Électrocinétique. Tout le cours. Classe prépa PCSI MPSI PTSI. Bernard Gendreau. Christophe Gripon

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Électrocinétique. Tout le cours. Classe prépa PCSI MPSI PTSI. Bernard Gendreau. Christophe Gripon"

Transcription

1 Classe prépa PCSI MPSI PTSI Électrocinétique Bernard Gendreau Christophe Gripon Professeur de chaire supérieure en classes préparatoires à l École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Professeur en classes préparatoires à l École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Tout le cours

2 Sommaire Circuit électrique en régime stationnaire - Définitions Courant électrique Intensité Loi des nœuds Tension aux bornes d un dipôle Loi des mailles Conventions d orientation pour un dipôle Dipôle actif, dipôle passif Conducteur ohmique Loi d Ohm Sources d énergie électrique Modélisation d un dipôle actif Point de fonctionnement d un circuit Voltmètre et ampèremètre... 0 savoir résoudre les exercices... Puissance en régime stationnaire - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle Caractéristiques d un conducteur ohmique... 9 savoir résoudre les exercices Association en série Association en parallèle Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d un générateur Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels Méthodes d étude d un circuit... 3 savoir résoudre les exercices Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension - Circuit C série... - Circuit L série Circuit LC série Établissement d un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique Approximation des régimes quasi permanents (AQP)... savoir résoudre les exercices Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Introduction... - Utilisation des nombres complexes Impédances complexes Théorèmes généraux Lois d association Étude d un circuit LC, résonances... savoir résoudre les exercices... Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent

3 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé - Puissance instantanée et puissance moyenne Aspects énergétiques de l étude du circuit LC série... 9 savoir résoudre les exercices Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre - Fonction de transfert d un quadripôle linéaire Filtre Diagramme de Bode d un filtre Filtre passe-bas du premier ordre Filtre passe-haut du premier ordre Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre Équation différentielle d un système du premier ordre Stabilité Caractère intégrateur ou dérivateur d un filtre... 0 savoir résoudre les exercices... - Filtre passe-bas du deuxième ordre Filtre passe-bande du deuxième ordre Filtre passe-haut du deuxième ordre Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre Équation différentielle d un système du deuxième ordre Stabilité savoir résoudre les exercices Index Filtres du deuxième ordre

4 retenir l essentiel Circuit électrique en régime stationnaire Définitions Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils de jonction et dans lequel circule un courant électrique. Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes. Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles. Une maille est une partie d un circuit électrique formant un contour fermé. Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs. Fig. A D 4 F D3 D6 D emarque L orientation arbitraire de la branche BCDE est donnée par la flèche. L intensité I est positive si les porteurs de charge positive se déplacent dans le sens choisi arbitrairement. B D5 E C D4 I D Le circuit est constitué des dipôles D, D, D3, D4, D5 et D6 reliés par des fils de jonction. Par exemple dans la figure : B et E sont des nœuds du circuit. La maille ABEFA est constituée des dipôles D, D6, D5, et D. Les contours fermés ABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit. BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sont indépendantes du temps.

5 Courant électrique Intensité Loi des nœuds.. Courant électrique Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans un conducteur. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge positive. C est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative... Orientation d une branche elation entre charge et intensité dq I = I en ampère (A) q en coulomb (C) t en seconde (s) Après calcul, c est le signe de la valeur de l intensité I qui donne le sens réel du courant : I 0 signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens choisi arbitrairement ; I 0 signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens inverse du sens choisi. Fig. A I = 3 A B Avant d étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement (voir figure ) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontée de la lettre I pour l intensité. L intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C est une grandeur algébrique. Elle est mesurée à l aide d un ampèremètre. Soit dq la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section de conducteur pendant une durée élémentaire. L intensité s écrit : Ici, le sens réel du courant est de B vers A..3. Loi des nœuds En régime stationnaire, il n y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conservation de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge. Attention L intensité en amont d un dipôle est égale à sa valeur en aval ; le courant «ne s use pas» dans un dipôle. Loi des nœuds La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent : I + I I3 I4 = 0 ε k I k = 0. I ε k = +, si l intensité est orientée vers le nœud ; N ε k =, si l intensité est orientée à partir du nœud. Conséquence : l intensité est la même en tout point d une branche car elle ne contient pas de nœud. Fig. 3 I3 I I = I0 I4 I = I0 Circuit électrique en régime stationnaire 5

6 retenir l essentiel 3 Tension aux bornes d un dipôle Loi des mailles 3.. Tension aux bornes d un dipôle La tension entre deux points d un dipôle est la grandeur électrique mesurée entre ces deux points par un voltmètre. Elle est représentée par une flèche. C est une grandeur algébrique et elle s exprime en volt (symbole V). Fig. 4 A B Dipôle U 3.. Loi des mailles On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire). D ε k U k = 0. U le longd une maille Attention Les résultats obtenus en appliquant la loi des mailles sont indépendants du sens de parcours choisi. ε k = +, si la flèche tension U k est dans le sens du parcours ; ε k =, si la flèche tension U k est dans le sens opposé à celui du parcours. D3 D U3 U4 U D4 U5 D5 Sur la figure ci-dessus : maille parcourue dans le sens horaire : U + U + U 3 U 4 + U 5 = 0 ; maille parcourue dans le sens anti-horaire : U U U 3 + U 4 U 5 = 0. 4 Conventions d orientation pour un dipôle Dipôle actif, dipôle passif 4.. Convention récepteur et convention générateur Conseil Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orientation des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension. Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour la tension U : le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c est la convention générateur ; ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c est la convention récepteur. Fig. 5 Conventions d orientation d un dipôle Convention générateur Convention récepteur I U 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa I U La somme des tensions aux bornes des dipôles d une maille est nulle :

7 4.. Dipôle actif, dipôle passif La caractéristique d un dipôle est la courbe U = f ( I ) donnant la tension U à ses bornes en fonction de l intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe I = g (U ). Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l origine. Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l origine. a) Caractéristique d un dipôle actif. b) Caractéristique d un dipôle passif. U U O 5 I I O Fig. 6 Conducteur ohmique Loi d Ohm 5.. Conducteur ohmique Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d un courant provoque un effet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor. 5.. Loi d Ohm Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d Ohm. Loi d Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur : Conseil Orienter de préférence un conducteur ohmique en convention récepteur et appliquer la loi U = I. Si le conducteur ohmique est orienté en convention générateur, la relation devient U = I. U = I U tension aux bornes d un conducteur ohmique (V) résistance d un conducteur ohmique en ohm (Ω) I intensité du courant qui traverse le conducteur (A) La caractéristique d un conducteur ohmique est une droite. C est un dipôle passif. La conductance G est l inverse de la résistance ; elle s exprime en siemens (symbole S). I U = I Fig. 7 U O I Circuit électrique en régime stationnaire 7

8 retenir l essentiel 6 Attention Ne pas oublier que la tension E est indépendante de l intensité I du courant débité. Attention Ne pas oublier que le courant débité I 0 est indépendant de la tension U aux bornes. Fig. 8 Sources d énergie électrique Modélisation d un dipôle actif 6.. Sources idéales d énergie 6... Source ou générateur idéal de tension C est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice (noté f.é.m.), entre ses bornes Source ou générateur idéal de courant C est un dipôle actif qui impose un courant constant d intensité I 0, appelé courant électromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. a) Générateur idéal de tension en convention générateur U E I I E O U = E quel que soit I b) Générateur idéal de courant en convention générateur U I0 I = I 0 quel que soit U I0 I O U 6.. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d un dipôle actif 8 Dans de nombreuses applications l expérience montre qu on peut modéliser un générateur réel par l association : d un générateur idéal de tension et d un conducteur ohmique en série dont la résistance est appelée résistance interne du générateur ; c est le modèle linéaire de Thévenin. ou d un générateur idéal de courant et d un conducteur ohmique en parallèle dont la conductance est appelée conductance interne du générateur ; c est le modèle linéaire de Norton. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

9 Fig. 9 + I U Conseil Pour la modélisation de Thévenin, la flèche tension correspondant à la f.é.m. doit être orientée du pôle du générateur vers le pôle +. Pour la modélisation de Norton, la flèche courant correspondant au c.é.m. doit être orientée du pôle du générateur vers le pôle +. eprésentation de Norton eprésentation de Thévenin U r g = ----r I r E gu I ri I0 U = E ri U I = I 0 gu, soit I = I r Caractéristique Caractéristique U U emarque Les deux représentations sont équivalentes, ce qui impose : r = r et E = ri 0. (voir chapitre 3.) O I0 I Modélisation linéaire de Thévenin d un dipôle actif (générateur de tension) 7 I0 O I Modélisation linéaire de Norton d un dipôle actif (générateur de courant) E Point de fonctionnement d un circuit Le point de fonctionnement d un circuit comportant deux dipôles est le point d intersection des caractéristiques de ces deux dipôles. Fig. 0 Point de fonctionnement d un circuit En noir, caractéristique du dipôle () En couleur, caractéristique du dipôle () Ip Dipôle en convention générateur Up U () Up P Dipôle en convention récepteur () Ip I O Circuit électrique en régime stationnaire 9

10 retenir l essentiel 8 Voltmètre et ampèremètre 8.. Mesure des tensions D U V 8.. Mesure des intensités L intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçant A D un ampèremètre en série avec le dipôle. Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifie pas l intensité du courant qui traverse le dipôle. La tension aux bornes d un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle. I Attention Les voltmètres et ampèremètres sont toujours considérés comme idéaux dans les exercices, sauf indication contraire. On ne doit pas tenir compte de leur présence dans les calculs. La tension U aux bornes d un dipôle D se mesure en plaçant un voltmètre en parallèle. Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas la tension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension. Un voltmètre idéal n est traversé par aucun courant ; sa résistance est infinie. 0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

11 savoir résoudre les exercices Caractéristique d un générateur non linéaire On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter un générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la caractéristique ci-dessous. I U U (V) ,05 0, 0,5 0, I (A) On considère que la caractéristique est linéaire tant que l intensité du courant est inférieure à 0,0 A. En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures les modèles linéaires du générateur : a. modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résistance interne r ; b. modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur I 0 et la résistance interne r. Caractéristique du générateur Ce générateur alimente un résistor de résistance. Déterminer la valeur limite lim du domaine linéaire. 3 Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur alimente un résistor de résistance = 0 Ω. résolution méthodique On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées du point limite de linéarité : ( 0,0 A ; 4,0 V ) Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supérieure à 4,0 V. a. En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne : U = E U r = E ri () U = E pour I = 0 ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante : E = 9,0 V. Circuit électrique en régime stationnaire

12 savoir résoudre les exercices U (V) ,05 0, 0,5 0, I (A) Caractéristique du générateur r est l opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V) 9 4 et (0,0 A ; 4,0 V). Il vient r = , soit : 0, r = 50 Ω + I + r E U Ur U b. En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne : r Ir I + I + U I0 U Faire attention aux sens d orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doivent être dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif. L application de la loi des nœuds conduit à I = I r + I 0 U U = r I donc I = I 0 U = r I 0 r I () r r étant l opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de r calculée plus haut. Cherchons à retrouver ce résultat d une autre manière : U = r I 0 pour I = 0, on en déduit graphiquement que r I 0 = 9,0 V. I = I 0 pour U = 0. On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partie linéaire de la caractéristique la valeur I 0 = 0,8 A. r I 0 = 9,0 V et I 0 = 0,8 A r = 50 Ω. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa I

13 emarque : En comparant les relations () et () on constate que r = r et r I 0 = E, ces relations sont générales et seront utilisées au chapitre 3. Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (conven- I tion récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur (figure ci-dessous). U U (V) Le tracé d une caractéristique n a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont définies sur un schéma. 40 Ω = 40 Ω 0,05 0, 0,5 0, I (A) La caractéristique du générateur n est plus linéaire pour I I lim = 0,0 A et U lim - = 40 Ω. Il faut donc que : U U lim = 4,0 V. À la limite, lim = I lim lim = 40 Ω 3 La résistance étant inférieure à lim, on est en dehors du domaine linéaire ; il faut donc utiliser la méthode graphique de résolution. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure suivante). Elle passe par le point (0,0 A ;,0 V) et entre deux points de la caractéristique du générateur. Le point de fonctionnement est le point d intersection du segment qui relie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordonnées sur les axes : 0,3 A et,4 V La détermination graphique est toujours entachée d erreurs, ici de l ordre de 0 %. Circuit électrique en régime stationnaire 3

14 savoir résoudre les exercices La résolution graphique s impose quand le comportement d un ou de plusieurs dipôles d un circuit est non linéaire. U (V) point de fonctionnement 0,05 0, 0,3 0,5 0, I (A) Caractéristique du générateur en conclusion correspondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif du générateur. Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. La résolution graphique s impose quand le comportement d un ou de plusieurs dipôles d un circuit est non linéaire. Modélisation d une diode Soit U D la tension aux bornes d une diode à jonction et I l intensité du courant qui la traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales : I I = 0 si U D 0,60 V (on dit que la diode est bloquante) ; U D = 0I + 0,60 si I 0 (on dit que la diode est passante). Le domaine d utilisation de la diode est U D U Dmin = 3,0 V et I I max = 0,0 A. UD Montrer que, selon les valeurs de la tension U D, la diode est équivalente à un interrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension. Tracer la caractéristique I = f ( U D ). 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa La flèche tension correspondant à la f.é.m. d un générateur, ou la flèche courant

15 3 La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui com- prend un générateur réel, de résistance interne r = 5,0 Ω et de f.é.m. E ajustable, et un résistor de résistance = 5 Ω. Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur E = 0,0 V, on constate qu un courant traverse le circuit. Calculer l intensité I, la tension U D et la tension U G aux bornes du générateur. I UD UG 4 Calculer la valeur E min en deçà de laquelle la diode est bloquante. 5 Exprimer la relation simple entre les tensions U D et U G quand la diode est bloquante. 6 Tracer la courbe U D = f ( U G ). Pour U D 0,60 V, l intensité qui traverse la diode est nulle. La diode est équivalente à un interrupteur ouvert. Pour I 0, on peut écrire la tension U D sous la forme I U D = r I + E. Par identification, on a : E = 0,60 V et r = 0 Ω r = 0 Ω E = 0,60 V La diode est équivalente à l association série d un générateur idéal de tension et d un résistor (figure ci-contre). UD résolution méthodique Il faut faire attention à l orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant la force électromotrice E et la tension U D. Pour I = 0, la caractéristique est le segment compris entre les points ( 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0). Pour I 0, la caractéristique est le segment d équau tion I = D- 0,060, de pente 0,0 Ω compris 0 entre les points (0,60 V ; 0) et (,6 V ; 0,0 A). Elle est limitée au point : (U Dmax = 0, , =,6 V ; 0,0 A). La caractéristique est une courbe continue (figure ci-contre). I (A) 0, 0,08 0,06 0,04 UD 0,0 UG (V) 3 0 0,60 UD max =,6 V 3 Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisable par l association série du générateur idéal de tension E et du résistor r. eprésentons le circuit équivalent. Circuit électrique en régime stationnaire 5

16 savoir résoudre les exercices Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I ) et choisissons la convention récepteur pour chacun des résistors. Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orientation des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. Diode r I E r ri r UD UG I E I En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des mailles, il vient : 9,4 E I r I E ri = 0 E E = ( + r + r )I I = = 0, I = 0,3 A 9,4 D où U D = E + r I = 0, = 3, U D = 3,7 V et U G = E ri = 8,4 V Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de la tension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I. 4 Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur E min de la f.é.m. est celle pour laquelle l intensité s annule. D après la relation E E = ( + r + r )I, il vient immédiatement : E min = E et U Gmin = E min = 0,60 V En deçà de cette valeur la diode est bloquante. Une application de la relation E E = ( + r + r )I avec E E conduirait à une valeur négative de l intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode. La valeur de l intensité (ou de la tension) obtenue par l utilisation d un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Générateur

17 5 La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui est le cas quand U G U Gmin = 0,60 V. eprésentons le circuit équivalent (ci-dessous). Les tensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement : Diode ri = 0 r UD = UG UD UG I = 0 E I=0 Générateur 6 Calculons les valeurs extrêmes E min et E max de la tension E imposée par les conditions aux limites de fonctionnement de la diode : U Gmin = U Dmin = 3,0 V ; U Gmax = E + ( + r )I max, soit U Gmax = 3, V. Quand la diode est bloquante U D = U G. Pour ce régime, la courbe U D = f ( U G ) est le segment de pente unitaire compris entre les points ( 3,0 V ; 3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire : d où : U G I U D = 0 et U D = E + r I, E + r U r r U D = E U G U D = G + r 9 + 0U G A.N. : U D = Pour ce régime, la courbe U D = f ( U G ) est le segment de pente 0,40 compris entre les points (0,60V ; 0,60 V) et (3, V ;,6 V). UD (V),6 V 0,60 V 3 0,60 V 3, V UG (V) La courbe complète est tracée ci-contre. C est une courbe continue qui présente une rupture de pente quand la diode passe du régime bloquant au régime passant. 3 en conclusion Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orienta- tion des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. La valeur de l intensité (ou de la tension) obtenue par l utilisation d un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. Circuit électrique en régime stationnaire 7

18 retenir l essentiel Puissance électrocinétique reçue par un dipôle La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est : Attention La relation = UI n est applicable qu en convention récepteur. puissance du dipôle en watt (W) = UI U tension aux bornes du dipôle (V) I intensité du courant qui traverse le dipôle (A) Conséquences La puissance reçue par un dipôle en convention générateur est : = UI. La puissance fournie par un dipôle est égale à l opposée de la puissance reçue... Signe de la puissance reçue et caractère d un dipôle La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le caractère générateur ou récepteur du dipôle. Conseil Choisir de préférence la convention générateur pour un dipôle de caractère générateur et la convention récepteur pour un dipôle de caractère récepteur. 8 Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu il reçoit est positive. Il transforme l énergie qu il reçoit en une autre forme d énergie (thermique, mécanique, lumineuse ) Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il reçoit est négative. Il transforme en énergie électrique une autre forme d énergie. Il est équivalent d écrire : (i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il fournit est positive ; (ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il reçoit est négative. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Puissance en régime stationnaire

19 .. Bilan de puissance dans un circuit La puissance reçue est l énergie reçue par unité de temps. Comme l énergie, la puissance se conserve. La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d un circuit est égale à la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit. On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d un circuit est nulle. Caractéristiques d un conducteur ohmique.. ésistance d un conducteur ohmique homogène et de section constante L = ρ --S : résistance d un conducteur ohmique en ohm (Ω) ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω m) L : longueur du conducteur (m) S : section du conducteur (m) Fig. Section d aire S La résistance d un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. ) est : longueur L La résistivité ρ est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la température... Effet Joule dans un conducteur ohmique Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d énergie thermique dans ce dernier ; c est l effet Joule. La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention récepteur) : U = UI = I = : résistance en ohm (Ω) I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V) Puissance en régime stationnaire 9

20 savoir résoudre les exercices Transfert de puissance On considère un générateur de f.é.m. E = 0 V et de résistance interne r = 5,0 Ω alimentant un résistor de résistance = 5,0 Ω. i Déterminer la tension U aux bornes du résistor r et l intensité I du courant qui le traverse. Calculer les puissances dissipées par effet Joule. U E 3 Calculer la puissance reçue par le générateur idéal de tension. 4 Faire un bilan de puissance pour l ensemble du circuit. Orientons le circuit et la tension U comme l indique le schéma de l énoncé. Le générateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur. Ce choix des orientations est «naturel» car nous «devinons» qu il conduira à des valeurs positives de l intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d autres, les résultats seraient les mêmes. La tension U s écrit de deux manières : U = I et U = E ri. D où 0 5I = 5I. Ce qui conduit à : I =,0 A et U = 5,0 V On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens de parcours donné (voir figure) : E ri U = 0, avec U = I. i I On arrive au même résultat. r U E Il y a effet Joule dans les deux résistors et r. Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance = UI = I. D où : = 5,0 W Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance : r = U r I = ri = 5,0 W 0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa résolution méthodique

21 Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d appliquer la relation reçu = UI ; U et I sont orientés en sens opposés. 3 Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance : E = EI = 0 W. Il fournit donc la puissance + 0 W, résultat attendu puisque c est la source d énergie. Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré. On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec la puissance reçue par le générateur qui s écrit : gén = UI = ( E I ) I = 5,0 W. 4 La puissance fournie par le générateur idéal (0 W) est entièrement dissipée par effet en conclusion La relation reçu = UI ne s applique que si U et I sont orientés en sens opposés (convention récepteur). Joule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor (5,0 W). Adaptation d impédance On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui alimente un radiateur électrique modélisable par un dipôle résistif de résistance. L effet du passage du courant est thermique ; c est l effet Joule. Exprimer la puissance reçue par le radiateur r U E en fonction de E, de r et de. Quelle est la valeur de la puissance quand = 0? Quelle est la valeur de la puissance quand la résistance est très grande? Que peut-on en déduire? 3 Déterminer la valeur 0 de pour laquelle la puissance dissipée dans le radia- teur est maximale? eprésenter l allure de la courbe donnant la puissance en fonction de. Puissance en régime stationnaire

22 savoir résoudre les exercices 4 Dans le cas où le radiateur a la résistance 0, exprimer la puissance thermique 0 dissipée dans le radiateur et la puissance thermique r 0 dissipée dans le générateur en fonction de E et de 0? Faire un bilan de puissance. 5 Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal? En déduire le type de générateur qu il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique. résolution méthodique On choisit les sens d orientation définis sur le schéma i ci-contre. La loi d Ohm permet d écrire : Ur r U E = UI = I E = (r + ) ( = 0 ) = 0 La résistance r est négligeable devant quand est très grand, d où : E E - = ( r ) est toujours positive, nulle pour = 0 et infini ; il existe donc (au moins) un maximum de la puissance. Prendre l habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analyse trop rapide, faite à partir de l expression = I conduirait à proposer que est maximale quand est infini! Ce serait oublier que I dépend également de. 3 Point Maths. Une fonction f ( x ) de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la df dérivée par rapport à x est nulle. dx Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa U r = ri et U = I. Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s écrit : E U + E U r = 0, d où I = r+ Le résistor étant en convention récepteur, la puissance qu il reçoit est :

23 étant une fonction de, sa valeur est extrémale (minimale ou maximale) quand sa dérivée par rapport à est nulle. d ( r + ) ( r + ) = E d ( r + ) d = 0 si r + = 0 0 = r d Cette condition est appelée «adaptation d impédance». Il n existe qu un extremum ; c est un maximum. df Point Maths. Une fonction f ( x ) est maximale quand la dérivée seconde par rapport à x est dx négative au point où elle est extrémale. d E Vérifions qu il en est bien ainsi pour la puissance : = < 0. d 0 8 E E E 4 = 0 I = et r = ri = 0 I = ; donc : = r = E La puissance reçue par le générateur de tension s écrit E = EI = Bilan : + r + E = 0 ou E = + r. La puissance fournie par le générateur de tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l autre moitié dans le radiateur. 0 5 De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l on récupère (ce qui nous «intéresse») et ce que l on fournit (ce que l on «dépense»). Ici, il s agit de transférer de l énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s écrit donc : η = = --- = 50 % E I I η = = = = Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est +r E E EI maximal quand r = 0! Le rendement est alors égal à 00 %. On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimenter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne. en conclusion En général, quand on cherche la valeur d un paramètre pour laquelle une grandeur physique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre. Prendre l habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Puissance en régime stationnaire 3

24 retenir l essentiel Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent Conseil Pour savoir si des dipôles sont en série, toujours se poser la question : sont-ils tous parcourus par le même courant? Association en série Des dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont traversés par le même courant... Association de résistors en série... Loi d association N résistors de résistance (,,, N ) associés en série sont équivalents à un seul résistor de résistance éq égale à la somme des résistances de chacun d eux : () éq = N Fig. Association série de trois résistors I U U U = U + U + U3 4 3 I éq = U3 U Démonstration : U = U + U + U 3 = I + I + 3 I = ( )I = éq I. L intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n est modifié si l on permute les positions des résistors. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l étude d un circuit électrique en régime permanent se fait à l aide «d outils» dont le choix facilite la résolution de problèmes.

25 Fig. I I et ne sont pas en série ( I I ). et 3 ne sont pas en série ( I I 3 ). Seuls et 4 sont en série (le courant I qui traverse est le même que celui qui traverse 4). On peut appliquer éq = + 4. I3 4 3 E... Diviseur de tension La figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à une tension U. On cherche les tensions U et U aux bornes de chacun d eux. Attention Si les flèches correspondant à U ou U ne sont pas dans le même sens que celle correspondant à U, il faut mettre un signe dans leurs expressions. Il ne faut pas appliquer ces relations lorsque les deux résistors ne sont pas en série. Par exemple sur le schéma de la figure, et (ou et 3) ne forment pas un diviseur de tension. Seuls et 4 forment un diviseur de tension. Diviseur de tension I U U U = et U = U U U U Démonstration : U = ( + )I I = U U - et U = I U = U = I U = Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes ( E ; r ), ( E ; r ),, ( E N ; r N ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. E éq et de résistance interne r éq. Fig. 3 E éq = ε E + ε E + + ε k E k + + ε N E N r éq = r + r + + r N ε k = + si les pôles du générateur ( E k ; r k ) sont placés dans le même sens que les pôles du générateur ( E éq ; r éq ) (la flèche correspondant à Ep est dans le même sens que celle de Eéq) ; ε k = dans le cas contraire. emarque : les résistances s associent comme énoncé au... Fig. 4 Association série de trois générateurs E ; r E ; r E3 ; r3 + + E + E E3 E éq ; r éq I + E éq I E éq = E + E E 3 r éq = r + r + r 3 Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) : 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 5

26 retenir l essentiel Fig. 5 Conseil Pour associer des générateurs en série, commencer par modéliser tous les générateurs en représentation de Thévenin. Modélisation de générateurs en série I r E r I r3 E r éq E3 E éq U U E éq = E + E E 3 U = E + r I + E + r I + r3 I E3 r éq = r + r + r 3 U = E éq + r éq I.3. Loi de Pouillet Fig. 6 Cette loi permet d obtenir l intensité circulant dans une maille constituée de N résistors (,, N ) et N générateurs caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes ( E ; r ), ( E ; r ),, ( E N ; r N ). ε E + ε E + + εk Ek + + εn EN I = r + r + + rn N ε k = + si la flèche correspondant à E k est dans le même sens que celle correspondant à l orientation de I ; ε k = dans le cas contraire. Maille constituée de trois générateurs et de trois résistors E ; r E ; r + + E Attention Ne pas appliquer ces relations pour un circuit constitué de plusieurs mailles. Il est erroné d écrire pour la figure que : E I 3 = Fig. 7 E3 ; r3 + E E3 3 I E E E3 Pour la figure 6, on obtient I = r + r + r Démonstration : On utilise la représentation de Thévenin pour les générateurs. Les lois d association série pour les générateurs et résistors conduisent au circuit équivalent de la figure 7 : eprésentation d un circuit équivalent U r éq E éq ; r éq + I r éq E éq E éq = E + E + E 3 I éq = r éq = r + r + r 3 éq éq U éq 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Conseil Pour un circuit à une maille, utiliser directement la loi de Pouillet pour calculer l intensité du courant qui y circule. Trouver le résultat en appliquant la loi des mailles fait perdre du temps.

27 Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient : U éq + U réq + E éq = 0 U réq = r éq I et U éq Conseil Pour savoir si des dipôles sont en parallèle, toujours se poser la question : sont-ils tous soumis à la même tension? E E E3 E éq - = I = r r + r + r = éq I éq éq Association en parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun. Ils sont soumis à la même tension... Association de résistors en parallèle... Loi d association () G éq = = éq N Fig. 8 Association parallèle de trois résistors I I I I3 I N résistors de conductance ( G, G,, G N ) associés en parallèles sont équivalents à un seul résistor de conductance G éq égale à la somme des conductances de chacun d eux : G éq = G + G + + G N G éq = G + G + G 3 G éq = = éq 3 3 U U U U U Démonstration : I = I + I + I 3 = = ( G + G + G 3 )U = G éq U. 3 La tension U étant la même aux bornes de chaque résistor, rien n est modifié si l on permute les positions des résistors Fig. 9 U U E n est pas en parallèle avec 3 ( U U 3 ) 3 n est pas en parallèle avec 4 ( U 3 U 4 ) Seuls 3 et l ensemble ( + 4 ) sont en parallèle ( U 3 = U + U 4 ) 3 U3 4 U = ( + 4 ) éq 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 7

28 retenir l essentiel... Diviseur de courant La figure 0 représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d intensité totale I. On cherche les intensités I et I parcourant chacun d entre eux. Attention Si I ou I ne sont pas dans le sens de I, il faut faire intervenir un signe dans leurs expressions. Il ne faut pas appliquer ces relations lorsque les deux résistors ne sont pas en parallèle. Par exemple sur la figure 9, où et 3 ne forment pas un diviseur de courant, seuls 3 et l ensemble ( + 4 ) forment un diviseur de courant. Diviseur de courant I G I I I = = G + G + I I G I I I = = G + G U Démonstration : U = I = I et I = I + I I I I = ( I I ) I = et ( I I ) = I I = Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par leurs courants électromoteurs c.é.m. et conductances internes ( I 0 ; g ), ( I 0 ; g ),, ( I 0N ; g N ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. I éq et de conductance interne g éq. I éq = ε I 0 + ε I ε k I 0k + + ε N I 0N - = g éq = g + g + + g N ----rn r r r éq ε k = + si les pôles du générateur ( E k ; r k ) sont placés dans le même sens que les pôles du générateur ( E éq ; r éq ) (la flèche correspondant à I 0k est dans le même sens que celle de I 0éq ) ; ε k = dans le cas contraire. emarque : les conductances s associent comme énoncé au... Fig. Association parallèle de trois générateurs I 0 ; r 0 + I 0 ; r 0 I 0éq ; r éq + I 03 ; r Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa + I I 0éq = I 0 I 0 + I 03 - = g éq = g + g + g r r 3 r r éq Fig. 0

29 Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Norton (fig. ) : Fig. Cas a) Cas b) I r Conseil Pour associer des générateurs en parallèle, commencer par modéliser tous les générateurs en représentation de Norton. I 0 I éq I r I I 0 r éq I 0éq I3 r3 I U I 03 Démonstration : U = r I = r I = r3 I3 Cas a) I = I + I 0 + I I 0 + I 3 + I 03 U = r éq I éq Cas b) I = I éq + I 0éq U U U U I éq + I 0éq = I + I 0 + I I 0 + I 3 + I I 0éq = I I I 03 r3 r r éq r Par identification entre les deux membres de l égalité, on obtient : I 0éq = +I 0 I 0 + I 03 - = ( g éq = g + g + g 3 ) ----r r3 r r éq 3 U Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d un générateur Un générateur de tension de Thévenin (E ; r ) est équivalent à un générateur de E courant de Norton ( I 0 ; g ) où I 0 = --- et g = ---. r r Fig. 3 a) générateur de tension de Thévenin E = r I 0 r = --g b) générateur de courant de Norton g = --r gu I E I 0 = ---r I = I 0 gu U = E ri U 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 9

30 retenir l essentiel Démonstration : E U Figure 3 a) : U = E ri I = r r Or figure 3 b) : I = I 0 gu. Par identification entre les deux expressions de I, on obtient : E I 0 = --- et g = ---. r r 4 Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels Entre deux points A et B quelconques d un cirfig. 4 A B cuit la tension U AB s écrit sous la forme de la différence des potentiels en A et en B : U AB = V A V B. La flèche est dirigée du point B UAB vers le point A (fig. 4). Si U AB est positif, V A V B et la flèche tension est dans le sens des potentiels croissants. Les potentiels V sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de potentiel, que l on mesure avec un voltmètre, a un sens physique. 4.. Masse d un circuit En électronique, la masse est un point d un circuit à laquelle on attribue arbitrairement un potentiel nul. Il sert de référence des potentiels. Le symbole est : emarque : on appelle aussi «masse» la carcasse métallique d un appareil électrique qui a vocation à être reliée à la terre par l intermédiaire de la prise de terre. La Terre étant conventionellement au potentiel nul, cette carcasse électrique peut servir de référence de potentiel Loi des nœuds en termes de potentiels Théorème de Millman Considérons L résistors de résistance (,, L ) ayant un nœud commun N. Soit ( I, I, I L ) les intensités circulant dans chacun des résistors et orientés vers le point N (fig. 5). Soit V N le potentiel du nœud N et V, V, V L les potentiels de l autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s exprime alors par : I + I + + I L = 0, 30 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Fig. 5 UL U3 L 3 U I IL N I3 U I V VN V V3 4.. Tension et potentiel

31 VL VN V VN V VN - = 0, et peut s écrire sous la forme : ou G ( V V N ) + G ( V V N ) + + G L ( V L V N ) = 0 (3) VN V V V LG V + G V + + GL VL L = ou V N = G + G + + GL L emarque : Si certaines branches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenir compte de leurs c.é.m. dans l expression de la loi des nœuds. 5 Méthodes d étude d un circuit On considère un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensités des courants et tensions dans une ou plusieurs branches? 5.. Loi des nœuds en termes de potentiels Lorsqu un circuit est constitué de plusieurs branches partant de points de potentiel imposé (par exemple une ligne de masse) et aboutissant à un même nœud N, la loi des nœud en terme de potentiel (ou le théorème de Millman) permet d obtenir très rapidement le potentiel de N. On peut alors facilement en déduire l intensité circulant dans chacune des branches. Conseil Il est souvent très utile pour simplifier les calculs, quand aucune masse n apparaît sur un circuit, d en choisir une, placée de façon pertinente, en un point donné du circuit. Cela ne pose aucun problème car le potentiel est défini à une constante près. emarque : la relation (3) est indépendante des sens d orientation choisis pour les différentes intensités. La relation (3) conduit à l expression du théorème de Millman : 5.. éduction du circuit La méthode, décrite ci-dessous étape par étape, est particulièrement performante si on cherche uniquement l intensité du courant qui circule dans une branche particulière du circuit (ou la tension à ses bornes). Si l on doit calculer des intensités ou des tensions correspondant à d autres branches, il faut à nouveau appliquer la méthode, branche par branche. Conseil Inclure la branche AB dans les associations de dipôles est une erreur fréquente. Il faut absolument distinguer formellement cette branche du reste du circuit. re étape. Isoler sur le schéma électrique la branche à travers laquelle circule l intensité que l on veut calculer, par exemple en la repérant entre des points A et B et en entourant tout le reste du circuit. Si le sens de I n est pas imposé, le choisir de façon arbitraire. Fig. 6 I este du circuit A Dipôle (ou association série de dipôles) quelconque U AB B 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 3

32 retenir l essentiel e étape. Associer l ensemble des générateurs et/ou résistors situés dans le «reste du circuit» (lois d associations série et/ou parallèle des générateurs et/ou résistors) afin de se ramener à un circuit simple (par exemple un résistor ou un générateur en représentation de Norton ou de Thévenin). On dit qu on a «réduit le circuit». 3e étape. Si le circuit simple obtenu est : un générateur en représentation de Norton, alors il suffit d appliquer la relation du diviseur de courant pour obtenir l intensité I ; un résistor ou bien un générateur en représentation de Thévenin, alors on a un circuit équivalent à une seule maille et il suffit d appliquer la loi de Pouillet pour obtenir l intensité I. Ayant I on peut alors facilement en déduire la tension U AB Utilisation directe des lois de Kirchhoff On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nœuds et la loi des mailles. Cette méthode conduit à des calculs lourds et ne doit être appliquée que si les méthodes précédentes ne sont pas applicables. re étape. eprésenter tous les générateurs en représentation de Thévenin : on a alors un circuit à N mailles indépendantes. e étape. À chaque maille, associer un courant I k orienté de façon arbitraire. On a ainsi N inconnues. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud. On obtient l intensité qui circule dans chaque branche en fonction des N différents I k. 4e étape. Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N équations. 5e étape. ésoudre le système de N équations à N inconnues. 3 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa emarques Si N = cette méthode aboutissant à une inconnue et une équation donne la loi de Pouillet. Cette méthode conduit à des calculs assez lourds dès que En pratique, N. elle est surtout utile lorsque l on cherche l ensemble des intensités et tensions de chaque branche.

33 savoir résoudre les exercices Étude d un circuit simple par trois méthodes On considère le circuit suivant. Déterminer l intensité du courant qui circule dans les diverses branches en utilisant d abord la loi des nœuds en terme de potentiel, la méthode de réduction du circuit et enfin la méthode d utilisation directe des lois de Kirchoff. Conclure. r E résolution méthodique On choisit un sens arbitraire pour les différentes intensités circulant dans les trois branches, mais les choix retenus ici sont assez «naturels», c est-à-dire que l on s attend, lorsque E 0, à des valeurs positives pour I, I et I r. Aucune masse n apparaît sur le schéma de l énoncé, il faut en placer une en un point donné afin de simplifier les calculs. Il va de soi que le résultat obtenu est indépendant du point choisi. On peut prendre comme référence le potentiel du fil représenté par la ligne inférieure du schéma (masse) : VM = 0 et E = V A V M = V A. Le théorème de Millman donne directement V N : VM VM VA E ( r ) r V N = = r + r r N A I Ir r Méthode : loi des nœuds en termes de potentiels E M I On en déduit : V Er I = N = r+ r+ VN E = I r = r + r + E ( r + ) VN E I = = r + r + Prendre l habitude de vérifier, quand on a une expression sous la forme d une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particulières de résistances, on pourrait aboutir à une valeur infinie, ce qui n a pas de sens physique. 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 33

34 savoir résoudre les exercices Méthode : réduction du circuit Calcul de I On isole la branche NM dans laquelle circule I (voir schéma ci-dessous). On cherche à transformer la partie du circuit encadrée en une seule branche. On reconnaît l association parallèle de deux résistors. r En introduisant e = , on a l équivalence ci-dessous entre les deux circuits. r + N N r E M e E M I I Il suffit alors d appliquer la loi de Pouillet et on obtient : En réduisant le circuit, on a perdu l information concernant I, il faut donc le réduire différemment pour avoir I. Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l information perdue? En ai-je besoin? Calcul de I On isole donc la branche CM dans laquelle circule I : C C I I r E M r E --- M Figure Figure On reconnaît (fig. ) dans la partie du circuit qui alimente le dipôle CM un générateur de force électromotrice E et de résistance interne (représentation de Thévenin encadrée en pointillés) en parallèle avec le résistor r. Puisqu ils sont en parallèle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. C est sous cette forme que ce dernier apparaît sur la fig. dans le cadre en pointillés. Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton. 34 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa E ( r + ) E I = I = éq ( r + ) + r

35 On associe les deux résistors en parallèle (fig. 3), r soit e = r + C I Il y a alors deux possibilités. Première possibilité : on applique la formule du diviseur de courant, ce qui conduit à : e G r E E I = = avec e = G e + G e + r + E --- e M Figure 3 Er I = r + + r C e I E e M Er I = r + + r Figure 4 Calcul de I r Il ne faut pas reprendre la méthode générale utilisée pour I et pour I, pour ce circuit à deux mailles indépendantes. La simple application de la loi des nœuds en N donne : E I r = I I = r + r + Deuxième possibilité : on poursuit la réduction du circuit à une seule maille en transformant la représentation de Norton du générateur encadré en pointillés sur la figure 3 en représentation de Thévenin (fig. 4). Il suffit alors d appliquer la loi de Pouillet : r E e I = , avec e = e + r + Méthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff Le circuit est composé de deux mailles indépendantes, par exemple ( ; r ) et ( r ; ; E ). On pourrait penser à tort que le circuit est constitué de trois mailles en considérant aussi la maille ( ; ; E ) mais cette dernière n est pas indépendante des deux autres. En revanche, au lieu de choisir les deux mailles ( ; r ) et ( r ; ; E ), on pourrait tout aussi bien choisir ( ; r ) et ( ; ; E ) ou encore ( r ; ; E ) et ( ; ; E ), cela ne changerait rien au résultat. Méthode : re étape. La représentation de Thévenin est déjà utilisée pour le générateur ( E ; ) e étape. Les sens arbitraires pour les intensités ont été choisis précédemment. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds au point N, ce qui donne l intensité du courant I r dans la branche contenant r. 4e étape. Choisir un sens pour les flèches de tensions, un sens de parcours pour chacune des deux mailles et appliquer la loi des mailles. 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 35

36 savoir résoudre les exercices U = I ; U = I ; Ur = r ( I I ) U N I I U () r Ur () E I I Maille () : U E + U r = 0 I + r ( I I ) E = 0 () Maille () : U U r = 0 I r ( I I ) = 0 () ri + E () I = r En injectant cette expression de I dans l expression (), on arrive à : Er I = r + + r Et on en déduit : E(r+ ) I = r + r E I = I I = r r + r + emarque : Les trois méthodes conduisent aux mêmes résultats. en conclusion Vérifier, quand on a une expression sous la forme d une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l information perdue? En ai-je besoin? La loi des nœuds en terme de potentiel est bien adaptée ici pour trouver rapidement l ensemble des intensités recherchées. La réduction du circuit est une méthode lourde ici car on cherche I et I. Toutefois si l on ne cherchait que l une ou l autre de ces valeurs, cette méthode nécessite moins de calculs que l utilisation directe des lois de Kirchoff. 36 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 5e étape. ésoudre le système de deux équations à deux inconnues.

37 Étude d un circuit comportant un potentiomètre Considérons un réseau constitué de générateurs A idéaux de f.é.m. E et E alimentant une même I résistance r. Le circuit est fermé par l intermér diaire d un potentiomètre CD et muni d un cur- E seur B réalisant un contact mobile dont la B position est caractérisée par un paramètre réel x [ 0 ; ]. La résistance totale de la branche C D C ( x ) x et D est, le curseur sépare la partie CB (résistance x), de la partie BD (résistance ( x )). Calculer l intensité I du courant circulant dans la branche centrale du circuit. E On ne cherche que la valeur d une seule intensité, la méthode de réduction du circuit est donc bien adaptée. On pourrait aussi utiliser la loi des nœuds en terme de potentiel mais nous ne la traitons pas dans cette correction. On isole tout d abord la branche AB à travers laquelle circule l intensité que l on veut calculer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en évidence les associations en parallèle et en série. On reconnaît en effet les associations suivantes : le générateur de f.é.m. E et le résistor x sont en série ; résolution méthodique le générateur de f.é.m. E et le résistor ( x ) sont en série ; les générateurs de Thévenin ( E ; x ) et ( E ; ( x ) ) sont en parallèle. Prendre l habitude de refaire les schémas pour : faire apparaître clairement les associations série et parallèle ; distinguer clairement la branche AB du réseau qui l alimente. A E E G E r C D x F ( x ) I B H 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 37

38 savoir résoudre les exercices Pour mieux séparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des branches AB et GH, cela facilite le travail de réduction à un générateur équivalent du réseau alimentant AB. E E G A r E C D ( x ) x F H I B Puisque les générateurs de Thévenin ( E ; x ) et ( E ; ( x ) ) sont en parallèle, on peut directement les associer en utilisant les formules vues en cours ; ces deux générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m : I 0éq r A r I0éq E E = , x ( x ) éq I B et de résistance interne : ( x ) ( x ) éq = = x ( x ). x + ( x ) On reconnaît un diviseur de courant, d où : I 0éq éq E ( x ) xe I = I = éq + r x ( x ) + r en conclusion eprésenter différemment un schéma électrique pour faciliter les associations de dipôles. () Quand un générateur est en série avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Thévenin du générateur pour les associer. () Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. 38 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa On peut positionner les trois branches en parallèle EF, AB et GH dans n importe quel ordre car cela ne modifie pas les propriétés du circuit. En effet, les points E, A et G sont tous les trois au même potentiel, de même que F, B et H. Il est souvent utile de le faire.

39 retenir l essentiel Quand on connecte les différents éléments d un circuit, les grandeurs électriques telles que l intensité et la tension évoluent au cours du temps. On dit que le régime est transitoire. Il dépend des conditions initiales. Après une durée suffisamment longue, théoriquement infinie, l évolution est indépendante des conditions initiales ; le régime est permanent. Un régime permanent continu est un régime indépendant du temps. Les grandeurs constantes seront notées en lettres majuscules ; les grandeurs variables seront notées en lettres minuscules. Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension Circuit C série.. Caractéristiques d un condensateur Un condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un matériau isolant. Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en l absence d indication particulière, un condensateur est considéré comme idéal, c est-à-dire qu aucun courant ne traverse le matériau isolant. La capacité C d un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 39

40 retenir l essentiel emarque On peut retenir la relation sous la forme q A = Cu AB, équivalente à qb = CuBA. q charge de l armature A en coulomb (C). u = va v B tension aux bornes en volt (V ). q = Cu A B i q q C capacité du condensateur en farad (F ). En convention récepteur : u du q charge d une armature en coulomb (C). dq i = = C i intensité du courant arrivant sur l armature portant la charge q en ampère (A). Un condensateur stocke de l énergie électrique entre ses armatures. Le stockage est réversible. wc u tension aux bornes du condensateur en volt (V). w C énergie stockée dans le condensateur en joule ( J). q = --- Cu = C C capacité du condensateur en farad (F ). Démonstration de l expression de l énergie à partir de la puissance p reçue : dw C d u du p = ui = dw C = u C = C w C = --- Cu. L énergie, la tension aux bornes et la charge d un condensateur sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité... Circuit C série soumis à un échelon de tension... Montage d étude L interrupteur K est dans la position (a) (fig. ). L intensité du courant et la tension aux bornes du condensateur sont nulles. Fig. a) Circuit C soumis à un échelon de tension (interrupteur dans la position (b)). (b) (a) b) Échelon de tension. e K E E e i C u O t... Échelon de tension 40 Quand on bascule l interrupteur K de la position (a) à la position (b), la tension e passe instantanément de la valeur nulle à la valeur E. On dit que le circuit C est soumis à un échelon de tension (figure b)). Dans la suite nous supposerons que l interrupteur bascule à la date t = 0. À la date t = 0, il est dans la position (a). À la date t = 0 +, il est dans la position (b). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa (L énergie est nulle quand la tension est nulle.) Une variation instantanée de l énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible.

41 emarque La constante τ est aussi appelée temps de relaxation, ou durée (ou temps) caractéristique...3. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. Constante de temps Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : i + u = E. L équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d un circuit C du série soumis à un échelon de tension E est : τ u = E. τ = C est la constante de temps du circuit C...4. ésolution de l équation différentielle. Évolution de la tension Point méthode. ésolution de l équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul.. ésoudre l équation différentielle sans second membre en introduisant une constante.. echercher la solution particulière de l équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l équation différentielle complète avec la constante. 4. Déterminer la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir : continuité de la tension aux bornes d un condensateur ; continuité de l intensité du courant qui traverse une bobine. APPLICATION DE LA MÉTHODE du. ésolution de l équation différentielle sans second membre τ u = 0. Point maths. Écrire l équation caractéristique de l équation différentielle : τr + = 0. Exprimer la solution r de l équation caractéristique : r = ---. τ Exprimer la solution u ssm en introduisant une constante : u ssm = Ae rt = Ae t -τ, L équation différentielle de la tension est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. avec A = constante.. Solution particulière u p de l équation différentielle complète : u p = E. 3. Solution générale u = u ssm + u p de l équation différentielle complète : t --- Attention Il faut d abord écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante. u = Ae τ + E. 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur : u t = 0 + = u t = 0. Il vient : A + E = 0 A = E. La solution de l équation différentielle complète s écrit : t --u = E e τ...5. Courbe normalisée de l évolution de la tension u t Introduisons les variables réduites (sans dimension) x = -- et y = ---- ; on dit qu on effectue E τ une réduction canonique, ou que les grandeurs sont normalisées. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 4

42 retenir l essentiel dy L équation différentielle normalisée est y =. La solution normalisée est y = e x. dx La courbe normalisée donnant y en fonction de x est donnée (figure a). dy Pente à l origine de la courbe normalisée : =. dx Courbe normalisée de l évolution de l intensité t i E -du t i = C = ---- e τ. La courbe normalisée est celle de en fonction de -- (figure 3b). τ E Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) pour un circuit C soumis à un échelon de tension. a) b) u ---E i -----E 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, t -τ t -τ a) emarquer la continuité de la tension à t = 0. b) emarquer la discontinuité de l intensité à t = égime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d une durée infinie. En réalité il est prau ( 5τ ) - = 0,99. La constante tiquement atteint, à % près, au bout d une durée 5τ puisque E de temps caractérise l évolution du régime transitoire. En régime permanent continu : U p = E ; I p = 0 ; Q p = CE. Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime permanent continu (figure 3). Fig. 3 I p = 0 U I p = constante p = 0 U p = constante Un condensateur en régime permanent continu est équivalent à un interrupteur ouvert. 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Fig.

43 ..8. Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : W C = --- CU p --- Cu t = 0 = --- CE. Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : WE = 0 Ei = EQ p = CE. Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : W = W E W C = --- CE. En régime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reçue par le circuit C est nulle. Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on bascule brutalement l interrupteur K de la position (b) à la position (a). On dit que le circuit C est en régime libre (fig. 4). Soit t = 0 la date du basculement. L équation différentielle de la tension u se réduit à : du τ u = 0, t ---τ. t E ---L intensité est i = ---- e τ. En régime permanent continu : U p = 0 ; I p = 0 ; Q p = 0. dont la solution est u = Ee Toute l énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. Fig égime libre du circuit C Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) d un circuit C en régime libre. a) b) u ---E i -----E 0 0,8 0, 0,6 0,4 0,4 0,6 0, 0, t ----τ 4 6 t ----τ 8 a) emarquer la continuité de la tension à t = 0. b) emarquer la discontinuité de l intensité à t = 0. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 43

44 retenir l essentiel Circuit L série.. Caractéristiques d une bobine Une bobine est un dipôle constitué d un enroulement de fil conducteur autour d un matériau magnétique. Elle a toujours une résistance, celle du fil. Une bobine idéale est une bobine dont on peut négliger la résistance ; elle est caractérisée par son inductance propre. Une bobine réelle d inductance L et de résistance r peut L r être considérée comme l association en série d une bobine i idéale d inductance L et d un résistor de résistance r. u En l absence d indication dans un exercice sur la valeur de sa résistance, une bobine est considérée comme idéale. Le passage du courant provoque le stockage d énergie magnétique dans la bobine. Le stockage est réversible. w L = --- Li i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). w L énergie stockée dans la bobine en joule ( J). L inductance propre de la bobine en henry (H). Démonstration de l expression de l énergie à partir de la puissance p reçue : dw L d i di p = ui = dw L = Li = L w L = --- Li. (L énergie est nulle quand le courant est nul.) Une variation instantanée de l énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. L énergie et l intensité du courant qui traverse une bobine sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité... Circuit L série soumis à un échelon de tension... Équation différentielle de l intensité. Constante de temps Supposons qu à date t = 0, la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le circuit L (figure 5) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : di i + u = E, d où L i = E. 44 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Fig. 5 e i L u En convention récepteur : i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). di u tension aux bornes en volt (V). u = ri + L L inductance propre de la bobine en henry (H). r résistance de la bobine en ohm (Ω).

45 L équation différentielle de l intensité du courant qui traverse la bobine d un circuit L série soumis à un échelon de tension E est : E di τ i = L τ = --- est la constante de temps du circuit LC.... Évolution de l intensité qui traverse la bobine idéale Appliquons la méthode de résolution de l équation différentielle donnée au paragraphe..4. (point méthode ).. Solution de l équation différentielle sans second membre : t -- i ssm = Be rt = Be τ, avec B = cte.. Solution particulière de l équation différentielle complète : E i p = Solution générale de l équation différentielle complète : t -E i = ---- e τ. t -τ E Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : E E i t = 0 + = i t = 0 B = 0 B = La solution de l équation différentielle complète s écrit : i = Be..3. Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéale L évolution de la tension aux bornes est : t -di u = L = E e τ...4. Courbes normalisées t i La courbe normalisée de l intensité est celle donnant en fonction de -- : τ E t -i = e τ. E t u La courbe normalisée de la tension est celle donnant ---- en fonction de -- : τ E t -u ---- = e τ. E 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 45

46 retenir l essentiel Fig. 6 Évolutions de l intensité (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. a) b) i -----E u ---E 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, t -τ 0 4 t -τ 6 a) emarquer la continuité de l intensité à la date t = 0. b) emarquer la discontinuité de la tension à la date t = égime permanent continu i ( 5τ ) En réalité, il est pratiquement atteint au bout d une durée 5τ puisque = 0,99. E L Le temps de relaxation τ = --- donne un ordre de grandeur de la durée réelle du régime transitoire du circuit L soumis à un échelon de tension. E En régime permanent continu : U p = 0 et I p = Du point de vue des courants et des tensions, une bobine idéale est équivalente à un interrupteur fermé en régime permanent continu. Ip = constante Up = 0 Ip = constante Up = Bilan énergétique Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire s écrit : W L = --- LI p --- Li t = 0 + = --- LI p. En régime permanent continu : la puissance reçue par la bobine est nulle : P Lp = U p I p = 0 ; la puissance P Ep = EI p fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor : E P p = I p = I p ---- = EI p..3. égime libre du circuit L 46 Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on éteint la source ; le circuit est en régime libre. Soit t = 0 la date de l extinction. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Le régime permanent continu est atteint au bout d une durée infinie.

47 L équation différentielle de l intensité se réduit à : di τ i = 0, t t ---E ---di dont la solution est i = ---- e τ. La tension est u = L = Ee τ. En régime permanent continu : U p = 0 et I p = 0. Toute l énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. Courbes normalisées des évolutions de l intensité (a) et de la tension (b) d un circuit L en régime libre. a) b) i -----E u ---E 0,8 0, 0,6 0,4 0,4 0,6 0, 0, t ----τ Fig t ----τ a) emarquer la continuité de l intensité à t = 0. b) emarquer la discontinuité de la tension à t = 0. 3 Circuit LC série 3.. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur Supposons qu à date t = 0, la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le circuit LC (Fig. 8) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : du di i + L u = E, avec i = C Fig. 8 i L e C u E u d u du D où = LC L LC 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 47

48 retenir l essentiel L équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d un circuit LC série soumis à un échelon de tension E est : du du d u ω 0 du σω ω 0 u = ω 0 E ou ω 0 u = ω 0 E. Q ω 0 = est la pulsation propre du circuit LC. Elle s exprime en rad s. LC T 0 = LC est la période propre du circuit LC. Elle s exprime en s. C σ = = est le coefficient d amortissement du circuit LC. C est un L Lω 0 paramètre sans dimension (nombre). On définit aussi le facteur de qualité Q par : Lω L Q = = = = σ C C ω ésolution l équation différentielle réduite d du dx du du du du du En posant x = ω 0 t, il vient : = = ω et = ω = ω dx dx dx dx u En posant aussi y = ----, la réduction de l équation différentielle conduit à : E dy dy σ y =. dx dx L équation différentielle obtenue est une équation différentielle normalisée ; x et y sont des variables sans dimension. Point méthode. ésolution de l équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et à second membre non nul.. ésoudre l équation différentielle sans second membre en introduisant deux constantes.. echercher la solution particulière de l équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l équation différentielle complète avec les constantes. 4. Déterminer les constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : continuité de la tension aux bornes d un condensateur ; continuité de l intensité du courant qui traverse une bobine. APPLICATION DE LA MÉTHODE. ésolution de l équation dy dy σ y = 0. dx dx différentielle réduite Point maths. Écrire l équation caractéristique de l équation différentielle : r + σr + = 0. Écrire le discriminant réduit de l équation caractéristique : = ( σ ). 48 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa sans second membre éduction canonique de l équation différentielle

49 Si σ Q ---, le discriminant est positif ; le régime est apériodique. Si σ Q ---, le discriminant est négatif ; le régime est pseudo-périodique. Si σ = Q = ---, le discriminant est nul ; le régime est critique. Exprimer la solution de l équation caractéristique. Si σ, les solutions sont réelles : r = σ + et r = σ. Si σ, les solutions sont complexes. On pose : = j avec j =. D où : r = σ + j et r = σ + j Si σ =, la solution est double : r = r =. Exprimer la solution de l équation différentielle sans second membre. Si σ, alors y ssm = A e r x + A e r x avec A et A constantes réelles. Si σ, alors y ssm = e σx [ B cos ( x ) + B sin ( x ) ] avec B et B constantes réelles, ou y ssm = B e σx cos ( x + ϕ ) avec B et ϕ constantes réelles. Si σ =, alors y ssm = e x [ C x + C ] avec C et C constantes réelles.. Solution particulière de l équation différentielle complète : y p =. 3. Solution générale de l équation complète. a. égime apériodique ( σ ) y = + A e r x + A e r x. b. égime pseudo-périodique ( σ ) emarque Le régime critique est un cas limite sans réalité physique car la valeur de σ ne peut être exactement égale à. y = + e σx [ B cos ( x ) + B sin ( x ) ] ou y = + B e σx cos ( x + ϕ ). c. égime critique ( σ = ) y = + e x [ C x + C ]. 4. Conditions initiales imposées au circuit À la fermeture de l interrupteur (date t = 0 + ) : la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité. S il est initialement déchargé, alors : u ( 0 ) = 0. D où : y ( 0 ) = 0. l intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité donc : du i ( 0 ) = C (0) dy = dx (0) = 0. On en déduit les valeurs des constantes dans chacun des cas. a. égime apériodique y( 0 ) = + A + A = 0 ; dy -----dx (0) = r A + r A = 0 r r - ; A = A = r r r r 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 49

50 retenir l essentiel b. égime pseudo-périodique y( 0 ) = + B = 0 ; dy -----dx (0) = σb + σ ; B = 0 σ B = ; B = σ c. égime critique y( 0 ) = + C = 0 ; dy -----dx (0) = C + C = 0 C = C =. La solution complète de l équation différentielle s écrit : a. égime apériodique σ + σ y = e ( σ + σ σ )x σ + σ e ( σ σ σ )x. b. égime pseudo-périodique σ y = e σx cos ( σ x ) sin ( σ x ). σ c. égime critique y = e x [ x + ] Évolution de la tension et de l intensité u Il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, x par ω 0 t et y par E a. égime apériodique σ + σ u σ Q --- ; ---- = e ( σ + E σ σ )ω 0 t σ + σ e ( σ σ σ )ω 0 t b. égime pseudo-périodique σ u σ Q --- ; ---- = e σω0 t cos ( ω 0 σ t ) sin ( ω 0 σ t ) E σ L expression fait apparaître la pseudo-pulsation : ω = ω0 σ. Pseudo-période : T0 T = = = ω σ ω0 σ c. égime critique u σ = Q = --- ; ---- = e ω0 t [ ω 0 t + ]. E 50 du L expression de l intensité se déduit de celle de la tension par la relation i = C Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa.

51 3.4. ésistance critique La valeur limite σ = correspond à la valeur critique C de : L C = ---. C Le régime est apériodique si C (amortissement important). Le régime est pseudo-périodique si C (faible amortissement). Le régime est critique si = C (amortissement critique, cas limite sans réalité physique) Durée du régime transitoire En régime apériodique, le terme e ( σ + σ )ω 0 t dont la décroissance est la plus lente donne la durée caractéristique du régime apériodique : τ = ( σ + σ )ω 0 En régime pseudo-périodique et en régime critique, c est l enveloppe exponentielle Q e σ ω0 t qui donne la durée caractéristique du régime : τ = = ω0 σω égime permanent continu U Lp = 0 ; I p = Courbes normalisées Fig. 9 Évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. a) b) u ---E,4, i CE ω 0 En régime permanent continu : U Cp = E ; 0,6 0,4 0,8 0, 0,6 0, ω0 t 0, 0, ω0 t En trait fin, σ = 0,5 (régime pseudo-périodique) ; en points, σ = 3,5 (régime apériodique) ; en pointillés, σ = (régime critique) Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : W C = --- CU p --- Cu t = 0 = --- CE. Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire : W L = --- LI p --- Li t = 0 = 0. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 5

52 retenir l essentiel Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : WE = 0 Ei = E 0 i = EC 0 du = CE. Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : W = W E W C W L = --- CE. En régime permanent continu, le courant est nul, donc la puissance reçue par le circuit LC est nulle. 4 Établissement d un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique Lorsqu on soumet un circuit C, L, ou LC à une tension périodique de période T, un régime permanent périodique de même période T apparaît, après un régime transitoire de durée caractéristique du circuit ; on dit que c est un régime périodique forcé. Fig. 0 Tension (en noir) aux bornes du condensateur d un circuit C soumis à une tension en créneaux (en couleur). 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,0 égime transitoire 0,04 t 0,06 0,08 0, égime périodique forcé 4.. Circuit LC soumis à une tension alternative sinusoïdale 5 La figure montre qu après le régime transitoire le régime permanent périodique est établi. Il est alternatif sinusoïdal, de même période que celle de la tension source. On dit que le régime est sinusoïdal forcé ; son étude sera faite au prochain chapitre. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 4.. Circuit C soumis à une tension en créneaux Une tension en créneaux est une tension périodique qui prend une valeur constante pendant la première demi-période puis une valeur nulle pendant la seconde (courbe en couleur sur la figure 0). La figure montre qu après un régime transitoire, un régime permanent périodique de même période que celle de la tension en créneaux est établi. On dit qu il s agit d un régime périodique forcé car la source impose sa période au circuit. Le régime est établi quand lorsque les tensions extrêmes sont constantes ; la frontière entre les deux régimes n est pas nettement marquée.

53 Tension (en noir) aux bornes du condensateur d un circuit LC soumis à une tension sinusoïdale (en couleur) ,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, 0,4 t 0 5 égime transitoire 5 égime sinusoïdal forcé Approximation des régimes quasi permanents (AQP) Considérons le circuit de la figure. Fig. K P Le condensateur C est initialement A déchargé. ip (t ) Après la fermeture de l interrupteur K, les ampèremètres indiquent-ils, à E chaque instant, la même valeur de l intensité? L expérience montre que l intensité i Q ( t ) est en retard sur l intensité i p ( t ) : i Q ( t ) = i p ( t θ ). On dit que le courant se propage dans le circuit. Q A iq (t ) Fig. C Le retard θ est lié à la distance PQ et à célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide par la relation : PQ θ , avec c = 3,0 0 8 ms. c Une étude complète doit être menée dans le cadre de l électromagnétisme ; elle sera abordée en deuxième année. La durée de propagation est négligeable si elle est très petite devant les durées caractéristiques d un régime (temps de relaxation, période) ; on dit alors que le régime est quasi permanent, ou quasi stationnaire. L approximation des régimes quasi permanents (AQP), ou approximation des régimes quasi stationnaires (AQS) consiste à négliger les effets liés à la propagation des courants et des tensions ; l intensité est la même en tous les points d une branche d un circuit. L approximation est justifiée pour tous les circuits étudiés en électrocinétique. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 53

54 savoir résoudre les exercices égime libre d un circuit C On considère un condensateur de capacité C =,0 µf, dont l armature supérieure porte la charge Q 0 = 0 µc, placée dans le circuit suivant. Le résistor a une résistance = 0 kω. Quelle est la charge portée l armature inférieure? K Quelle est la tension U 0 aux bornes du condensateur? i Q0 3 Quelle est l énergie W C stockée par le condensa- u C teur? À la date t = 0, on ferme l interrupteur K. 4 Quelles sont les valeurs u t = 0 de la tension et i t = 0 de l intensité? Quelles sont les valeurs U p de la tension et I p de l intensité en régime permanent? 7 Établir l équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur. 8 ésoudre l équation différentielle. En déduire les expressions u ( t ) et i ( t ) de la tension et du courant. 9 Tracer la courbe donnant la tension u ( t ) en fonction du temps. 0 Déterminer la date θ à laquelle la tension est égale à % de la tension initiale. θ Exprimer le rapport --- et conclure. τ résolution méthodique Un condensateur déchargé est neutre. Quand on le charge, des charges opposées s accumulent sur les armatures ; le condensateur reste neutre. Une des armatures porte la charge Q 0 = 0 µc, l autre porte la charge : Q 0 = 0 µc Avec l orientation imposée par le schéma, la tension est positive : Q 0 = CU 0 U 0 = 0 V 3 WC = --- CU 0 = --- Q 0 U 0 = 50 µj 54 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 6 Calculer la constante de temps τ du circuit.

55 4 La tension aux bornes d un condensateur est une fonc- K i tion continue, donc : ut = 0 + = u t = 0 = U 0 = 0 V Appliquons la loi d Ohm au résistor : it = 0+ u C ut = 0+ = =,0 ma 5 Le condensateur se décharge dans le résistor ; son énergie y est dissipée par effet Joule. U En régime permanent : Up = 0 (car W Cp est nulle ) et I p = p = 0 6 τ = C = 0 ms 7 Appliquons la loi d Ohm au résistor : u = i. dq du i = = C , d où : du τ u = 0 du La relation i = C ne s applique que si le condensateur est en convention récepteur. En du convention générateur il faut écrire : i = C Soit dq la variation de la charge de l armature supérieure pendant la durée. Il vient : 8 L équation précédente est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre nul. Appliquons la méthode donnée au. de «etenir l essentiel» (point méthode ). a. Solution de l équation différentielle : u = Ae t -τ avec A = cte. b. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension : u t = 0 + = u t = 0 = U 0 U 0 = Ae 0 = A. c. Solution complète de l équation différentielle : u = U0 e t -τ ; u ( t ) = 0e 00 t ( V ) La résolution d une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l introduction d une constante. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : de la tension aux bornes des condensateurs ; ou de l intensité du courant qui traverse les bobines. 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 55

56 savoir résoudre les exercices On en déduit l intensité en appliquant la loi d Ohm : U 0 -tu i = --- = e τ A.N. : i ( t ) =,0e 00t ( ma ). u (V ) 0 9 La courbe est celle tracée ci-contre. 0 La date θ à laquelle la tension est égale à % 8 de la tension initiale est telle que : u θ = 0e 00θ = 0 e 00θ = 0 6 θ = 0 ln ( 0 ) = 0 ln ( 0 ) 4 = 4,6 0 s θ τ La décharge est pratiquement terminée à la date θ = 5τ. 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 t (s ) Considérons les valeurs suivantes : u -----= 37 % ; U0 t = τ u -----U0 = 3 % ; t = τ u U0 = 5 % t = 3τ On voit que la décharge est pratiquement terminée à la date t = 3τ. en conclusion Faire attention aux conventions d orientation des dipôles. di du La relation i = C pour le condensateur, et la relation u = L pour la bobine ne s appliquent que si ces dipôles sont en convention récepteur. du di En convention générateur il faut écrire : i = C et u = L La résolution d une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l introduction d une constante. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : de la tension aux bornes des condensateurs ; ou de l intensité du courant qui traverse les bobines. La constante de temps τ donne un ordre de grandeur de la durée d un régime transitoire du premier ordre. Le régime permanent est atteint à % près au bout d une durée égale à 5τ. 56 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée réelle d un régime transitoire du premier ordre.

57 Circuit LC parallèle On considère le circuit suivant. Données : C =,0 µ F ; L = 0,0 H ; =,0 k Ω. L armature supérieure porte la charge Q 0 = 0 µ C. À la date t = 0, on ouvre l interrupteur K. i Quelle est la tension U 0 aux bornes du condensateur avant la fermeture de l interrupteur? Quelles sont les valeurs u 0, i 0, i L0 et i de la tension et des intensités après fermeture de l interrupteur? K i il L C u 3 Établir l équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur ω 0 u = 0. Calculer 4 Mettre l équation différentielle sous la forme d u- + σω 0 du dy dy 5 Mettre l équation différentielle sous la forme canonique σ y = 0 en dx dx u posant x = ω 0 t et y = et résoudre l équation différentielle. En déduire les U0 expressions u ( t ) et i ( t ) de la tension et de l intensité. 6 Tracer les courbes correspondantes. la pulsation propre ω 0, le coefficient d amortissement σ et le facteur de qualité Q du circuit. En déduire la nature du régime. résolution méthodique Q 0 = CU 0 U 0 = 0 V Le circuit L ne comporte pas de générateur et l interrupteur K est ouvert ; tous les courants sont nuls avant la fermeture de l interrupteur. L intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue donc : i L0 + = i L0 = 0 La tension aux bornes d un condensateur est une fonction continue, donc : u 0 + = u 0 = U 0 = 0 ( V ) La loi d Ohm aux bornes du résistor s écrit : u = i (il est en convention récepteur), d où : u0+ U i 0 + = = = 0 ( ma ) 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 57

58 savoir résoudre les exercices La loi des nœuds permet d écrire : i 0 + = i i L0 + = i 0 + = 0 ( ma ) 3 Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir : di L du i = i L + i (loi des nœuds), i = C , u = L , et u = i (loi d Ohm). Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. di L du u d d Il vient : u = L = L [ i i ] = L C d u du = L C du u du 4 Divisons l équation par LC : = 0. C LC On peut alors identifier les termes recherchés : ω 0 = = 3, 0 3 rad s LC et ω 0 σ = C L σ = = 0,6 C et C Q = = ---- = 3,6 L σ Les expressions de σ et de Q ne sont pas celles du circuit LC série car les trois composants sont en Lω 0 L parallèle. En série, Q série = = , alors que, Q parallèle = = C Q série Lω 0 emarque : Un circuit LC série devient idéal quand = 0 ; il se réduit alors à un circuit LC. Pour réduire à un circuit LC un circuit LC parallèle il faut que =. On comprend alors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l une de l autre. 58 Le régime est pseudo-périodique car l amortissement est inférieur à (facteur de qualité supérieur à 0,5). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa d u L du Ce qui conduit à : LC u = 0

59 5 Voir 3. de «etenir l essentiel» pour établir l équation différentielle réduite. Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimensions. Cela simplifie sa résolution. Appliquons la méthode donnée dans «etenir l essentiel» (point méthode ) pour résoudre l équation différentielle. a. Solution générale. Équation caractéristique : r + σr + = 0. Discriminant réduit : = σ = 0,98?Moi Solutions : r = σ + j et r = σ + j, avec = j et j =. Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique. Solution de l équation différentielle : y = e σx [ A cos ( x ) + B sin ( x ) ], avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : Continuité de la tension aux bornes du condensateur : Continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : i L0 + = 0. dy Il faut chercher D après la deuxième question, la condition i L0 + = 0 implique dx 0 + u0+ U0 d ( U0 y ) dy du du i 0 + = i 0 + = = U 0 ω ; - = Par ailleurs i 0 + = C et = dx 0 + x d ω0 u t = 0 + = u t = 0 = U 0 y x = 0 = A =. i0+ du dy donc = = = = σ. D où : dx 0 + Cω 0 Cω 0 U 0 Cω σ dy ----= σa + B = σ B = dx 0 C est bien en écrivant la continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine que l on détermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre les constantes est indirecte. σ c. Solution de l équation différentielle y = e σx cos ( x ) sin ( x ). La résolution d une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l introduction de deux constantes : Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : de la tension aux bornes des condensateurs, et de l intensité du courant qui traverse les bobines. 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 59

60 savoir résoudre les exercices A.N. : y = e 0,58x [ cos ( 0,987x ) 0,6 sin ( 0,987x ) ]. Il faut maintenant revenir à la fonction u ( t ) en utilisant les relations x = ω 0 t et u = U 0 y. Sachant que ω 0 = 3, 0 3 rad s et que U 0 = 0 V, il vient : u ( t ) = 0e 5,0 0 t [ cos ( 3, 0 3 t ) 0,6 sin ( 3, 0 3 t ) ] ( V ) du L expression de l intensité se déduit de la relation i = C i ( t ) = e 5,0 0 t [ 0 cos ( 3, 0 3 t ) + 60 sin ( 3, 0 3 t ) ] ( ma ) On vérifie qu à la date t = 0 l intensité est égale à 0 ma. u (V ) i (A) 0 0,05 5 0,04 6 Les courbes sont tracées ci-dessous. 0,03 0 0, ,0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 t (s) 5 0 0,0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 t (s) 0,0 0 0,03 en conclusion Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimension. Cela simplifie sa résolution. La résolution d une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l introduction de deux constantes. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : de la tension aux bornes des condensateurs, et de l intensité du courant qui traverse les bobines.. Le facteur de qualité Q d un circuit LC parallèle s écrit Q = Lω 0 60 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

61 3 Circuit LC On considère le circuit ci-dessous. Données : C =,0 µf et L = 0 mh. Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est U 0 = 0 V. À la date t = 0, on ferme l interrupteur K. i K Calculer la pulsation propre ω 0 est du circuit. Quelle est la valeur du coefficient d amortissement σ du circuit? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q? u C L Montrer que l équation différentielle de la tension du aux bornes du condensateur s écrit : ω 0 u = 0 3 ésoudre l équation différentielle. En déduire les expressions u ( t ) et i ( t ) de la tension et de l intensité. résolution méthodique La pulsation propre du circuit LC est : ω 0 = =,0 0 4 rad s LC 4 Calculer l énergie totale du circuit. Conclure. La résistance du circuit est nulle, donc : σ = 0 et Q = On peut dire que la «qualité» du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dans la réalité la résistance d une bobine n est jamais nulle. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : di du L u = 0, avec i = C Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. du Il vient LC u = 0. D où : du ω 0 u = 0 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 6

62 savoir résoudre les exercices 3 Appliquons la méthode donnée dans «etenir l essentiel» (point méthode ) pour résoudre l équation différentielle. a. Solution générale de l équation différentielle. Équation caractéristique : r + ω 0 = 0 r = ω 0. Posons r = j ω0 avec j =. Les solutions sont complexes : r = jω 0 Solution de l équation différentielle : et r = jω 0. u = A cos ( ω 0 t ) + B sin ( ω 0 t ), avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : Continuité de la tension bornes du condensateur : u t = 0 + = u t = 0 = U 0 A = U 0. Continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : i 0 + = i 0 = 0. du du i 0 + = C = = ω 0 B = 0 B = c. Solution de l équation différentielle : u = U 0 cos ( ω 0 t ) ; u ( t ) = 0 cos (,0 0 4 t ) ( V ) du L expression de l intensité se déduit de la relation i = C En effet : du i = C = CU 0 ω 0 sin ( ω 0 t ) A.N. : i ( t ) = 0,0 sin (,0 0 4 t ) ( A ) Le régime d un circuit LC est sinusoïdal. 4 L énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants : w = w C + w L = --- Cu Li = --- C [ U 0 cos ( ω 0 t ) ] L [ CU 0 ω 0 sin ( ω 0 t ) ] w = --- CU 0 ( [ cos ( ω 0 t ) ] + [ sin ( ω 0 t ) ] ) w = --- CU 0 = 0,0 mj L énergie totale est constante. Elle est égale à l énergie initialement stockée dans le condensateur. en conclusion Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps. L énergie d un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le condensateur et par la bobine. C est un circuit idéal, sans réalité physique. 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa A.N. :

63 retenir l essentiel Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Introduction.. Signaux sinusoïdaux... Définitions Un signal sinusoïdal fonction du temps s écrit (fig. ) : x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ), avec Fig. x (t ) T Xm : amplitude du signal ( 0) ; T est sa période (en s) : X(t) = X(t + T ) ; Xm ω = : pulsation (en rad s ) ; T ω f = : fréquence (en Hz) ; ωt + ϕ : phase à l instant t ; t ϕ : phase à l instant origine. emarque : on appelle en général ϕ tout simplement «la phase» du signal. Attention Les valeurs moyennes sont indépendantes du temps. Point maths. Expression de la valeur moyenne d une fonction périodique. Soit x ( t ) une grandeur périodique de période T. On note x ( t ) sa valeur moyenne : x ( t ) = --T T 0 x ( t ). 5 Circuits linéaires en 63 régime sinusoïdal forcé

64 retenir l essentiel La valeur moyenne d un signal sinusoïdal est nulle (voir tester ses connaissances, exercice ). Attention Les grandeurs efficaces sont indépendantes du temps. Point maths. Expression de la valeur efficace d une fonction périodique Soit x ( t ) une grandeur périodique de période T. On note X e sa valeur efficace : Xe = Attention X Le résultat X e = m n est bien entendu valable que pour un signal sinusoïdal, il ne faut pas l appliquer, par exemple, à un signal créneau ( Xm, Xm). Fig. x ( t ) = --T T 0 x ( t ). Xm la valeur efficace de x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ) vaut X e = (voir tester ses connaissances, exercice ).... Différence de phase entre deux signaux synchrones Soit deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence (elles sont dites synchrones), x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ) et y ( t ) = Y m cos ( ωt + φ ). La différence de phase (déphasage) entre les deux signaux vaut ϕ = φ ϕ. ϕ est l avance de phase du signal y ( t ) sur le signal x ( t ). ) Signaux sinusoïdaux déphasés t y (t ) t t Le décalage temporel t entre les deux courbes correspond à un déphasage ϕ = T Sur la figure, le signal y ( t ) est en avance de phase sur x ( t ) : il atteint son maximum avant x ( t ) (voir exercice, rubrique tester ses connaissances)...3. Caractéristiques principales de l instrumentation électrique au laboratoire a. Générateur de signaux électriques (GBF) Il permet de générer des signaux continus ou variables dans le temps, et notamment des signaux sinusoïdaux. La plupart des GBF comportent un fréquencemètre, qui permet de lire la fréquence du signal utilisé (de quelques Hz à quelques MHz). Pour la plupart des appareils c est ce que l on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire, le signal est disponible entre une borne + et une borne qui est reliée à la carcasse métallique de l appareil, la masse (notion introduite au chapitre 3, 3.). b. Multimètre numérique Cet appareil a trois fonctions : fonction ohmètre : mesure d une résistance. La fonction ohmètre s utilise en connectant les deux bornes de l appareil à celles du dipôle (seul, sans être inséré dans un circuit) ; fonction voltmètre : mesure d une tension ; fonction ampèremètre : mesure d une intensité. 64 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa x (t )

65 Les caractéristiques des fonctions ampèremètre et voltmètre présentées au chapitre, 8. dans le cadre du régime stationnaire restent valables. En mode DC on mesure la valeur moyenne (utilisée par exemple pour mesurer des grandeurs continues) et en mode AC la valeur efficace d une intensité ou d une tension. Aucune des deux bornes de cet appareil n est reliée à la terre de l installation électrique. c. Oscilloscope Il permet de visualiser la forme de signaux électriques (oscillogramme). Il se branche comme un voltmètre. Il assure les fonctions de fréquencemètre, phasemètre (mesure du déphasage entre deux signaux) et voltmètre. Pour la plupart des oscilloscopes, une des deux bornes est reliée à la masse de l appareil c est ce que l on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire... Introduction au régime sinusoïdal forcé sur l exemple d un circuit LC Étudions le circuit LC (fig. 3), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. e ( t ) = E cos ( ωt + ϕ ). La loi des mailles dans le sens indiqué donne : di q e = u + u C + u L e = i + L C Fig. 3 Circuit LC série u q uc C e dq En utilisant i = et dérivant l équation obtenue ci-dessus, on a : di i di de = L (E ) C L ul i Attention Dans une installation électrique, toutes les prises de terre sont reliées entre elles. Les masses du GBF et de l oscilloscope sont communes. L oscilloscope et le GBF ayant donc une de leur borne au même potentiel (nul), il faudra en tenir compte lors de leurs branchements : leurs masses devront être reliées au même point du circuit. On a une équation différentielle du deuxième ordre avec deuxième membre sinusoïdal. La solution est de la forme i ( t ) = i l ( t ) + i f ( t ). i l ( t ) est la solution de l équation différentielle (E ) sans second membre, c est le régime libre, ce type de solution a été étudié au chapitre 4. En appelant τ le temps de relaxation, ou constante de temps, du circuit, on a lim i l ( t ) = 0. i l ( t ) disparaît donc au bout d un t τ temps de l ordre de τ. i f ( t ) est la solution particulière de l équation différentielle, c est le régime forcé, que l on appelle aussi régime permanent ou établi. Compte tenu de la forme de e ( t ), i f ( t ) est aussi une fonction sinusoïdale, de la forme i f ( t ) = I cos ( ωt + ϕ ). lim i ( t ) = i f ( t ). i ( t ) se limite donc à i f ( t ) au bout d un temps de l ordre de τ. t τ L objet de ce chapitre est d étudier le régime sinusoïdal forcé, on se placera donc systématiquement dans le cas où le régime transitoire est amorti et donc négligeable. En fait, tout signal périodique (créneau, triangulaire ) peut se décomposer sous la forme d une somme de signaux sinusoïdaux (analyse de Fourier). L étude du régime sinusoïdal forcé que nous faisons dans ce chapitre est donc utilisable aussi pour traiter n importe quel régime périodique forcé. La méthode la plus générale pour chercher i f ( t ) consiste à remplacer i ( t ) par I cos ( ωt + ϕ ) dans (E ) et d en déduire I et ϕ, cela conduit à des calculs fastidieux. L utilisation des nombres complexes permet de considérablement simplifier cette étude. Les équations différentielles seront en fait remplacées par une équation algébrique sur le corps des complexes. 5 Circuits linéaires en 65 régime sinusoïdal forcé

66 retenir l essentiel Conseil Pour l étude des régimes sinusoïdaux on aura en permanence besoin de manipuler les nombres complexes. Il est primordial que l élève ait une bonne maîtrise de ce chapitre du cours de mathématiques pour pouvoir réussir les exercices d électrocinétique. Utilisation des nombres complexes.. Grandeur complexe associée à un signal sinusoïdal À une grandeur réelle : Fig. 4 x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ), Im ( X ) on associe la grandeur complexe : M x ( t ) = X m exp ( j ( ωt + ϕ ) ). On a x ( t ) = e ( x ( t ) ). On appelle X m = X m exp ( jϕ ) l amplitude complexe de x ( t ). On a x ( t ) = X m exp ( jωt ). ϕ e ( X ) OM = X m ( Ox ; OM ) = ϕ Xm = Xm On a les relations :. ϕ = arg ( X m ) On peut représenter X dans le plan complexe (fig. 4). Si une grandeur réelle est solution d une équation linéaire (différentielle ou non) à coefficient constant, la grandeur complexe associée l est également... Dérivation et intégration Avec x ( t ) = X m exp ( j ( ωt + ϕ ) ), on obtient : dx = jω x et 3 x x = ----jω Impédances complexes 3.. Définitions Considérons un dipôle linéaire représenté en convention récepteur (fig. 5). Soit u ( t ) = U m cos ( ωt + ϕ u ) la tension instantanée. La tension en notation complexe se note u ( t ) = Um exp ( jωt ) ; Fig. 5 i(t ) Um = U m exp ( jϕ u ) est son amplitude complexe. Soit i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ i ) l intensité instantanée. L intensité en notation complexe se note i ( t ) = I m exp ( jωt ) ; I m = I m exp ( jϕ i ) est son amplitude complexe. La loi d ohm en représentation complexe s écrit : u ( t ) = Z i ( t ), soit Um = Z I m. 66 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa u(t )

67 Cette relation définit Z, l amplitude complexe du dipôle Z = + js, avec la résistance du dipôle et S sa réactance, ces grandeurs s expriment en Ohm (Ω). Z = Z est l impédance (Ω) U m = ZI m Z = Z exp ( jϕ ) ; on a donc ϕu = ϕ + ϕi ϕ est donc l avance de phase de la tension u ( t ) sur le courant i ( t ). L inverse de l impédance complexe est l admittance complexe : Y = Z Y = G + jb, avec G la conductance du dipôle et B sa susceptance, ces grandeurs s expriment en Siemens (S). Y = Y est l admittance (S). 3.. ésistor u = i Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : u = i Um = I m, Fig. 6 ésistor en représentation récepteur i U m = I m donc Z =. ϕu = ϕi L impédance complexe d un résistor est Z =. L impédance d un résistor est Z = Z =. La tension aux bornes d un résistor est en phase avec l intensité qui le traverse ( ϕ = 0 ). u On retrouve la loi d ohm en régime continu (chapitre ) pour les amplitudes des signaux sinusoïdaux 3.3. Bobine idéale di u = L ---- Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : di u = L Um = jlω I m, U m = LωI m donc Z = jlω ϕ u = ϕ i + -- Fig. 7 Bobine idéale en représentation récepteur i L u L impédance complexe d une bobine idéale est Z = jlω. L impédance d une bobine idéale est Z = Z = Lω. La tension aux bornes d une bobine idéale est en avance de phase de --- (quadrature avance) avec l intensité qui la traverse. 5 Circuits linéaires en 67 régime sinusoïdal forcé

68 retenir l essentiel Cas limite haute fréquence ( ω ) : Z : la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert. Cas limite basse fréquence ( ω 0 ) : Z 0 : la bobine est équivalente à un interrupteur fermé, donc à un fil. Fig. 8 Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d une bobine idéale ω 0 Basse fréquence ω Haute fréquence 3.4. Condensateur idéal Fig. 9 Condensateur en convention récepteur i C u L impédance complexe d un condensateur idéal est Z = jcω L impédance d un condensateur idéal est Z = Z = Cω La tension aux bornes d un condensateur est en retard de phase de --- (quadrature retard) avec l intensité qui le traverse. Cas limite haute fréquence ( ω ) : Z 0 : le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, donc à un fil. Cas limite basse fréquence ( ω 0 ) : Z : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Fig. 0 Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d un condensateur ω 0 Basse fréquence 68 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa ω Haute fréquence du i = C Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : du i = C I m = jcω Um, Im U = m Cω donc Z = jcω ϕ = ϕ i -- u

69 4 Théorèmes généraux L ensemble des théorèmes vus aux chapitres et 3 pour le régime continu demeurent valables en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant les grandeurs continues (tensions et intensités) par leurs amplitudes complexes et les résistances par des impédances. Les conseils et remarques donnés dans ces chapitres peuvent être transposés à l identique. 4.. Loi des mailles La loi des mailles vue au chapitre est valable pour les tensions instantanées u ( t ), puisque l on est dans le cadre de l AQS. En notant u k ( t ) = Uk exp ( jωt ) pour un sens de parcours donné de la maille, on a : εk uk le long d une maille = 0 εk uk ( t ) le long d une maille = 0. En divisant la relation précédente par exp ( jωt ), on obtient : ε k Ukm le long d une maille = 0. ε k = + si la flèche tension pour l amplitude complexe Uk est dans le sens du parcours ; ε k = si la flèche tension Uk est dans le sens opposé à celui du parcours. Fig. Loi des mailles pour cinq dipôles D D3 U m D Loi des mailles en AQS : U 3m U m U 4m D4 U 5m D5 Maille parcourue dans le sens horaire Um Um + U3m U4m U5m = Loi des nœuds La loi des nœuds vue au chapitre est valable pour les intensités instantannées i k ( t ), puisque l on est dans le cadre de l AQS. En notant i k ( t ) = I km exp ( jωt ), puisque la loi des nœuds est linéaire, on a : ε i k k = 0 ε i (t) = 0 k k 5 Circuits linéaires en 69 régime sinusoïdal forcé

70 retenir l essentiel En divisant la relation précédente par exp ( jωt ), on obtient : Loi des noeuds en AQS : ε k I km ( t ) = 0. ε k = +, si l intensité est orientée vers le nœud ; ε k =, si l intensité est orientée à partir du nœud. La somme des amplitudes complexes des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des amplitudes complexes des courants qui en partent. Fig. Loi des noeuds pour quatre branches I m I 3m N I 4m I m Attention. La loi des nœuds ne peut pas être appliquée pour les amplitudes des intensités. En effet : ε k I km = 0 ε k I km = ε k I km = 0. k k k En effet, le module d une somme de nombres complexes n est pas égal à la somme de leurs modules Loi des nœuds en termes de potentiel Considérons L dipôles d impédances ( Z, Z,, Z L ) ayant un nœud commun. Soient ( I m, I m, I Lm ) les amplitudes complexes des intensités de courant circulant dans chacun des dipôles et orientés vers le point N. Soit V Nm l amplitude complexe du potentiel du nœud N et V m, V m, V Lm les amplitudes complexes des potentiels de l autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s exprime alors I m + I m + + I Lm = 0 et peut s écrire sous la forme : V Lm V Nm V m V Nm V m V Nm - = 0, ZL Z Z ou Y ( V m V Nm ) + Y ( V m V Nm ) + + Y L ( V Lm V Nm ) = emarques :. Le résultat ci-dessus est bien évidemment indépendant des sens d orientation choisis pour les différentes intensités. En modifiant la position des termes, on arrive à l expression du théorème de Millman : V m V m V Lm Y V m + Y V m + + Y L V Lm Z Z ZL -. - ou V Nm = V Nm = Y + Y + + YL Z Z ZL Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa I 3m + I 4m I m I m = 0.

71 On peut remarquer que le potentiel du nœud N est le barycentre des potentiels des nœuds voisins affectés des admittances correspondantes. Fig. 3 Théorème de Millman pour trois branches U 3m Z3 U m N Z I3 V Nm I I U m V 3m Z V m V Nm V m V m V m V 3m Z Z Z3 = Z Z Z3 Y V m + Y V m + Y 3 V 3m ou V Nm = Y + Y + Y Modélisation d un dipôle actif Source ou générateur idéal de courant C est un dipôle actif qui impose un courant d intensité i 0 ( t ) = I 0m cos ( ωt + φ ). i 0 ( t ) est appelé courant électromoteur (c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. On note i 0 ( t ) = I 0m exp j ( ωt ) avec I 0m = I 0m exp ( jφ ). En général on choisit φ = Source ou générateur idéal de tension C est un dipôle actif qui impose une tension e ( t ) = E m cos ( ωt + ψ ) entre ses bornes, e ( t ) est appelée force électromotrice (f.é.m.). On note e ( t ) = E m exp j ( ωt ) avec E m = E m exp ( jψ ). En général, on choisit ψ = Modélisation d un générateur réel Dans de nombreuses applications, l expérience montre qu on peut modéliser un générateur réel par l association : d un générateur idéal de tension (f.é.m. d amplitude complexe E m ) et d un dipôle en série dont l impédance est appelée impédance interne du générateur ( Z g ). ou d un générateur idéal de courant (c.é.m. d amplitude complexe I 0m ) et d un dipôle en parallèle dont l admittance est appelée admittance interne du générateur ( Y g ). Ces deux générateurs sont équivalents, les relations qui relient leurs caractéristiques sont établies ci-dessous, elles sont équivalentes à celles obtenues en régime permanent (chapitre 3, 3). Fig. 4 Zg Im Y gu m Yg I om Em I m = I om Y g U m Z g Im Um = E m Z g Im I om Um 5 Circuits linéaires en 7 régime sinusoïdal forcé

72 retenir l essentiel E m Um Um = E m Z g I m I m = Zg Zg 5 E m Um = I om Y g Um Zg Zg Em I om = Zg Y g = -----Zg Lois d association 5.. Association en série 5... Loi d association pour les impédances N dipôles d impédances ( Z, Z,, Z N ) associés en série sont équivalents à un seul dipôle d impédance Z eq égale à la somme des impédances de chacun d eux : Fig. 5 Z eq = Z + Z + + Z N Association série de trois dipôles Z Z Z Diviseur de tension La figure ci-contre représente un diviseur de tension : deux dipôles en série sont soumis à une tension d amplitude complexe Um et on cherche la tension aux bornes de l un d eux. Fig. 6 Z eq = Z + Z + Z 3 I Diviseur de tension Im Z Z U m U m Um Z Um Z Um - et Um = Um = Z + Z Z + Z Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par l amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ( E m, Z g ), ( E m, Z g ),..., ( E Nm, Z gn ). 7 Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. d amplitude complexe E eqm et d impédance interne complexe Z eq. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

73 E eqm = ε E m + ε E m + + ε k E km + + ε N E Nm Z geq = Z g + Z g + + Z gn avec ε k = + si la flèche correspond à E km est dans le même sens que celle correspondant à E eqm et ε k = dans le cas contraire. Fig. 7 Association série de trois générateurs Um Im Z g E m Z g3 Z g E m emarque Pour associer des générateurs en série, on utilise la représentation de Thévenin. Im Z geq E 3m E eqm Um Um E eqm = E m + E m E 3m. Z geq = Z g + Z g + Z g3 L intensité circulant dans une maille constituée de N dipôles d impédances ( Z, Z, Z N ) et N générateurs associés en série, caractérisés par l amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ( E m, Z g ), ( E m, Z g ), ( E Nm, Z gn ) est : ε E m + ε E m + + ε k E km + + ε N E Nm I m = Z g + Z g + + Z gn + Z + Z + + Z N Loi de Pouillet avec ε k = + si la flèche correspondant à E k est dans le même sens que celle correspondant à l orientation de I et ε k = dans le cas contraire. Fig. 8 Loi de Pouillet pour trois générateurs et trois dipôles Z g Z g E E Z Z g3 E3 Z E E E3 I = Z g + Z g + Z g3 + Z + Z + Z 3 Z3 I 5.. Association parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun, ils sont soumis à la même tension. 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 73

74 retenir l essentiel 5... Loi d association pour les admittances N dipôles d admittance ( Y, Y,, Y N ) associés en parallèles sont équivalents à un seul dipôle d admittance Y eq égale à la somme des admittances de chacun d eux : Y eq = Y + Y + + Y N, soit Y eq = = ZN Z eq Z Z Fig. 9 Association parallèle de trois dipôles Y I m Im I m Y Y eq = Y + Y + Y 3 Im Y eq = = Z eq Z Z Z3 I 3m Y3 Fig. 0 Diviseur de courant I m Y Im I m Y Um Z I m Z I m Y I m Y I m I m = et I m = = = Z + Z Y + Y Y + Y Z + Z Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par l amplitude complexe de leurs c.é.m. et admittances internes ( I 0m, Y g ), ( I 0m, Y g ),, ( I 0mN, Y gn ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. d amplitude complexe I eqm et d admittance interne Y eq. I eqm = ε I 0m + ε I 0m + + ε k I 0mk + + ε N I 0mN - = Y geq = Y g + Y g + + Y gn Z Z Z Z geq g g gn avec ε k = + si la flèche correspondant à I 0k est dans le même sens que celle de I 0eq ) et ε k = dans le cas contraire. emarque : les admittances s associent comme au Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 5... Diviseur de courant La figure ci-contre représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d amplitude complexe I m et on cherche l intensité parcourant l un d entre eux :

75 Fig. Association parallèle de trois générateurs Y g I 0m Y g I 0m Y g3 I 0m3 6 I 0meq I 0meq = I 0m I 0m + I 0m3 - = Y geq = Y g + Y g + Y g Z Z Z Z geq g g g3 Étude d un circuit LC, résonances evenons à l étude du circuit LC (fig. ), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. e ( t ) = E m cos ( ωt ). Fig. Circuit LC série Um UCm C Em emarque Pour associer des générateurs en parallèle, on utilise la représentation de Norton. Y geq L Im 6.. ésonance en intensité Cherchons l expression de i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ ). On utilise les amplitudes complexes : E m = E m et I m = I m exp ( jϕ ). La loi de Pouillet nous donne directement : Em Em et I m = I m I m = I m = jlω Lω jcω Cω La courbe représentant I m ( ω ), l amplitude de l intensité du courant, s appelle courbe de résonance en intensité. I m ( 0 ) = 0 et lim I m = 0. I m étant positif, cette courbe passe par un maximum pour ω une valeur de ω que l on appellera ω r, la pulsation de résonance. Le numérateur étant indépendant de ω, I m est maximum lorsque le dénominateur est minimum. 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 75

76 retenir l essentiel E U m = I m = ---- avec D = D + Q x --- x U m est l amplitude de la tension aux bornes du résistor. Il y a donc résonance d intensité pour toute valeur de Q et la pulsation de résonance est indépendante de Q. E I m ( ω r ) = I mmax = Soit ω et ω définis par : Fig. 3 Variation de l amplitude de l intensité I mmax avec la pulsation I m ( ω ) = I m ( ω ) = , Im E. --avec I mmax = I ω 0 = = LC On caractérise la résonance par I m max la bande passante ω = ω ω. I max I m ( ω ) = I m max Em Em = Lω Cω = + Lω Cω = + Lω Cω ± = Lω Cω ω ω ± ω 0 = 0 L ω ω0 ω ω ω ω ω 0 = 0 a pour solution positive ω = ω 0 L L 4L ω ω ω 0 = 0 a pour solution positive ω = ω 0 L L 4L Les solutions négatives n ont pas de sens physique. On remarque que ω et ω ne sont pas symétriques par rapport à ω 0, ce que l on peut remarquer sur la figure 3. Lω ω ω = ω ω = --- et = = --- (car Q = ), on a donc : Q Lω 0 ω0 L ω Q = ω 76 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa emarque Cette pulsation de résonance ω 0 correspond à la pulsation propre étudiée au chapitre 4, de même que le facteur de qualité Q. Lω r = 0 ω r = , on obtient donc ω r = ω 0. Cω r LC Lω ω En utilisant ω 0 = et Q = et en notant x = , on peut écrire : ω 0 LC

77 6... Étude du déphasage ϕ = arg I m ϕ = ϕ, avec ϕ = arg + jlω = arg + j Lω Cω jcω Lω Cω tan ϕ = ; puisque tan ( ϕ ) = tan ϕ, on a : Lω Cω tan ϕ = La phase ϕ est donnée par sa tangente, il y a donc une indétermination sur le domaine de définition de la phase ; étudions le signe de cos ϕ. j Lω Em Cω I m = = () + jlω Lω jcω Cω e ( I m ) = I m cos ( ϕ ) = , donc ϕ --- ; Lω Cω emarque : On peut aussi trouver directement l expression de tan ϕ à partir de l expression () de I m. tan ϕ ( 0 ) = + ϕ ( 0 ) = --- ; tan ϕ ( ω ) = ϕ ( ω ) = --- ; 4 tan ϕ ( ω 0 ) = 0 ϕ ( 0 ) = 0 ; tan ϕ ( ω ) = ϕ ( ω ) = --- ; 4 lim tan ϕ = ϕ ( ) = -- ω Fig. 4 Variation de la phase de l intensité avec la pulsation Point maths. Soit x = a + jb, a et b étant des grandeurs réelles. Alors on a : b tan ( ϕ ) = -- et arg --- = arg ( x ). x a ϕ ( rad ) ω ω ω0 ω Comparaison des courbes de résonance pour différentes valeurs de Q ω De la relation = ---, on peut déduire que le facteur de qualité Q caractérise la résonance : Q ω0 plus Q est important, plus ω est petit : plus la résonance est dite «aigue» ; plus Q est petit, plus ω est grand : plus la résonance est dite «floue». 5 Circuits linéaires en 77 régime sinusoïdal forcé

78 retenir l essentiel On représente souvent U m en fonction de ω (fig. 5). Fig. 5 Variation de l amplitude de la tension aux bornes du résistor avec la pulsation pour Q = 0,5 ; et,5 U m E Q = 0,5 Q= Q =,5 ω0 ω 6.. ésonance en tension aux bornes du condensateur (ou résonance de charge) Cherchons l expression de u c ( t ) = U cm cos ( ωt + φ ), soit : Attention Le dénominateur n est pas de la forme A + B ( x ) avec A constant, comme c était le cas pour la résonance d intensité x car ici A = ---- dépend Q de x. Il est donc inexact d écrire que D est minimum si x = 0. Ucm = U cm exp ( jφ ). L application du diviseur de tension sur le circuit de la figure conduit à : E jcω E Ucm = = ; + LCω jcω + jlω jcω E U cm = Ucm = ; ( LCω ) + ( Cω ) U cm ( 0 ) = E et lim U cm ( ω ) = 0. ω Lω 0 ω En utilisant ω 0 = et Q = , et en notant x = , on peut écrire : ω0 LC E U cm = ---- avec D = D Conseil Lorsqu une fonction D se présente sous la forme d une racine il est toujours préférable de dériver D. 78 x ( x ) Q U cm passe par un maximum si D, et donc D, passe par un minimum. On doit calculer la dérivée de D. Il revient au même, et c est plus simple, de dériver D : x dd dd = ( x ) ( x ) , d où = 0 si x = dx dx Q Q On obtient donc ω r = ω Q Cette fonction croissante avec Q n est définie que si , donc si Q Q Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa () On constate bien sur ce graphe que la pulsation de résonance, égale à ω 0, est indépendante de Q.

79 Attention Les résonances d intensité et de charge sont très différentes, il ne faut pas les confondre. Une erreur fréquente consiste par exemple à écrire qu il y a résonance de charge pour ω r = ω 0. Fig. 6 La courbe U cm ( ω ) passe donc par un maximum pour Q On parle de résonance de tension aux bornes du condensateur ou de résonance de charge car la charge du condensateur est proportionnelle à la tension. Il y a deux différences importantes entre la résonance d intensité et la résonance de charge : la résonance de charge n existe que pour des valeurs de Q suffisamment grandes et quand elle existe, la pulsation de résonance dépend de Q. QE Le calcul conduit à U cm ( ω r ) = () Q Variation de l amplitude de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation pour Q = 0,5 ; et,5. Uc m Q =,5 Q= ω r ω r,5 ω On constate bien sûr sur ce graphe qu il n y a pas de résonance si Q = 0,5 (Q = 0,7) et que la pulsation de résonance est d autant plus grande que Q est grand ( ω r ω r,5 ). Q = 0, Étude du déphasage Ucm = I cm φ = ϕ -- jcω La courbe représentant φ en fonction de ω se déduit donc de la courbe représentant ϕ par un simple décalage vers le bas de ---, donc φ [ 0 ; ]. Fig. 7 Variation de la phase de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation φ(rad) 0 ω0 ω -- 5 Circuits linéaires en 79 régime sinusoïdal forcé

80 retenir l essentiel 6... Cas particulier important : Q L expression () conduit à ω r = ω 0. ω0 On peut aussi montrer que Q = , ω étant la bande passante définie comme au 6.. ω On retrouve donc des résultats similaires à ceux de la résonance d intensité pour cette limite de valeurs de Q élevées. Un autre résultat, propre à la résonance de charge est particulièrement intéressant : de l expression () on arrive à U cm ( ω r ) = QE. L amplitude de la tension aux bornes du condensateur est donc égale à l amplitude de la tension délivrée par le générateur multipliée par Q. Elle peut donc atteindre des valeurs considérables pour des valeurs de Q élevées. On appelle d ailleurs aussi Q «facteur de surtension» pour cette raison. 80 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

81 savoir résoudre les exercices p Circuits C, L et LC série On étudie le circuit C série ci-contre, soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. : e ( t ) = E m cos ( ωt ). Le régime forcé est supposé établi. Établir l expression de l intensité du courant circulant dans ce circuit. Données : E m = 0 V ; ω = 63.0 rad s ; =,0 kω ; C = 0,6 µf. C e(t) i(t) Même question pour un circuit L. On prendra les mêmes valeurs numériques avec L = 9 mh. 3 Même question pour un circuit LC série : calculer l expression de i ( t ) avec résolution méthodique On note i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ ). Pour résoudre le problème, on utilise les grandeurs complexes associées à e ( t ) et à i ( t ) : e ( t ) = E m exp ( jωt ) et i ( t ) = I m exp ( jωt ), avec E m = E m et I m = I m exp ( jϕ ). les valeurs numériques données au. et au. Comment aurait-il été possible d obtenir les résultats des questions. et. à partir de celui obtenu pour ce circuit LC série? Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes associées. Connaissant x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ), on obtient : x ( t ) = X m exp ( jωt ) avec X m = X m exp ( jϕ ). La loi de Pouillet nous donne alors directement : Em I m = jcω Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandés sous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à la fin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : «projeter» les grandeurs complexes en grandeurs réelles. C est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase. 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 8

82 savoir résoudre les exercices Transformation d une grandeur complexe en grandeur réelle Connaissant x ( t ) = X m exp ( jωt ), avec x ( t ) = X m cos ( ωt + ϕ ). L amplitude de X m de x ( t ) est le module de l amplitude complexe X m. La phase ϕ de x ( t ) est l argument de X m. Im = I m Em I m = Cω j et ϕ = arg I m ϕ = ϕ avec ϕ = arg = arg Cω jcω Cω tan ϕ = = ; et puisque tan ( ϕ ) = tan ϕ, on a : Cω Em On a donc i ( t ) = cos ( ωt + ϕ ), avec tan ϕ = Cω Cω Vérifier l homogénéité des expressions obtenues. et sont des impédances ; Cω [ Em ] [ Em ] = [ I m ] = ; [Z] [Z] + [Z] [Z] [ tan ( ϕ ) ] = [Z] L amplitude de la tension est bien homogène à une tension et tan ϕ est sans dimension. 0 A.N. : I m = = 7, ma. (,0 0 3 ) , tan ϕ = = ϕ = --- ou ,0 0 0, Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cos ϕ : Im 8 j E m Em Cω = = = I m ( cos ϕ + j sin ϕ ) ; jcω Cω Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa tan ϕ = Cω

83 cos ϕ = , donc ϕ = Cω p Donc i ( t ) ( ma ) = 7, cos 63 0 t E + jlω m -, donc : Avec les mêmes notations qu au., la loi de Pouillet donne I m = Im = I m Em I m = ( Lω ) et ϕ = arg I m ϕ = ϕ avec ϕ = arg ( + jlω ) Lω tan ϕ = , puisque tan ( ϕ ) = tan ϕ, on a : Em Lω On a donc i ( t ) = cos ( ωt + ϕ ), avec tan ϕ = ( Lω ) On vérifie l homogénéité des expressions obtenues. Lω tan ϕ = et Lω sont des impédances ; [ Em ] [ Em ] - = [ I m ] = ; [Z] [Z] [Z] [ tan ( ϕ ) ] = [Z] L amplitude de l intensité est bien homogène à une intensité et tan ϕ est sans dimension. 0 A.N. : I m = = 8,7 ma 3 (,0 0 ) + ( 0, ) 0, = 0,57 ϕ = --- ou tan ϕ = ,0 0 3 Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cos ϕ : Em E m ( jlω ) - = I m ( cos ϕ + j sin ϕ ) I m = = jlω + ( Lω ) cos ϕ = donc ϕ = ( Lω ) p Donc i ( t ) ( ma ) = 8,7cos 63 0 t Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 83

84 savoir résoudre les exercices E m. 3. La loi de Pouillet donne I m = jlω jcω En prenant i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ ), on obtient : Em I m = Lω Cω et Lω Cω tan ϕ = A.N. : 0 I m = = 9, ma (,0 0 3 ) + 0, , , , tan ϕ = = 0,4,0 0 3 ϕ = 0,4 rad ou 3,6 rad. Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cos ϕ : e ( I m ) = I m cos ( ϕ ) = , + Lω Cω donc ϕ = 0,4 rad. Donc : i ( t ) ( ma ) = 9, cos ( 63 0 t + 0,4 ) 0 Pour obtenir les résultats cherchés au. pour un circuit C, il suffit de faire tendre L vers zéro dans ces expressions. En effet, l impédance de la bobine qui vaut Lω tend vers zéro si L tend vers zéro. Une bobine d inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un circuit LC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circuit C. Pour obtenir les résultats cherchés au. pour un circuit L, il suffit de faire tendre C vers Cω l infini dans ces expressions. En effet, l impédance du condensateur qui vaut tend vers zéro si C tend vers l infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteur fermé. Un circuit LC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit L. Attention : Un condensateur de capacité nulle n est pas équivalent à un interrupteur fermé, c est une erreur assez fréquente. 84 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

85 en conclusion Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes. Transformation d une grandeur réelle en grandeur complexe associée Connaissant x ( t ) = Xm cos ( ωt + ϕ ), on obtient x ( t ) = Xm exp ( jωt ) avec Xm = Xm exp ( jϕ ). À la fin d un calcul, on a souvent besoin d un résultat «physique» et il faut faire la transformation inverse. Transformation d une grandeur complexe en grandeur réelle l amplitude de Xm de x ( t ) est le module de l amplitude complexe Xm ; la phase ϕ de x ( t ) est l argument de Xm. Circuit LC parallèle On considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle : un résistor de résistance, une bobine idéale d inductance L et un condensateur idéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint. Vérifier l homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogènes à des impédances et en utilisant le fait que C et --L- sont homogènes à des temps (constantes de temps d un circuit C et d un circuit L). Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m. i 0 = I 0m cos ( ωt ). a. Établir l expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfin du générateur. b. Donner l allure de la courbe représentant la variation de l amplitude U m de la tension aux bornes du résistor en fonction de ω. Pour quelle valeur de ω est-elle maximale? c. Soit U max la valeur maximale de U m. On note ω et ω ( ω ω ) les deux pulsations pour lesquelles l amplitude de la tension aux bornes du résistor est U max égale à ω0 Exprimer le facteur de qualité du circuit Q = en fonction de,l et ω 0. ω ω Cette expression correspond-t-elle à celle d un circuit LC série? Commentaires. Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. e = E m cos ( ωt ). Établir l expression de l amplitude I m de l intensité traversant le générateur et donner l allure de la courbe I m ( ω ). 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 85

86 savoir résoudre les exercices résolution méthodique a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension u = U m cos ( ωt + ϕ ) est la même aux bornes de chacun d eux. i0 u Soit Um = U m exp ( jϕ ) et I 0m = I 0m. I 0m = Y Um, avec Y = jcω ; jlω I 0m jlω I 0m Lω I 0m Um = = = ; jlω + LCω Lω j ( LCω ) jcω jlω I 0m Lω U m = Um = L ω + ( L Cω ) Vérification de l homogénéité Lω L Cω = est le rapport entre l impédance d une bobine et celle d un condensateur, Cω c est donc une grandeur sans dimension ; [ I 0m ] [ Z ] [ U m ] = = [ I 0m ] [ Z ] ; [ Z ] [Z] [ tan ( ϕ ) ] = [Z] b. U m ( 0 ) = 0 et lim U m = 0 Um ω U m, qui est une grandeur positive, passe donc par un maximum. Cherchons pour quelle valeur de ω. L expression de U m obtenue au. a. comporte le facteur ω à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui rend l étude de la recherche du maximum plus difficile que dans le cas étudié en cours pour le circuit LC série. On peut facilement simplifier l étude en divisant le numérateur et le dénominateur par ω. On obtient : Um I 0m L = Um = L L Cω ω Ummax U mmax ω0 Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si : L Cω = 0, soit ω = ω 0 = ω LC Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa ω

87 Quand on obtient une fonction comportant ω à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de ω. Il est alors plus simple de chercher la valeur de ω pour laquelle cette fonction est extrémale. Quand le dénominateur se présente sous la forme A + B ( ω ) avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de chercher la valeur de ω pour laquelle B ( ω ) est nul. Si ce n est pas possible, il faut dériver la fonction. B( ω ) c. U m ( ω 0 ) = U mmax = I 0m U mmax L U m ( ω, ω ) = = L L Cω ω L = L + ( ---- LCω) ± L ω = ---- LCω ω ± Lω = LCω LCω ± Lω = 0. Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont : 4 et ω = = C C LC L ω 0 ω ω0 Q = = = Cω 0 = ω Lω 0 ω ω Q = Lω 0 4 ω = = C C LC L ω 0 Vérification de l homogénéité des relations de type : 4 ω = = C C LC L ω 0 4 le rapport est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré). L ω0 emarque : On peut aussi vérifier l homogénéité de cette dernière relation en remarquant L que --- est homogène à un temps, comme En effet, une pulsation est homogène à ω0 l inverse d un temps ω = T = [ ] [ ω ] = C Cω emarque : On peut aussi vérifier l homogénéité de cette dernière relation directement en remarquant que C est homogène à un temps. On remarque que ce facteur de qualité est l inverse de celui d un circuit LC série. En fait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti, constitué uniquement d une bobine idéale et d un condensateur. En effet, 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 87

88 savoir résoudre les exercices Lω pour un circuit série, cela correspond à très petit, Q = et donc lim Q = ; 0 pour un circuit parallèle, cela correspond à très grand, Q = et donc Lω 0 lim Q =. Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments, L et C n est pas Lω 0 toujours égal à (voir chapitre 4 exercice 4 de «Savoir résoudre les exercices»,) Soit i = I m cos ( ωt + ϕ ) l intensité du courant circulant dans le générateur. Avec les notations du. b. et en notant I m = I m exp ( jϕ ) et E m = E m, on a : I m = Y E m avec Y = jcω jlω E m ( jlω + LCω ) I m = jcω E m = jlω jlω Im Lω j ( LCω ) = E m Lω E m L ω + ( LCω ) I m = I m = Lω I m ( 0 ) = et lim I m = ω I 0m I m = E m, donc I m passe par un minimum : Um Em I mmin = , pour ω = ω 0 = LC Immin ω0 en conclusion Quand on obtient une fonction comportant w à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de w. Il est plus simple alors de chercher la valeur de w pour laquelle cette fonction est extremum. Quand le dénominateur se présente sous la forme A + B ( ω ) avec A constant, cette fonction est minimale quand B ( w ) est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de chercher la valeur de w pour laquelle B ( w ) est nul. Si ce n est pas possible, il faut dériver la fonction. Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments, L et C n est pas Lw 0 -. toujours égal à Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa ω

89 retenir l essentiel Puissance instantanée et puissance moyenne.. Notations utilisées Considérons un dipôle D linéaire représenté en convention récepteur (figure ). On note u ( t ) = U m cos ( ωt + ϕ u ) et i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ i ). Fig. i(t) Puissance en régime sinusoïdal forcé u(t) Z = + js, où est la résistance du dipôle et S sa réactance, Z = Zexp ( jϕ ) = Z cos ϕ On peut écrire et S en fonction de Z et ϕ : S = Z sin ϕ En utilisant la loi d ohm en représentation complexe, on a : Um = Z Im ϕu = ϕ + ϕi ϕ est l avance de phase de la tension sur l intensité (déphasage)... Puissance instantanée Le dipôle D reçoit la puissance instantanée p ( t ) = u ( t ) i ( t ) (convention récepteur). p ( t ) = U m cos ( ωt + ϕ u )I m cos ( ωt + ϕ i ) Um Im = [ cos ( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos ( ϕ u ϕ i ) ] Um Im = [ cos ( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos ( ϕ ) ] () 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 89

90 retenir l essentiel Point maths. On a utilisé la formule cos ( a ) cos ( b ) = --- [ cos ( a + b ) + cos ( a b ) ]. Cette puissance varie au cours du temps (figure ) de façon sinusoïdale (pulsation ω) Um Im autour de la valeur moy = cos ( ϕ ). Fig. Variation de la puissance instantanée p ( t ) p(t) moy.3. Puissance moyenne Facteur de puissance Attention On ne peut pas directement utiliser les grandeurs complexes u ( t ) et i ( t ) pour calculer p ( t ), il faut utiliser les grandeurs réelles u ( t ) et i ( t ). Nous développerons cette remarque dans l exercice 4 de «Tester ses connaissances». On verra sur des exemples (exercice ) que dans de nombreuses applications, la grandeur pertinente n est pas la puissance instantanée, mais la puissance moyenne moy : Um Im moy = p ( t ) = [ cos ( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos ( ϕ ) ]. Um Im La puissance moyenne s écrit : moy = cos ( ϕ ). En effet, la valeur moyenne d une fonction sinusoïdale est nulle (voir exercice de «S entraîner», chapitre 5) et celle d un terme constant est évidemment égale à ce terme. Le terme cos ( ϕ ) est appelé facteur de puissance. emarque : La puissance moyenne est aussi appelée puissance active..4. Autre expression de la puissance moyenne, valeur efficace Nous serons parfois amenés à utiliser une autre expression de moy. 90 Im Um Im U m = ZI m moy = cos ( ϕ ) = Z cos ( ϕ ). Or Z cos ( ϕ ) =, donc : I m moy = Seule la partie réelle (la résistance) de l impédance complexe intervient dans l expression de la puissance moyenne reçue. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa t

91 Cette expression rappelle celle de la puissance dissipée en régime continu par effet joule dans un résistor de résistance, au facteur --- près. Tout se passe en fait, du point de vue de la puissance moyenne reçue, comme si le dipôle était équivalent à un résistor de résistance, le courant étant continu, de valeur I e dite efficace. On a donc : Im I m moy = = I e I e = On retrouve ici la notion de valeur efficace développée au chapitre 5. Um On a donc aussi U e = On peut alors écrire : Autre expression de la puissance moyenne : moy = U e I e cos ( ϕ ) = I e. Ue Ue -. - = emarque : U e = ZI e moy = S Z U = Puissance moyenne reçue par les dipôles linéaires usuels.5.. ésistors Le déphasage entre la tension et l intensité ϕ étant nul, on a : Cette relation n est pas la même qu en régime continu pour un résistor de résistance moy = U e I e cos ( ϕ ) = U e I e. Puisque U m = I m, on a aussi U e = I e et donc : moy = I e Cette puissance est irréversiblement dissipée sous forme de transfert thermique (effet joule). emarque : pour arriver à l expression de moy on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au Bobines idéales et condensateurs idéaux Le déphasage ϕ entre la tension et l intensité pour une bobine et un condensateur étant respectivement ou ---, on a : moy = U e I e cos ( ϕ ) = 0. Ces dipôles ne reçoivent donc pas, en moyenne, de puissance : ils en reçoivent autant qu ils en fournissent. Les bobines et condensateurs échangent réversiblement de l énergie avec le reste du circuit (figure 3). 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 9

92 retenir l essentiel Fig. 3 Puissance moyenne reçue par une bobine idéale (a) et un condensateur idéal (b) a) i(t) b) L C i(t) u(t) u(t) Lmoy = u ( t )i ( t ) = 0 Cmoy = u ( t )i ( t ) = 0 emarque : pour arriver à l expression de moy on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au.4. : la résistance d une bobine idéale et d un condensateur idéal est nulle. PTSI Aspects énergétiques de l étude du circuit LC série.. Bilan des puissances instantanées Considérons un circuit LC série (figure 4), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. e = E m cos ( ωt ). La loi des mailles dans le sens anti-horaire donne : u L + u C + u = e, Fig. 4 u q C uc e di q soit L i = e. C Conseil On retiendra que pour établir un bilan de puissance d un circuit série il suffit d écrire la loi des mailles et la multiplier par l intensité parcourant le circuit. Attention p g = ei est bien la puissance fournie et non pas reçue car le dipôle est en convention générateur. L Pour établir un bilan de puissance, multiplions cette dernière relation par i : di q i ( t ) L i = ei. C ul i dq En utilisant i = , on obtient : d Li d q L di dq q i = ei, soit i = ei. C C C Le terme ei est la puissance p g fournie par le générateur, elle est évidemment égale à la somme des puissances reçues par la bobine p L, le condensateur p C et le résistor p : p L + pc + p = pg. On reconnaît dans cette expression l énergie emmagasinée w L par la bobine et l énergie w C emmagasinée par le condensateur : d d w L w C + p = p g. 9 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa PCSI

93 .. Bilan des puissances moyennes En faisant la valeur moyenne du bilan des puissances instantanées, on obtient : p L + p C + p = p g. Or nous avons vu que les puissances moyennes reçues par une bobine et un condensateur sont nulles, on a donc : p = p g. Les condensateurs et bobines ne participent donc pas au bilan de puissance moyenne en régime sinusoïdal forcé..3. ésonance en puissance moy = p = I e, I e étant la valeur efficace de l intensité i ( t ). Cherchons l expression de i ( t ) = I m cos ( ωt + ϕ ). On utilise les amplitudes complexes E m = E m et Im = I m exp ( jϕ ). Alors I m = Im I m Em Im = jlω jcω Em = ; + Lω Cω Im Em -. et I e = , donc moy = I e = Lω Cω La loi de Pouillet nous donne directement : Lω 0 En utilisant ω 0 = et Q = , on obtient l expression : LC Em. moy = ω ω 0 + Q ω0 ω La courbe représentant moy ( ω ) (figure 5) s appelle courbe de résonance en puissance. Cette courbe est liée à la courbe de résonance en intensité (voir chapitre 5, 6.), puisque moy est proportionnel au carré de l amplitude de l intensité de courant. Les caractéristiques de la résonance de puissance sont les mêmes que celles de résonance en intensité : il y a toujours résonance, pour toute valeur de Q, pour ω = ω 0. Em Soit moymax = = moy ( ω 0 ). On définit la bande passante par ω = ω ω, moymax avec ω et ω tels que moy ( ω ) = moy ( ω ) = I mmax Cela correspond aux relations I m ( ω ) = I m ( ω ) = pour l intensité. On retrouve donc la bande passante définie pour l étude des résonances d intensité et de charge. 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 93

94 retenir l essentiel Fig. 5 ésonance de puissance moy moymax moymax ω ω ω ω0 94 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

95 savoir résoudre les exercices elèvement du facteur de puissance Soit un dipôle quelconque D d impédance Z = + js et consommant une puissance moy. Ce dipôle est alimenté par le secteur EDF, modélisé par un générateur de tension idéal de f.é.m. e ( t ) de pulsation ω et de valeur efficace E e. Donner l expression de I e. Montrer que l on doit choisir un facteur de puissance le plus grand possible pour limiter les pertes Joule dans le réseau électrique EDF alimentant le dipôle. 3 En fait, EDF impose que les installations électriques doivent présenter un facteur de puissance supérieur à 0,93. On doit donc parfois modifier le facteur de puissance d un dipôle. On étudie ici la méthode consistant à placer en parallèle au dipôle un condensateur de capacité C. Établir en fonction de S, Z et ω l expression de la valeur de C qui permette d obtenir un facteur de puissance égal à un. U e cos ϕ moy moy = U e I e cos ϕ I e = Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l intensité du courant qui le traverse. résolution méthodique Les pertes joules P J dans les câbles du réseau électrique EDF proviennent de la résistance non nulle de ces câbles, que l on appellera 0 : moy P J = 0 I e = U e cos ϕ P J est d autant plus grand, pour moy donné, que cos ϕ est grand. 3 On considère le dipôle D constitué de l ensemble {D + condensateur en parallèle}, d impédance Z alimenté par le générateur de f.é.m. e ( t ). La puissance moyenne reçue par D est la même que celle reçue par D. En effet le condensateur reçoit, en moyenne, une puissance nulle. En appelant I e l intensité efficace de i ( t ) et ϕ le déphasage entre e ( t ) et i ( t ), on a la relation : moy = U e I e cos ϕ. i (t ) i (t ) ic (t ) C e (t ) u (t ) Z D (Z ) 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 95

96 savoir résoudre les exercices On cherche à obtenir un facteur de puissance égal à un, donc ϕ = 0, or ϕ = arg ( Z ) = 0 Z réel. Si Z est réel, alors Y l est également. Un facteur de puissance égal à l unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l étude avec l admittance. js S - + Cω - + j jc ω = Y = jcω = S ( + js ) + S + S S Y réel Cω = 0 + S S S C = = en appelant Z = Z. ω ( + S ) ωz Même si EDF ne le vérifie que rarement pour les particuliers, en revanche pour les installations industrielles EDF facture des «amendes» relativement importantes si le facteur de puissance est inférieur à 0,93. en conclusion Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l intensité du courant qui le traverse. Un facteur de puissance égal à l unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l étude avec l admittance. Adaptation d impédance Soit un générateur de tension sinusoïdal de force électromotrice instantanée E e cos ωt, d impédance complexe interne Z g = g + js g placé en série avec un réseau d impédance complexe Z = + js. Déterminer l impédance Z 0 du réseau pour laquelle le générateur lui fournit une puissance moyenne moy maximale. Pour cette question, on considère que l impédance du réseau est Z 0. Exprimer la puissance reçue par le réseau et la puissance g dissipée par effet joule dans la résistance interne du générateur. En déduire le rendement du dispositif. Pour quelle valeur de g le rendement est-il maximal? 96 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa emarque : avec ou sans condensateur, le dipôle D est soumis à la même tension et il est parcouru par le même courant : le branchement en parallèle du condensateur n altère en rien le fonctionnement de D.

97 résolution méthodique Soit u ( t ) = U e cos ( ωt + φ ) = e ( Um exp ( jωt ) ), i (t ) avec Um = U e exp ( j φ ) Zg et i ( t ) = I e cos ( ωt + ψ ) = e ( I m exp ( jωt ) ), avec I m = I e exp ( jψ ) La puissance moyenne fournie au réseau est égale à celle reçue par le réseau, moy. u (t ) e (t ) Z En posant ϕ = φ ψ, on a moy = U e I e cos ϕ = I e. (Essentiel du cours,.4) Il faut donc chercher I e. Utilisons la loi de Pouillet afin de déterminer I m : Ee Ee I m = = ( g + ) + j ( Sg + S ) Zg + Z Ee Im Alors I e = = ( g + ) + ( Sg + S ) Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. Avant de dériver l expression de moy repérer que le dénominateur est minimal pour S + Sg = 0. Pour, g et S g donné, moy est maximal si S + S g = 0, soit S = S g. moy = I e E e -. Ainsi moy = I e = ( g + ) + ( Sg + S ) d moy E e ( ( g + ) ( g + ) ) et = = E e d ( g + ) ( g + ) d moy = 0 si g + = 0. d On a donc = g et S = S g, soit : Z 0 = Z g (grandeur conjuguée de Z g ). Cette condition correspond à ce que l on appelle l adaptation d impédance. E E - = moy ( Z 0 = Z g ) = ( ) 4 g E E = g ( Z 0 = Z g ) = g I e = ( ) ( g + ) E g = = moy ( Z 0 = Z g ) 4 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 97

98 savoir résoudre les exercices De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l on récupère (ce qui nous «intéresse») et ce que l on fournit (ce que l on «dépense»). Ici, il s agit de transférer de l énergie électrique du générateur au réseau électrique. La puissance e fournie par le générateur de f.é.m. e (t) est égale à la somme des puissances reçues par le circuit électrique, soit e = moy + g. Le rendement s écrit donc : moy = --- = 50 % η = e Ce rendement est maximal, égal à un si moy = e, donc si g = 0. La condition recherchée est donc g = 0 La résistance de l impédance complexe interne du générateur doit être nulle (mais bien entendu l adaptation d impédance, dans un tel cas ( g = = 0 ), n a plus d intérêt). Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. Avant de dériver l expression de moy pour chercher un extremum, repérer d éventuelles relations simples permettant d obtenir cet extremum. 98 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa en conclusion

99 retenir l essentiel Fonction de transfert d un quadripôle linéaire Filtre.. Quadripôle Un quadripôle comporte quatre bornes : deux bornes d entrée et deux bornes de sortie (figure ). Fig. Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre Tensions et intensités d entrée et de sortie d un quadripôle ie Générateur is ue Quadripôle us Charge.. Quadripôle linéaire Soit u e = U em cos ( ωt + ϕ e ) une tension sinusoïdale à l entrée d un quadripôle (pulsation ω, ω fréquence f = ). Le quadripôle est linéaire si, en régime forcé (appelé aussi régime harmonique), la tension de sortie est sinusoïdale : u s = U sm cos ( ωt + ϕ s )..3. Théorème de superposition Soit u e et u e deux tensions d entrée. Soit u s et u s les tensions de sortie correspondantes. Alors la tension u s = λ u s + λ u s est la tension de sortie correspondant à la tension d entrée u e = λ u e + λ u e, λ et λ étant des constantes. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 99

100 retenir l essentiel.4. Fonction de transfert d un quadripôle linéaire.4.. Définition u H( jω ) = -----s ue.4.. Expression N 0 + jωn + ( jω ) N + + ( jω ) m N m N ( jω ) -. H( jω ) = = D 0 + jωd + ( jω ) D + + ( jω ) n D n D ( jω ) Les coefficients sont réels et constants Ordre d un quadripôle L ordre est celui du polynôme de plus haut degré, N ( jω ) ou D ( jω ) Module et argument H( jω ) = H ( ω ) e jϕ ( ω ) ϕ ( ω ) est la phase de la fonction de transfert Valeur maximale et phase de la tension de sortie En notation complexe, u e = U em e j ( ωt + ϕe ) et u s = U sm e j ( ωt + ϕs ), d où : us H = u s = Hu e U sm e j ( ωt + ϕs ) = H e jϕ U em e j ( ωt + ϕe ). ue elations entre la tension d entrée u e = U em cos ( ωt + ϕ e ) et la tension de sortie u s = U sm cos ( ωt + ϕ s ) d un quadripôle linéaire de fonction de transfert H = H e jϕ ( ω ) : U sm = H U em et ϕ s = ϕ e + ϕ Cas d une tension d entrée constante En régime permanent, la réponse Us d un quadripôle à une tension d entrée constante Ue peut-être considérée comme celle d une tension périodique de fréquence nulle (période infinie) : Us = H ( ω = 0 ) Ue..5. Quadripôle passif, quadripôle actif 00 Un quadripôle est passif quand il ne comporte que des dipôles passifs comme, L ou C. Il est actif s il contient en plus des sources d énergie électrique. Dans la pratique il s agit d un ou de plusieurs amplificateurs opérationnels fonctionnant en régime linéaire, dont la description est donnée figure. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa H( ω ) est le module de la fonction de transfert ;

101 Fig. Amplificateur opérationnel (AO) en régime linéaire i+ = 0 ε = 0 u+ + Le courant d entrée inverseuse est nul. Le courant d entrée non inverseuse + est nul. La tension différentielle ε est nulle. emarque. L alimentation en énergie électrique n est pas représentée. i = 0 u us.6. Filtre Un filtre idéal est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est nulle dans un domaine de fréquences caractéristique. Un filtre réel est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est atténuée dans un domaine de fréquences caractéristique. Diagramme de Bode d un filtre.. Forme réduite de la fonction de transfert d un filtre u H( jx ) = -----s = H( x ) e jϕ ( x ) ue f ω x est la pulsation réduite, ou fréquence réduite, avec x = = f0 ω0 ω 0 est la pulsation caractéristique du filtre, f 0 est la fréquence caractéristique... Diagramme de Bode d un filtre Le diagramme de Bode est la représentation de la fonction de transfert H( jx ) d un filtre. Il est constitué de deux courbes : la courbe de réponse en gain, exprimé en décibels, G ( x ) = 0log H ( jx ) en fonction de log ( x ) ; la courbe de réponse en phase ϕ ( x ) en fonction de log ( x ). Attention Le point d abscisse x = 0 n apparaît pas sur le diagramme de Bode puisque log ( 0 ) =. Point maths. L expression «log ( x )» désigne le logarithme décimal de x. On peut aussi tracer les courbes G ( ω ) = 0log H( jω ) et ϕ ( ω ) en fonction du logarithme décimal de la valeur numérique de ω, noté log ( ω ). Point maths. L échelle logarithmique. Décade L axe des abscisses de chacune des courbes G ( x ) et ϕ ( x ) est gradué en échelle logarithmique (figure 3). Les valeurs de x sont en général représentées par décades ( 0 3, 0, 0,, 0, 0, 0 3 ). f Une décade est l intervalle de fréquence [ f ; f ] tel que : = 0. f 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 0

102 retenir l essentiel Fig. 3 Principe de l échelle logarithmique x x = 0x décade X x en échelle logarithmique X = log(x) en échelle linéaire X = X +.3. Bande passante à -3 db La bande passante à 3 db d un filtre est la bande de fréquence à l intérieur de laquelle : H max H ou G G max 3 (db)..4. Multiplication de la fonction de transfert par une constante fonction de transfert T ( jx ) se déduit de celle de la fonction de transfert H ( jx ) par translation 0log(A 0) le long de l axe des gains. θ ( x ) = ϕ ( x ). La courbe de réponse en phase de la fonction de transfert T ( jx ) se confond avec celle de la fonction de transfert H ( jx ). 3 Filtre passe-bas du premier ordre 3.. Fonction de transfert Fonction de transfert H( jω ) et forme réduite H( jx ) de la fonction de transfert d un filtre passe-bas du premier ordre : A0 A0 et H( jx ) = A = H( jω ) = jx f ω + j j -----fc ωc ω c est appelée pulsation de coupure et fc fréquence de coupure. A 0 est une constante réelle. f ω x est la pulsation réduite avec x = = fc ωc 0 ω Le terme en , d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de premier ωc ordre donné au filtre. L étude menée au.4 nous permet de travailler dans la suite avec la valeur A 0 = car la courbe de réponse en gain se déduit de celle de la fonction de transfert dans laquelle A 0 = par translation 0logA 0 le long de l axe des gains et les courbes de réponse en phase sont identiques. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Soit T ( jx ) = A 0 H ( jx ) = A 0 H ( x ) e jϕ ( x ) = T ( x ) e jθ ( x ) avec A 0 une constante réelle. G ( x ) = 0log T ( jx ) = 0logA 0 + 0log H ( jx ). La courbe de réponse en gain de la

103 3.. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 3... Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) H( jx ) G BF = 0log ( ) = 0 x H( jx ) = H( jx ) e jϕ ( x ) ϕ BF = 0 Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à basse fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à basse fréquence. Pour cela on ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici le terme (degré nul). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF = 0 et ϕ BF = Expression à la fréquence de coupure (x = ) H( j ) = G ( x = ) = 3 db f = f c x = H( jx ) e jϕ ( x ) = = j ϕ ( x = ) = --4La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; 3 db ). La courbe de la phase en fonction de log ( x ) passe par le point 0 ; Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) H( jx ) --- G HF = 0 log(x) - j x x H( jx ) ---- = --- e = H( jx ) e jϕ ( x ) x jx ϕ = -- HF appel j = j = e j j --e 4 Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à haute fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à haute fréquence en ne conservant que le terme de plus haut degré en x, soit ici le terme jx. On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : G HF = 0 logx et ϕ HF = Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 0 et G HF = 0 logx reliées au point (0 ; 0). La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = 0 et ϕ BF = --- d origine log ( x ) = 0, et du seg ment vertical qui les relie Pente de l asymptote haute fréquence dg HF En posant X = log ( x ), il vient G HF = 0X = 0 db/décade. Le gain dimidx nue de 0 db quand la fréquence est multipliée par 0 (X augmente d une unité) ; on dit que la pente de l asymptote haute fréquence est égale à 0 db par décade. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 03

104 retenir l essentiel 3.5. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence de coupure ( x = ) suffisent pour donner l allure du diagramme de Bode complet. Il peut être aussi tracé à l aide d un logiciel de calcul formel (traits en couleur sur la figure 4). Fig. 4 Diagramme de Bode d un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert H ( jx ) = jx a) b) G(x ) (db) Conseil Pour tracer l asymptote haute fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points (0 ; 0) et ( +, 0 db ). 0 ϕ(x ) (rad) log(x ) 0 logx log(x ) 0, Bande passante 0 0,4 0,6 0 0,8 30,,4 40,6 a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. Filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert : H( jx ) = jx La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 0 et G HF = 0 logx reliées au point (0, 0). La pente de l asymptote haute fréquence du gain est égale à 0 db par décade. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équa tions ϕ BF = 0 et ϕ HF = ---, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de 0 à ---. Le point 0 ; --- est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction 4 de log ( x ). 04 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

105 3.6. Bande passante à 3 db Point méthode. Détermination de la bande passante à 3 db d un filtre a) Déterminer la valeur maximale H max du module de la fonction de transfert. H max b) ésoudre l équation H = Selon le cas, on travaille avec la pulsation, la fréquence ou la fréquence réduite. Autre méthode : déterminer la valeur maximale Gmax du gain, puis résoudre l équation G = G max 3. Exemple du filtre passe-bas du premier ordre : Détermination de la valeur maximale H max du module de la fonction de transfert : H max = H x = 0 =. ésolution de l équation : La bande passante à 3 db d un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure fc est : f = [ 0 ; fc ]. 4 H max H ( jx ) = = = x = f = fc. + jx +x Filtre passe-haut du premier ordre 4.. Fonction de transfert Fonction de transfert H ( jω ) et forme réduite H ( jx ) de la fonction de transfert d un filtre passe-haut du premier ordre : f ω j ---j -----fc ωc H ( jω ) = A = A ; f ω + j j -----fc ωc jx H ( jx ) = A jx ω c est la pulsation de coupure et fc est la fréquence de coupure. A 0 est une constante réelle. ω Le terme en , d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de premier ωc ordre donné au filtre. Nous travaillerons dans la suite avec la valeur A 0 =. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 05

106 retenir l essentiel 4.. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 4... Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) f fc x H ( jx ) jx = xe j -- = H ( jx ) e jϕ ( x ) H ( jx ) x G BF = 0log ( x ) ϕ BF = -- appel j = j --e. Point maths. On ne conserve que les termes de plus bas degré en x, au numérateur ( jx ) et au dénominateur (). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF = 0log(x) et ϕ BF = Expression à la fréquence de coupure ( x = ) Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) H ( jx ) G HF = 0 f fc x H ( jx ) = H ( jx ) e jϕ ( x ) ϕ HF = 0 On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : G HF = 0 et ϕ HF = Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 5a) est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 0logx et G HF = 0 reliées au point ( 0 ; 0 ) ; La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 5b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = --- et ϕ HF = 0, d origine log ( x ) = 0, et du seg ment vertical qui les relie Pente de l asymptote haute fréquence 06 dg HF En posant X = log ( x ), il vient G HF = 0X, d où = 0 db/décade. Le gain augdx mente de 0 db quand la fréquence est multipliée par 0 (X augmente d une unité) ; la pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à + 0 db par décade. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa j --j f = fc x = H ( j ) = H ( j ) e jϕ ( ) = = e 4 = H( jx ) e jϕ ( x ) +j H ( j ) G ( x = ) = 3 db ϕ ( x = ) = --4 La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; 3 db ). La courbe de la phase en fonction de log ( x ) passe par le point 0 ;

107 4.5. Diagramme de Bode jx + jx Diagramme de Bode d un filtre passe-haut du premier ordre de fonction de transfert H ( jx ) = a) b) ϕ(x) (rad) G(x) (db) Conseil Pour tracer l asymptote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points (0 ; 0) et ( ; 0 db). 0,0 log(x ),4 Bande passante 0, 0 0,8 0,6 0,4 30 0, log(x ) 40 0 a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. jx Filtre passe-haut du premier ordre, de fonction de transfert H( jx ) = jx La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 0log(x) et G HF = 0 reliées au point ( 0 ; 0 ). Fig. 5 La pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +0 db par décade. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = --- et ϕ HF = 0, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de --- à 0. Le point 0 ; --- est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction 4 de log ( x ). emarque : j -- jx [ H( jx ) ] passe = = jx = xe [ H( jx ) ] passe [ ϕ ( x ) ] passe = [ ϕ ( x ) ] passe + jx + jx bas haut bas haut La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe-bas par translation positive de --- le long de l axe des phases. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 07

108 retenir l essentiel 4.6. Bande passante à 3 db Application de la méthode donnée au 3.6 Détermination de la valeur maximale H H max = H x =. max du module de la fonction de transfert : H max jx ésolution de l équation : H ( jx ) = = = x = f = fc. + jx x La bande passante à 3 db d un filtre passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure fc est f = [ fc ; [. Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre Les comportements à basse et à haute fréquences des condensateurs et des bobines idéales (figure 6) permettent de prévoir avant tout calcul les comportements asymptotiques d un filtre. Fig. 6 Comportements à basse et à haute fréquences d un condensateur et d une bobine Basse fréquence Haute fréquence Basse fréquence Haute fréquence Point méthode. Comportements asymptotiques d un filtre Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. En déduire si le filtre est passe-bas ou passe-haut : c est un filtre passe-bas si la tension de sortie s annule seulement à haute fréquence ; c est un filtre passe-haut si la tension de sortie s annule seulement à basse fréquence. 08 emarques : Un filtre dont la tension de sortie s annule à basse fréquence et à haute fréquence est un filtre passe-bande. Il sera étudié au prochain chapitre. La tension de sortie de certains quadripôles ne s annule ni à basse fréquence ni à haute fréquence. Des exemples seront présentés en exercices. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 5

109 6 Équation différentielle d un système du premier ordre Stabilité 6.. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert On peut déduire l équation différentielle d un système du premier ordre en remd plaçant chaque terme jω par l opérateur dans la fonction de transfert. La forme générale de la fonction de transfert d un filtre du premier ordre s écrit u N 0 + jωn H ( jω ) = -----s = , D 0 + jωd ue d où l équation différentielle : du s du e D D 0 u s = N N 0 u e PCSI 6.. Stabilité du système Un système est stable lorsque sa réponse à une excitation est bornée, c est-à-dire qu elle ne tend pas vers l infini quand le temps tend vers l infini. Analysons la réponse d un quadripôle du premier ordre (figure 7). Fig. 7 ue Quadripôle du premier ordre us Le quadripôle est soumis à la tension fournie par la source quand on ferme l interrupteur égime libre (interrupteur ouvert) du sl C est la solution u sl de l équation différentielle D D 0 u sl = 0. D t D0, avec K constante a priori non nulle. Cette solution D D converge vers zéro quand t tend vers l infini si ; elle n est pas bornée si D0 D0 (elle tend alors vers l infini). Il faut donc que les coefficients D 0 et D soient du même signe pour que le système soit stable vis-à-vis de la réponse libre. N 0 + N jx ω Sachant que x = , la fonction de transfert s écrit aussi sous la forme H ( jx ) = ω0 D 0 + D jx Il faut que les coefficients D 0 et D soient du même signe pour que le système soit stable. Elle est de la forme u sl = Ke 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 09

110 retenir l essentiel Un système du premier ordre est stable en régime libre si les coefficients D 0 et D (respectivement D 0 et D ) du dénominateur de la fonction de transfert N 0 + N jx N 0 + jωn H ( jω ) = (respectivement H ( jx ) = ) sont du même signe. D 0 + D jx D 0 + jωd 6... égime forcé sinusoïdal (interrupteur fermé) Les amplitudes Uem et Usm des tensions d entrée et de sortie sont liées par la relation (voir.3.5) : Usm = H ( jω ) Uem. L amplitude de sortie est bornée (non infinie) si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Un système du premier ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. PCSI 7 Caractère intégrateur ou dérivateur d un filtre 7.. Caractère intégrateur à haute fréquence d un filtre passe-bas du premier ordre u A0 ω f À haute fréquence ( ---- = ), la fonction de transfert H ( jω ) = -----s = d un ωc fc ω ue + j -----ωc filtre passe-bas du premier ordre se simplifie en : u A0 ω H ( jω ) = -----s j u s = A 0 u e. ω ωc u e ----j ωc du s On en déduit l équation différentielle : = ω c A 0 u e. La tension de sortie est donc de la forme u s = A 0 ω c u e. Un filtre passe-bas du premier ordre a un caractère intégrateur à haute fréquence. 7.. Caractère dérivateur à basse fréquence d un filtre passe-haut du premier ordre 0 ω f À basse fréquence ( ---- = ), la fonction de transfert : ωc fc ω j -----us ωc H ( jω ) = = A , ω ue + j -----ωc Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Pour faire l étude d un quadripôle nous supposerons a priori qu il est stable. Les signes des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert montreront s il en est bien ainsi. En cas d instabilité, la réponse du système ne peut pas être sinusoïdale ; le quadripôle n est pas linéaire.

111 d un filtre passe-haut du premier ordre se simplifie en : u ω ω H ( jω ) = -----s = A 0 j u s = A 0 j u e. ωc ωc ue A 0 du e On en déduit l équation différentielle : u s = ω c Un filtre passe-haut du premier ordre a un caractère dérivateur à basse fréquence. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre

112 savoir résoudre les exercices Filtre passif passe-bas On considère le filtre de la figure suivante. On donne C =,0 µf, =,0 kω et = 3,0 kω. Déterminer les comportements asymptotiques du is = 0 filtre. En déduire sa nature. Exprimer la fonction de transfert sous la forme A0 H ( jω ) = Exprimer la constante A 0 et + jωτ la constante de temps τ. C ue us 3 Calculer la durée τ, la fréquence de coupure fc, et le gain maximal G max. 4 À l entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale u e ( t ) = U em cos ( ft ) résolution méthodique Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a). Les deux résistors sont traversés par le même courant ; ils sont en série. La branche, u réalise un diviseur de tension : -----s = ue À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé (figure b) donc u s = 0. La tension de sortie est nulle seulement à haute fréquence ; le filtre est un filtre passe-bas. L étude des comportements asymptotiques d un quadripôle peut permettre d en connaître la nature. a) Basse fréquence ue b) Haute fréquence is = 0 us = ue ue is = 0 us = 0 Soit Z l impédance de l association du condensateur et du résistor de résistance, et Y son admittance. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa fc d amplitude Uem = 0 V et de fréquence f = Déterminer la tension u s ( t ) 0 de sortie.

113 Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle Z sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit (figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer facilement la fonction de transfert : is = 0 ue Z us u Z H( jω ) = -----s = = ue + Y + Z = = jcω = j Cω + jω C Lorsque des éléments d un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l admittance équivalente. et τ = C + La fonction de transfert est bien celle d un filtre passe-bas, en accord avec la détermination rapide de la première question. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d un quadripôle. 3 Par identification, on obtient : A 0 = τ = 0,75 ms et fc = = 0, khz τ H max = A 0 G max = 0log ( A 0 ) G max =,5 db f ω 4 Avec les données on a : ωτ = = ---- = ωc fc 0 Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. Tension d entrée en notation complexe : u e = E m cos ( ft ) u e = E m e jft. Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert : us A0 A0 H ( jω ) = u s = H ( jω )u e = u e = U em e jft + jωτ ue + ω τ e jα A 0 U em u s = e j ( ft α ) avec tan α = ωτ. + ωτ 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 3

114 savoir résoudre les exercices Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe : A 0 U em 0,75 0 u s = cos ( ft α ) = cos ( ft α ) 7,5 cos ( ft α ) + 0 +ω τ tan α = 0,0 α 0,0 rad. u s ( t ) = 7,5 cos (,3 0 t 0,0 ) (V) Finalement : en conclusion L étude des comportements asymptotiques d un quadripôle peut permettre d en connaître la nature. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d un quadripôle. Lorsque des éléments d un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résistance c. Données : C = 0,0 µ F, = 5,0 kω, c = 0,50 kω. Déterminer les comportements asymptotiques du déduire sa nature. filtre. En + C Calculer la constante de temps τ du circuit C. ue C us 3 Soit x la pulsation réduite avec f ω x = = ---- = Cω. fc ωc Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite H( jx ). Dépend-elle de la résistance de charge c? 4 Quels sont la nature et l ordre du filtre? Calculer la fréquence de coupure fc. 5 On place en entrée un générateur idéal de tension u e ( t ) = E m cos ( ft ) avec fc E m =,0 V et de fréquence f = Déterminer la tension u s ( t ) et l intensité i s ( t ) de sortie. 6 Calculer la puissance moyenne c reçue par la charge? Quelle est la puissance moyenne + reçue à l entrée de l AO? Que doit-on en conclure? 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa détermination de la fonction de transfert en utilisant l admittance équivalente.

115 7 Dans la pratique, l amplitude de l intensité du courant de sortie est limitée à I smax = 0 ma et l amplitude de la tension de sortie est limitée à U smax = 3 V par un système électronique interne à l AO. Déterminer : la valeur maximale U e max de l amplitude de la tension d entrée ; la valeur c de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension et de l intensité sont maximales ; la valeur maximale c max de la puissance moyenne de sortie de l AO. résolution méthodique Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n y a pas de courant dans le résistor. L analyse de la figure conduit à u s = 0. i + =0 + is ue u+ i = 0 = i+ = 0 C us = u = 0 u = u+ = 0 Figure : Basse fréquence ε=0 À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L analyse de la figure conduit à u s = u e. i + =0 + is ε=0 i =0 ue u+ = u C us = u = ue u = u+ = ue Figure : Haute fréquence La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passehaut. τ = C = 0,50 ms 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 5

116 savoir résoudre les exercices 3 Analysons la figure 3. Le courant d entrée + est nul ( i + = 0 ). En conséquence, le condensateur C et le résistor sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension : i + =0 is i =0 ue u+ C us u Figure 3 { u u u+ jx -----s = jx u u+ ue = + ε=0 jx = et + jx { u = ue jcω u H( jx ) = -----s = ue C = La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge. Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l amplificateur opérationnel : les courants d entrée i + et i sont nuls, la tension différentielle d entrée ε est nulle. 4 On reconnaît la fonction de transfert d un filtre passe-haut du premier ordre. f f c = = = 0,3 khz Cω C 5 Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. Tension d entrée en notation complexe : u e = E m cos ( ft ) u e = E m e jft. Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert : j j u j j E m j ft α j e s jft jft Em e e H us = H = = = u = u = E e e j e +j m ue e jα avec tan α = -- Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe : Em u s = cos ft α. 5 Finalement : u s ( t ) = 0,89 cos (,0 0 3 t +, ) (V) u s = c i s i s ( t ) =,8 cos (,0 0 3 t +, ) (ma) 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Dans son domaine normal d utilisation, la tension de sortie d un AO ne dépend pas de la charge.

117 Ne pas oublier que, contrairement aux courants d entrée, le courant de sortie d un AO est en général non nul. 6 La charge reçoit la puissance : U s max 0, c = 0,80 mw. c = = c 5 0 Le courant d entrée + de l AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle. C est donc la source d alimentation de l AO (jamais représentée dans les schémas) qui fournit toute l énergie à la charge. 7 Valeur maximale U emax de l amplitude de la tension d entrée : Ue max = U smax 5 = 9 V U s max c = = 0,65 kω I s max Valeur maximale c max de la puissance moyenne de sortie de l AO : c max = --- c I s max = 0,3 W appel. La puissance moyenne reçue par un résistor de résistance traversé par un courant sinusoïdal d amplitude I max et de valeur efficace I e s écrit : = I e = -- I max. Le montage de l AO est appelé «montage en suiveur» car la tension de sortie est égale à la tension d entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d alimentation de l AO. Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, «amplificateur», il ne peut pas servir d amplificateur de puissance d une chaîne «HI-FI» par exemple, qui mettent en jeu des puissances de l ordre de 0 watts. Valeur c de la résistance de charge : en conclusion Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l amplificateur opérationnel : les courants d entrée i+ et i sont nuls, la tension différentielle d entrée ε est nulle. Contrairement aux courants d entrée, le courant de sortie d un AO est en général non nul. Dans son domaine normal d utilisation, la tension de sortie d un AO ne dépend pas de la charge. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 7

118 savoir résoudre les exercices 3 Passe-tout déphaseur du premier ordre On considère le quadripôle en sortie ouverte ci-contre. Il comprend deux résistors identiques de résistance, et deux condensateurs identiques de capacité C. Données : C = 0µF, = 00Ω. C Déterminer les comportements asymptotiques du us quadripôle. econnaît-on un filtre? C Soit x la pulsation réduite définie par la relation Cω = x. Exprimer la fonction de transfert sous la forme canonique H ( jx ). ue 3 Calculer le gain du quadripôle. Que peut-on en conclure? 4 Tracer l allure de la courbe de la réponse de la phase ϕ ( x ) en fonction de log ( x ). Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; il n y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : u e u u s u = 0, d où u e 0 u s 0 = 0, soit u s = u e. À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc u = u e (figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : u e u u s u = 0, d où u e u e u s u e = 0, soit u s = u e. a) Basse fréquence is = 0 u = 0 b) Haute fréquence is = 0 us u = 0 u us u ue ue On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-haut. Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun des 8 circuits C réalise un diviseur de tension, ce qui permet d écrire : u jx = = jx ue jcω Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa résolution méthodique

119 Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique sur la figure b) : u e = u s + u d où : jx H( jx ) = jx On constate que la fonction de transfert n est pas celle d un filtre passe-bas, ni celle d un filtre passe-haut, en accord avec l étude rapide faite dans la première question. Le quadripôle est du premier ordre. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert est en accord avec l étude rapide. + x 3 H( jx ) = = G = 0log H( jx ) = 0! Le quadripôle n est pas un filtre +x car le gain ne dépend pas de la pulsation. On dit que c est un passe-tout déphaseur du premier ordre ; seule la phase dépend de la fréquence. + x e jα = e jα ϕ ( x ) = α avec tan α = x ; 4 H( jx ) = x e jα ϕ ( x ) = arctan ( x ) ϕ ( x ) arctan ( 0 ) = 0 d où ϕ BF = 0. ϕ ( x ) arctan ( ) = --- d où ϕ HF =. L allure de la courbe de la réponse ϕ ( x ) en 3 fonction de log ( x ) se trace en plaçant quelques points dans le plan ( log ( x ), ϕ ( x ) ). On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. x 0,5 log (x ) 0,30 0 0,30 ϕ(x ) en rad 0,9 --, (rad) 0 3 log(x) 0,5,5,5 3 en conclusion Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 9

120 savoir résoudre les exercices PCSI 4 Intégrateur et pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel Soit le quadripôle actif ci-contre. Données : C =,0µF et = 0 kω. C Exprimer la fonction de transfert H( jω ). On posera τ = C. Établir l équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d entrée. En déduire que ce montage est un circuit intégrateur. + ue us 3 À la date t = 0, on applique en entrée un échelon de tension de valeur E =,0 mv. Déterminer la tension u s ( t ) de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. Quelle est la valeur de saturation atteinte par la tension de sortie? À quelle date t sat? 5 Dans la pratique, les tensions d entrée s écrivent sous la forme u e ( t ) = ε + f ( t ), ε étant une tension constante appelée tension de décalage ; sa valeur peut être faible, mais jamais nulle. Pourquoi dit-on que le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur? 6 La saturation de la tension de sortie peut être évitée en plaçant un résistor de résistance en parallèle avec le condensateur, comme indiqué cicontre. a. Exprimer la fonction de transfert sous la forme : A0 T ( jω ) = , avec A 0 une + jωτ C + ue us constante à exprimer et τ = C. b. À quelle condition sur le produit ωτ le filtre a-t-il un caractère intégrateur? On dit alors que c est un pseudointégrateur. c. On considère que le filtre est intégrateur pour les fréquences supérieures à 0f c, f c étant la fréquence de coupure du filtre. Quelle valeur de faut-il choisir pour que le filtre soit intégrateur pour des fréquences supérieures à 00 Hz? d. Quel est alors l effet d une tension de décalage E = 0 mv? Conclure. 0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 4 Il existe des tensions de saturation en sortie de l AO, de valeurs Usat = ± 5 V.

121 résolution méthodique Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure) : u u A jcω = -----E + jcωu S = 0 E u u s = u E H( jx ) = -----s = jcω jcω ue ue C A i+ = 0 S ε = 0 + i = 0 us H( jω ) = jωτ du d -, il vient : u E = jωτu S u e = τ s En remplaçant l expression jω par --- du s = --- u e τ us ( t ) du s = --τ us ( 0 ) t 0 u s = u s ( 0 ) --τ u e t u 0 e La tension de sortie est une primitive de la tension d entrée ; le circuit est un circuit intégrateur. 3 u s = u s ( 0 ) --- E = E -t- + u s ( 0 ). t τ 0 On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l entrée inverseuse et à l entrée non inverseuse + d un AO car les courants d entrée sont nuls. Il ne faut pas l appliquer à la sortie d un AO car le courant de sortie est en général non nul. C τ La continuité de la tension aux bornes du condensateur (u C ( 0 ) = 0) permet d écrire (figure ci-contre) : u s ( 0 ) = u C ( 0 ) = 0. Finalement : uc + t u s ( t ) = E -τ ue u = 0 us A.N. : u s ( t ) = 0,0t (V). 4 La tension de sortie décroît ; elle atteint donc la valeur négative 5 V de saturation de la tension. Il vient : u s ( t sat ) = 0,0t sat = 5 t sat =,5 0 s 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre

122 savoir résoudre les exercices 5 u s = --- [ ε + f ( t ) ] = --- f ( t ) ε -t-. t τ t τ 0 0 τ t Aussi petite que soit la valeur de la tension ε, le terme ε -- varie de manière monotone ; τ il y a donc saturation de la sortie ; le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur. 6 a. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure ci-contre) : u ua jcω = -----E jcω u S = 0 u H( jω ) = -----s = = , + jωτ ue jcω avec : C E A S + ue us A 0 = ---- H( jω ) = = , jωτ jωτ ce qui implique : ωτ f c. La condition avec f = 00 Hz donne : fc f c 0 C A.N. : 6 kω. d. Une tension de décalage E en entrée provoque, en régime permanent, une tension de décalage U s en sortie d expression : Us = H ( ω = 0 )E = -----E. A.N. : Us =,6 mv. En régime permanent, une tension Ue d entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie Us correspondante s écrit : Us = H ( ω = 0 ) Ue. Il n y a donc pas de saturation en sortie ; le montage fonctionne en intégrateur pour des fréquences supérieures à 00 Hz. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa b. Le filtre a un caractère intégrateur si on peut écrire :

123 en conclusion On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Mill- mann) à l entrée inverseuse et à l entrée non inverseuse + d un AO car les courants d entrée sont nuls. Il ne faut pas l appliquer à la sortie d un AO car le courant de sortie est en général non nul. En régime permanent, une tension Ue d entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie Us correspondante s écrit : Us = H ( ω = 0 ) Ue. 5 Quadripôle déphaseur On considère le quadripôle ci-contre. Données : C = 0, µ F, = 47 k Ω. Exprimer la fonction de transfert. Exprimer le gain et la phase du qua- dripôle. Quelle est la nature de ce quadripôle? Le quadripôle est-il stable? + us ue C 3 Établir l équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d entrée. On posera τ = C. 4 À la date t = 0 on applique en entrée un échelon de tension de valeur E =,0 V. Déterminer la tension u s ( t ) de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. résolution méthodique Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A de la figure. u u ua = -----E S u = u e + u s. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point B. E A i+ = 0 ε = 0 B ue S + i = 0 us C 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 3

124 savoir résoudre les exercices u ub jcω = -----E + jcω u M u u jcω = ----e- + jcω 0 u + ( + jx ) = u e avec x = Cω. Autre méthode : utiliser la propriété du diviseur de tension réalisé par la branche C (ils sont en série) : u+ jcω = = avec x = Cω. + jx ue jcω Les tensions d entrée de l AO sont égales ( u = u + ) donc : ue u = u e + u s = u + = jx Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) ; la propriété d un diviseur de tension ; l égalité des tensions d entrée de l AO (tension différentielle d entrée nulle). Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert ( et ) étant du même signe, le quadripôle est stable. La fonction de transfert est la même que celle du quadripôle de l exercice 3. Mais la présence de l AO rend son expression indépendante d une charge que l on placerait en sortie ; au contraire la fonction de transfert de l exercice 3 serait modifiée, le courant de sortie n étant alors pas nul. + x e jα H( jx ) = = e jα H( jx ) = et ϕ ( x ) = α avec tan α = x, d où : + x e jα G = 0log H( jx ) = 0 et ϕ ( x ) = arctan ( x ) Le quadripôle n est pas un filtre, c est un passe-tout déphaseur (voir exercice 3 précédent). u jωτ - u s ( + jωτ ) = ( jωτ )u e u s + jωτ u s = u e jωτ u e. 3 H( jω ) = -----s = ue + jωτ d En remplaçant l expression jω par on obtient : du e du s u s + τ = u e τ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa jx H( jx ) = jx

125 L équation différentielle d un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en d remplaçant chaque terme j ω par l opérateur du du Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. de - u s + τ s = E. 4 L équation différentielle s écrit : u s + τ s = E τ Appliquons la méthode résolution d une équation différentielle linéaire du premier ordre donnée dans «etenir l essentiel» du chapitre 4. Solution générale de l équation différentielle : u s = Ae t -τ + E, avec A constante. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur. La relation u + = u e + u s est valable à chaque instant, en particulier à la date t = 0, d où : Solution complète de l équation différentielle complète : t -u s = E e τ. A. N. : τ = C = 0 ms, u s ( t ) =,0 ( e,0.0 t ) (V). 0 = E + u s ( 0 ) u s ( 0 ) = A + E = E A = E. en conclusion Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) la propriété d un diviseur de tension l égalité des tensions d entrée de l AO (tension différentielle d entrée nulle). L équation différentielle d un système du premier ordre se déduit de la fonction de d transfert en remplaçant chaque terme jω par l opérateur Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 5

126 retenir l essentiel PCSI Filtres du deuxième ordre Filtre passe-bas du deuxième ordre.. Fonction de transfert La fonction de transfert d un filtre passe-bas du deuxième ordre est : H ( jω ) = A = A f f ω ω + jσ j j j -----Q ω 0 ω 0 f0 f0 ω 0 est la pulsation caractéristique du filtre et f 0 la fréquence caractéristique. Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement avec σ = Q A 0 est une constante réelle. ω Le terme en , d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de deuxième ω0 ordre donné au filtre. La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-bas du deuxième ordre est : f ω H ( jx ) = A = A , avec x = = x f ω + jσx + ( jx ) j ( jx ) Q emarque : Nous laissons le terme ( jx ) sans le remplacer par x, pour conserver à la fonction de transfert une forme analogue à celle utilisée en Sciences de l Ingénieur : A0 H ( p ) = avec τp = jx. + στp + τ p 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa PTSI

127 .. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence caractéristique Nous travaillerons dans la suite avec la valeur A 0 = puisque les courbes de réponses en gain se déduisent de celle de la fonction de transfert dans laquelle A 0 par simple translation 0log(A 0) le long de l axe des gains et que les courbes de réponse en phase sont identiques.... Comportement asymptotique à basse fréquence H = G BF = 0log ( ) = 0 x H ( jx ) --- = H e jϕ ϕ BF = 0 Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici (degré nul). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF = 0 et ϕ BF = Expression à la fréquence caractéristique ( x = )..3. Comportement asymptotique à haute fréquence x H ( jx ) = = e ± j H ----x ( jx ) x x G BF = 40 log ( x ) et ϕ BF = ±. appel --- = = e ± j. j j -- x = H( j ) = = jq = Qe H( ) = Q G ( x = ) = 0log(Q ) + j --- Q et ϕ ( x = ) = ---. La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; log(q ) ). Si Q, alors G ( ) 0 ; si Q, alors G ( ) 0. La courbe de la phase en fonction de log ( x ) passe par le point 0 ; ---. Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus haut degré en x, soit ici ( jx ). On en déduit l équation de l asymptote haute fréquence du gain : G HF = 40 log ( x ). Quelle valeur de ϕ HF choisir? x Étudions tan ϕ = C est une fonction décroissante pour x, donc la phase Q x décroît de la valeur --- à. L équation de l asymptote haute fréquence du gain s écrit : ϕ HF =..3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure a) est constituée des deux demi-droites d équations G HF = 0 et G BF = 40 log ( x ) qui se coupent au point de coordonnées ( 0 ; 0 ). 8 Filtres du deuxième ordre 7

128 retenir l essentiel Pente de l asymptote basse fréquence En posant X = log ( x ), il vient : dg HF G HF = 40X = 40 db/décade. dx Le gain diminue de 40 db quand la fréquence est multipliée par 0 ( X augmente d une unité) ; la pente de l asymptote basse fréquence est égale à 40 db par décade. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = 0 et ϕ HF = d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence caractéristique ne suffisent pas pour donner l allure du diagramme de Bode complet. Il faut analyser la courbe selon les valeurs de Q (ou de σ). Si Q , il existe un maximum du gain de coordonnées : Q log ; 0log Q 4Q On dit qu il y a résonance pour la fréquence correspondante. Le diagramme de Bode peut-être tracé à l aide d un logiciel de calcul formel (en couleur sur la figure ). Fig. Diagramme de Bode d un filtre passe-bas du deuxième ordre a) b) G(x) (db),5 0,5 0,5 0 emarque Pour tracer l asymptote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points ( 0 ; 0 ) et ( + ; 40 db ). ϕ(x) (rad) 0 log(x) 0 0 0,5,5 30,5 40 a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q =, courbes en traits pointillés pour Q = 0,5. 8 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 3 log(x).4. Diagramme de Bode

129 Filtre passe-bas du deuxième ordre, de fonction de transfert : H( jx ) = x + j ( jx ) Q La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G HF = 0 et G BF = 40 log ( x ) reliées au point ( 0 ; 0 ). La pente de l asymptote haute fréquence du gain est égale à 40 db par décade. Si Q , il existe une résonance de pulsation réduite x r. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = 0 et ϕ HF =, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de 0 à. Le point 0 ; --- est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de log ( x ). Filtre passe-bande du deuxième ordre La fonction de transfert d un filtre passe-bande du deuxième ordre est : f ω jσ ---j Q ω0 f0 H( jω ) = A = A f f ω ω + jσ j j j Q ω0 ω0 f0 f0.. Fonction de transfert ω 0 est la pulsation propre (ou pulsation de résonance) du filtre et f0 la fréquence propre (ou fréquence de résonance). Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement, avec σ = Q A 0 est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-bande du deuxième ordre est : x j --f Q jσx ω H( jx ) = A = A , avec x = = x f0 ω0 + jσx + ( jx ) + j ( jx ) Q Autre forme : H( jx ) = A = A j x jq x --- σ x x.. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur A 0 =. j --- x x [ H( jx ) ] passe = j = e --- [ H( jx ) ] passe [ ϕ ( x ) ] passe = [ ϕ ( x ) ] passe Q x Q bas bas bande bande + j ( jx ) Q 8 Filtres du deuxième ordre 9

130 retenir l essentiel La courbe de réponse en phase du filtre passe-bande se déduit de celle du filtre passe-bas du deuxième ordre par translation positive de --- le long de l axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = --- et ϕ HF = --- d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie..3. Courbe de réponse en gain.3.. Comportement asymptotique à basse fréquence x x x H( jx ) j --- H --- G BF = 0log ( x ) 0 log ( Q ). Q Q Équation de l asymptote basse fréquence : G BF = 0log ( x ) 0 log ( Q )..3.. Gain à la fréquence propre x = H ( j ) = H = G ( x = ) = Comportement asymptotique à haute fréquence j x H ( jx ) H G HF = 0 log ( x ) 0 log ( Q ). Qx Qx Équation de l'asymptote haute fréquence : G HF = 0 log ( x ) 0 log ( Q ). La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure a) est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 0log ( x ) 0 log ( Q ) et G HF = 0 log ( x ) 0 log ( Q ) qui se coupent au point ( 0, 0 log ( Q ) )..4. Diagramme de Bode Fig. Diagramme de Bode d un filtre passe-bande du deuxième ordre a) G(x) (db) ϕ(x) (rad) b) log(x) 0 0,5 log(x) , a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q = 0, ; courbes en traits pointillés pour Q = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 3 La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; 0 ).

131 Filtre passe-bande du deuxième ordre, de fonction de transfert : x j -- Q H ( jx ) = = x + j ( jx ) + jq x --- Q x La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations : G BF = 0log ( x ) 0 log ( Q ) et G HF = 0 log ( x ) 0 log ( Q ),.5. Bande passante à 3 db Bande passante f d un filtre passe-bande de fréquence propre f0 et de facteur f de qualité Q : f = ( x = --- ) (figure 3). Q Q Démonstration : Fig. 3 H max ésolution de l équation H = H max - = H = = Q x --x Q x --x G ( x ) ( db ) 0,5 0 0,5 log ( x ) 5 0 = Bande passante 5 Q x --- = ε, avec ε = ±. x ε Il faut résoudre l équation x ---x = 0 ; on a Q ε = et x = ± Q Q x = Q Finalement reliées au point ( 0 ; 0 logq ). La pente de l asymptote basse fréquence est égale à 0 db par décade. La pente de l asymptote haute fréquence est égale à 0 db par décade. Il existe une résonance de pulsation réduite x = (égale à la pulsation propre réduite). Le module de la fonction de transfert est alors maximal, égal à. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = --- et ϕ HF = ---, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de --- à ---. Le point ( 0 ; 0 ) est centre de symétrie de la courbe de la phase ϕ ( x ) en fonction de log ( x ). 0 Q = --- et x = 3,3 0,30 = 3,0. 3 et x = Q x = x x = ---. Q 8 Filtres du deuxième ordre 3

132 retenir l essentiel 3 Filtre passe-haut du deuxième ordre 3.. Fonction de transfert et forme réduite La fonction de transfert d un filtre passe-haut du deuxième ordre est : f ω j -- j ---- f0 ω 0 H( jω ) = A = A f f ω ω + jσ j j j Q ω 0 ω 0 f0 f0 La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-haut du deuxième ordre est : ( jx ) ( jx ) f ω H( jx ) = A = A , avec x = = x f0 ω0 + jσx + ( jx ) + j ( jx ) Q 3.. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur A 0 =. x j --Q [ H( jx ) ] passe = jqx x haut + j ( jx ) Q j -- = e Qx [ H ( jx ) ] passe [ ϕ ( x ) ] passe = [ ϕ ( x ) ] passe bande haut bande La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe- bande du deuxième ordre par translation positive de --- le long de l axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = et ϕ HF = 0, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. 3 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa ω 0 est la pulsation caractéristique du filtre et f0 la fréquence caractéristique. Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement, avec σ = Q A 0 est une constante réelle.

133 3.3. Courbe de réponse en gain Comportement asymptotique à basse fréquence x H( jx ) ( jx ) H( x ) x G BF = 40log ( x ). On en déduit l équation de l asymptote basse fréquence du gain : G BF = 40log ( x ) Expression à la fréquence caractéristique ( x = ) x = H( j ) = jq H = Q G ( x = ) = 0logQ. La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; logq ). Si Q, alors G ( ) 0 ; si Q, alors G ( ) Comportement asymptotique à haute fréquence On en déduit l équation de l'asymptote haute fréquence du gain : G HF = 0. La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d équations : G BF = 40log ( x ) et G HF = 0, reliées au point ( 0 ; 0 ). Pente de l asymptote basse fréquence En posant X = log ( x ), il vient : dg BF G BF = 40X = 40 db/décade ; dx la pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à + 40 db par décade. x H ( jx ) H G HF = Diagramme de Bode Fig. 4 Diagramme de Bode d un filtre passe-haut du deuxième ordre a) ϕ(x) (rad) b) G(x) (db) 0,5 0,5 0,5,5 log(x) 0, , log(x) a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q =, courbes en traits pointillés pour Q = 0,5. 8 Filtres du deuxième ordre 33

134 retenir l essentiel Filtre passe-haut du deuxième ordre, de fonction de transfert : ( jx ) H ( jx ) = x + j ( jx ) Q La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF = 40log ( x ) et G HF = 0 reliées au point (0 ; 0). La pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 db par décade. Si Q , il existe une résonance de pulsation réduite x r. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF = et ϕ HF = 0, d origine log ( x ) = 0, et du segment vertical qui les relie. 4 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre L étude des filtres du deuxième ordre permet de compléter le point méthode donné au chapitre précédent. emarque La tension de sortie de certains quadripôles ne s annule ni à basse ni à haute fréquences, par exemples celle d un passetout déphaseur (voir chapitre précédent) et celle d un filtre coupe-bande (voir exercice p. 37). PCSI Point méthode. Comportements asymptotiques d un filtre Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. En déduire si le filtre est passe-bas, passe-haut ou passe-bande : c est un filtre passe-bas si la tension de sortie s annule seulement à haute fréquence ; c est un filtre passe-haut si la tension de sortie s annule seulement à basse fréquence ; c est un filtre passe-bande si la tension de sortie s annule à basse et à haute fréquences. 5 Équation différentielle d un système du deuxième ordre Stabilité 5.. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert 34 La forme générale de la fonction de transfert d un filtre du deuxième ordre s écrit : N ( jω ) N 0 + jωn + ( jω ) N H( jω ) = = ; D ( jω ) D 0 + jωd + ( jω ) D Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa La phase est une fonction décroissante de à 0. Le point --- ; 0 est centre de symétrie de la courbe de la phase ϕ ( x ) en fonction de log ( x ).

135 d où l équation différentielle : du s du d us d ue N e + N 0 u e D D D u N = 0 s 5.. Stabilité du système 5... Stabilité du système en régime libre Le système est stable en régime libre si la solution u sl de la solution de l équation difféd u sl du sl - + D rentielle D D 0 u sl = 0 converge vers zéro quand t tend vers l infini. d u sl du sl - + b Nous l écrirons sous la forme a cu sl = 0 pour l étude suivante. Équation caractéristique de l équation différentielle : ar + br + c = 0. c b Soient r et r les solutions, avec r + r = -- et r r = --. a a Discriminant de l équation caractéristique : = b 4ac. La solution u sl = A e r t + A e r t (A et A constantes) de l équation différentielle converge c b vers zéro si r et r sont négatives, ce qui impose -- = r r 0 et r r = Les a a deux inégalités sont satisfaites si a, b et c sont du même signe. b. Cas où le discriminant est négatif Dans ce cas = b 4ac 0 4ac b 0 ; a et c sont du même signe. Les solutions de l équation caractéristique s écrivent : b b + b b r = = jω et r = = jω, avec Ω = a a a a a a. Cas où le discriminant est positif b t La solution u sl = e a [ A cos ( Ωt ) + B sin ( Ωt ) ], avec A et B constantes réelles, converge vers b zéro si -- 0 donc si b et a sont du même signe. Au total, a, b et c doivent être du même signe. a c. Cas où le discriminant est nul a b Dans ce cas = b 4ac = = - (relation ). b c b La solution de l équation caractéristique est double : r = r = a b t La solution u sl = e a [ A t + B ) ], avec A et B constantes réelles, converge vers zéro b si -- 0 (relation ). Les relations et imposent que a, b et c soient du même signe. a Dans les trois cas, la solution u sl converge vers zéro si a, b et c sont du même signe. Un système du second ordre est stable en régime libre si les coefficients D 0, D et D (resp. D0, D et D ) du dénominateur de la fonction de transfert : N 0 + jωn + ( jω ) N N 0 + N jx + N ( jx ) H( jω ) = (resp. ) H ( jx ) = D 0 + jωd + ( jω ) D D0 + D jx + D ( jx ) sont du même signe. 8 Filtres du deuxième ordre 35

136 retenir l essentiel 5... éponse du système en régime forcé sinusoïdal L étude menée au chapitre VII pour un système du premier ordre est indépendante de l ordre. Son résultat est applicable à un système du deuxième ordre : un système du second ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné, quelle que soit la fréquence. 36 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

137 savoir résoudre les exercices Filtre coupe-bande On considère le quadripôle ci-contre qui comprend un résistor de résistance, un condensateur de capacité C et une bobine réelle d inductance L et de résistance r. Données : C = 0 µf ; L = 0,0 H; r = 00 Ω ; = 00 Ω. On pose : = + r. is = 0 r ue Calculer la pulsation propre ω 0 du circuit L us C LC, la fréquence propre f 0 et le facteur de qualité Q. Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. Peut-on en déduire la nature du quadripôle? 3 Quelle est la valeur de l impédance du dipôle LC à la fréquence propre? En déduire le quadripôle équivalent au filtre à cette fréquence. ω. - Exprimer la fonction de transfert sous 5 Soit x la pulsation réduite avec x = ----ω0 la forme réduite H ( jx ). 6 Exprimer le gain G ( x ) en décibels. 7 Tracer l allure de la courbe de la réponse G ( x ) en fonction de log ( x ). 4 Calculer le gain du filtre à la fréquence propre. résolution méthodique Pulsation propre du circuit LC (voir chapitre 4) : ω 0 = LC A.N. : ω 0 =,0 0 3 rad s. Fréquence propre du circuit LC : ω f 0 = A.N. : f 0 = 0,6 khz. Facteur de qualité Q : Lω L Q = = C A.N. : Q = 0,50. 8 Filtres du deuxième ordre 37

138 savoir résoudre les exercices Le facteur de qualité est celui du circuit LC. La pulsation et la fréquence propres sont indépendantes de la valeur de la résistance ; seul le facteur de qualité en dépend. a. Basse fréquence b. Haute fréquence is = 0 is = 0 r ue r L us = ue ue us = ue C À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert (figure b), donc u s = u e. Ce quadripôle n est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-bande, ni un filtre passe-haut. LCω jcω 0 is = 0 - = = 0. 3 Z = jlω jcω 0 r Le circuit se réduit à l association en série des deux résistors (figure ci-contre). ue us 4 Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer simplement la fonction de transfert, puis le gain : r H = = --- G = 0log ( H ) +r A.N. : G = 6,0 db. Le gain est négatif dans un domaine de fréquences autour de la fréquence propre, nul à basse et à haute fréquences ; on dit que le quadripôle est un filtre coupe-bande. L analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur (voir chapitre 7). 38 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la bobine est équivalente à un interrupteur fermé (figure a) ; il n y a pas de courant dans le résistor, donc u s = u e.

139 5 Le courant de sortie est nul (filtre «en sortie ouverte») ; le résistor, le condensateur et la bobine sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer la fonction de transfert : r x r + jlω j ( jx ) r + Q jcω jrcω + j LCω + - = H ( jω ) = = LCω + x + j ( + r )Cω j + j ( jx ) + r + jlω Q jcω Finalement : + jx + ( jx ) H ( jx ) = jx + ( jx ) + jx + ( jx ) + jx + ( jx ) x + jx x + jx L expression de la fonction de transfert doit permettre de retrouver rapidement des résultats déjà établis, à savoir sa valeur à basse et à haute fréquences, et à la fréquence caractéristique. ( jx ) H BF = H ( x = 0 ) = -- = ; H HF = H ( x ) = = ; ( jx ) r + j r r + Q H ( x = ) = = r + j --- Q ( x ) + x - H ( jx ) = ; 6 H ( jx ) = = G ( x ) = 0log H ( jx ) ( x ) + 4x ( x ) + x G ( x ) = 0log ( x ) + 4x 7 Les quelques valeurs du gain du tableau suivant permettent de tracer l allure de la courbe de la réponse G ( x ) en fonction de log ( x ). On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel comme sur la figure ci-contre. x log(x) 0, 0,5,5 0,30 0 0,7 0,30,5 G (x ) (db) 0,5,5 log (x) r G (x) (en db) 0,3,8 6,0 4,4,8 0,3 0, emarque : Les valeurs montrent que la courbe est symétrique par rapport à l axe vertical. 8 Filtres du deuxième ordre 39

140 savoir résoudre les exercices en conclusion L analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur. Filtre passe-bande de Wien On considère le filtre de la figure ci-contre. Données : C = 0,0 µf et =,0 kω. is = 0 Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. En déduire la nature du filtre. ue C us Soit x la pulsation réduite définie par la rela- 3 Calculer la valeur du facteur de qualité Q. 4 Montrer que la fonction de transfert se met sous la forme : H ( jx ) = j x --- x En déduire le gain maximal G max. 5 Calculer la fréquence caractéristique f0 du filtre. 6 Déterminer la pulsation réduite x de la borne inférieure et la pulsation réduite x de la borne supérieure de la bande passante. En déduire les fréquences f de f correspondantes, puis la bande passante f. Vérifier sa valeur à partir de son expression en fonction de Q. 7 Exprimer la phase ϕ ( x ) de la fonction de transfert. Déterminer les phases ϕ ( x ) et ϕ ( x ). 8 Tracer le diagramme de Bode. 9 Établir l équation différentielle reliant la tension u s ( t ) de sortie à la tension u e ( t ) d entrée. On introduira la constante de temps τ = C. résolution méthodique À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts 40 (figure a) ; il n y a aucun courant dans le résistor prés de la sortie donc u s = 0. À haute fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés (figure b), donc u s = 0. Le filtre est un filtre passe-bande. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa tion Cω = x. Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite H ( jx ).

141 a. Basse fréquence b. Haute fréquence ue is = 0 is = 0 ue us = 0 Basse fréquence us = 0 Haute fréquence Le condensateur et le résistor près de l entrée sont en série ; soit Z = l impédance de leur jcω association (figure ci-contre). Le condensateur et le résistor près de la sortie sont en parallèle ; soit Y = jcω l admittance et Z = l impédance de leur association. Y Z ue Z is = 0 us dipôle Z sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit ( Z, Z ) réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer facilement la fonction de transfert : Z u H ( jω ) = -----s = = = ue Z + Z + Z Y jcω jcω H ( jω ) = = jx jcω jx jcω Le courant de sortie est nul. Le dipôle Z et le H ( jx ) = j x --- x Finalement : Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. Autre méthode : utilisation de la loi des noeuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) (figure ci-dessous). E ue C S is = 0 C us M 8 Filtres du deuxième ordre 4

142 savoir résoudre les exercices u s jcω = --- u M + jcω u M u e jcω jcω Le point M est à la masse donc u M = 0. Il vient : u s jcω jcω = u e jcω us jx u e + jx jcω jx jcω u s = u e jx = jx+ jx+ jx+ jx+ u s [ ( + jx ) + jx ] = jxu e. H = j x --- x Finalement : 3 Par identification avec la relation donnée au. du cours, il vient : Q = --3 On remarque que A 0 = Le gain est maximal quand le module H = de la fonction de transfert est maximal soit pour x =. H max 9 + x --x = --- et G max = G ( x = ) = 0log --- = 9,5 db La pulsation caractéristique ω 0 du filtre est telle que x =, d où : Cω 0 = C f 0 = f 0 = = 0,6 khz C 6 Appliquons la méthode de détermination de la bande passante donnée au chapitre 7. Valeur maximale du module de la fonction de transfert : H 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa max = La méthode du diviseur de tension est plus simple et plus rapide ; elle doit être préférée.

143 ésolution de l équation H H max = : H max H = = = x --x x --x = 9 x 3εx = 0 avec ε = ± 3ε ± = = 3 x = x = = 0,30 x = 3,0. On en déduit : f = f 0 x = 48 Hz ; f = f 0 x = 0,5 khz ; et x = = 3,3 ; f = f0 x = 0,48 khz f0 La bande passante d un filtre passe-bande est donnée par la relation f = -----, soit : Q f = 0,48 khz Ce résultat est bien en accord avec celui trouvé à partir de la définition. - tan ϕ = --- x ---, 7 H ( jx ) = j x --- x x d où ϕ ( x ) = arctan --- x x tan ϕ ( x = 0,30 ) = ϕ = --- rad 4 tan ϕ ( x = 3,3 ) = ϕ = --- rad 4 8 Construction du diagramme de Bode. a. Comportement asymptotique à basse fréquence +j -- H ( x ) x G BF = 0lo et ϕ BF = ---. On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : oins Que? H ( jx ) jx = xe G BF = 0log ( x ) et ϕ BF = -- Expression à la fréquence caractéristique (x = ) x = H ( j ) = --- H ( ) = --- G ( x = ) = G max = 9,5 db et ϕ ( x = ) = La courbe du gain en fonction de log ( x ) passe par le point (0 ; 9,5 db). La courbe de la phase en fonction de log ( x ) passe par le point ( 0 ; 0 ). Comportement asymptotique à haute fréquence j -- Grand Que? H ( jx ) ---- = --- e H ( x ) --- G HF = 0 et ϕ HF = ---. x jx x 8 Filtres du deuxième ordre 43

144 savoir résoudre les exercices On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : G HF = 0 log ( x ) et ϕ HF = ---. b. La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites qui se coupent au point de coordonnées ( 0 ; 0 ). Les courbes asymptotiques du gain et de la phase en fonction de log ( x ) sont en traits noirs sur les figures ci-dessous. c. Les quelques valeurs du gain et de la phase du tableau suivant permettent de tracer l allure du diagramme de Bode. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel (figures ci-dessous). x 0, x = 0,3 x = 3,3 0 log(x) 0,5 0 0,5 G (x) (en db) 0,5 9,5,5 0 j (en rad),3 0,78 0 0,78,3 emarque : Les valeurs montrent que les courbes sont symétriques par rapport aux axes verticaux. log (x ) (db) b. Phase G (x ) 0,5 0 log (x ) log (x) 0,5 Q (x ) (rad) log (x) 3 db,5 0,5 0 0,5, ,5 jx + 3jx + ( jx ) jωτ + 3jωτ + ( jωτ ) d d En remplaçant, d une part l expression jω par et d autre part l expression ( jx ) par , il vient : d us du s du e = τ u s + 3τ τ H ( jx ) = = [ + 3jωτ + ( jωτ ) ]u s = jωτu e L équation différentielle d un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en d d remplaçant chaque terme jω par l opérateur et chaque terme ( jω ) par l opérateur Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa a. Gain

145 en conclusion Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. L équation différentielle d un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de d transfert en remplaçant chaque terme jω par l opérateur et chaque terme ( jω ) d par l opérateur Tension triangulaire à l entrée d un filtre passe-bande exprimé en décibels, d un filtre de pulsation de résonance ω r, en fonction de la pulsation ω réduite x = ωr Quelle est la nature du filtre? Tracer les asymptotes. Quel est l ordre du G (x ) (db) 0 log (x) filtre? 40 La courbe ci-contre est celle du gain G ( x ), 3 La fonction de transfert réduite peut se mettre 50 sous la forme H ( jx ) = A jq x --- x Déterminer graphiquement la constante A 0, et le facteur de qualité Q. On donne log ( ) = 0,30. 4 On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence ω r et d amplitude,0 V d expression : 4 u e ( t ) = 0, cos ω r t cos 3ω r t cos 5ω r t + (en volts). 9 5 Déterminer la tension de sortie u s ( t ) en ne gardant que les termes pertinents. 5 Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, toutes choses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie u s ( t ) en fonction de la pulsation réduite. 8 Filtres du deuxième ordre 45

146 savoir résoudre les exercices résolution méthodique On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe du gain d un filtre passe-bande. G (x ) (db) log (x) 0 0 On constate que les asymptotes se coupent au point (0 ; 4 db). On lit sur la courbe que l ordonnée du point d abscisse est égale à 34 db ; la pente de l asymptote basse fréquence est donc égale à 0 db par décade On lit aussi sur la courbe que l ordonnée du point d abscisse est égale à 34 db ; la pente de l asymptote haute fréquence est donc égale à 0 db par décade. 50 Le filtre est passe-bande du second ordre. (x = ) = A jq x --- x = x= A0 = On sait (voir.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point ( 0 ; 0 logq ). 0 On en déduit 0 logq = 4 logq = 0,70 = 0,30 = log Q = 5,0 4 Travaillons en notation complexe. La tension d entrée s écrit sous la forme d une somme de tensions : u e = 0, e jωr t e j3ωr t e j5ωr t D après le théorème de superposition, la tension de sortie s écrit sous la forme d une somme de tensions : u s = Hx = 0 0,5 + Hx = e jωr t + Hx = e j3ωr t + Hx = e j5ωr t Lorsque la tension d entrée d un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme des tensions de sortie. 46 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 3 G( x = ) = 0 H

147 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : e jωr t ; 4 4 = e j3ωr t = e j ( 3ωr t α3 ) j u s0 = Hx = 0 0,5 = 0 ; 4 u s = e jωr t = + j u s3 = e j3ωr t 9 + j avec tan α 3 = ; j ( 3ωr t α3 ) u s e, soit u s u s5 = e j5ωr t = 5 + j ?Plus Grand Que? 4 = e j ( 3ωr t α3 ) avec α --- ; 0 4 j ( 5ωr t α5 ) 4 j5ω r t e e avec tan α 5 = j On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à sont inférieures à % de l amplitude de la tension de pulsation réduite x = ; on peut Le filtre permet de sélectionner en sortie la composante sinusoïdale de la tension d entrée dont la pulsation est égale sa pulsation de résonance. La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). T est la période. 4 u s ( t ) = cos ω r t ( V ) ue(t ) négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à : u (V) 0,8 0,6 us(t ) 0,4 0, 0 0, 0, 0,4 0,6 0,8 t ---T 0,4 5 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : u s 0 = Hx = 0 0,5 = 0 ; j ωr t u s = e jωr t = e jωr t j -----e jωr t = e ; j + j U e j3ωr t ; 9 4 u s3 = e j3ωr t = 9 + j5 --- U3 4 4 j 5ωr t j 5ωr t = e u s5 = e j5ωr t = e j5ωr t e j + j U5 8 Filtres du deuxième ordre 47

148 savoir résoudre les exercices Comparons les amplitudes des tensions de sortie : U = = 0,67 ; = = 0,034?Moins Que U3 Les amplitudes des composantes de rangs différents de et 3 sont négligeables. La tension de sortie peut s écrire : 4 3 u s ( t ) = cos ω r t cos 3ω r t ( V ) 9 40 La tension de sortie n est pas sinusoïdale. La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). La tension de sortie n est pas sinusoïdale. u (V) ue(t ) 0,8 0,6 0,4 0, t ---T 0 0, 0,4 0,6 0,8 en conclusion Lorsque la tension d entrée d un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie. 48 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa us (t )

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre

Plus en détail

CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT

CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT TP CIRCUITS ELECTRIQUES R.DUPERRAY Lycée F.BUISSON PTSI CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT OBJECTIFS Savoir utiliser le multimètre pour mesurer des grandeurs électriques Obtenir expérimentalement

Plus en détail

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge

Plus en détail

Cours 9. Régimes du transistor MOS

Cours 9. Régimes du transistor MOS Cours 9. Régimes du transistor MOS Par Dimitri galayko Unité d enseignement Élec-info pour master ACSI à l UPMC Octobre-décembre 005 Dans ce document le transistor MOS est traité comme un composant électronique.

Plus en détail

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On

Plus en détail

Séquence 14 : puissance et énergie électrique Cours niveau troisième

Séquence 14 : puissance et énergie électrique Cours niveau troisième Séquence 14 : puissance et énergie électrique Cours niveau troisième Objectifs : - Savoir que : o Le watt (W) est l unité de puissance o Le joule (J) est l unité de l énergie o L intensité du courant électrique

Plus en détail

Chapitre 7 : CHARGES, COURANT, TENSION S 3 F

Chapitre 7 : CHARGES, COURANT, TENSION S 3 F Chapitre 7 : CHARGES, COURANT, TENSION S 3 F I) Electrostatique : 1) Les charges électriques : On étudie l électricité statique qui apparaît par frottement sur un barreau d ébonite puis sur un barreau

Plus en détail

CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - I. Mesure directe de résistors avec ohmmètre - comparaison de deux instruments de mesure

CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - I. Mesure directe de résistors avec ohmmètre - comparaison de deux instruments de mesure Introduction CORRECTION TP Multimètres - Mesures de résistances - La mesure d une résistance s effectue à l aide d un multimètre. Utilisé en mode ohmmètre, il permet une mesure directe de résistances hors

Plus en détail

1 ère partie : tous CAP sauf hôtellerie et alimentation CHIMIE ETRE CAPABLE DE. PROGRAMME - Atomes : structure, étude de quelques exemples.

1 ère partie : tous CAP sauf hôtellerie et alimentation CHIMIE ETRE CAPABLE DE. PROGRAMME - Atomes : structure, étude de quelques exemples. Référentiel CAP Sciences Physiques Page 1/9 SCIENCES PHYSIQUES CERTIFICATS D APTITUDES PROFESSIONNELLES Le référentiel de sciences donne pour les différentes parties du programme de formation la liste

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Electricité Générale

Electricité Générale Electricité Générale Electricité 1 Livret 4 Résistance Loi d Ohm Loi de Joule Mise à jour février 2007 *FC1207041.1* FC 1207 04 1.1 Centre National d Enseignement et de Formation A Distance Réalisation

Plus en détail

Cours d électricité. Introduction. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie

Cours d électricité. Introduction. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie Cours d électricité Introduction Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Le terme électricité provient du grec ἤλεκτρον

Plus en détail

Chapitre 7: Énergie et puissance électrique. Lequel de vous deux est le plus puissant? L'énergie dépensée par les deux est-elle différente?

Chapitre 7: Énergie et puissance électrique. Lequel de vous deux est le plus puissant? L'énergie dépensée par les deux est-elle différente? CHAPITRE 7 ÉNERGIE ET PUISSANCE ÉLECTRIQUE 2.4.0 Découvrir les grandeurs physiques qui influencent l'énergie et la puissance en électricité. Vous faites le grand ménage dans le sous-sol de la maison. Ton

Plus en détail

Charges électriques - Courant électrique

Charges électriques - Courant électrique Courant électrique Charges électriques - Courant électrique Exercice 6 : Dans la chambre à vide d un microscope électronique, un faisceau continu d électrons transporte 3,0 µc de charges négatives pendant

Plus en détail

L ÉLECTROCUTION Intensité Durée Perception des effets 0,5 à 1 ma. Seuil de perception suivant l'état de la peau 8 ma

L ÉLECTROCUTION Intensité Durée Perception des effets 0,5 à 1 ma. Seuil de perception suivant l'état de la peau 8 ma TP THÈME LUMIÈRES ARTIFICIELLES 1STD2A CHAP.VI. INSTALLATION D ÉCLAIRAGE ÉLECTRIQUE SÉCURISÉE I. RISQUES D UNE ÉLECTROCUTION TP M 02 C PAGE 1 / 4 Courant Effets électriques 0,5 ma Seuil de perception -

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Introduction : Les modes de fonctionnement du transistor bipolaire. Dans tous les cas, le transistor bipolaire est commandé par le courant I B.

Introduction : Les modes de fonctionnement du transistor bipolaire. Dans tous les cas, le transistor bipolaire est commandé par le courant I B. Introduction : Les modes de fonctionnement du transistor bipolaire. Dans tous les cas, le transistor bipolaire est commandé par le courant. - Le régime linéaire. Le courant collecteur est proportionnel

Plus en détail

M HAMED EL GADDAB & MONGI SLIM

M HAMED EL GADDAB & MONGI SLIM Sous la direction : M HAMED EL GADDAB & MONGI SLIM Préparation et élaboration : AMOR YOUSSEF Présentation et animation : MAHMOUD EL GAZAH MOHSEN BEN LAMINE AMOR YOUSSEF Année scolaire : 2007-2008 RECUEIL

Plus en détail

Les puissances 4. 4.1. La notion de puissance. 4.1.1. La puissance c est l énergie pendant une seconde CHAPITRE

Les puissances 4. 4.1. La notion de puissance. 4.1.1. La puissance c est l énergie pendant une seconde CHAPITRE 4. LES PUISSANCES LA NOTION DE PUISSANCE 88 CHAPITRE 4 Rien ne se perd, rien ne se crée. Mais alors que consomme un appareil électrique si ce n est les électrons? La puissance pardi. Objectifs de ce chapitre

Plus en détail

CHAPITRE IX. Modèle de Thévenin & modèle de Norton. Les exercices EXERCICE N 1 R 1 R 2

CHAPITRE IX. Modèle de Thévenin & modèle de Norton. Les exercices EXERCICE N 1 R 1 R 2 CHPITRE IX Modèle de Thévenin & modèle de Norton Les exercices EXERCICE N 1 R 3 E = 12V R 1 = 500Ω R 2 = 1kΩ R 3 = 1kΩ R C = 1kΩ E R 1 R 2 U I C R C 0V a. Dessiner le générateur de Thévenin vu entre les

Plus en détail

Donner les limites de validité de la relation obtenue.

Donner les limites de validité de la relation obtenue. olutions! ours! - Multiplicateur 0 e s alculer en fonction de. Donner les limites de validité de la relation obtenue. Quelle est la valeur supérieure de? Quel est le rôle de 0? - Multiplicateur e 0 s alculer

Plus en détail

Les transistors à effet de champ.

Les transistors à effet de champ. Chapitre 2 Les transistors à effet de champ. 2.1 Les différentes structures Il existe de nombreux types de transistors utilisant un effet de champ (FET : Field Effect Transistor). Ces composants sont caractérisés

Plus en détail

MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE

MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE Titulaire : A. Rauw 5h/semaine 1) MÉCANIQUE a) Cinématique ii) Référentiel Relativité des notions de repos et mouvement Relativité de la notion de trajectoire Référentiel

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

La charge électrique C6. La charge électrique

La charge électrique C6. La charge électrique Fiche ACTIVIT UM 8. / UM 8. / 8. La charge électrique 8. La charge électrique C6 Manuel, p. 74 à 79 Manuel, p. 74 à 79 Synergie UM S8 Corrigé Démonstration La charge par induction. Comment un électroscope

Plus en détail

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes

Plus en détail

CH 11: PUIssance et Énergie électrique

CH 11: PUIssance et Énergie électrique Objectifs: CH 11: PUssance et Énergie électrique Les exercices Tests ou " Vérifie tes connaissances " de chaque chapitre sont à faire sur le cahier de brouillon pendant toute l année. Tous les schémas

Plus en détail

Eléments constitutifs et synthèse des convertisseurs statiques. Convertisseur statique CVS. K à séquences convenables. Source d'entrée S1

Eléments constitutifs et synthèse des convertisseurs statiques. Convertisseur statique CVS. K à séquences convenables. Source d'entrée S1 1 Introduction Un convertisseur statique est un montage utilisant des interrupteurs à semiconducteurs permettant par une commande convenable de ces derniers de régler un transfert d énergie entre une source

Plus en détail

Mesure. Multimètre écologique J2. Réf : 251 055. Français p 1. Version : 0110

Mesure. Multimètre écologique J2. Réf : 251 055. Français p 1. Version : 0110 Français p 1 Version : 0110 Sommaire 1 Présentation... 2 1.1 Description... 2 1.2 Type d alimentation... 3 1.2.1 Alimentation par générateur... 3 1.2.2 Alimentation par piles... 3 2 Sécurité... 3 2.1 Signalétique

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

sciences sup Cours et exercices corrigés IUT Licence électricité générale Analyse et synthèse des circuits 2 e édition Tahar Neffati

sciences sup Cours et exercices corrigés IUT Licence électricité générale Analyse et synthèse des circuits 2 e édition Tahar Neffati sciences sup Cours et exercices corrigés IUT Licence électricité générale Analyse et synthèse des circuits 2 e édition Tahar Neffati ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE Analyse et synthèse des circuits ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE

Plus en détail

MESURE DE LA PUISSANCE

MESURE DE LA PUISSANCE Chapitre 9 I- INTRODUCTION : MESURE DE L PUISSNCE La mesure de la puissance fait appel à un appareil de type électrodynamique, qui est le wattmètre. Sur le cadran d un wattmètre, on trouve : la classe

Plus en détail

LES APPAREILS A DEVIATION EN COURANT CONTINU ( LES APPREILS MAGNETOELECTRIQUES)

LES APPAREILS A DEVIATION EN COURANT CONTINU ( LES APPREILS MAGNETOELECTRIQUES) Chapitre 3 LES APPARELS A DEVATON EN COURANT CONTNU ( LES APPRELS MAGNETOELECTRQUES) - PRNCPE DE FONCTONNEMENT : Le principe de fonctionnement d un appareil magnéto-électrique est basé sur les forces agissant

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Le transistor bipolaire

Le transistor bipolaire IUT Louis Pasteur Mesures Physiques Electronique Analogique 2ème semestre 3ème partie Damien JACOB 08-09 Le transistor bipolaire I. Description et symboles Effet transistor : effet physique découvert en

Plus en détail

Electrocinétique Livret élève

Electrocinétique Livret élève telier de Physique Secondaire supérieur Electrocinétique Livret élève ouquelle Véronique Pire Joëlle Faculté des Sciences Diffusé par Scienceinfuse, ntenne de Formation et de Promotion du secteur Sciences

Plus en détail

1 Systèmes triphasés symétriques

1 Systèmes triphasés symétriques 1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système

Plus en détail

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques IX. 1 L'appareil de mesure qui permet de mesurer la différence de potentiel entre deux points d'un circuit est un voltmètre, celui qui mesure le courant

Plus en détail

Méthodes de Caractérisation des Matériaux. Cours, annales http://www.u-picardie.fr/~dellis/

Méthodes de Caractérisation des Matériaux. Cours, annales http://www.u-picardie.fr/~dellis/ Méthodes de Caractérisation des Matériaux Cours, annales http://www.u-picardie.fr/~dellis/ 1. Symboles standards et grandeurs électriques 3 2. Le courant électrique 4 3. La résistance électrique 4 4. Le

Plus en détail

L électricité et le magnétisme

L électricité et le magnétisme L électricité et le magnétisme Verdicts et diagnostics Verdict CHAPITRE 5 STE Questions 1 à 26, A à D. 1 QU EST-CE QUE L ÉLECTRICITÉ? (p. 140-144) 1. Vanessa constate qu un objet est chargé positivement.

Plus en détail

1 000 W ; 1 500 W ; 2 000 W ; 2 500 W. La chambre que je dois équiper a pour dimensions : longueur : 6 m largeur : 4 m hauteur : 2,50 m.

1 000 W ; 1 500 W ; 2 000 W ; 2 500 W. La chambre que je dois équiper a pour dimensions : longueur : 6 m largeur : 4 m hauteur : 2,50 m. EXERCICES SUR LA PUISSANCE DU COURANT ÉLECTRIQUE Exercice 1 En zone tempérée pour une habitation moyennement isolée il faut compter 40 W/m 3. Sur un catalogue, 4 modèles de radiateurs électriques sont

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe

Plus en détail

1 Savoirs fondamentaux

1 Savoirs fondamentaux Révisions sur l oscillogramme, la puissance et l énergie électrique 1 Savoirs fondamentaux Exercice 1 : choix multiples 1. Quelle est l unité de la puissance dans le système international? Volt Watt Ampère

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Caractéristiques des ondes

Caractéristiques des ondes Caractéristiques des ondes Chapitre Activités 1 Ondes progressives à une dimension (p 38) A Analyse qualitative d une onde b Fin de la Début de la 1 L onde est progressive puisque la perturbation se déplace

Plus en détail

Chapitre 11 Bilans thermiques

Chapitre 11 Bilans thermiques DERNIÈRE IMPRESSION LE 30 août 2013 à 15:40 Chapitre 11 Bilans thermiques Table des matières 1 L état macroscopique et microcospique de la matière 2 2 Énergie interne d un système 2 2.1 Définition.................................

Plus en détail

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par

Plus en détail

Les Mesures Électriques

Les Mesures Électriques Les Mesures Électriques Sommaire 1- La mesure de tension 2- La mesure de courant 3- La mesure de résistance 4- La mesure de puissance en monophasé 5- La mesure de puissance en triphasé 6- La mesure de

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Electrotechnique. Fabrice Sincère ; version 3.0.5 http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/

Electrotechnique. Fabrice Sincère ; version 3.0.5 http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ Electrotechnique Fabrice Sincère ; version 3.0.5 http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ 1 Sommaire 1 ère partie : machines électriques Chapitre 1 Machine à courant continu Chapitre 2 Puissances électriques

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Chapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique

Chapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 Introduction 7.1.1 Production d un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant

Plus en détail

Chapitre 02. La lumière des étoiles. Exercices :

Chapitre 02. La lumière des étoiles. Exercices : Chapitre 02 La lumière des étoiles. I- Lumière monochromatique et lumière polychromatique. )- Expérience de Newton (642 727). 2)- Expérience avec la lumière émise par un Laser. 3)- Radiation et longueur

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Module 3 : L électricité

Module 3 : L électricité Sciences 9 e année Nom : Classe : Module 3 : L électricité Partie 1 : Électricité statique et courant électrique (chapitre 7 et début du chapitre 8) 1. L électrostatique a. Les charges et les décharges

Plus en détail

La polarisation des transistors

La polarisation des transistors La polarisation des transistors Droite de charge en continu, en courant continu, statique ou en régime statique (voir : le transistor) On peut tracer la droite de charge sur les caractéristiques de collecteur

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL EPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES SUJET A.1

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL EPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES SUJET A.1 TP A.1 Page 1/5 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL EPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES SUJET A.1 Ce document comprend : - une fiche descriptive du sujet destinée à l examinateur : Page 2/5 - une

Plus en détail

Electricité : caractéristiques et point de fonctionnement d un circuit

Electricité : caractéristiques et point de fonctionnement d un circuit Electricité : caractéristiques et point de fonctionnement d un circuit ENONCE : Une lampe à incandescence de 6 V 0,1 A est branchée aux bornes d une pile de force électromotrice E = 6 V et de résistance

Plus en détail

I- Définitions des signaux.

I- Définitions des signaux. 101011011100 010110101010 101110101101 100101010101 Du compact-disc, au DVD, en passant par l appareil photo numérique, le scanner, et télévision numérique, le numérique a fait une entrée progressive mais

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Information. BASES LITTERAIRES Etre capable de répondre à une question du type «la valeur trouvée respecte t-elle le cahier des charges?

Information. BASES LITTERAIRES Etre capable de répondre à une question du type «la valeur trouvée respecte t-elle le cahier des charges? Compétences générales Avoir des piles neuves, ou récentes dans sa machine à calculer. Etre capable de retrouver instantanément une info dans sa machine. Prendre une bouteille d eau. Prendre CNI + convocation.

Plus en détail

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. . MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

TD 11. Les trois montages fondamentaux E.C, B.C, C.C ; comparaisons et propriétés. Association d étages. *** :exercice traité en classe.

TD 11. Les trois montages fondamentaux E.C, B.C, C.C ; comparaisons et propriétés. Association d étages. *** :exercice traité en classe. TD 11 Les trois montages fondamentaux.,.,. ; comparaisons et propriétés. Association d étages. *** :exercice traité en classe ***exercice 11.1 On considère le montage ci-dessous : V = 10 V R 1 R s v e

Plus en détail

La température du filament mesurée et mémorisée par ce thermomètre Infra-Rouge(IR) est de 285 C. EST-CE POSSIBLE?

La température du filament mesurée et mémorisée par ce thermomètre Infra-Rouge(IR) est de 285 C. EST-CE POSSIBLE? INVESTIGATION De nombreux appareils domestiques, convecteurs, chauffe-biberon, cafetière convertissent l énergie électrique en chaleur. Comment interviennent les grandeurs électriques, tension, intensité,

Plus en détail

MESURE DE LA TEMPERATURE

MESURE DE LA TEMPERATURE 145 T2 MESURE DE LA TEMPERATURE I. INTRODUCTION Dans la majorité des phénomènes physiques, la température joue un rôle prépondérant. Pour la mesurer, les moyens les plus couramment utilisés sont : les

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Introduction à l électronique de puissance Synthèse des convertisseurs statiques. Lycée Richelieu TSI 1 Année scolaire 2006-2007 Sébastien GERGADIER

Introduction à l électronique de puissance Synthèse des convertisseurs statiques. Lycée Richelieu TSI 1 Année scolaire 2006-2007 Sébastien GERGADIER Introduction à l électronique de puissance Synthèse des convertisseurs statiques Lycée Richelieu TSI 1 Année scolaire 2006-2007 Sébastien GERGADIER 28 janvier 2007 Table des matières 1 Synthèse des convertisseurs

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

CH IV) Courant alternatif Oscilloscope.

CH IV) Courant alternatif Oscilloscope. CH IV) Courant alternatif Oscilloscope. Il existe deux types de courant, le courant continu et le courant alternatif. I) Courant alternatif : Observons une coupe transversale d une «dynamo» de vélo. Galet

Plus en détail

Cours 1. Bases physiques de l électronique

Cours 1. Bases physiques de l électronique Cours 1. Bases physiques de l électronique Par Dimitri galayko Unité d enseignement Élec-info pour master ACSI à l UPMC Octobre-décembre 2005 1 Champ électrique et ses propriétés Ce premier cours introduit

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

Elec II Le courant alternatif et la tension alternative

Elec II Le courant alternatif et la tension alternative Elec II Le courant alternatif et la tension alternative 1-Deux types de courant -Schéma de l expérience : G -Observations : Avec une pile pour G (courant continu noté ): seule la DEL dans le sens passant

Plus en détail

Études et Réalisation Génie Électrique

Études et Réalisation Génie Électrique Université François-Rabelais de Tours Institut Universitaire de Technologie de Tours Département Génie Électrique et Informatique Industrielle Études et Réalisation Génie Électrique Chargeur de batterie

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Mesures et incertitudes

Mesures et incertitudes En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d erreur, ce qui ne l empêche pas d être exploitée pour prendre des décisions. Aujourd hui, la notion d erreur a son vocabulaire

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Système ASC unitaire triphasé. PowerScale 10 50 kva Maximisez votre disponibilité avec PowerScale

Système ASC unitaire triphasé. PowerScale 10 50 kva Maximisez votre disponibilité avec PowerScale Système ASC unitaire triphasé 10 50 kva Maximisez votre disponibilité avec Protection de première qualité est un système ASC triphasé de taille moyenne qui offre une protection électrique remarquable pour

Plus en détail