Magnétostatique. Chapitre Champ magnétique
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- Isaac Côté
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1 Chapitre 5 Magnétostatique La magnétostatique est l étude des champs magnétiques stationnaires. C est le deuxième phénomène de base de l électromagnétisme. Autrefois, on pensait que l électricité et le magnétisme étaient deux phénomènes indépendants. Cependant, on sait maintenant qu ils sont reliés. Le champ magnétique est représenté par H (unité : Henry par mètre [H/m]), tandis que la densité de flux magnétique est représenté par B (unité : Tesla [T]). On verra que plusieurs des relations développées pour l électrostatique ont une forme similaire pour la magnétostatique. On peut résumer les cas où sont produits les champs électriques et magnétiques : Charge stationnaire : Une charge stationnaire ne produit qu un champ électrique. Donc, u = 0, E 0 et B = 0. Charge en mouvement : Une charge en mouvement produit un champ électrique et un champ magnétique. Dans ce cas-ci, u 0, E 0 et B 0. La vitesse de mouvement est constante. Charge en accélération : Une charge qui accélère produit un champ électrique, un champ magnétique, et un champ électromagnétique radiant. Dans ce cas-ci, u 0, E 0 et B Champ magnétique Comme mentionné plus haut, un champ magnétique est produit par des charges en mouvement (un courant électrique). La force appliquée sur un élément de courant dépend de l amplitude du courant, du milieu et de la distance entre les courants, de façon similaire 1
2 à la force électrique. Cependant, puisque les courants ont des directions, l équation de la force magnétique est un peu plus complexe que celle de la force électrique. Un élément de courant Id l qui est soumis à un champ magnétique B subira une force d F selon : d F = Id l B (5.1) La force sera orientée de façon normale au plan créé par B et d l, comme à la figure 5.1. d F B Id l θ Figure 5.1 Orientation de la force magnétique La densité de flux magnétique est reliée au champ magnétique selon la relation : B = µ H (5.2) où µ est la perméabilité du milieu. Pour plusieurs matériaux, la perméabilité est constante ; cependant, pour les matériaux ferromagnétiques (comme le fer), la perméabilité est nonlinéaire. On suppose pour le moment que la perméabilité est linéaire. Remarquer que cette dernière équation est de la même forme que D = ɛ E pour les champs électriques. La perméabilité µ est aussi de la même forme que ɛ : µ = µ r µ 0 où µ r est la perméabilité relative du milieu, et µ 0 est la perméabilité du vide. Pour le vide, µ 0 = 4π 10 7 [H/m]. 5.2 Loi Biot-Savart La loi Biot-Savart, déduite à partir d expériences, décrit comment le champ magnétique est calculé à partir d un système de courants. Soit un milieu homogène où un élément de longueur d l porte un courant I, comme à la figure 5.2. Le champ magnétique d H produit à un point P est donné par : d H = Id l â R 4πR 2 (5.3) Gabriel Cormier 2 GELE3222
3 Id l R d H P Figure 5.2 Détermination du champ magnétique où R doit pointer de l élément de courant vers le point P. Cette relation est indépendante du milieu. Chaque élément de courant Id l contribue au champ magnétique au point P. Pour avoir le champ magnétique total, il faut faire l intégrale : H = Id l âr 4πR 2 (5.4) Exemple 1 Un fil infiniment long porte un courant I selon l axe z. Calculer le champ magnétique à un point P quelconque. Le problème est donné par la figure suivante : z r H Id l R Il faut calculer R et â R, et aussi Id l. En coordonnées cylindriques, R est donné par : R = r 2 + z 2 Gabriel Cormier 3 GELE3222
4 et le vecteur unitaire â R : R â R = R = r â r z â z r 2 + z 2 L élément Id l est dans la direction z : Id l = Idz â z L élément différentiel du champ magnétique est donc : En faisant le produit vectoriel, on obtient : d H = Idz â z (r â r z â z ) 4π(r 2 + z 2 ) 3 2 d H = Irdz â φ 4π(r 2 + z 2 ) 3 2 Pour trouver le champ total, on fait l intégrale, selon z : H = Irdz 4π(r 2 + z 2 ) 3 2 â φ = I 2πr âφ 5.3 Loi d Ampère La loi d Ampère est semblable à la loi de Gauss, sauf que la loi d Ampère s applique aux champ magnétique : l intégrale de contour de la composante tangentielle du champ magnétique sur un parcours fermé est égal au courant entouré par le parcours. Hd l = I (5.5) On pourrait croire que cette équation est utilisée pour calculer le courant à partir d un champ magnétique connu. Cependant, c est plutôt l inverse qui est vrai : on connaît habituellement le courant, et l équation permet de trouver le champ magnétique. Pour utiliser la loi d Ampère, il doit y avoir une certaine symétrie au problème. Deux conditions sont nécessaires : Gabriel Cormier 4 GELE3222
5 1. À chaque point du parcours fermé, H est soit tangentiel ou normal au parcours. 2. H a la même valeur à chaque point du parcours où H est tangentiel. Exemple 2 Utiliser la loi d Ampère pour calculer le champ magnétique dû à un fil infiniment long portant un courant I. C est le même problème que l exemple précédent. À chaque point sur le cercle, le champ magnétique a la même amplitude et est tangentiel. Donc : Hd l = H(2πr) = I donc, H = I 2πr âφ 5.4 Rapport entre J et H Si on reprend la loi d Ampère, mais qu on définit le courant autrement : I = Jd S S (selon le chapitre précédent). On obtient alors la relation suivante : Hd l = Jd S (5.6) On a une intégrale de contour qui est égale à une intégrale de surface. On peut alors utiliser le théorème de Stokes pour écrire : Hd l = ( H)d S (5.7) s S Si on fait l équivalence, on obtient : H = J (5.8) C est une équation fondamentale de l électromagnétisme : c est une des 4 équations de Maxwell. Gabriel Cormier 5 GELE3222
6 5.5 Flux magnétique On a déjà discuté de la densité de flux magnétique, B, donné par l équation 5.2. On peut définir un flux magnétique, semblable au flux électrique, comme : Φ = B d s (5.9) L unité du flux magnétique est le Weber [Wb]. s Une différence importante entre le flux magnétique et le flux électrique : les lignes de flux magnétique sont des courbes fermées, sans point de départ ou de point de fin. C est différent des lignes de flux électriques, qui commencent sur des charges positives et se terminent sur des charges négatives. Tout le flux magnétique qui entre dans un corps (ou surface) doit en ressortir. Mathématiquement, on exprime ceci par la relation suivante : B = 0 (5.10) C est une autre équation fondamentale de l électromagnétisme; une des 4 équations de Maxwell. On peut aussi écrire l équation 5.10 comme suit : B d s = 0 (5.11) 5.6 Potentiel magnétique De façon similaire au potentiel électrique, on peut définir un potentiel magnétique A : A = B (5.12) Remarquer que le potentiel magnétique est un vecteur, contrairement au potentiel électrique. À l aide du potentiel magnétique, on peut calculer B, et ensuite H. L unité de A est [Wb/m] ou [T m]. On peut démontrer que le potentiel magnétique est obtenu selon l équation A = µ 0 J dv (5.13) 4π R Le potentiel magnétique peut aussi être utilisé pour calculer le flux (à l aide du théorème de Stokes) : Φ = A d l (5.14) Gabriel Cormier 6 GELE3222 v
7 5.7 Force magnétique On vu qu un élément de courant soumis à un champ magnétique produit une force. On peut étendre cette équation pour montrer qu une charge en mouvement dans un champ magnétique subira une force. Soit l équation de la force appliquée sur un élément de courant : d F = Id l B (5.15) La densité de courant J au travers un élément de surface dans un conducteur est donné par : J = ρ v u (5.16) où ρ v est la densité de charge, et u est la vitesse de la charge. On sait aussi que : ce qui permet d appliquer : I = J d s (5.17) Id l = J d sd l = ρ v ud sd l = ρ v dv u = q u (5.18) L équation de force est donc : d F = q u B (5.19) La direction de la particule sera modifiée par cette force, mais pas l amplitude de la vitesse (et donc l énergie cinétique). La direction de la particule suit la loi de la main droite. La force magnétique ne fait aucun travail sur la particule. Si le champ B est uniforme dans une région et que la particule a une vitesse initiale normale au champ magnétique la particule décrira un cercle de rayon r. La force du champ est d amplitude F = q ub et est dirigée vers le centre du cercle. L accélération centripète est d amplitude ω 2 r = u 2 /r, et donc, par la deuxième loi de Newton : q ub = m u2 r r = mu q B (5.20) Si un champ électrique est aussi présent, une force supplémentaire sera appliquée sur la particule. On a donc : F = q E + q u B = q( E + u B) (5.21) C est l équation de Lorentz. Gabriel Cormier 7 GELE3222
8 5.8 Magnétisation En l absence d un champ magnétique externe, les dipôles magnétiques d un matériau sont orientés de façon arbitraire. L application d un champ magnétique externe cause l alignement des moments magnétiques. On définit alors un vecteur de magnétisation M qui représente la somme des moments magnétiques individuels dans le matériau. Ce vecteur de magnétisation crée une densité courant en volume de : et une densité de courant en surface : J m = M [A/m 2 ] (5.22) J ms = M â n [A/m] (5.23) de la même façon qu un diélectrique produit des densités de courant électriques. La densité de flux magnétique à l intérieur du matériau est proportionnel à l amplitude du champ magnétique externe appliqué. Si le milieu est linéaire et isotropique, on obtient : où χ m est la susceptibilité magnétique. M = χ m H (5.24) Ces densités de courant magnétiques augmentent le flux magnétique à l intérieur du matériau. On a donc : B = µ 0 H + µ 0 M (5.25) = µ 0 H + µ 0 χ m H = µ 0 (1 + χ m ) H (5.26) = µ 0 µ r H (5.27) C est la relation qu on a vu au début de ce chapitre. La perméabilité de la plupart de matériau est proche de celle du vide. Cependant, pour les matériau ferromagnétiques (comme le fer, nickel, cobalt), µ r est très élevé ( ) et généralement non-linéaire. La perméabilité relative de quelques matériaux est donnée au tableau Conditions aux limites De la même façon que les champs électriques, ont peut démontrer comment se comporte le champ magnétique aux frontières entres deux matériaux. Gabriel Cormier 8 GELE3222
9 Tableau 5.1 Perméabilité relative de quelques matériaux Diamagnétique Paramagnétique Ferromagnétique (non-linéaire) Matériau µ r or argent cuivre eau air aluminium cobalt 250 nickel 600 fer (99.8% pur) 5000 fer (99.96% pur) Alliage Mo/Ni Pour la composante normale, puisque B = 0, B 1n = B 2n (5.28) Dans un milieu isotropique, on aura alors les relations suivantes : B 1 = µ 1 H 1 (5.29) B 2 = µ 2 H 2 ce qui implique H 1n H 2n = µ 2 µ 1 (5.30) Pour la composante tangentielle, on obtient la relation suivante : â n ( H 1 H 2 ) = J s (5.31) ou encore : H 1t H 2t = J sn (5.32) où J sn est la composante normale de la densité de courant superficielle. Gabriel Cormier 9 GELE3222
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