) (λp) = λp (3) (PQ) = P Q + PQ Proposition Quelque soit le polynôme P et l entier naturel n 1, on a (P n ) = np P n 1 Proposition Quelque soit les polynômes P et Q, on a (P Q) = Q (P Q) Définition Soit P un polynôme et k N. On appelle polynôme dérivé d ordre k du polynôme P le polynôme noté P (k) défini par récurrence de la manière suivante : P (0) = P et k N, P (k) = (P (k 1) ) Formule de Leibniz. Soit P et Q deux polynômes et n N. n ( ) n (PQ) (n) = P (k) Q (n k) k 12.4 Division euclidienne dans K[X] Division euclidienne Définition On dit que le polynôme B divise le polynôme A ou que A est un multiple de B ou que B est un diviseur de A s il existe un polynôme C tel que A = BC. Le polynôme C est alors appelé le quotient de A par B. Exemple X 1 divise X 3 1 car X 3 1 = (X 1)(X 2 + X + 1) Exemple X divise X 4 1 car X 4 1 = (X 2 1)(X 2 + 1) Théorème de la division euclidienne. Soient A, B deux polynômes avec B 0. Il existe un unique couple (Q, R) K[X] 2 tel que A = BQ + R, deg R < deg B
8 8 Polynômes Le polynôme A s appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste. Pratique de la division euclidienne 4X 3 3X 2 + X 4 X + 2 ( 4X 3 8X 2 ) 4X 2 + 5X X 2 + X 4 (5X X) 0 9X 4 ( 9X 18) 14 Exercice 3. Faire la division euclidienne de 4X 4 + X 3 2X 2 5 par 2X 2 + X + 1. Exercice 4. Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes d un même polynôme P par X a et X b avec a b. Trouvez le reste de la division euclidienne de P par (X a)(x b) Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine Racines d un polynôme. Caractérisations. Définition Soit P un polynôme et α K. On dit que α est racine de P si P(α) = 0. Exemple Le polynôme X considéré dans R[X] n a pas de racine. Considéré dans C[X], X possède deux racines : i et i. Proposition Soit P un polynôme et α K. Le reste de la division euclidienne de P par X α est P(α). Théorème. Soit P un polynôme et α K. On a l équivalence : P(α) = 0 si et seulement si X α divise P. Définition Soit P un polynôme, r N et α K tel que P(α) = 0. On appelle ordre de multipicité de la racine α l entier naturel r tel que (X a) r divise P mais (X a) r+1 ne dvise pas P.
9 12.5 Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine. 9 Autrement dit, α est d ordre de multiplicité r si on peut factoriser P par (X a) r mais pas par (X a) r+1. Théorème. Soit P un polynôme, r N et α K tel que P(α) = 0. Le scalaire α est racine de P d ordre de multiplicité r si seulement si il existe Q K[X] tel que P = (X a) r Q et Q(α) 0. Exercice 5. Soit A = 2X 4 4X 3 + 4X 2. Trouver l ordre de multiplicité de la racine 1. Exercice 6. On admet l irrationalité de 2. Soit P un polynôme à coefficients rationnels tels que P( 2) = 0. Montrer que ( 2) est aussi racine de P avec le même ordre de multiplicité. Exercice 7. Soit n N. Montrer que 1 + X + X n n a que des racines simples Racines n-èmes d un nombre complexe non nul où n 2. Définition Soit n N. Les racines n me de l unité sont les racines dans C du polynôme X n 1. Les racines n me de l unité sont les solutions dans C de l équation z n = 1. Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement z = 1 et z peut donc se mettre sous la forme e iθ. L équation z n = 1 devient alors e inθ = 1. e inθ = 1 nθ est de la forme 2kπ où k Z θ est de la forme 2kπ n où k Z Les solutions de l équation z n = 1 sont donc les nombres complexes de la forme e 2ikπ n k Z. Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème. Pour k Z, posons z k = e 2ikπ n. A quelle condition deux de ces nombres sont-ils égaux? Soient m, m deux entiers relatifs : z m = z m e 2imπ n = e 2im π n e 2i(m m )π n = 1 il existe l Z, m m = ln Par conséquent, si la différence des indices m m est multiple de n, les nombres complexes z m, z m sont égaux. où
10 10 Polynômes Si les deux indices m, m sont tels que 0 m < m n 1 (c est à dire tous deux compris entre 0 et n 1 mais distincts) il est impossible pour m m d être un multiple entier de n et donc z m et z m sont distincts. Les nombres complexes z 0, z 1,..., z n 1 sont donc des solutions deux à deux distinctes de l équation z n = a. Il y a donc au moins n solutions. Soit un indice k Z. Par division euclidienne, il existe un quotient q Z et un reste r avec 0 r n 1 tel que k = nq + r. On a alors z k = e 2i(nq+r)π n = e 2irπ n +2iqπ = e 2irπ n = z r On vient de montrer que tout nombre complexe solution est égal à l un des nombres complexes z 0, z 1,..., z n 1 et il y a donc au plus n solutions à l équation z n = 1. Il y a donc exactement n racines n me de l unité. Théorème et définition. Etant donné un entier n N, il y a exactement n nombres complexes z tels que z n = 1. Ces nombres sont appelés les racines n-èmes de l unité. Ce sont les nombres complexes suivants : z k = e 2ikπ n ) où 0 k n 1. Exemple Racines n-èmes de l unité pour n = 2, 3 et Théorème de D Alembert-Gauss et factorisations. Théorèm de d Alembert-Gauss. Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine dans C. Corollaire Soit P C[X] de degré deg P = n 1. n Il existe alors λ C et x 1, x 2,..., x n C tels que P = λ (X x k ). k=1 En tenant compte des ordres de multiplicité des racines, tout polynôme non constant de C[X] s écrit sous la forme s P = λ (X z k ) r k k=1 avec λ C, z 1,..., z s des nombres complexes deux à deux distincts et r 1,..., r s des entiers naturels non nuls tels que r r s = n. On énonce aussi : Théorème. Tout polynôme non constant de C[X] de degré n admet n racines dans C, si chacune d elles est comptée avec son ordre de multiplicité. n 1 Exemple X n 1 = (X e 2ikπ n )
11 12.5 Racines d un polynôme. Ordre de multiplicité d une racine. 11 Exemple X 4 2X = (X 2 1) 2 = (X 1) 2 (X + 1) 2 Corollaire Si P C[X] est un polynôme de degré inférieur ou égal à n ayant au moins n + 1 racines dans C alors P est le polynôme nul. Proposition Soit P C[X]. P R[X] si et seulement si pour tout z C, P(z) = P(z) Proposition Soit P R[X]. Si P admet a C pour racine d ordre de multiplicité r alors P admet aussi a C pour racine d ordre de multiplicité r. Proposition Tout polynôme non constant de R[X] s écrit sous la forme r s P = λ (X x i ) α i (X 2 + p j X + q j ) β j i=1 j=1 où x 1,..., x r sont les racines réelles distinctes de P, α 1,..., α r leur ordre de multiplicité respectifs, (p 1, q 1 ),..., (p s, q s ) des couples de réels tels que pour tout j 1, s, p 2 j r s 4q j < 0 et β 1,..., β s des entiers naturels tels que α i + 2 β j = deg P i=1 j=1 Exercice 8. Soit P R[X], deg P = n 1 et P(k) = 1 k Calculer P(n + 2). pour tout k {1, 2,..., n + 1} Factorisation du trinôme bicarré Soient p, q deux réels et le polynôme P(X) = X 4 + px 2 + q. Posons T(X) = X 2 + px + q et = p 2 4q, on a donc P(X) = T(X 2 ). La factorisation de P dépend alors de celle de T : si > 0 alors T possède deux racines réelles distinctes t 1, t 2 et T(X) = (X t 1 )(X t 2 ) de sorte que P(X) = (X 2 t 1 )(X 2 t 2 ). La factorisation complète dépend alors des signes de t 1 et t 2. si = 0 alors T possède une racine réelle double t et T(X) = (X t) 2 de sorte que P(X) = (X 2 t) 2 La factorisation complète dépend alors du signe de t. si < 0 alors on commence par écrire P(X) = (X 2 + q) 2 (2 q p)x 2 et on poursuit avec l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) puisque 2 q p > 0.
12 12 Polynômes 12.6 Exercices. Calculs algébriques. Exercice 9. Calculer les produits (X 3 + X 2 X 1)(X 2 2X 1) et (2X 4 X 3 + X 2 + X + 1)(X 2 3X + 1) Exercice 10. Déterminer des polynômes P n, Q n, R n tels que n (X 2 2 cos αx + 1) sin(kα)x n k = P n (X) sin α + Q n (X) sin(nα) + R n (X) sin((n + 1)α) k=1 Exercice 11. Trouver les polynômes P solutions de l équation (1 X)P P = X n On pourra interpréter le membre de gauche comme un polynôme dérivé. Exercice 12. On pose P 0 = 1, P 1 = X et pour tout n N, P n+2 = XP n+1 P n. (1) Montrer que pour tout n N n 2 ( ) n i P n = ( 1) i i (2) Quel est le degré de P n? (3) Etudier la parité de P n. i=0 X n 2i Exercice 13. Montrer que pour tout réel a, cos 3a + 4 cos 2a + 8 cos a Exercice 14. Soit g la fonction définie sur R par : sin x si x 0 g : x x 1 si x = 0 (1) Montrer que g est de classe C 1 sur R et déterminer g (x) pour tout x réel. (2) Montrer qu il existe deux polynômes P n et Q n tels que pour tout n 1 et pour tout x non nul, on ait : g (n) (x) = P n(x) sin (n) (x) + Q n (x) sin (n+1) (x) x n+1 où f (k) (x) désigne la dérivée k-ième de la fonction f. (On déterminera une expression de P n+1 et Q n+1 en fonction de P n et Q n.)
13 12.6 Exercices. 13 (3) Montrer que P n et Q n sont à coefficients dans Z. Préciser le degré, la parité et le coefficient du terme de plus haut degré de chacun de ces polynômes. (4) En écrivant que sin(x) = x.g(x), déterminer deux nouvelles relations entre P n, Q n, P n+1, Q n+1. En déduire que P n = Q n. Exercice 15. Soient a, b, c trois nombres complexes de modules deux à deux distincts. On suppose que pour tout p {1, 2, 3}, a p + b p + c p R. Montrer que a, b, c sont réels. (On pourra considérer P = (X a)(x b)(x c) et montrer que P R[X]) Division euclidienne, racines, problèmes de factorisation. Exercice 16. Déterminer le reste de la division euclidienne de (a) (cos α + sin αx) n par X (b) (cos α + sin αx) n par (X 2 + 1) 2 Exercice 17 (Calcul de puissance de matrice). Soit t C et A la matrice 0 t t 2 1 A = t 0 t (1) Exprimer A 2 en fonction de A et I 3 1 t 2 1 (2) Soit n N tel que n 2. Effectuer la division euclidienne de X n par X 2 X 2. (3) Exprimer alors A n en fonction de A et I 3. t 0 Exercice 18 (Calcul de puissance de matrice). Calculer, pour tout entier n, la matrice A n où A = sachant que A 2 s exprime en fonction de A et I 3. Exercice 19. Pour tout n N, montrer que le polynôme P = (X 3) 2n + (X 2) n 1 est divisible par (X 3)(X 2) et former le quotient. Exercice 20. Soient m, n, p des entiers naturels. Montrer que le polynôme X 3m+2 + X 3n+1 + X 3p est divisible par X 2 + X + 1.
14 14 Polynômes Exercice 21. Pour quels entiers naturels non nuls n le polynôme P = (X 1) n (X n 1) a-t-il une racine double? Exercice 22. Soit P le polynôme P(X) = X 6 2X 5 3X 4 + 8X X 2 32X (1) Montrer que 1 est racine double de P puis déterminer le polynôme Q tel que P(X) = (X 1) 2 Q(X). (2) Déterminer les racines de Q dans C. (3) Factoriser le polynôme P dans R[X]. Exercice 23. Factoriser dans C[X] les polynômes X , X 2n + X n + 1 et X 4 + 4X 3 + 4X Exercice 24. Factoriser dans C[X] les polynômes (X 2 + 1) 3 + (X 1) 6 et 1 + 2X + 2X X n 1 + X n. Exercice 25. Sachant que 2+3i est racine du polynôme P(X) = X 4 2X 3 +6X 2 +22X+13, factoriser ce polynôme dans R[X]. Exercice 26. Factoriser dans R[X] les polynômes X 4 + 1, X 4 + X 2 + 1, X 8 + X Exercice 27. Soit n N et P = 1 (( 1 + i ) n 2i n X (1 i ) n ) n X. Quel est le degré de P? Montrer que ses coefficients sont réels et que ses racines aussi. Le factoriser. Exercice 28. Une suite (P n ) de fonctions polynômes réelles est définie par la donnée de P 0 : x x et la relation de récurrence : n N, x R, P n+1 (x) = (n + 1) (1) Déterminer P 1, P 2, P 3 et P 4. x 0 ( P n (t)dt + x 1 (n + 1) 1 0 ) P n (t) dt (2) Montrer que, pour tout n, P n est l unique fonction polynôme vérifiant les deux conditions : P n (0) = 0, et x R, P n (x) P n (x 1) = x n
15 12.6 Exercices. 15 (Pour la suite donnée dans l énoncé, on calculera P n+1 (0), P n+1 (1) et on calculera P n+1 (x) P n+1 (x 1)) On note encore P n le polynôme associé à la fonction polynôme P n. (3) Montrer que, pour tout n N, le polynôme P n est divisible par X(X +1). Factoriser les polynômes P 1, P 2 et P 3. (4) Montrer que le polynôme P n est de degré n + 1 ; calculer son coefficient dominant, ainsi que le coefficient du terme en X n. (5) Montrer que, pour tout n N et tout p N, on a P n (p) = p k n. k=1 Exercice 29. Déterminer tous les polynômes P R[X] vérifiant P(0) = 0 et P(X 2 + 1) = P(X) On pourra considérer la suite définie par u 0 = 0 et pour tout n N, u n+1 = u 2 n + 1. Exercice 30. Soit A et B deux matrices 2 2 à coefficients dans Z telles que A, A+ B, A+ 2B, A + 3B et A + 4B soient toutes inversibles et leurs inverses sont à coefficients dans Z. Montrer que pour tout réel k, la matrice A + kb est inversible à coefficient dans Z. Exercice 31. Soit l ensemble E défini par E = { P R[X] n(n 1)P = (X 2 1)P } où n est un entier tel que n 2. (1) Montrer que si P E alors deg P = n. (2) Déterminer E. n 1 ( ) kπ Exercice 32 (Produit de sinus). L objectif est de simplifier le produit sin. n (1) Résoudre dans C l équation (z + 1) n 1 = 0 (2) En déduire la factorisation dans C[X] du polynôme (X + 1) n 1. (3) En calculant de deux façons le coefficient du terme de degré 1 de (X + 1) n 1, n 1 ( ) kπ simplifier le produit sin n k=1 k=1 Exercice 33 (Oral ESCP, 2014). Cet exercice propose de déterminer, par différentes méthodes, les polynômes réels P tels que P divise P.
16 16 Polynômes (1) Déterminer tous les polynômes P R[X] de degré 2 tels que P divise P. (2) Soit P R[X] ( de degré n. Montrer que si P divise P, alors il existe α R tel que : X ) P(X) = n + α P (X) (3) Méthode 1. Soit P R[X] tel que P divise P. (a) Pour k N, déduire de la question 2. une relation de récurrence entre P (k) et P (k+1), où P (k) désigne la dérivée k-ième de la fonction polynomiale identifiée à P. (b) En déduire tous les polynômes P R[X] tels que P divise P. (4) Méthode 2. (a) Déterminer( toutes les fonctions f : R R dérivables sur R telles que x x ) R, f (x) = n + α f (x) (b) En déduire tous les polynômes P R[X] tels que P divise P. (5) Méthode 3. Soit P(X) = n a k X k un polynôme de R[X] de degré n N, tel que P divise P. (a) Établir une relation de récurrence entre les coefficients de P (on pourra utiliser la question 2.). (b) En déduire les polynômes P R[X] solutions. Quelques exercices sur des polynômes classiques. Exercice 34 (Polynômes de Lagrange). Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et a 1,..., a n des réels deux à deux distincts. (1) Déterminer un polynôme L 1 R n 1 [X] tel que L 1 (a 1 ) = 1 et pour tout j 2, n, L 1 (a j ) = 0. (2) Soient y 1,..., y n des nombres réels. Montrer qu il existe un et un seul polynôme L de R n 1 [X] tel que pour tout j 1, n, L(a j ) = y j. Exercice 35. Dans cet exercice, on propose quelques applications de la formule d interpolation à l aide des polynômes de Lagrange. n Soit P(X) = a k X k un polynôme de C[X], h C et m C. On pose L k (X) = 0 j n j k ( ) X m jh. (k j)h (1) En reprenant l exercice vu en cours sur les polynômes de Lagrange, montrer que n P(X) = P(m + kh)l k (X). On dit qu on a interpolé le polynôme P aux points m, m + h, m + 2h,..., m + nh.
17 12.6 Exercices. 17 (2) En déduire la formule n ( ) n ( 1) n k P(m + kh) = n!a n h n. k (3) Utiliser le résultat précédent pour simplifier les sommes s p = p = 0, 1, 2..., n 1 et n. n ( ) n ( 1) k k p pour k (4) En interpolant le polynôme Q(X) = X n aux points 0, 1, 2 n, 3 n,..., n n et à l aide de (3), simplifier la somme n ( ) n s n+1 = ( 1) k k n+1. k Exercice 36 (Polynomes de Bernoulli). Soit n N et (E n ) l équation F(x + 1) F(x) = nx n 1 d inconnue la fonction F : R R. (1) Montrer que si P est un polynôme solution de (E n ) alors deg P = n. (2) Montrer que si P, Q sont deux polynômes solutions de (E n ) alors P Q est constant. (3) Montrer que si P est solution de (E n ) alors 1 n P est solution de (E n 1 ). (4) On pose B 0 = 1 et on définit B n pour n 1 par récurrence : B n est le polynôme tel que B n (x + 1) B n (x) = nx n 1, B n = nb n 1. Calculer B 1, B 2, B 3, B 4. (5) Calculer 1 0 B n (x)dx. (6) Montrer que pour tout entier k 1, B (k) n! n = (n k)! B n k (7) Pour k N, on pose β k = B k (0). Exprimer B n en fonction des β k pour 0 k n. n ( ) n + 1 (8) Montrer que β k = 0. k (9) Montrer que B n (X) = ( 1) n B n (1 X). En déduire le calcul des β 2p+1 et des B 2p+1 ( 1 2 ).
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détail3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailMathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail