Transformateurs monophasés Correction des exercices III, IV et V

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1 Exercice III Les essais suivants ont été réalisés sur un transformateur monophasé dont le schéma équivalent est représenté ci contre. Essai à vide : valeurs efficaces des tensions primaire secondaire : 30 V 85 V ; intensité efficace du courant primaire : 0,7 A puissance active au primaire 40 W. Transformateurs monophasés Correction des exercices III, IV V Essai en court circuit : valeur efficace du courant primaire : 8 A ; la valeur efficace de la tension primaire est égale à 5 V la puissance active au primaire est égale à 67 W. 3. Exploitation de l'essai à vide c. Calculer le rapport de transformation m= V 0 V = =0,37 d. Calculer la puissance réactive lors de c essai. Les puissances apparente S 0, active P 0 réactive Q 0 sont reliées par S 0 =P 0 +Q 0 S 0 =V.I 0 =30 0,7=6 VA Ce qui donne Q 0 = S 0 P 0 = 6 40 =56 var e. Calculer L m. La résistance «consomme» la puissance active P 0 ce qui perm d'écrire P 0 = V = V = 30 P 0 40 =30 Ω L'inductance L m «consomme» la puissance réactive Q 0 ce qui perm d'écrire Q 0 = V L m ω donc L m = V Q 0 ω = 30 =,08 H (remarque : ω= pi f f = 50 Hz) 56 π50 4. Exploitation de l'essai en court circuit Pour c essai, le transformateur est supposé parfait pour les intensités (ce qui signifie que les influences de L m sont négligées). c. Calculer l'intensité efficace du courant secondaire pour c essai. On utilise la relation pour les courants du transformateur parfait : I cc = m I cc soit I cc = 0,37 8=,6 A d. Calculer la puissance réactive pour c essai. Les puissances apparente S cc, active P cc réactive Q cc sont reliées par S cc =P cc +Q cc S cc =V cc. I cc =5 8=00 VA Ce qui donne Q cc = S cc P cc = =88 var Transformateurs monophasés Page TS ET 03 04

2 e. Calculer X s. La résistance «consomme» la puissance active P cc ce qui perm d'écrire P cc = I cc = P cc = 67 I cc,6 =0,43 Ω La réactance X s «consomme» la puissance réactive Q cc ce qui perm d'écrire Q cc =X s I cc donc X s = Q cc = 88 I cc,6 =0,403 Ω (Remarque : X =l s sω ω=π f ) Exercice IV On considère un transformateur monophasé dont les essais préliminaires ont donné : à vide : V = V n = 0 V, I = 0,5 A, V = 0 V, puissance absorbée : 50 W en court circuit : V = V, I = 0 A, puissance absorbée : 50 W 3. Proposer un montage permtant de réaliser les mesures en court circuit. m X s 4. Déterminer les éléments du schéma équivalent ci contre : L ww La démarche est identique à celle de l'exercice précédent : on utilise successivement les résultats de l'essai à vide pour déterminer m,, L puis de l'essai en court circuit pour déterminer X s. Essai à vide : m= V 0 = 0 V 0 =0,5 Les puissances apparente S 0, active P 0 réactive Q 0 sont reliées par S 0 =P 0 +Q 0 S 0 =V.I 0 =0 0,5=0 VA Ce qui donne Q 0 = S 0 P 0 = 0 50 =98 var La résistance «consomme» la puissance active P 0 ce qui perm d'écrire P 0 = V = V = 0 P 0 50 =968 Ω L'inductance L «consomme» la puissance réactive Q 0 ce qui perm d'écrire Q 0 = V L ω L= V Q 0 ω = 0 =,57 H (remarque : ω= pi f f = 50 Hz) 98 π50 Essai en court circuit (les influences de L sont négligées) Les puissances apparente S cc, active P cc réactive Q cc sont reliées par S cc =P cc +Q cc S cc =V cc. I cc. Pour calculer I cc, on utilise la relation pour les courants du transformateur parfait : I cc =m I cc =0,5 0=0 A Ce qui donne S cc = 0=0 VA Q cc = S cc P cc = =47 var c. Calculer X s. La résistance «consomme» la puissance active P cc ce qui perm d'écrire P cc = I cc = P cc = 50 I cc 0 =0,375 Ω Transformateurs monophasés Page TS ET 03 04

3 La réactance X s «consomme» la puissance réactive Q cc ce qui perm d'écrire Q cc =X s I cc donc X s = Q cc = 47 I cc 0 =0,367 Ω (Remarque : X =l s sω ω= π f ) Pour la suite, le transformateur est supposé parfait pour les courants lorsqu ils sont proches de leurs valeurs nominales. On branche au secondaire une résistance R c = 5 W en série une inductance L c = mh. 5. Représenter le schéma permtant de déterminer l intensité dans la charge la tension à ses bornes. Le schéma «compl» est représenté ci dessous, seule la partie «secondaire» (à droite du transformateur parfait) est utile pour cte question. 6. Calculer l intensité efficace du courant secondaire. X s =l s ω r s = La loi des mailles appliquée au circuit secondaire perm d'écrire : mv I j X s I R c I j L c ω I =0 soit mv =( +R c + j(x s +L c ω)) I (Remarque : cte équation peut être obtenue directement en appliquant les lois d'association des impédances la loi d'ohm). mv Finalement : I = +R c + j(x s +L c ω) la valeur efficace du courant secondaire est égale au module mv du nombre complexe I associé à l'intensité secondaire soit I = ( + R c ) +( X s +L c ω) 0,5 0 I = (0,375+5) +(0, π50) =6,7 A 7. Calculer le déphasage entre l intensité la tension au secondaire. Sur un diagramme vectoriel, l'intensité secondaire est choisie comme origine des phases placée horizontalement. Le vecteur associé à la tension aux bornes de R c est colinéaire de même sens que celui associé à l'intensité alors que le vecteur associé à la tension aux bornes de L c est en avance de 90 sur celui associé à l'intensité. La tangente du déphasage entre l intensité la tension au secondaire est donnée par tan ϕ = L c ω R c =.0 3 π50 =0,69 soit ϕ 5 =34,6 Transformateurs monophasés Page 3 TS ET 03 04

4 8. Tracer le diagramme de Fresnel permtant de déterminer la valeur efficace de la tension aux bornes de la charge. Le diagramme est représenté ci contre. Tous les «I» les «V» devraient être soulignés car il s'agit de nombres complexes. Démarche : Placer I horizontalement Placer I j X s I Tracer l'arc de cercle partant de l'origine du diagramme (origines de I j X s I ) de rayon V 0 =mv Tracer l'horizontale partant de l'extrémité de I I la portion de droite partant de cte même extrémité faisant un angle de 34,6 l'horizontale. Le talon du vecteur V est à la pointe de I I sa pointe est sur l'arc de cercle de rayon V 0 : sa valeur efficace est égale à 09 V 9. Déterminer graphiquement l intensité efficace du courant primaire. L'intensité efficace de I t (voir le schéma) est calculée à partir de I t =m I =0,5 6,7=8,35 A Les intensités efficaces des courants I f I m (voir le schéma) sont calculées à partir des valeurs de L trouvées à la question : I f = V = =0,3 A I m = V L ω = 0,57 π 50 =0,45 A Ces deux valeurs sont très faibles devant I t, on peut donc admtre I =I t Exercice V On considère un transformateur monophasé sur lequel les essais suivants ont été effectués : en continu au primaire : I c = 0 A ; U c = 5 V. à vide : U = 0 V, 50 Hz (tension primaire nominale) ; U 0 = 44 V ; P 0 = 80 W ; I 0 = A. en court circuit : U cc = 40 V ; P cc = 50 W ; I cc = 0 A (courant nominal primaire). Le transformateur est considéré comme parfait pour les courants lorsque ceux ci ont leurs valeurs nominales. 3. Exploitation de l'essai à vide c. Déterminer le rapport de transformation. On utilise l'essai à vide : m= U 0 U = 44 0 =0, d. En déduire le nombre de spires au secondaire si l on compte 50 spires au primaire. Puisque m= n n alors n =m n =0, 50=04 spires e. Vérifier que l on peut négliger les pertes par eff Joule lors de l essai à vide. Les pertes par eff Joule lors de l essai à vide sont localisées dans la résistance de l'enroulement du primaire. Transformateurs monophasés Page 4 TS ET 03 04

5 On peut déterminer cte résistance à partir de l'essai en continu soit r = U c I c = 5 0 =0,5 Ω. L'intensité efficace du courant primaire est égale à A ce qui donne des pertes par eff Joule égales à P j0 =r I 0 =0,5 =0,5 W. Cte valeur est bien négligeable devant 80 W. 4. Exploitation de l'essai en court circuit c. En admtant que les pertes dans le fer sont proportionnelles au carré de la tension primaire, montrer qu elles sont négligeables par rapport aux autres pertes de l essai en court circuit. D'après l'énoncé P 0 =K U (D'après le cours P 0 = U ce qui donnerait K= ). L'essai à vide perm de calculer K= P 0 U = 80 0 =, S ce qui donne des pertes dans le fer lors de l'essai en court circuit : P fcc =, =,6 W. Cte valeur est négligeable devant 50 W. d. Représenter le schéma équivalent du transformateur en court circuit vu du secondaire. Les influences des impédances placées au primaires ( L m du cours) sont négligées remplacées par des circuits ouverts. r s = l s ω=x s e. En déduire les valeurs de X s de l impédance du modèle de Thévenin. Calcul de l'intensité du courant secondaire en court circuit : I cc = m I cc= 0, 0=00 A La résistance «consomme» la puissance active P cc ce qui perm d'écrire P cc = I cc donc = P cc = 50 =5 mω I cc 00 La réactance X s «consomme» la puissance réactive Q cc qu'il faut calculer : ce qui perm d'écrire Q cc =X s I cc Q cc = S cc P cc = (40 0) 50 =760 var X s = Q cc = 760 I cc 00 =76 m Ω 5. Quels que soient les résultats obtenus précédemment, on prendra pour la suite du problème = 5 mw ; X s = 75 mw. Le transformateur alimenté au primaire sous sa tension nominale, débite 00 A au secondaire un facteur de puissance égal à 0,9 (charge inductive). c. Déterminer graphiquement la tension secondaire du transformateur. En déduire la puissance délivrée par le secondaire. Faire le même calcul l approximation du triangle fondamental de Kapp. Le déphasage entre la tension le courant secondaires est déterminé à partir du facteur de puissance : cosϕ =0,9 donne ϕ =6 ou ϕ = 6 ; comme la charge est inductive alors le courant est Transformateurs monophasés Page 5 TS ET 03 04

6 en rard sur la tension ϕ =6 Démarche : Placer I horizontalement Placer I j X s I Tracer l'arc de cercle partant de l'origine du diagramme (origines de I j X s I ) de rayon U 0 =m U Tracer l'horizontale partant de l'extrémité de I I la portion de droite partant de cte même extrémité faisant un angle de 6 l'horizontale. Le talon du vecteur U est à la pointe de I I sa pointe est sur l'arc de cercle de rayon U 0 : on trouve une valeur efficace proche de 39 V. La formule de l'approximation du triangle fondamental de Kapp (n'est pas à connaître) donne la chute de tension en charge Δ U = I cosϕ +X s I sin ϕ = , sin(6) (la calculatrice doit être en degrés). Δ U =5,5 V La valeur efficace de la tension secondaire est très proche de U =U 0 Δ V =44 5,5=38,5 V d. Déterminer la puissance absorbée au primaire, ainsi que le facteur de puissance. La puissance absorbée au primaire est égale à la somme des puissances pour la charge pour. Pour la charge P c =U. I cos ϕ =38,5 00 0,9=3465 W Pour la résistance P j =. I = =50 W (on rrouve la valeur de la puissance lors de l'essai en court circuit) Puissance totale (au primaire) : P=P c +P j = =375 W Calcul de l'intensité du courant primaire : I =m I =0, 00=0 A de la puissance apparente au primaire S =U.I =0 0=4400 VA D'où le facteur de puissance k=cosϕ = P S k= =0,844 (la tension l'intensité au primaire sont sinusoïdales). e. Déterminer la capacité du condensateur (supposé parfait) qui, placé en parallèle l enroulement primaire, relève le facteur de puissance de l installation à. Quelle est alors l intensité du courant dans la ligne qui alimente l association? Puissance réactive à compenser : Q = S P = =370 var Puissance réactive pour une capacité branchée sur une tension de valeur efficace U : Q C = U. I C Comme I C =C ωu (voir le cours sur les régimes sinusoïdaux les lois d'ohm pour les dipôles élémentaires) alors Q C = C ωu Pour que le facteur de puissance soit égal à il faut Q C +Q =0 soit 370=C ωu C= 370 ω U = 370 =56 µf π 50 0 ce qui donne La ligne qui alimente l'association a une puissance apparente égale à S L =375 VA (la capacité «fournit» le réactif au transformateur) donc I L = S L = 375 U 0 =6,9 A Transformateurs monophasés Page 6 TS ET 03 04

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