LA PROJECTION DANS LE PLAN

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1 LA PROJECTION DANS LE PLAN La projection dans le plan 1 I) PROJECTION SUR UNE DROITE 1-Projection d'un point sur une droite 1.1 Introduction: Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, et M un point du plan. Par le point M passe une seule parallèle à (Δ) et donc coupe la droite (D) en un point unique M. Le point M s'appelle la projection du point Msur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, et M un point du plan. La projection du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) est le point M intersection de la droite (D) et de la parallèle à (Δ) passante par le point M Si M est un point de la droite (D) alors sa projection sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) est luimême. Si on remplace la droite (Δ) par une droite parallèle à (Δ), l'image du point M ne varie pas. On dit que M est la projection du point M dans la direction de (Δ) 1.2 La projection sur une droite parallèlement à une autre Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, la façon par laquelle on associe un point M du plan par sa projection M sur la droite (D) parallèlement à la droite (Δ) s'appelle la projection sur la droite (D) parallèlement à (Δ) 1. La projection orthogonale sur une droite La projection sur la droite (D) parallèlement à une droite orthogonale sur (D) s'appelle la projection orthogonal sur (D). La projection d'un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite Orthogonale sur (D) s'appelle la projection orthogonale sur (D) Tous point de (D) est confondu par sa projection sur (D) parallèlement à (Δ). Si un point M est confondu par sa projection sur (D) parallèlement à (Δ) alors M est un point de (D) Vocabulaire: Si la projection du point M sur la droite (D) parallèlement à une droite (Δ) est lui-même on dit que le point M est invariant par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) La droite (D) est invariante par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) 1. Propriétés: Propriété1: L'ensemble des points invariants par la projection sur (D) parallèlement à (Δ) est la droite (D)

2 2 Propriété2: Soit A un point de la droite (D) L'ensemble de point qui ont la même projection A sur (D) parallèlement à (Δ) est la droite passante par A et parallèle à (Δ) 1. La projection d'une forme: Soient (D) et (Δ) deux droits sécantes en un point O, (F) une forme du plan (F ) une partie de la droite (D). On dit que (F ) est l'image de (F) par la projection Sur la droite (D) parallèlement à (Δ) si et seulement si: La projection de chaque point de (F) sur (D) parallèlement à (Δ) appartient à (F ) Chaque point de (F ) est la projection d'au moins d'un point de (F) sur (D) parallèlement à (Δ) 1.5 Projection d'un segment: Propriété1: Soient A et B deux ponts distincts du plan, et A et B sont leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ), la projection du segment [AB] est le segment [A B ]. Si la droite (AB) est parallèle à (Δ) alors l'image du segment [AB] est le segment nul [A A ] Propriété 2: Si A et B sont les projections respectives de A et B sur une droite (D) parallèlement à une droite (Δ) alors la projection du point I milieu du segment [AB] est le point I' milieu de [A B ] On dit que la projection sur une droite (D) parallèlement à une droite (Δ) conserve le milieu. II) THEOREME DE THALES 1-Théorème de Thales: Propriété vectorielle 1.1 Rappelle théorème de thales Théorème directe: Soient (D) et (D ) deux droites du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; soient A, B et C trois points de la droite (D ). Si (AA )// (BB )//(CC ) alors AC = A C AB A B Théorème inverse: Soient (D) et (D ) deux droites du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; soient A, B et C trois points de la droite (D ). Si (AA )// (BB ) et AC et les points A, B et C et les points A, B et C sont dans le même ordre alors (AA )// (BB )//(CC ) = A C AB A B 1.2 théorème de Thales version vectorielle Activité: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes dans le plan. A, B, C et E quatre point du plan tels que A B A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ) 1. On suppose que les points A, B et C sont alignés et que AC = αab ; montrer que A C = αa B

3 2. On suppose que AB = CE ; montrer que A B = C E. On suppose que AB = αce ; montrer que A B = αc E Théorème de Thales version vectorielle Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan et A, B et C trois points de (D) tels que A B ; Si A, B et C sont les projections de A, B et C respectivement sur (D) parallèlement à (Δ) et AC = αab alors A C = αa B Projection et égalité de deux vecteurs: A, B, C et E quatre points du plan et A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ). si AB = CE alors A B = C E Projection et coefficient de colinéarité de deux vecteurs: A, B, C et E quatre points du plan et A, B, C et E leurs projections respectives sur (D) parallèlement à (Δ). si AB = αce alors A B = αc E On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs Exercice: Soient ABC un triangle, I milieu de [BC] et E et F deux points tels que AE = 1 AB et AF = AC considérons J intersection de (AI) et (EF) et B et C les projections de B et C respectivement sur (AI) parallèlement à (EF) 1) Montrer que I est milieu de [B C ] 2) Montrer que AJ = 1 AB et AJ = AC ) Montrer que 2AI = AB + AC en déduire AI en fonction de AJ 1. Résultas La projection et la distance Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, la projection sur la (D) parallèlement à la (Δ) ne conserve pas la distance. Autrement dit si A et B sont les projections respectives de A et B alors A B n'est pas nécessairement égale à AB A B = AB si et seulement si (A B) et (AB) (D) Projection et axes Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, (L) une droite non parallèle à (Δ) (O, I) un repère sur (L) et O et I sont les projections respectives de O et I sur (D) parallèlement à (Δ); soit M est un point sur la droite (L) si M a pour abscisse x sur l'axe (O, I) et M sa projection sur (D) parallèlement à (Δ) alors x est l'abscisse de M sur l'axe (O, I ). 1. Théorème de Thales réciproque version vectorielle Théorème: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B et C trois points sur (L) tels que A B et AC = αab si A et B sont les projections respectives de A et B et A C = αa B alors C est la projection de C sur la droite parallèlement à (Δ) Preuve: il suffit de considérer C 1 est la projection de C sur (D)parallèlement à (Δ) et de démontrer que C 1 = C

4 1.5 La projection et la somme de deux vecteurs Activité: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B, C, D et F des points du plan de projections respectives A, B, C, D et F et qui vérifient AB + CD = EF ; soit S un point tel que CD = BS 1) Montrer que C D = B S et que E F = A S 2) En déduire que A B + C D = E F. Propriétés: Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes du plan, A, B, C, D et F des points du plan de projections respectives A, B, C, D et F si AB + CD = EF alors A B + C D = E F 1.6 L'abscisse de la projection orthogonale Propriété: Si H est la projection orthogonale d'un point M sur un axe D(O, I) (OI = 1) et α la mesure de l'angle [IOM ] alors l'abscisse du point H est OM cos(α) si 0 α 90 OM cos(180 α) si 90 α 180

5 5 Exercice1: Soient ABC un triangle et D un point du plan tel que AD = 2 AC le point E est la symétrique du point A par rapport à B, soit O le point intersection des droites (ED) et (BC) Montrer que O est le milieu du segment [BC]. Exercice2: Soient ABC un triangle, I milieu du segment [BC] et D et J eux points tels que AD = BC et AJ = 2 AC soit E la projection u point J sur (BC) parallèlement à (AB) Montrer que JE = 1 AB et IE = 1 BC 6 La droite (BD) coupe les droites (EJ) et (AC) en F et K réspectivement. Montrer que BD = 6KF Exercice: Soient ABC un triangle et I et J deux points définies par: AI = 2 AC et AJ = 2 AB Montrer que J est la projection de I sur (AB) parallèlement à (BC) soit M le milieu du segment [BC], la droite (AM) coupe (IJ) en G a) Montrer que AG = 2 AM b) Que représente le point G pour le triangle ABC. Exercice: Soient ABC un triangle et A et B les milieux respectives des segments [BC] et [AC].Soit G le pont d'intersection des droites (AA ) et (BB ); la droite passante par A et parallèle à (BB ) coupe (B C) en I Monter que I est milieu du segment [B C] Montrer que AG = 2 AA En déduire que GA + GB + GC = 0 Montrer que les médiatrices du triangle ABC se coupent en G (centre de gravité de C ) soit G est la projection de G sur (BC) parallèlement à (AB) et G est la projection de G sur (BC) parallèlement à (AC); Montrer que BG = G G =G B Exercice5: Soient ABC un triangle dont les trois angle aigus. soient D la projection orthogonale de B sur (AC) et J la projection orthogonale de D sur (AB) et F la projection orthogonale de E sur (AC). Construire la figure Montrer que (EF) (BD) et (JD) (CE) Prouver que AB AF = AC AJ (BC) (JF) EXERCICES SUR LES PROJECTIONS Exercice6: Soit ABCD un parallélogramme de centre O; on considère les points M et P tels que: DP = 2 DB et PM = PC Montrer que AM = 2OP et OP = 1 OB En déduire que AM = 1 DB = PB Soit H est la projection de M sur (AB) parallèlement à (BC); Montrer que AH = 1 AB et que (AC) (HP) La droite (HP) coupe la droite (AM) en I; montrer que I est milieu du segment [AM] Soit J le point d'intersection de (PM) et (AB) ; montrer que J est milieu du segment [PM] Exercice7: Soit ABCD un parallélogramme de centre O; on considère les points J tel que: AJ = 2 AC et E la projection de J sur (BC) parallèlement à (AB) Montrer que CE = 1 CB puis JE = 1 AB Exercice8:Soient ABC un triangle et I un point définie par: AI = AB Soient J la projection de I sur (BC) parallèlement à (AC) et K la projection de J sur (AC) parallèlement à (AB) Montrer que CK = CA Soit H la projection de K sur (AB) parallèlement à (BC); Montrer que BH = AI Exercice9: Soit ABCD un trapèze de base [AB] et [CD], soient I milieu de [AD] et J milieu de [BC] et M la projection de J sur (DC) parallèlement à (BD) Montrer que IM = NJ En déduire que segments [MN] et [IJ] ont le mêmes milieu Exercice10: Soient ABCD un quadrilatère convexe et M un point tel que BM = 1 BA, soient N est la projection de M sur (BC) parallèlement à (AC) et P est la projection de N sur (DC) parallèlement à (DB) DP = 1 DC Soit Q un point tel que DQ = 1 DA ; Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

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