APPLICATIONS DIRECTES

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1 PSI FEUILLE D EXERCICES DE SCIENCES PHYSIQUES N 20 17/03/ /2018 Thème : Conversion électro-magnéto-mécanique APPLICATIONS DIRECTES 1. Electroaimant de levage On considère l électroaimant représenté ci-contre. a) On suppose que le matériau ferromagnétique est parfait. Que peut-on en déduire quant aux lignes de champ? b) Déterminer le champ magnétique créé par cet électroaimant. A-t-il la même valeur dans le fer et l entrefer? c) Que devient cette expression lorsque l entrefer est nul? d) Que devient cette expression lorsque l entrefer n est pas nul, mais la perméabilité du matériau infinie? e) Rappeler la définition de l inductance d un circuit magnétique linéaire. L exprimer en fonction des paramètres de ce circuit magnétique. f) La bobine a 200 spires. La section du matériau est carrée et vaut 10 mm * 10 mm, la distance entre les branches internes de l électroaimant vaut 20 mm. La perméabilité relative du noyau est de 1500, l entrefer de e = 3 mm, calculer l inductance. g) En déduire l expression de l énergie magnétique de ce circuit. Comment varie-t-elle avec la taille de l entrefer? h) Quelle relation y-a-t-il entre l énergie magnétique EB et la densité d énergie magnétique, dont on rappellera l expression, pour ce circuit magnétique? En déduire que l énergie magnétique est localisée dans l entrefer lorsque celui-ci existe. i) On veut soulever la pièce mobile inférieure. La force subie par cette pièce est donnée par F =d EB / dxu. x Vérifier l homogénéité de cette relation. Que représente x? Où est l origine de l axe? Dans quel sens est-il orienté? Cette force dépend-elle du sens du courant? Quel est le sens de variation de la force avec x? Pour quelle valeur de x cette force est-elle la plus intense? h) Calculer l intensité à faire passer dans la bobine pour soulever la pièce, dans les conditions de la question f. Le fer a une masse volumique de kg.m Vitesse de rotation d une machine synchrone Comment peut-on expliquer qu un grand nombre de machines tournantes ait en Europe une vitesse égale à 3000 tours par minute, pour 3600 tours par minute en Amérique du Nord? 3. Moteur synchrone de ventilateur à aimant permanent: Un ventilateur électrique est constitué : d un système fixe de bobines (appelé stator), alimenté par des courants alternatifs et produisant un champ magnétique B d intensité constante mais dont la direction tourne à la vitesse angulaire constante ; ce champ «tournant» demeure orthogonal à un axe z z fixe ; 0 d un aimant permanent de moment magnétique M orthogonal à z z, solidaire des aubes du ventilateur qui tourne à la vitesse angulaire autour de l axe z z. a) Représenter le schéma simplifié de ce moteur synchrone. On annotera avec les noms : rotor, stator, entrefer, circuit d induit. Quelle est la nature du circuit inducteur? Que signifie machine à pôles lisses? b) On considère un enroulement statorique, comprenant un pôle Nord et un pôle Sud diamétralement opposés, avec une répartition judicieuse des densités de spires permettant de réaliser, dans l entrefer une variation sinusoïdale du champ avec la position = ki(t).cos, où i(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation. Exprimer le champ magnétique dans l entrefer.

2 c) Montrer qu un système de 2 bobines d axes orthogonaux Ox et Oy parcourues par des courants sinusoïdaux de même pulsation, mais en quadrature de phase (système diphasé) peut créer un champ tournant. Donner l expression du vecteur champ magnétique glissant. 4. Energie stockée dans l entrefer d une machine synchrone On considère une machine synchrone comportant des enroulements statoriques et rotoriques créant dans l entrefer des champs de la forme : BS(,t) = BS.cos( t - ) et BR(,t) = BR.cos( t - o). On note = t - o la position angulaire d un des axes de symétrie du rotor, est la vitesse angulaire du moteur. a) Faire un schéma où sont représenté les champs rotoriques et statoriques à l instant t = 0, puis à un instant quelconque. b) Exprimer l énergie magnétique dans l entrefer UMs si seul le champ statorique est présent. On introduira le rayon R et l épaisseur e de l entrefer, ainsi que la longueur L de la machine. c) Lorsque les deux champs sont présents, faire apparaître une somme de trois termes, dont l un correspond à la présence simultanée des deux champs, terme de couplage. On rappelle que le couple électromécanique s écrit C = U M. A quelle condition ce couple est-il α maximal? d) Retrouver un résultat relatif au dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur. 5. Diagramme de Fresnel équivalent Un moteur synchrone est décrit dans une modélisation simple, sans prise en compte des pertes fer et cuivre et en considérant le milieu magnétique sans fuites. a) En nommant le phénomène concerné, et justifiant sa traduction en dipôle électrocinétique équivalent (impédance complexe, source de tension) proposer un schéma électrique d un des enroulements de l induit. b) En déduire une construction de Fresnel faisant figurer la tension d induit et l intensité dans l enroulement. On se place en convention récepteur. c) Pour une machine diphasée, quelle relation permet d exprimer le déphasage entre tension d induit et intensité, lorsque le moteur fournit un couple électromécanique C? d) Lorsque la machine synchrone fonctionne en alternateur, reprendre les questions précédentes en adoptant une convention générateur. 6. Bilan de puissance On modélise chaque phase du circuit statorique du moteur synchrone bipolaire diphasé en régime permanent par une inductance, une résistance et une fcém. Déterminer la puissance instantanée consommée par chacun des trois circuits électriques qui compose cette machine. En déduire que la puissance électrique apportée est égale à la puissance perdue par effet Joule et à la puissance absorbée par les fém. Quelle relation a-t-on entre la puissance mécanique founie et la puissance absorbée par les fcém? 7. Stabilité d'un moteur synchrone : On considère une machine synchrone à aimant permanent fonctionnant en moteur. On note 0 l'angle interne entre les champs magnétiques rotorique et statoriques en régime permanent à la vitesse angulaire 0. a) Rappeler l'expression du couple moyen et en déduire les valeurs de 0 acceptables pour un fonctionnement moteur. b) Le rotor est soumis de la part des machines qu'il entraîne et des frottements à un couple résistant C r. Pour quelles valeurs de C r ne peut-on jamais avoir de régime permanent?

3 c) Le couple résistant augmente. Décrire l'évolution de et étudier la stabilité du système en fonction des valeurs de 0. d)le rotor est lancé par une machine à courant continu avec une vitesse angulaire initiale proche mais légèrement différente de Etudier son mouvement ultérieur en fonction de la valeur initiale de l angle interne : * si < 0 ; * si > Alternateur monophasé Soit un alternateur monophasé produisant une tension sinusoïdale U de fréquence f = 50 Hz. Le schéma électrocinétique équivalent simplifié de l induit est composé d une inductance telle que X=L = 1,6 à 50 Hz et d une source de tension E. On néglige la résistance des enroulements. 1. Si le rotor n a qu une seule paire de pôle quelle est sa vitesse de rotation? 2. On montre que si le rotor de l alternateur comporte 4 paires de pôles pour une vitesse de rotation de 750 tr/min, on obtient un courant statorique dont la fréquence est toujours de 50 Hz. Quel est l intérêt de multiplier les paires de pôles? La valeur efficace de la fém de l alternateur est donnée par E(V) = 120i (A) avec i le courant d excitation pour une vitesse de rotation de 750 tr.min A quels paramètres est proportionnel E? 4. Représenter le schéma électrique de l alternateur. L alternateur alimente une charge résistive traversée par un courant d intensité efficace I = 30 A. La tension U aux bornes de la résistance a pour valeur efficace U = 110 V 5. Que peut-on en déduire quant au déphasage entre la tension aux bornes de l alternateur et le courant débité? Tracer le diagramme de Fresnel représentant la situation. 6. En déduire la valeur efficace de la fem de l alternateur E. 7. En déduire la valeur de l intensité i du courant d excitation. 8. En déduire la puissance fournie par l alternateur à la charge résistive. 9. Dans les conditions de l essai, les pertes de l alternateur sont évaluées à 450 W. Evaluer la résistance de l alternateur. Calculer le rendement. 10. La vitesse de rotation de l alternateur passe à 500 tr/min sans modification du courant d excitation. Déterminer f, E, X, U et I les nouvelles valeurs de f, E, X, U et I. 9. Moteur à courant continu : L'induit d'un moteur à courant continu à ailant permanent est alimenté par une tension constante U = 100 V. On relève les caractéristiques suivantes de l'induit : R = 0,8 ; I 0 = 1 A (courant à vide) ; I = 25 A (courant en charge pour une vitesse de rotation = 1000 tr/min). a) Rappeler les relations entre la fém E et la vitesse de rotation le couple électromagnétique (ou couple de Laplace) C et l'intensité du courant I, les équations mécanique et électrique du moteur en régime stationnaire. b) Calculer la fém E lorsque la machine est en charge. En déduire la constante du moteur et le couple moteur ou couple de Laplace c) Lorsque le moteur tourne à vide déterminer la valeur du couple de frottement Cfrott. Calculer sa fém Eo à vide, en déduire la vitesse de rotation 0. d) Calculer le couple de charge, lorsque le moteur est chargé, en supposant le couple de frottement identique à vide et en charge. e) Evaluer à vide puis en charge : la puissance électrique reçue par le moteur Pmot, la puissance dissipée par effet Joule PJ, la puissance de Laplace ou puissance utile Pu, la puissance dissipée par frottement Pfrott, la puissance dissipée par la charge Pch. Quels liens a-t-on entre toutes ces puissances? 10. Démarrage d un moteur à courant continu

4 Soit la constante électromécanique d un moteur à courant continu à aimants permanents et r sa résistance d induit, on néglige l inductance d induit. On suppose que la charge entrainée présente un couple résistant défini par Cr = c+f où c et f sont des constantes positives. Partant d un état d immobilité de l ensemble, on suppose que la tension d induit du moteur prend la valeur U, qui reste constante pendant toute la phase de démarrage. a) Représenter, en régime permanent, la caractéristique couple vitesse d une machine à courant continu à excitation séparée soumise à une tension d induit fixée. b) Sur le même graphe représenter l allure de la caractéristique définissant le couple résistant. On suppose U > rc. c) Ecrire l équation mécanique du moteur. Décrire qualitativement l évolution de la vitesse angulaire en s appuyant sur le graphe précédent. d) Au bout d un temps suffisamment long, le dispositif tend-il vers un fonctionnement stable? EXERCICES I. Electroaimant de levage On considère l électroaimant représenté ci-contre, la partie en U repose sur le sol, dont les dimensions sont en mm et la profondeur est égale à 10 mm. La perméabilité relative du noyau est de Le ressort maintient la partie mobile dans une position telle que l on ait un entrefer de e = 3 mm. 1. Exprimer le champ magnétique B en tout point de l électroaimant en fonction du courant et des paramètres géométriques du système. 2. Déterminer l inductance en fonction de l entrefer e. 3. Exprimer l intensité de la force de rappel F = de /dx, où E est l énergie magnétique du circuit, en fonction de e. 4. Le ressort crée une force de rappel constante égale à 5 N, la bobine est constituée de 200 spires. Calculer l intensité du courant pour que le système soit à l équilibre. Comment doit-on faire varier ce courant pour que la partie mobile soit attirée par l électroaimant? II. Ventouse électromagnétique On souhaite transporter une voiture de masse 1,5 tonnes avec un électroaimant en U de section moyenne 50 cm 2, de longueur moyenne 1 m, de perméabilité relative et entouré de spires alimentées par un courant I. Déterminer un ordre de grandeur de la valeur minimale de I. III. Traction d un véhicule électrique par une machine synchrone On étudie un moteur synchrone diphasé bipolaire. Le circuit rotorique est parcouru par un courant d excitation continu Ie maintenu constant. Le circuit diphasé statorique est alimenté par un onduleur de courant qui impose dans les deux phases des courants sinusoïdaux de pulsation, déphasés de /2, de valeurs efficaces identiques I. cet onduleur, non étudié dans cet exercice, est alimenté par une batterie et l électronique de commande est piloté par un calculateur. Un ensemble de sondes positionnées dans la machine permettent par la mesure du champ magnétique de déterminer la position angulaire du rotor. De même deux capteurs de courant permettent de déterminer toutes les propriétés du courant dans chaque phase. Un calculateur inclus dans le dispositif d autopilotage, non étudié analyse ces données et génère la commande adéquate de l onduleur de courant permettant de fixer l angle d autopilotage On suppose que les matériaux magnétiques constituants la machine sont idéaux. 1. Le véhicule électrique est une navette de masse voisine de 800 kg, qui doit être capable de monter une pente de 10% à la vitesse constante de 50 km/h. En supposant que la puissance perdue à cause des frottements de l air et des pertes dans les transmissions mécaniques est de l ordre de 3 kw estimer la puissance que doit développer le moteur afin de maintenir la vitesse du véhicule constante.

5 2. a. On désigne par L l inductance d une phase et on néglige la résistance des enroulements. En régime permanent on désigne par U la représentation complexe de la tension d alimentation d une phase, I celle de l intensité du courant et E celle de la force contre électromotrice. Rappeler le schéma électrique d une phase en fonctionnement moteur. b. En régime permanent à la vitesse de rotation = 6, tr/min, l angle d autopilotage = - /3, représente le déphasage de E par rapport à I. La constante électromécanique de cette machine synchrone vaut 0,19 Wb et l inductance équivalente d une phase 1,6 mh. Le moteur doit développer une puissance mécanique nominale de 15 kw. Déterminer la puissance électromagnétique nécessaire et en déduire la valeur efficace de l intensité du courant dans chaque phase. c. Déterminer, à l aide d un diagramme de Fresnel, la valeur efficace de la tension d alimentation d une phase. 3. A 6000 tr/min le couple utile délivré à la charge mécanique vaut 23 N.m. Calculer le rendement du moteur. IV. Détermination des paramètres d un moteur synchrone On étudie un moteur synchrone diphasé bipolaire dont on cherche à déterminer les principaux paramètres. Le circuit rotorique est parcouru par un courant d excitation continu Ie maintenu constant pendant tous les essais. Le circuit diphasé statorique est parcouru par deux courants sinusoïdaux de pulsation, déphasés de /2, de valeurs efficaces identiques I. 1. En régime permanent quelle est la relation entre la vitesse de rotation du moteur et? 2. On désigne par L l inductance d une phase et on néglige la résistance des enroulements. En régime permanent on désigne par U la représentation complexe de la tension d alimentation d une phase, I celle de l intensité du courant et E celle de la force contre électromotrice. Rappeler le schéma électrique d une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement alternateur. 3. a. La valeur efficace de la force contre électromotrice s écrit sous la forme E = Que représente? De quels paramètres dépend-elle? b. Afin de mesurer on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse 6, tours/min. Le dipôle de sortie d une phase étant court-circuité, la mesure de l intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur Icc = A. Calculer l inductance L d une phase. V. Freinage d un véhicule par récupération On reprend exactement les mêmes hypothèses que celles de l exercice III. 1. Au lieu de monter la pente de 10%, le véhicule la descend. Estimer la puissance de freinage que la machine synchrone doit développer pour garder une vitesse constante de 50 km/h. La puissance consommée à cause des frottements de l air et des pertes dans les transmissions mécaniques est de l ordre de 3 kw. 2. a. On désigne par L l inductance d une phase et on néglige la résistance des enroulements. En régime permanent on désigne par U la représentation complexe de la tension d alimentation d une phase, I celle de l intensité du courant et E celle de la force contre électromotrice. Rappeler le schéma électrique d une phase en fonctionnement générateur. b. La commande de l onduleur impose un angle d autopilotage de /3 et la machine consomme une puis sance mécanique de 8 kw. Déterminer la puissance électromagnétique que fournit l alternateur à sa charge électrique et en déduire la valeur efficace du courant dans chaque phase. c. Déterminer la valeur efficace de la tension délivrée par chaque phase à l alternateur.

6 3. On souhaite récupérer la puissance électrique délivrée par l alternateur et stocker l énergie électrique ainsi obtenue dans une batterie. Proposer un dispositif permettant de réaliser ce transfert de puissance. VI. Association d une machine synchrone et d une machine à courant continu Un banc de machine comprend une machine synchrone (MS) à stator diphasé et une machine à courant continu (MC). Elles ont le même arbre de rotation et il est possible : - de connecter MS à un réseau électrique alternatif, que l on suppose diphasé pour simplifier - d alimenter l induit de MC avec un générateur délivrant une tension continue U réglable de 0 à 60 V. - Un dispositif de mesure de la vitesse de rotation donne en permanence l indication de celle-ci. 1. Les machines sont à excitation séparée ; quelle est la signification de ce terme? Dans la suite, on suppose l excitation de chacune constante et qui ne varie pas. 2. Au démarrage, le dispositif est immobile. Est-il possible de connecter la machine synchrone sur le réseau alternatif? Est-il possible de connecter MC sur son alimentation? 3. MC est alimentée par la source de tension et les deux enroulements statoriques sont connectés aux voies d un oscilloscope. On fait croitre progressivement U à partir de la valeur nulle. Qu observe-t-on à l oscilloscope? 4. Lorsque la fréquence des tensions statoriques est égale à celle du réseau alternatif, on arrête de faire croître U. Quelle est alors la vitesse de rotation des machines? On note Uo = 60 V. Déterminer alors la constante de MC. On raccorde maintenant MS au réseau alternatif, et on déconnecte MC de son alimentation. 5. Que devient la tension aux bornes de MC? On place aux bornes de l induit de MC une résistance réglable R. 6. Doit-on partir d une grande valeur de R que l on diminue progressivement ou peut on commencer par une faible résistance que l on fait croître ensuite? Comment évolue la vitesse de rotation lors de la phase de variation de R? 7. Quel problème limite en pratique la gamme de variation de R? Le couple maximal que peut fournir MS est limité à Cmax = 20 N.m. Le rhéostat utilisé pour constituer R est limité à 10 A. Quelle valeur limite de R est utilisable? La machine synchrone permet-elle d atteindre cette situation? VII. Moteur série et freinage rhéostatique Un petit moteur à courant continu dont les résistances des enroulements ont pour valeur r = 5 pour l induit est monté en série avec un rhéostat de résistance totale RT = 100 l ensemble étant alimenté par une différence de potentiel constante de valeur U = 210 V. Si l on cout-circuite le rhéostat, on constate que le courant fournit par la U source a pour intensité 2A et que le moteur tourne à la vitesse de rotation de rotation constante de 2000tr/min en fournissant un couple C que l on supposera constant dans la suite de l exercice. On admet que dans le moteur, les pertes de puissance autres que les pertes par effet Joule sont négligeables. a. Calculer C b. Calculer la valeur R que l on doit donner au rhéostat pour que la fréquence de rotation du moteur soit de 1000 tr/min. c. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la puissance utile et le rendement de l installation. d. Pour quelle valeur de R, le moteur ne tourne-t-il plus? RT