Énoncés des exercices

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1 Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Combien existe-t-il de dominos dans un jeu complet? On pourra donner jusqu à cinq démonstrations diffétentes. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Combien peut-on former de nombres de 6 chiffres en juxtaposant 2, 2, 2, 3, 4 et 4? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans une main au poker (5 cartes sur 32), combien existe-t-il de mains différentes contenant : 1. Deux paires. 2. Un full (un brelan et une paire). 3. Exactement une paire (deux cartes à la même hauteur). 4. Exactement un brelan (trois cartes à la même hauteur). 5. Une quinte flush (cinq cartes qui se suivent et de la même couleur). 6. Une quinte (cinq cartes qui se suivent, mais pas toutes de la même couleur). 7. Une couleur (cinq cartes de la même couleur). 8. Un carré (quatre cartes de la même hauteur). 9. Un résultat inintéressant. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On lance une pièce de monnaie autant de fois que nécessaire pour qu au total la pièce retombe k fois sur un même coté (non spécifié à l avance). 1. Quel est le nombre minimum m et le nombre maximum M de jets à effectuer? 2. Soit n un entier naturel compris entre m et M. Combien existe-t-il de résultats de l épreuve en n coups exactement? Combien en existe-t-il en n coups au plus? Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Indications, résultats Indications ou résultats Indication pour l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] Le nombre de dominos différents est 28. Indication pour l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] Supposer que les 6 chiffres sont distincts, puis diviser par les bons coefficients pour éviter qu un même nombre soit compté deux fois. Il y a 60 nombres différents. Indication pour l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] 1. Le nombre de mains contenant exactement deux paires est = Le nombre de mains contenant un full est = Le nombre de mains contenant une paire seule est Le nombre de mains contenant un brelan (et pas plus) est Le nombre de mains contenant une quinte flush est Le nombre de mains contenant une couleur est 4(56 4) = Le nombre de mains contenant un carré est donc 8 28 = Il y a mains inintéressantes au poker. Indication pour l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] 1. Il faut au minimum m = k jets, et au maximum M = 2k Le nombre de résultats en n coups exactement est a n = 2C k 1 n 1. Le nombre de résultats de l épreuve en n coups au plus est b n = 2C k n. Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 des exercices Corrigé de l exercice 1 [ Retour à l énoncé ] Nous voyons plusieurs approches différentes pour cet exercice très simple. On peut identifier un domino à un singleton de {0, 1..., 6} (dans le cas d un double ) et il y a 7 possibilités, ou à une paire de {0, 1..., 6} (dans les autres cas) et il y a alors C 2 7 = 21 possibilités. Le nombre de dominos différents est donc 28. Un domino orienté est un couple (a, b) de {0, 1,..., 6} 2. Il y en a 7 2. Dans ce lot, il y a 7 dominos doubles (qui ne sont comptés qu une fois). Les autres sont comptés deux fois puisqu on ne doit pas considérer l orientation. Dans un jeu complet, il y a donc (72 7) = 28 dominos différents. On peut également considérer qu un domino est une application croissante f de {1, 2} vers {0, 1,..., 6} : f(1) est le chiffre minimum du domino et f(2) est son chiffre maximum. Pour chaque valeur k de f(1), il y a 7 k possibilités pour f(2). Le nombre de domino est donc 6 (7 k) = 7 k = = 28. k=0 k=1 On peut aussi identifier un domino à un mot de 8 lettres comportant une fois chaque entier de 0 à 6 et deux fois le symbole. Par exemple : représente le domino représente le domino représente et représente 6 6 Il y a C 2 8 = 28 manières de former un tel mot, et donc autant de dominos. On peut enfin considérer que les dominos résultent du tirage simultané de 2 jetons parmi 8, ces 8 jetons comportant respectivement les symboles 0, 1,..., 6 et le symbole. Ce dernier jeton est en fait un joker prenant la valeur de l autre jeton issu du tirage. Il y a C 2 8 = 28 tirages possibles donc 28 dominos. Corrigé de l exercice 2 [ Retour à l énoncé ] Si les 6 chiffres proposés étaient distincts, il y aurait 6! nombres différents. Mais du fait que 2 est présent 3 fois, il faut diviser ce résultat par 3! = 6. Du fait que 4 est présent 2 fois, il faut encore diviser ce résultat par 2! = 2. Finalement, il y a 6! 3!2! = 60 nombres différents. Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Corrigé de l exercice 3 [ Retour à l énoncé ] 1. On choisit une des 48 paires (une hauteur parmi 8 et 2 cartes parmi 4 donc 8C 2 4 = 48.) On choisit ensuite une paire à une hauteur différente : 7C 2 4 = 42 possibilités. NB : dans le produit 48 42, chaque paire de paires est comptée deux fois. Enfin, on choisit une des 32 8 = 24 cartes de hauteur différente des deux précédentes. Le nombre de mains contenant exactement deux paires est donc = Il y a 32 brelans possibles (une hauteur parmi 8 puis 3 cartes parmi 4, donc 8C 3 4 = 32.) Une fois ce brelan choisi, il faut former une paire dans l une des 7 hauteurs restantes, ce qui peut se faire de 7C 2 4 = 42 manières différentes. Le nombre de mains contenant un full est donc = On choisit l une des 48 paires possibles. On choisit ensuite 3 des 32 4 = 28 cartes à une hauteur différente de cette paire. Des 48 C 3 28 = possibilités il faut décompter les mains qui contiennent deux paires et les 1344 mains qui contiennent un full Le nombre de mains contenant une paire seule est donc = On choisit l un des 32 brelans possibles. On choisit ensuite deux des 28 cartes qui sont à une hauteur différente du brelan. Des 32 C 2 28 = possibilités il faut décompter les 1344 mains contenant un full. Le nombre de mains contenant un brelan (et pas plus) est donc = On choisit une couleur parmi 4, puis la hauteur de départ de la quinte (au mimimum le 7 et au maximum le 10 : 4 choix possibles). Le nombre de mains contenant une quinte flush est donc 4 4 = On choisit la hauteur de départ parmi les 4 hauteurs possibles (du 7 au 10). On choisit alors, pour chacun des 5 niveaux, une carte sur les 4 possibles. Des = 4096 possibilités il faut décompter les 16 quintes flush. Le nombre de mains contenant une simple quinte est donc Il faut choisir une couleur parmi 4, puis 5 cartes parmi les 8 qui sont de cette couleur. Il y a à priori C 5 8 = 56 manières de choisir ces 5 cartes, mais il faut retirer les 4 choix qui conduisent à des cartes consécutives (donc à une quinte flush). Le nombre de mains contenant une couleur est donc 4(56 4) = Il y a 8 carrés possibles. Il reste alors à choisir une carte parmi les 32 4 = 28 restantes. Le nombre de mains contenant un carré est donc 8 28 = Il y a C 5 32 = mains possibles, mais on doit retirer celles qui sont intéressantes, c est-à-dire qui tombent dans l une des cas précédents. On trouve = Il y a donc mains inintéressantes au poker. Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Corrigé de l exercice 4 [ Retour à l énoncé ] 1. Il faut au minimum m = k jets, et il en faut au maximum M = 2k Si on fixe le coté sur lequel doit tomber la pièce, par exemple pile, le nombre de possibilités est C k 1 n 1 : on doit en effet choisir la position des k 1 premiers pile dans la succession des n 1 premiers jets, le n-ième jet donnant par hypothèse le k-ième pile. Si on ne fixe plus le coté attendu, le nombre de résultats de l épreuve est a n = 2C k 1 n 1. Soit b n le nombre de résultats de l épreuve en n coups au plus. Avec les notations précédentes, on a : b n = a k + a k a n. Ainsi b n = 2 n j=k C k 1 j 1 = 2C k n d après l exercice Ce résultat est logique car il faut choisir par exemple la position des k piles parmi les n lancers (C k n possibilités) puis doubler ce résultat car on ne fixe pas le coté attendu. Remarque : A tout prendre, l exercice est plus facile si on résout d abord la question 2. On a en effet clairement b n = 2C k n avec le raisonnement précédent. ( ) On en déduit : a n = b n b n 1 = 2 C k n C k n 1 = 2C k 1 n 1 (triangle de Pascal.) Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.