LA PROJECTION DANS LE PLAN
|
|
|
- Gauthier Clermont
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 LA PROJECTION DANS LE PLAN La projection dans le plan 1 I) PROJECTION SUR UNE DROITE 1-Projection d'un point sur une droite 1.1 Introduction: Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, et M un point du plan. Par le point M passe une seule parallèle à (Δ) et donc coupe la droite (D) en un point unique M. Le point M s'appelle la projection du point Msur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, et M un point du plan. La projection du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) est le point M intersection de la droite (D) et de la parallèle à (Δ) passante par le point M Si M est un point de la droite (D) alors sa projection sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) est luimême. Si on remplace la droite (Δ) par une droite parallèle à (Δ), l'image du point M ne varie pas. On dit que M est la projection du point M dans la direction de (Δ) 1.2 La projection sur une droite parallèlement à une autre Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, la façon par laquelle on associe un point M du plan par sa projection M sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) s'appelle la projection sur la droite (D) parallèlement à (Δ) 1. La projection orthogonale sur une droite La projection sur la droite (D) parallèlement à une droite orthogonale sur (D) s'appelle la projection orthogonal sur (D). La projection d'un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite Orthogonale sur (D) s'appelle la projection orthogonale sur (D) Tous point de (D) est confondu par sa projection sur (D) parallèlement à (Δ). Si un point M est confondu par sa projection sur (D) parallèlement à (Δ) alors M est un point de (D) Vocabulaire: Si la projection du point M sur la droite (D) parallèlement à une droite (Δ) est lui-même on dit que le point M est invariant par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) La droite (D) est invariante par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) 1. Propriétés: Propriété1: L'ensemble des points invariants par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) est la droite (D)
2 2 Propriété2: Soit A un point de la droite (D) L'ensemble de point qui ont la même projection A sur (D) parallèlement à (Δ) est la droite passante par A et parallèle à (Δ) 1. La projection d'une forme: Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, (F) une forme du plan (F ) une partie de la droite (D). On dit que (F ) est l'image de (F) par la projection Sur la droite (D) parallèlement à (Δ) si et seulement si: La projection de chaque point de (F) sur (D) parallèlement à (Δ) appartient à (F ) Chaque point de (F ) est la projection d'au moins d'un point de (F) sur (D) parallèlement à (Δ) 1.5 Projection d'un segment: Propriété1: Soient A et B deux ponts distincts du plan, et A et B sont leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ), la projection du segment [AB] est le segment [A B ]. Si la droite (AB) est parallèle à (Δ) alors l'image du segment [AB] est le segment nul [A A ] Propriété 2: Si A et B sont les projections respectives de A et B sur une droite (D) parallèlement à une droite (Δ) alors la projection du point I milieu du segment [AB] est le point I' milieu de [A B ] On dit que la projection sur une droite (D) parallèlement à une droite (Δ) conserve le milieu. II) THEOREME DE THALES 1-Théorème de Thales: Propriété vectorielle 1.1 Rappelle théorème de thales Théorème directe: Soient (D) et (D ) deux droites du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; soient A, B et C trois points de la droite (D ). Si (AA )// (BB )//(CC ) alors AC = A C AB A B Théorème inverse: Soient (D) et (D ) deux droites du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; soient A, B et C trois points de la droite (D ). Si (AA )// (BB ) et AC et les points A, B et C et les points A, B et C sont dans le même ordre alors (AA )// (BB )//(CC ) = A C AB A B 1.2 théorème de Thales version vectorielle Activité: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes dans le plan. A, B, C et E quatre point du plan tels que A B A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ) 1. On suppose que les points A, B et C sont alignés et que AC = αab ; montrer que A C = αa B
3 2. On suppose que AB = CE ; montrer que A B = C E. On suppose que AB = αce ; montrer que A B = αc E Théorème de Thales version vectorielle Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; Si A, B et C sont les projections de A, B et C respectivement sur (D) parallèlement à (Δ) et AC = αab alors A C = αa B Projection et égalité de deux vecteurs: A, B, C et E quatre points du plan et A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ). si AB = CE alors A B = C E Projection et coefficient de colinéarité de deux vecteurs: A, B, C et E quatre points du plan et A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ). si AB = αce alors A B = αc E On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs Exercice: Soient ABC un triangle, I milieu de [BC] et E et F deux points tels que AE = 1 AB et AF = AC considérons J intersection de (AI) et (EF) et B et C les projections de B et C respectivement sur (AI) parallèlement à (EF) 1) Montrer que I est milieu de [B C ] 2) Montrer que AJ = 1 AB et AJ = AC ) Montrer que 2AI = AB + AC en déduire AI en fonction de AJ 1. Résultas La projection et la distance Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, la projection sur la (D) parallèlement à la (Δ) ne conserve pas la distance. Autrement dit si A et B sont les projections respectives de A et B alors A B n'est pas nécessairement égale à AB A B = AB si et seulement si (A B) et (AB) (D) Projection et axes Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, (L) une droite non parallèle à (Δ) (O, I) un repère sur (L) et O et I sont les projections respectives de O et I sur (D) parallèlement à (Δ); soit M est un point sur la droite (L) si M a pour abscisse x sur l'axe (O, I) et M sa projection sur (D) parallèlement à (Δ) alors x est l'abscisse de M sur l'axe (O, I ). 1. Théorème de Thales réciproque version vectorielle Théorème: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B et C trois points sur (L) tels que A B et AC = αab si A et B sont les projections respectives de A et B et A C = αa B alors C est la projection de C sur la droite parallèlement à (Δ) Preuve: il suffit de considérer C 1 est la projection de C sur (D)parallèlement à (Δ) et de démontrer que C 1 = C
4 1.5 La projection et la somme de deux vecteurs Activité: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B, C, D et F des points du plan de projections respectives A, B, C, D et F et qui vérifient AB + CD = EF ; soit S un point tel que CD = BS 1) Montrer que C D = B S et que E F = A S 2) En déduire que A B + C D = E F. Propriétés: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B, C, D et F des points du plan de projections respectives A, B, C, D et F si AB + CD = EF alors A B + C D = E F 1.6 L'abscisse de la projection orthogonale Propriété: Si H est la projection orthogonale d'un point M sur un axe D(O, I) (OI = 1) et α la mesure de l'angle [IOM ] alors l'abscisse du point H est OM cos(α) si 0 α 90 OM cos(180 α) si 90 α 180
5 5 Exercice1: Soient ABC un triangle et D un point du plan tel que AD = 2 AC le point E est la symétrique du point A par rapport à B, soit O le point intersection des droites (ED) et (BC) Montrer que O est le milieu du segment [BC]. Exercice2: Soient ABC un triangle, I milieu du segment [BC] et D et J eux points tels que AD = BC et AJ = 2 AC soit E la projection u point J sur (BC) parallèlement à (AB) Montrer que JE = 1 AB et IE = 1 BC 6 La droite (BD) coupe les droites (EJ) et (AC) en F et K réspectivement. Montrer que BD = 6KF Exercice: Soient ABC un triangle et I et J deux points définies par: AI = 2 AC et AJ = 2 AB Montrer que J est la projection de I sur (AB) parallèlement à (BC) soit M le milieu du segment [BC], la droite (AM) coupe (IJ) en G a) Montrer que AG = 2 AM b) Que représente le point G pour le triangle ABC. Exercice: Soient ABC un triangle et A et B les milieux respectives des segments [BC] et [AC].Soit G le pont d'intersection des droites (AA ) et (BB ); la droite passante par A et parallèle à (BB ) coupe (B C) en I Monter que I est milieu du segment [B C] Montrer que AG = 2 AA En déduire que GA + GB + GC = 0 Montrer que les médiatrices du triangle ABC se coupent en G (centre de gravité de C ) soit G est la projection de G sur (BC) parallèlement à (AB) et G est la projection de G sur (BC) parallèlement à (AC); Montrer que BG = G G =G B Exercice5: Soient ABC un triangle dont les trois angle aigus. soient D la projection orthogonale de B sur (AC) et J la projection orthogonale de D sur (AB) et F la projection orthogonale de E sur (AC). Construire la figure Montrer que (EF) (BD) et (JD) (CE) Prouver que AB AF = AC AJ (BC) (JF) EXERCICES SUR LES PROJECTIONS Exercice6: Soit ABCD un parallélogramme de centre O; on considère les points M et P tels que: DP = 2 DB et PM = PC Montrer que AM = 2OP et OP = 1 OB En déduire que AM = 1 DB = PB Soit H est la projection de M sur (AB) parallèlement à (BC); Montrer que AH = 1 AB et que (AC) (HP) La droite (HP) coupe la droite (AM) en I; montrer que I est milieu du segment [AM] Soit J le point d'intersection de (PM) et (AB) ; montrer que J est milieu du segment [PM] Exercice7: Soit ABCD un parallélogramme de centre O; on considère les points J tel que: AJ = 2 AC et E la projection de J sur (BC) parallèlement à (AB) Montrer que CE = 1 CB puis JE = 1 AB Exercice8:Soient ABC un triangle et I un point définie par: AI = AB Soient J la projection de I sur (BC) parallèlement à (AC) et K la projection de J sur (AC) parallèlement à (AB) Montrer que CK = CA Soit H la projection de K sur (AB) parallèlement à (BC); Montrer que BH = AI Exercice9: Soit ABCD un trapèze de base [AB] et [CD], soient I milieu de [AD] et J milieu de [BC] et M la projection de J sur (DC) parallèlement à (BD) Montrer que IM = NJ En déduire que segments [MN] et [IJ] ont le mêmes milieu Exercice10: Soient ABCD un quadrilatère convexe et M un point tel que BM = 1 BA, soient N est la projection de M sur (BC) parallèlement à (AC) et P est la projection de N sur (DC) parallèlement à (DB) DP = 1 DC Soit Q un point tel que DQ = 1 DA ; Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Activités numériques [13 Points]
![Activités numériques [13 Points]](/thumbs/21/1117704.jpg "Activités numériques [13 Points]")
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Quelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Exercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Géométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Le seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Chapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Deux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
INFORMATIONS DIVERSES
Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Chapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
PARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire
Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Stéphanie Demonchaux To cite this version: Stéphanie Demonchaux. Étude des formes de pratiques de la gymnastique
Vecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Livret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Correction du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure.
Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa microstructure Sylvain Meille To cite this version: Sylvain Meille. Étude du comportement mécanique du plâtre pris en relation avec sa
Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $'
!" #$#% #"& ' ( &)(*"% * $*' )#""*(+#%(' $#),")- '(*+.%#"'#/* "'") $' &!*#$)'#*&)"$#().*0$#1' '#'((#)"*$$# ' /("("2"(' 3'"1#* "# ),," "*(+$#1' /&"()"2$)'#,, '#' $)'#2)"#2%#"!*&# )' )&&2) -)#( / 2) /$$*%$)'#*+)
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Port de Saint Laurent du Var - Barème des redevances Année 2013 1/10
Port de Saint Laurent du Var - Barème des redevances Année 2013 1/10 ANNEXE AU CAHIER DES CHARGES DE LA CONCESSION OCTROYEE AU YACHT CLUB INTERNATIONAL DE SAINT LAURENT DU VAR POUR L ETABLISSEMENT ET L
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
La médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Le centre de gestion a le plaisir de vous adresser les statistiques professionnelles élaborées à partir des dossiers de gestion 2013.
Statistiques 2013 3, rue de Lyon B.P. 531 71010 MACON CEDEX Tél. 03.85.21.90.60 Télécopie 03.85.21.90.69 E-mail : contact@cgai-macon.fr Agrément de la Direction Régionale des Impôts n 1.02.710 du 6 mars
Mesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7
LE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Calcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
VMware ESX : Installation. Hervé Chaudret RSI - Délégation Centre Poitou-Charentes
VMware ESX : Installation VMware ESX : Installation Créer la Licence ESX 3.0.1 Installation ESX 3.0.1 Outil de management Virtual Infrastructure client 2.0.1 Installation Fonctionnalités Installation Virtual
Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI
Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI Jean-Pierre Dedieu To cite this version: Jean-Pierre Dedieu. Les intermédiaires privés dans les finances royales
Peut-on perdre sa dignité?
Peut-on perdre sa dignité? Eric Delassus To cite this version: Eric Delassus. Peut-on perdre sa dignité?. 2013. HAL Id: hal-00796705 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00796705 Submitted
Endroit Texte existant Proposition Observations Index des 30 occurrences
Annex 05, page 1 Proposition FR pour éliminer le mot "divers(e, es)" de la version française de la CIB Mai 2003 dans la colonne "Observations" indique que nous sommes d'accord avec la solution proposée
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE
Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une
Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
SPECIFICATION DES ECHANGES DE DONNEES INFORMATISES (E.D.I.)
SPECIFICATION DES ECHANGES DE DONNEES INFORMATISES (E.D.I.) Dernière mise à jour : octobre 2013 Ce document a pour objectif de décrire ce que l OPCA (OPCA 3+) attend du fichier à transmettre par l adhérent.
Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
+, -. / 0 1! " #! $ % % %! &' ( &))*
!"#!$%% +,-. /01 %!&'(&))* 23%#!! " # " " " "$! 4 5-6 4! 1! " # - 5! " # 6 3! " # 7! " # " 8! 9 : ; 5 7 4! 1! # 42 5! 5 < 44 3! # " 7! 41 5 8 '9 4! " $ = " > 4!4 *% 43 4!1? 48 4 4!5 $ 9 4!3 4@ 4!7 $ #
Statistiques Exercice 2011
Statistiques Exercice 2011 Bénéfices Industriels et Commerciaux MISE EN GARDE AUX UTILISATEURS Les informations consignées dans ce fascicule sont communiquées à titre indicatif et ne peuvent être considérées,
Documentation SecurBdF
Documentation SecurBdF SECURBDF V2 Protocole de sécurité de la Banque de France SecurBdF V2 DIRECTION DE L'INFORMATIQUE ET DES TÉLÉCOMMUNICATIONS Sommaire I 1 Contexte... 1 2 Références... 1 3 Cadre...
Polynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
L ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Proposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Sommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008 Pondichéry avril 2007................................................. 3 Amérique du Nord juin 2007......................................... 7 Antilles
Statistiques Exercice 2012
Statistiques Exercice 2012 Bénéfices Industriels et Commerciaux MISE EN GARDE AUX UTILISATEURS Les informations communiquées dans ce fascicule sont communiquées titre indicatif et ne peuvent être considérées,
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =